5.2.1 第1课时 等差数列的定义-【创新教程】2025-2026学年高中数学选择性必修第三册五维课堂教师用书word（人教B版）

5．2　等差数列 5．2.1　等差数列 第1课时　等差数列的定义 课程标准 素养解读 1.通过生活中的实例，理解等差数列的概念． 2.掌握等差数列通项公式的意义. 通过对等差数列概念及其通项公式的学习，达成数学抽象、逻辑推理和数学运算的核心素养. [情境引入] 我们知道数列是一种特殊的函数，在函数的研究中，我们在理解了函数的一般概念，了解了函数变化规律的研究内容(如单调性，奇偶性等)后，通过研究基本初等函数不仅加深了对函数的理解，而且掌握了幂函数，指数函数，对数函数，三角函数等常用的函数模型．类似地，在了解了数列的一般概念后，我们要研究一些具有特殊变化规律的数列， 建立它们的通项公式和前n项和公式，并应用它们解决实际问题和数学问题，从中感受数学模型的现实意义与应用． [知识梳理] [知识点一]　等差数列的概念　 1．等差数列概念 (1)文字语言：一般地，如果一个数列{an}从第　2　项起，每一项与它的　前一项　的差都等于　同一个　常数，那么这个数列就叫做等差数列，这个　常数　叫做等差数列的　公差　，公差通常用字母　d　表示． (2)递推公式：an＋1－an＝d(d为常数，n∈N*)． [知识点二]　等差数列的通项公式　 1．以首项为a1，公差为d的等差数列{an}的通项公式为an＝　a1＋(n－1)d　. 由等差数列的通项公式可以看出，要求an，需要哪几个条件？ [提示]　只要求出等差数列的首项a1和公差d，代入公式an＝a1＋(n－1)d即可． 2．从函数角度认识等差数列{an}．若数列{an}是等差数列，首项为a1，公差为d，则an＝f (n)＝a1＋(n－1)d＝nd＋(a1－d)．(1)点(n，an)落在直线y＝dx＋(a1－d)上； (2)这些点的横坐标每增加1，函数值增加d [预习自测] 1．判断下列说法是否正确，正确的在它后面的括号里打“√”，错误的打“×”． (1)如果一个数列的每一项与它的前一项的差是一个常数，那么这个数列是等差数列．(　　) (2)数列0,0,0,0，…不是等差数列．(　　) (3)在等差数列中，除第1项和最后一项外，其余各项都是它前一项和后一项的等差中项．(　　) (4)若一个数列从第二项起每一项与它的前一项的差都是常数， 则这个数列是等差数列．(　　) (5)等差数列{an}的单调性与公差d有关．(　　) (6)若三个数a，b，c满足2b＝a＋c，则a，b，c一定是等差数列．(　　) 答案　(1) ×； (2)×； (3)√　 (4)×　(5)√　(6)√ 2．已知等差数列{an}的首项a1＝4，公差d＝－2，则通项公式an＝(　　) A．4－2n　　　　　　 B．2n－4 C．6－2n D．2n－6 解析：C　[an＝a1＋(n－1)d＝4＋(n－1)×(－2)＝4－2n＋2＝6－2n.] 3．在△ABC中，三内角A、B、C成等差数列，则B等于　________　. 解析：因为三内角A、B、C成等差数列，所以2B＝A＋C，又因为A＋B＋C＝180°，所以3B＝180°，所以B＝60°.] 答案：60° 等差数列的概念 [例1]　判断下列数列是否为等差数列． (1)an＝3－2n；(2)an＝n2－n. 解：(1)∵an＋1－an＝[3－2(n＋1)]－(3－2n)＝－2，是常数， ∴数列{an}是等差数列． (2)∵an＋1－an＝[(n＋1)2－(n＋1)]－(n2－n)＝2n，不是常数， ∴数列{an}不是等差数列． 定义法判定等差数列 (1)作差an＋1－an； (2)对差式进行变形； (3)当an＋1－an是一个与n无关的常数时，数列{an}是等差数列；当an＋1－an不是常数，是与n有关的代数式时，数列{an}不是等差数列． [变式训练] 1．判断下列数列是不是等差数列？ (1)9,7,5,3，…，－2n＋11，…；(2)－1,11,23,35，…，12n－13，…；(3)1,2,1,2，…；(4)1,2,4,6,8,10，…；(5)a，a，a，a，a，… 解　由等差数列的定义得(1)，(2)，(5)为等差数列，(3)，(4)不是等差数列． 等差数列的通项公式及其应用 [例2]　(1)在等差数列{an}中，已知a4＝7，a10＝25，求通项公式an； (2)已知数列{an}为等差数列，a3＝，a7＝－，求a15的值． [思路点拨]　设出基本量a1，d，利用方程组的思想求解，当然也可以利用等差数列的一般形式an＝am＋(n－m)d求解． [解]　(1)∵a4＝7，a10＝25， 则得∴an＝－2＋(n－1)×3＝3n－5， ∴通项公式an＝3n－5(n∈N*)． (2)法一：(方程组法)由 得解得a1＝，d＝－， ∴a15＝a1＋(15－1)d＝＋14×＝－. 法二：(利用an＝am＋(n－m)d求解)由a7＝a3＋(7－3)d， 即－＝＋4d，解得d＝－， ∴a15＝a3＋(15－3)d＝＋12×＝－. 1．应用等差数列的通项公式求a1和d，运用了方程的思想．一般地，可由am＝a，an＝b，得求出a1和d，从而确定通项公式． 2．若已知等差数列中的任意两项am，an，求通项公式或其他项时，则运用am＝an＋(m－n)d较为简捷． [变式训练] 2．在等差数列{an}中， (1)若a5＝15，a17＝39，试判断91是否为此数列中的项． (2)若a2＝11，a8＝5，求a10. [解]　(1)设{an}的公差为d.因为解得 所以an＝7＋2(n－1)＝2n＋5. 令2n＋5＝91，得n＝43.因为43为正整数，所以91是此数列中的项． (2)设{an}的公差为d，则解得 ∴an＝12＋(n－1)×(－1)＝13－n，所以a10＝13－10＝3. 根据递推公式判定与证明等差数列 [例3]　已知数列{an}满足a1＝2，an＋1＝. (1)数列是否为等差数列？说明理由； (2)求an. [思路点拨]　①要判断数列是否为等差数列，需要先求－的表达式， ②求出数列的通项公式． [解]　(1)数列是等差数列，理由如下： ∵a1＝2，an＋1＝，∴＝＝＋， ∴－＝，即是首项为＝，公差为d＝的等差数列． (2)由上述可知＝＋(n－1)d＝，∴an＝. [母体变式] 1．(变条件，变结论)将例题中的条件“a1＝2，an＋1＝”换为“a1＝4，an＝4－(n＞1)，记bn＝”． (1)试证明数列{bn}为等差数列；(2)求数列{an}的通项公式． [解]　(1)证明：bn＋1－bn＝－ ＝－＝－＝＝. 又b1＝＝，∴数列{bn}是首项为，公差为的等差数列． (2)由(1)知bn＝＋(n－1)×＝n. ∵bn＝，∴an＝＋2＝＋2. ∴数列{an}的通项公式为an＝＋2. 2．(变条件)将例题中的条件“a1＝2，an＋1＝”换为“a1＝1，a2＝2,2an＋1＝2an＋3(n≥2，n∈N*)”试判断数列{an}是否是等差数列． [解]　当n≥2时，由2an＋1＝2an＋3，得an＋1－an＝，但a2－a1＝1≠， 故数列{an}不是等差数列． 等差数列的判定方法有以下三种： (1)定义法：an＋1－an＝d(常数)(n∈N*)⇔{an}为等差数列； (2)等差中项法：2an＋1＝an＋an＋2(n∈N*)⇔{an}为等差数列； (3)通项公式法：an＝an＋b(a，b是常数，n∈N*)⇔{an}为等差数列． 但如果要证明一个数列是等差数列，则必须用定义法或等差中项法． [变式训练] 3．已知函数f(x)＝，数列{xn}的通项由xn＝f(xn－1)(n≥2且x∈N*)确定． (1)求证：是等差数列；(2)当x1＝时，求x2 012. [解]　(1)证明：∵xn＝f(xn－1)＝(n≥2且n∈N*)， ∴＝＝＋，∴－＝(n≥2且n∈N*)， ∴是公差为的等差数列． (2)由(1)知＝＋(n－1)×＝2＋＝， ∴＝＝，∴x2 012＝. [当堂达标] 1．(多选)下列数列中，是等差数列的是(　　) A．1,4,7,10　　　 B．lg2，lg4，lg8，lg16 C．25,24,23,22 D．10,8,6,4,2 解析：ABD　[根据等差数列的定义，可得：A中，满足an＋1－an＝3(常数)，所以是等差数列；B中，lg4－lg2＝lg8－lg4＝lg16－lg8＝lg2(常数)，所以是等差数列；C中，因为24－25≠23－24≠22－23，不满足等差数列的定义，所以不是等差数列；D中，满足an＋1－an＝－2(常数)，所以是等差数列．] 2．已知等差数列{an}中，a1＝，a3＝，则a2＝　________　. 解析：a3＝a1＋2d，∴a2＝a1＋d＝＝＝＝＝. 答案： 3．已知在等差数列{an}中，a3＋a8＝22，a6＝7，则a5等于(　　) A．15　　 B．22　　　C．7　　　D．29 解析：A　[设{an}的首项为a1，公差为d，根据题意得 解得a1＝47，d＝－8.所以a5＝47＋(5－1)×(－8)＝15.] 4．已知数列{an}，a1＝a2＝1，an＝an－1＋2(n≥3)，判断数列{an}是否为等差数列？说明理由． [解]　因为an＝an－1＋2(n≥3)，所以an－an－1＝2(常数)．又n≥3，所以从第3项起，每一项减去前一项的差都等于同一个常数2，而a2－a1＝0≠a3－a2，所以数列{an}不是等差数列． [基础达标练] 1．在等差数列{an}中，已知a1＝，a2＋a5＝4，an＝35，则n＝(　　) A．50　　　　　　 B．51 C．52 D．53 解析：D　[依题意，a2＋a5＝a1＋d＋a1＋4d＝4，代入a1＝，得d＝. 所以an＝a1＋(n－1)d＝＋(n－1)×＝n－，令an＝35，解得n＝53.] 2．(2020·武汉市调研)在等差数列{an}中，前n项和Sn满足S7－S2＝45，则a5＝(　　 ) A．7 B．9 C．14 D．18 解析：B　[因为在等差数列{an}中，S7－S2＝45，所以a3＋a4＋a5＋a6＋a7＝5a5＝45，所以a5＝9，故选B.] 3．等差数列{an}的首项为70，公差为－9，则这个数列中绝对值最小的一项为(　　) A．a8 B．a9 C．a10 D．a11 解析：B　[|an|＝|70＋(n－1)×(－9)|＝|79－9n|＝9，∴n＝9时，|an|最小．] 4．已知数列{an}中，a3＝2，a7＝1，若为等差数列，则a19＝(　　) A．0 B. C. D．2 解析：A　[因为，a3＝2，a7＝1，故＝，＝，所以＝＋×16＝＋＝1，故a19＝0，故选A.] 5．(多选题)等差数列{an}的前n项和为Sn，若a1＞0，公差d≠0，则下列命题正确的是(　　) A．若S5＝S9，则必有S14＝0 B．若S5＝S9，则必有S7是Sn中最大的项 C．若S6＞S7，则必有S7＞S8 D．若S6＞S7，则必有S5＞S6 解析：ABC　[对于A，若S5＝S9，必有S9－S5＝a6＋a7＋a8＋a9＝2(a7＋a8)＝0，则a7＋a8＝0，S14＝＝＝0，A正确； 对于B，若S5＝S9，必有S9－S5＝a6＋a7＋a8＋a9＝2(a7＋a8)＝0，又由a1＞0，则必有S7是Sn中最大的项，B正确； 对于C，若S6＞S7，则a7＝S7－S6＜0，又由a1＞0，必有d＜0，则a8＝S8－S7＜0，必有S7＞S8，C正确； 对于D，若S6＞S7，则a7＝S7－S6＜0，而a6的符号无法确定，故S5＞S6不一定正确，D错误．故选ABC.] 6．若一个等差数列的前三项为a,2a－1,3－a，则这个数列的通项公式为　________________　. 解析：∵a＋(3－a)＝2(2a－1)，∴a＝. ∴这个等差数列的前三项依次为，，，∴d＝，an＝＋(n－1)×＝＋1，n∈N*. 答案：an＝＋1，n∈N* 7．在数列{an}中，a1＝2,2an＋1－2an＝1，则a101的值为　________　. 解析：由题意，数列{an}满足2an＋1－2an＝1，即an＋1－an＝，又由a1＝2，所以数列{an}首项为2，公差为的等差数列，所以a101＝a1＋100d＝2＋100×＝52. 答案：52 8．数列{an}的通项公式是an＝5n＋4. (1)求证：{an}是等差数列，并求出其公差； (2)判断104、110是否是数列{an}中的项，如果是，是第几项？ [解]　(1)∵an＝5n＋4，则an＋1＝5(n＋1)＋4＝5n＋9，∴an＋1－an＝(5n＋9)－(5n＋4)＝5，所以，数列{an}是等差数列，且公差为5； (2)令an＝104，即5n＋4＝104，解得n＝20；令an＝110，即5n＋4＝110，解得n＝.所以，104是该数列的第20项，110不是该数列中的项． [能力提升练] 9．(多选)给出下列命题，正确命题的是(　　) A．数列6,4,2,0是公差为2的等差数列； B．数列a，a－1，a－2，a－3是公差为－1的等差数列； C．等差数列的通项公式一定能写成an＝kn＋b的形式(k，b为常数)； D．数列{2n＋1}(n∈N*)是等差数列． 解析：BCD　[对于A项，根据等差数列的定义可知，数列6,4,2,0的公差为－2，A错误；对于B项，由等差数列的定义可知，数列a，a－1，a－2，a－3是公差为－1的等差数列，所以B正确；对于C项，由等差数列的通项公式an＝a1＋(n－1)d，得an＝dn＋(a1－d)，令k＝d，b＝a1－d，则an＝kn＋b，所以C正确；对于D项，因为an＋1－an＝2(n＋1)＋1－(2n＋1)＝2，所以数列{2n＋1}(n∈N*)是等差数列．] 10．(多选)设d为正项等差数列{an}的公差，若d＞0，a3＝2，则(　　) A．a2·a4＜4 B．a＋a4≥ C.＋＞1 D．a1·a5＞a2·a4 解析：ABC　[由题知，只需⇒0＜d＜1，a2·a4＝(2－d)·(2＋d)＝4－d2＜4，A正确；a＋a4＝(2－d)2＋(2＋d)＝d2－3d＋6≥，B正确；＋＝＋＝＞1，C正确；a1·a5－a2·a4＝(2－2d)·(2＋2d)－(2－d)·(2＋d)＝－3d2＜0，所以a1·a5＜a2·a4，D错误．] 11．在数列{an}中，若a1＝1，a2＝，＝＋(n∈N*)，则该数列的通项为　________　. 解析：∵＝＋(n∈N*)，∴数列是等差数列．又－＝2－1＝1，∴＝1＋(n－1)＝n，∴an＝. 答案：an＝ 12．设数列{an}满足当n＞1时，an＝，且a1＝. (1)求证：数列为等差数列； (2)a1a2是否是数列{an}中的项？如果是，求出是第几项； 如果不是，请说明理由． [解]　(1)证明：根据题意a1＝及递推关系an≠0.因为an＝.取倒数得＝＋4，即－＝4(n＞1)，所以数列是首项为5，公差为4的等差数列． (2)由(1)，得＝5＋4(n－1)＝4n＋1，an＝. 又a1a2＝×＝＝，解得n＝11. 所以a1a2是数列{an}中的项，是第11项． [素养培优练] 13．我国古代用日晷测量日影的长度，晷长即为所测量影子的长度．《周脾算经》中记载：一年有二十四个节气，每个节气晷长损益相同．二十四个节气及晷长变化如图所示．相邻两个节气晷长的变化量相同，周而复始．从冬至日起，依次小寒、大寒、立春、雨水、惊蛰、春分、清明、谷雨、立夏、小满、芒种这十二个节气其日影长依次成等差数列，若测得冬至、立春、春分日影长之和为31.5尺，大寒、惊蛰、谷雨日影长之和为25.5尺，则冬至日影的长为(　　) A．11.5 B．12.5 C．13.5 D．14.5 解析：C　[由题意，从冬至日起，依次小寒、大寒、立春、雨水、惊蛰、春分、清明、谷雨、立夏、小满、芒种这十二个节气，其日影长依次成等差数列，设冬 至的日影长为a1，公差为d，则a1＋a4＋a7＝31.5，a3＋a6＋a9＝25.5，两式相减得－6d＝6，解得d＝－1，所以a1＋a4＋a7＝3a1＋9d＝31.5，解得a1＝13.5，故选：C.] 14．在下面的数表中，已知每行、每列中的数都成等差数列. 第1列 第2列 第3列 … 第1列 1 2 3 … 第2列 2 4 6 … 第3列 3 6 9 … … … … … … 那么位于表中的第n行第(n＋1)列的数是　________　. 解析：由题意可得，第n行的第一个数是n，第n行的数构成以n为首项，n为公差的等差数列，其中第(n＋1)项为n＋n·n＝n2＋n.所以题表中的第n行第(n＋1)列的数是n2＋n. 答案：n2＋n 学科网（北京）股份有限公司 $