第五章 数列 章末复习课-【创新教程】2025-2026学年高中数学选择性必修第三册五维课堂教师用书word（人教B版）

章末复习课

知识整合·思维导图

题型梳理·素养聚焦

[考点一]　数学运算、数学抽象……等差(比)数列的基本运算　

[例1]　在等比数列{an}中，已知a1＝2，a4＝16.

(1)求数列{an}的通项公式；

(2)若a3，a5分别为等差数列{bn}的第3项和第5项，试求数列{bn}的通项公式及前n项和Sn.

[解]　(1)设数列{an}的公比为q，

由已知得16＝2q3，

解得q＝2，∴an＝2×2n－1＝2n，n∈N*.

(2)由(1)得a3＝8，a5＝32，

则b3＝8，b5＝32.

设数列{bn}的公差为d，则有

解得

所以bn＝－16＋12(n－1)＝12n－28，n∈N*.

所以数列{bn}的前n项和

Sn＝＝6n2－22n，n∈N*.

在等差数列和等比数列的通项公式an与前n项和公式Sn中，共涉及五个量：a1，an，n，d或q，Sn，其中a1和d或q为基本量，“知三求二”是指将已知条件转换成关于a1，d或q，an，Sn，n的方程组，利用方程的思想求出需要的量，当然在求解中若能运用等差(比)数列的性质会更好，这样可以化繁为简，减少运算量，同时还要注意整体代入思想方法的运用．

[考点二]　逻辑推理、数学运算……等差、等比数列的判定　

[例2]　已知数列{an}满足a1＝，且当n＞1，n∈N*时，有＝.

(1)求证：数列为等差数列；

(2)试问a1a2是否是数列{an}中的项？如果是，是第几项？如果不是，请说明理由．

[解]　(1)证明　当n≥2时，由＝得an－1－an＝4an－1an，

两边同除以an－1an，

得－＝4.

所以数列是首项为＝5，

公差d＝4的等差数列．

(2)由(1)得＝＋(n－1)d＝4n＋1，

所以an＝，

所以a1a2＝×＝，

假设a1a2是数列{an}中的第t项，

则at＝＝，

解得t＝11∈N*，

所以a1a2是数列{an}中的第11项．

判断和证明数列是等差(比)数列的方法

(1)定义法：对于n≥1的任意自然数，验证an＋1－an为与正整数n无关的常数．

(2)中项公式法：

①若2an＝an－1＋an＋1(n∈N*，n≥2)，则{an}为等差数列.

②若a＝an－1·an＋1(n∈N*，n≥2且an≠0)，则{an}为等比数列．

(3)通项公式法：an＝kn＋b(k，b是常数)⇔{an}是等差数列；an＝c·qn(c，q为非零常数)⇔{an}是等比数列．

(4)前n项和公式法：Sn＝An2＋Bn(A，B为常数，n∈N*)⇔{an}是等差数列；Sn＝Aqn－A(A，q为常数，且A≠0，q≠0，n∈N*)⇔{an}是公比不为1的等比数列．

[考点三]　逻辑推理、数学运算……等差、等比数列的性质及应用　

[例3]　(1)已知{an}为等差数列，a1＋a3＋a5＝105，a2＋a4＋a6＝99，以Sn表示数列{an}的前n项和，则使得Sn取得最大值的n是(　　)

A．21　　 B．20　　　C．19　　　D．18

(2)记等比数列{an}的前n项积为Tn(n∈N*)，已知am－1am＋1－2am＝0，且T2m－1＝128，则m＝　________　.

解析：(1)由a1＋a3＋a5＝105得，3a3＝105，∴a3＝35.

同理可得a4＝33，∴d＝a4－a3＝－2, an＝a4＋(n－4)×(－2)＝41－2n.

由得n＝20.∴使Sn取得最大值的n是20.

(2)因为{an}为等比数列，所以am－1am＋1＝a，又由am－1am＋1－2am＝0(am≠0)，从而am＝2.由等比数列的性质可知前(2m－1)项积T2m－1＝a，则22m－1＝128，故m＝4.

答案：(1)B　 (2)4