5.2.2 第2课时 等差数列前n项和的性质（Word教参）-【精讲精练】2025-2026学年高中数学选择性必修第三册（人教B版）

本讲义聚焦高中数学中等差数列前n项和的性质这一核心知识点，承接等差数列的定义与通项公式，系统梳理Sn=pn²+qn的函数特征、依次k项和构成公差为k²d的等差数列、奇偶项和关系等性质，搭建从基础公式到综合应用的学习支架。 资料通过“问题导学—结论形成—题型探究”设计，以实例（如判断S3,S6-S3,S9-S6是否成等差数列）引导学生抽象性质，培养逻辑推理；一题多解（如前3m项和的两种解法）提升数学运算能力。课中助力教师高效授课，课后通过分层练习（判断、选择、解答题）帮助学生巩固性质应用，查漏补缺。

第2课时　等差数列前n项和的性质 学业标准 素养目标 1．掌握等差数列前n项和的性质，并能简单应用． 2．能运用等差数列的公式、性质综合解决相关问题． 1．通过等差数列前n项和性质的学习，培养数学运算等核心素养． 2．通过等差数列知识的综合应用，提升逻辑推理、数学建模核心素养． [对应学生用书P20] 导学　等差数列前n项和的性质 记数列{2n－1}的第n项为an，前n项和为Sn. 　数列是不是等差数列？ [提示]　是．因为{an}是首项为1，公差为2的等差数列，所以Sn＝n2. 即＝n，故是等差数列． 　S3，S6－S3，S9－S6是否能构成等差数列？ [提示]　能．因为S3＋S9－S6＝a1＋a2＋a3＋a7＋a8＋a9＝a1＋a7＋a2＋a8＋a3＋a9＝2(a4＋a5＋a6)＝2(S6－S3)， 所以S3，S6－S3，S9－S6成等差数列． ◎结论形成 等差数列前n项和的性质 (1)等差数列的前n项和Sn是形如Sn＝pn2＋qn的函数的形式，故也是等差数列． (2)等差数列的依次每k项之和Sk，S2k－Sk，S3k－S2k，…组成公差为k2d的等差数列． (3)若等差数列的项数为2n(n∈N＋)， S偶＝a2＋a4＋…＋a2n， S奇＝a1＋a3＋…＋a2n－1， 则S偶－S奇＝nd，＝. 1．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)设等差数列{an}的前n项和为Sn，则Sn与an不可能相等．(　　) (2)若等差数列{an}的前n项和为Sn，则数列Sm，S2m，S3m，…(m∈N＋)为等差数列．(　　) (3)若等差数列{an}的公差d>0，则该数列Sn一定有最小值，d<0，则该数列Sn一定有最大值．(　　) (4)若数列{an}的前n项和Sn＝An2＋Bn(A≠0，A，B为常数)，则数列{an}一定是等差数列．(　　) 答案　(1)×　(2)×　(3)√　(4)√ 2．已知等差数列{an}的前3项和为30，后3项和为90，且前n项和为200，则n＝(　　) A．9　　　　　　　 B．10 C．11 D．12 解析　依题意，a1＋a2＋a3＝30，an－2＋an－1＋an＝90， 所以a1＋a2＋a3＋an－2＋an－1＋an＝3(a1＋an)＝120， 所以a1＋an＝40， 所以Sn＝200＝·n＝20n， 解得n＝10. 答案　B 3．在等差数列{an}中，其前n项和为Sn，S2＝4，S4＝9，则S6＝________． 解析　因为S2，S4－S2，S6－S4成等差数列， 所以4＋(S6－9)＝2×5，解得S6＝15. 答案　15 4．已知Sn，Tn分别是等差数列{an}，{bn}的前n项和，且＝，则＝________． 解析　＝＝＝. 答案　 [对应学生用书P21] 题型一　等差数列前n项和性质的应用　(一题多解) 　[教材例1迁移]等差数列{an}中，前m项的和为30，前2m项的和为100，试求前3m项的和． [解析]　方法一　利用等差数列{an}的前n项和公式Sn＝na1＋d. 由已知，得 解得a1＝，d＝， 所以S3m＝3ma1＋d＝210. 方法二　记数列{an}的前n项和为Sn，由等差数列前n项和的性质知Sm，S2m－Sm，S3m－S2m成等差数列，则2(S2m－Sm)＝Sm＋(S3m－S2m)， 又Sm＝30，S2m＝100，所以S2m－Sm＝100－30＝70， 所以S3m－S2m＝2(S2m－Sm)－Sm＝110， 所以S3m＝110＋100＝210. 等差数列前n项和性质的应用 涉及此类问题时，可利用方程的思想方法确定出系数，从而求出Sn；也可利用等差数列的“片断和性质”，构造出新数列，从而使问题得到解决． [触类旁通] 1．(1)(2025·广东深圳高二期末)已知等差数列{an}的前n项和为Sn，S4＝1，S8＝4，则a17＋a18＋a19＋a20＝(　　) A．7　　　　　　　 B．8 C．9 D．10 (2)(2025·云南昆明高二期中)设数列{an}和{bn}都为等差数列，记它们的前n项和分别为Sn和Tn，满足＝，则＝(　　) A． B． C． D． 解析　(1)在等差数列{an}中，S4＝1，S8＝4，所以S8－S4＝3，故S4，S8－S4，S12－S8，S16－S12，S20－S16构成公差为2的等差数列，所以S20－S16＝1＋4×2＝9，即a17＋a18＋a19＋a20＝9. (2)数列{an}和{bn}都为等差数列，且＝，则＝＝＝＝，故选B. 答案　(1)C　(2)B 题型二　等差数列的奇(偶)数项和问题　(一题多解) 　一个等差数列的项数为偶数，奇数项之和与偶数项之和分别为24和30，最后一项与第一项之差为10.5，求此数列的首项、公差、项数． [解析]　方法一　设此数列的首项为a1，公差为d，项数为2k(k∈N＋). 根据题意，得 即 ∴ 解得a1＝，d＝，k＝4， ∴此数列的首项为，公差为，项数为8. 方法二　设此数列的首项为a1，公差为d，项数为2k(k∈N＋). 根据题意，得∴ ∴∴ 代入S奇＝(a1＋a2k－1)＝24，可得a1＝. ∴此数列的首项为，公差为，项数为8. 等差数列奇(偶)数项和的性质的应用 在涉及等差数列奇(偶)数项和的问题时，可以根据已知条件先求出首项a1，公差d，再求所求，这是基本解法，但有时运算量大，如果适当运用等差数列奇(偶)数项和的性质往往可以达到化繁为简的效果． [触类旁通] 2．已知等差数列{an}共有2n(n∈N＋)项，若数列{an}中奇数项的和为190，偶数项的和为210，a1＝1，则公差d的值为(　　) A．2 B．4 C． D． 解析　由题意S奇＝＝nan＝190， S偶＝＝nan＋1＝210， 所以，S偶－S奇＝n(an＋1－an)＝nd＝210－190＝20， S奇＝＝nan＝n[1＋(n－1)d]＝n＋n(n－1)d＝n＋20(n－1)＝190， 所以n＝10，d＝2. 答案　A 题型三　求数列{|an|}的前n项和问题 　数列{an}的前n项和Sn＝33n－n2. (1)求证：{an}是等差数列； (2)问{an}的前多少项和最大； (3)设bn＝|an|，求数列{bn}的前n项和S′n. [解析]　(1)证明　当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝34－2n，又当n＝1时，a1＝S1＝32＝34－2×1，满足an＝34－2n. 故{an}的通项公式为an＝34－2n(n∈N＋). 所以an＋1－an＝34－2(n＋1)－(34－2n)＝－2. 故数列{an}是以32为首项，－2为公差的等差数列． (2)令an ≥0，得34－2n≥0，所以n≤17.故数列{an}的前17项大于或等于零．又a17＝0，故数列{an}的前16项或前17项的和最大． (3)由(2)知，当n≤17时，an≥0； 当n≥18时，an<0. 所以当n≤17时，S′n＝b1＋b2＋…＋bn ＝|a1|＋|a2|＋…＋|an| ＝a1＋a2＋…＋an＝Sn＝33n－n2. 当n≥18时， S′n＝|a1|＋|a2|＋…＋|a17|＋|a18|＋…＋|an| ＝a1＋a2＋…＋a17－(a18＋a19＋…＋an) ＝S17－(Sn－S17)＝2S17－Sn ＝n2－33n＋544. 故S′n＝ 等差数列的各项取绝对值后组成数列{|an|}．若原等差数列{an}中既有正项，也有负项，则{|an|}不再是等差数列，求和关键是找到数列{an}的正负项分界点处的n值，再分段求和． [触类旁通] 3．(2025·天津卷)已知数列{an}的前n项和Sn＝－n2＋8n，则{|an|}的前12项和为(　　) A．48 B．112 C．80 D．144 解析　当n＝1时，a1＝S1＝－1＋8＝7，当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝－n2＋8n－[－(n－1)2＋8(n－1)]＝－2n＋9， 显然a1＝7也符合该式，所以an＝－2n＋9，所以|an|＝所以{|an|}的前12项和为＋＝80，故选C. 答案　C 知识落实 技法强化 等差数列前n项和的性质． 易错点：若{|an|}是等差数列，则{an}未必是等差数列，求其前n项和要有分类意识． 学科网（北京）股份有限公司 $