5.2.1 第1课时 等差数列的定义-【创新教程】2025-2026学年高中数学选择性必修第三册五维课堂教师用书word（人教B版）

5．2　等差数列

5．2.1　等差数列

第1课时　等差数列的定义

[情境引入]

我们知道数列是一种特殊的函数，在函数的研究中，我们在理解了函数的一般概念，了解了函数变化规律的研究内容(如单调性，奇偶性等)后，通过研究基本初等函数不仅加深了对函数的理解，而且掌握了幂函数，指数函数，对数函数，三角函数等常用的函数模型．类似地，在了解了数列的一般概念后，我们要研究一些具有特殊变化规律的数列， 建立它们的通项公式和前n项和公式，并应用它们解决实际问题和数学问题，从中感受数学模型的现实意义与应用．

[知识梳理]

[知识点一]　等差数列的概念　

1．等差数列概念

(1)文字语言：一般地，如果一个数列{an}从第　2　项起，每一项与它的　前一项　的差都等于　同一个　常数，那么这个数列就叫做等差数列，这个　常数　叫做等差数列的　公差　，公差通常用字母　d　表示．

(2)递推公式：an＋1－an＝d(d为常数，n∈N*)．

[知识点二]　等差数列的通项公式　

1．以首项为a1，公差为d的等差数列{an}的通项公式为an＝　a1＋(n－1)d　.

由等差数列的通项公式可以看出，要求an，需要哪几个条件？

[提示]　只要求出等差数列的首项a1和公差d，代入公式an＝a1＋(n－1)d即可．

2．从函数角度认识等差数列{an}．若数列{an}是等差数列，首项为a1，公差为d，则an＝f (n)＝a1＋(n－1)d＝nd＋(a1－d)．(1)点(n，an)落在直线y＝dx＋(a1－d)上；

(2)这些点的横坐标每增加1，函数值增加d

[预习自测]

1．判断下列说法是否正确，正确的在它后面的括号里打“√”，错误的打“×”．

(1)如果一个数列的每一项与它的前一项的差是一个常数，那么这个数列是等差数列．(　　)

(2)数列0,0,0,0，…不是等差数列．(　　)

(3)在等差数列中，除第1项和最后一项外，其余各项都是它前一项和后一项的等差中项．(　　)

(4)若一个数列从第二项起每一项与它的前一项的差都是常数， 则这个数列是等差数列．(　　)

(5)等差数列{an}的单调性与公差d有关．(　　)

(6)若三个数a，b，c满足2b＝a＋c，则a，b，c一定是等差数列．(　　)

答案　(1) ×； (2)×； (3)√　 (4)×　(5)√　(6)√

2．已知等差数列{an}的首项a1＝4，公差d＝－2，则通项公式an＝(　　)

A．4－2n　　　　　　 B．2n－4

C．6－2n  D．2n－6

解析：C　[an＝a1＋(n－1)d＝4＋(n－1)×(－2)＝4－2n＋2＝6－2n.]

3．在△ABC中，三内角A、B、C成等差数列，则B等于　________　.

解析：因为三内角A、B、C成等差数列，所以2B＝A＋C，又因为A＋B＋C＝180°，所以3B＝180°，所以B＝60°.]

答案：60°

等差数列的概念

[例1]　判断下列数列是否为等差数列．

(1)an＝3－2n；(2)an＝n2－n.

解：(1)∵an＋1－an＝[3－2(n＋1)]－(3－2n)＝－2，是常数，

∴数列{an}是等差数列．

(2)∵an＋1－an＝[(n＋1)2－(n＋1)]－(n2－n)＝2n，不是常数，

∴数列{an}不是等差数列．

定义法判定等差数列

(1)作差an＋1－an；

(2)对差式进行变形；

(3)当an＋1－an是一个与n无关的常数时，数列{an}是等差数列；当an＋1－an不是常数，是与n有关的代数式时，数列{an}不是等差数列．

[变式训练]

1．判断下列数列是不是等差数列？

(1)9,7,5,3，…，－2n＋11，…；(2)－1,11,23,35，…，12n－13，…；(3)1,2,1,2，…；(4)1,2,4,6,8,10，…；(5)a，a，a，a，a，…

解　由等差数列的定义得(1)，(2)，(5)为等差数列，(3)，(4)不是等差数列．

等差数列的通项公式及其应用

[例2]　(1)在等差数列{an}中，已知a4＝7，a10＝25，求通项公式an；

(2)已知数列{an}为等差数列，a3＝，a7＝－，求a15的值．

[思路点拨]　设出基本量a1，d，利用方程组的思想求解，当然也可以利用等差数列的一般形式an＝am＋(n－m)d求解．

[解]　(1)∵a4＝7，a10＝25，

则得∴an＝－2＋(n－1)×3＝3n－5，

∴通项公式an＝3n－5(n∈N*)．

(2)法一：(方程组法)由

得解得a1＝，d＝－，

∴a15＝a1＋(15－1)d＝＋14×＝－.

法二：(利用an＝am＋(n－m)d求解)由a7＝a3＋(7－3)d，

即－＝＋4d，解得d＝－，