精品解析：安徽安徽省淮南市大通区孔店中学等校2025-2026学年第一学期九年级期末考试 数学试卷

九年级数学学科专项作业 一、单选题（本大题共10小题，每题4分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求．） 1. 下列函数中，是反比例函数的是（ ） A. B. C. D. 2. 如图，，为的两条弦，连接，，若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 3. 如图，在中，，，将绕点逆时针旋转得到．当落在上时，的度数为（ ） A. B. C. D. 4. 关于反比例函数．下列说法不正确的是（ ） A. 函数图象经过点 B. 函数图象关于原点成中心对称 C. 当时，随的增大而增大 D. 函数图象分别位于第一、三象限 5. 已知反比例函数与一次函数的图象的一个交点的横坐标为3，则k的值为（ ） A. B. C. 1 D. 3 6. 如图，二次函数的图象与x轴交于，两点，下列说法正确的是（ ） A. 抛物线的对称轴为直线 B. 抛物线的顶点坐标为 C. ，两点之间的距离为 D. 当时，的值随值的增大而增大 7. 已知关于x的一元二次方程无实数根，则函数与函数的图象交点个数为（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 8. 如图，在中，对角线，相交于点O，点E为的中点，交于点F．若，则的长为（ ） A. B. 1 C. D. 2 9. 如图，为等边三角形，点，分别在边，上，，若，，则的长为（ ） A. B. C. D. 10. 如图，矩形的顶点A，E分别在y轴，x轴的正半轴上，B为的中点，反比例函数的图象经过点B，且与交于点D，连接，，．若的面积为3，则下列结论：①与的面积一定相等；②的面积为1；③；④D为的中点．其中正确的结论是（ ） A. ①②③ B. ①②④ C. ②③④ D. ①②③④ 二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．） 11. 若是关于的二次函数，则的值为______． 12. 如图，，与相交于点，且与的面积比是，若，则的长为______． 13. 如图，是的弦，与相切于点B，圆心O在线段上．已知，则的大小为________． 14. 如图，在边长为3的正方形的外侧，作等腰三角形，． （1）的面积为________； （2）若F为的中点，连接并延长，与相交于点G，则的长为________． 三、解答题（本大题共8小题，共90分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．） 15. 解方程： （1）； （2）． 16. 如图，在由边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，△ABC的顶点均为格点（网格线的交点）． （1）将△ABC向上平移6个单位，再向右平移2个单位，得到，请画出﹔ （2）以边AC的中点O为旋转中心，将△ABC按逆时针方向旋转180°，得到，请画出． 17. 为检测一种玩具气球的质量情况，需往气球里充满一定量的气体，当温度不变时，气球里的气体的压强是气体体积的反比例函数，其图象如图所示． （1）求反比例函数的表达式；（不用写自变量取值范围） （2）若气球内气体的压强不能超过，为安全起见，则其体积要控制在什么范围? 18. 一个不透明的盒子里装有4张书签，分别描绘“春”，“夏”，“秋”，“冬”四个季节，书签除图案外都相同，并将4张书签充分搅匀． （1）若从盒子中任意抽取1张书签，恰好抽到“夏”的概率为______； （2）若从盒子中任意抽取2张书签（先抽取1张书签，且这张书签不放回，再抽取1张书签），求抽取的书签恰好1张为“春”，1张为“秋”的概率．（请用画树状图或列表等方法说明理由） 19. 观察下列等式： 第1个等式：； 第2个等式：； 第3个等式：； 第4个等式：； …… 根据以上规律解答以下问题： （1）写出第5个等式：______；写出第n个等式：______﹔ （2）由分式性质可知：，试求的值． 20. 如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于点，，且一次函数与轴，轴分别交于点，． （1）求反比例函数和一次函数的表达式； （2）根据图象直接写出不等式的解集． 21. 如图，在矩形中，是边上的一点，连接，作交边于点． （1）求证：； （2）若，求的长． 22. 如图，直线l与相切于点A，是的直径，点C，D在l上，且位于点A两侧，连接，分别与交于点E，F，连接． （1）求证：； （2）若的半径，，，求的长． 23. 如图1，的对角线与交于点O，点M，N分别在边，上，且．点E，F分别是与，的交点． （1）求证：； （2）连接交于点H，连接，． （ⅰ）如图2，若，求证：； （ⅱ）如图3，若为菱形，且，，求的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 九年级数学学科专项作业 一、单选题（本大题共10小题，每题4分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求．） 1. 下列函数中，是反比例函数的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数，形如（ 为常数，且）的函数是反比例函数，据此判断即可求解，掌握反比例函数的定义是解题的关键． 【详解】解：、不是反比例函数，该选项不合题意； 、不是反比例函数，该选项不合题意； 、是反比例函数，该选项符合题意； 、不是反比例函数，该选项不合题意； 故选：． 2. 如图，，为的两条弦，连接，，若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了圆周角定理，熟知在同圆或等圆中，一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半是解题的关键．根据圆周角定理可知，即可得到答案． 【详解】根据题意，圆周角和圆心角同对着， ， ， ． 故选：C． 3. 如图，在中，，，将绕点逆时针旋转得到．当落在上时，的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了旋转的性质，三角形内角和定理，由旋转的性质可得， 由三角形内角和定理可得出，最后根据角的和差关系即可得出答案． 【详解】解：由旋转的性质可得出， ∵， ∴， ∴， ∴， 故选：B． 4. 关于反比例函数．下列说法不正确的是（ ） A. 函数图象经过点 B. 函数图象关于原点成中心对称 C. 当时，随的增大而增大 D. 函数图象分别位于第一、三象限 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数的性质． 根据反比例函数的性质，，图象位于第二、四象限，且关于原点对称，在每个象限内y随x的增大而增大，逐项判断即可． 【详解】解：∵反比例函数，， ∴图象在第二、四象限，关于原点对称，且在各自象限内y随x增大而增大． 选项A：当时，，图象经过点，正确； 选项B：反比例函数图象关于原点对称，正确； 选项C：当时，在第二象限，y随x增大而增大，正确； 选项D：∵，∴图象在第二、四象限，不在第一、三象限，错误； 故选：D． 5. 已知反比例函数与一次函数的图象的一个交点的横坐标为3，则k的值为（ ） A. B. C. 1 D. 3 【答案】A 【解析】 【分析】题目主要考查一次函数与反比例函数的交点问题，根据题意得出，代入反比例函数求解即可 【详解】解：∵反比例函数与一次函数的图象的一个交点的横坐标为3， ∴， ∴， ∴， 故选：A 6. 如图，二次函数的图象与x轴交于，两点，下列说法正确的是（ ） A. 抛物线的对称轴为直线 B. 抛物线的顶点坐标为 C. ，两点之间的距离为 D. 当时，的值随值的增大而增大 【答案】C 【解析】 【分析】待定系数法求得二次函数解析式，进而逐项分析判断即可求解． 【详解】解：∵二次函数的图象与x轴交于，两点， ∴ ∴ ∴二次函数解析式为，对称轴为直线，顶点坐标为，故A，B选项不正确，不符合题意； ∵，抛物线开口向上，当时，的值随值的增大而减小，故D选项不正确，不符合题意； 当时， 即 ∴， ∴，故C选项正确，符合题意； 故选：C． 【点睛】本题考查了二次函数的性质，待定系数法求二次函数解析式，抛物线与坐标轴的交点，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键． 7. 已知关于x的一元二次方程无实数根，则函数与函数的图象交点个数为（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了根的判别式及一次函数和反比例函数的图象．首先根据一元二次方程无实数根确定k的取值范围，然后根据一次函数和反比例函数的性质确定其图象的位置． 【详解】解：∵方程无实数根， ∴， 解得：，则函数的图象过二，四象限， 而函数的图象过一，三象限， ∴函数与函数的图象不会相交，则交点个数为0， 故选：A． 8. 如图，在中，对角线，相交于点O，点E为的中点，交于点F．若，则的长为（ ） A. B. 1 C. D. 2 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质，平行四边形的性质等知识，利用平行四边形的性质、线段中点定义可得出，证明，利用相似三角形的性质求解即可． 【详解】解∶∵四边形是平行四边形， ∴， ∵点E为的中点， ∴， ∵， ∴， ∴，即， ∴， 故选：B． 9. 如图，为等边三角形，点，分别在边，上，，若，，则的长为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】证明，根据题意得出，进而即可求解． 【详解】解：∵为等边三角形， ∴， ∵，， ∴， ∴ ∴ ∵， ∴， ∴ ∵ ∴， 故选：C． 【点睛】本题考查了相似三角形的性质与判定，等边三角形的性质，熟练掌握相似三角形的性质与判定是解题的关键． 10. 如图，矩形的顶点A，E分别在y轴，x轴的正半轴上，B为的中点，反比例函数的图象经过点B，且与交于点D，连接，，．若的面积为3，则下列结论：①与的面积一定相等；②的面积为1；③；④D为的中点．其中正确的结论是（ ） A. ①②③ B. ①②④ C. ②③④ D. ①②③④ 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数比例系数的几何意义，关键是找到图形面积与反比例函数的关系； 理解题意，结合矩形的性质以及中线与面积的关系，得，设，根据的面积为，列出方程求得，在论证的过程中逐一判断结论的正确性． 【详解】解：连接， ∵四边形是矩形， ∴， ∵是的中点， ∴， 设， ∵在反比例函数图象上， ∴， ∴，故①正确； ∴， 即：为的中点，故④正确； ∵的面积为， ∴， ∵分别是的中点，， ∴， ∴， 解得：， 即：，②正确； ∴，故③正确； 故选：D 二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．） 11. 若是关于的二次函数，则的值为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查二次函数的定义，掌握二次函数的两个核心条件是解题关键． 根据二次函数的定义，未知数的最高次数为，且二次项系数不为0，列方程求解． 【详解】解：∵ 是二次函数， ∴ 且， 由得， ∴ ， 由得， ∴ ． 故答案为：． 12. 如图，，与相交于点，且与的面积比是，若，则的长为______． 【答案】12 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质，把握相似三角形面积比等于相似比的平方是解题的关键． 可得，再根据相似三角形面积比等于相似比的平方即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：12． 13. 如图，是的弦，与相切于点B，圆心O在线段上．已知，则的大小为________． 【答案】20 【解析】 【分析】本题主要考查了切线的性质，圆周角定理，直角三角形的性质，连接，由切线的性质可得，根据直角三角形两锐角互余可得的度数，再由圆周角定理即可得到答案． 【详解】解：如图所示，连接， ∵与相切于点B， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 故答案为：． 14. 如图，在边长为3的正方形的外侧，作等腰三角形，． （1）的面积为________； （2）若F为的中点，连接并延长，与相交于点G，则的长为________． 【答案】 ①. 3 ②. 【解析】 【分析】（1）过点E作，根据正方形和等腰三角形的性质，得到的长，再利用勾股定理，求出的长，即可得到的面积； （2）延长交于点K，利用正方形和平行线的性质，证明，得到的长，进而得到的长，再证明，得到，进而求出的长，最后利用勾股定理，即可求出的长． 【详解】解：（1）过点E作， 正方形的边长为3， ， 是等腰三角形，，， ， 在中，， , 故答案为：3； （2）延长交于点K， 正方形的边长为3， ，， ，， ， ， ， F为的中点， ， 在和中， ， ， ， 由（1）可知，，， ， ， ， ， ， 在中，， 故答案为：． 【点睛】本题考查了正方形的性质，等腰三角形的性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理等知识，作辅助线构造全等三角形和相似三角形是解题关键． 三、解答题（本大题共8小题，共90分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．） 15. 解方程： （1）； （2）． 【答案】（1），； （2），． 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程的解法（因式分解法、直接开平方法），熟练掌握一元二次方程的不同解法并根据方程特点选择合适方法是解题的关键． （1）先将方程整理为一般式，再通过因式分解法求解一元二次方程． （2）先将方程变形为平方等于常数的形式，再用直接开平方法求解． 【小问1详解】 解：， ， ， ∴或， ∴，； 【小问2详解】 解：， ， ∴， ∴，． 16. 如图，在由边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，△ABC的顶点均为格点（网格线的交点）． （1）将△ABC向上平移6个单位，再向右平移2个单位，得到，请画出﹔ （2）以边AC的中点O为旋转中心，将△ABC按逆时针方向旋转180°，得到，请画出． 【答案】（1） 如图，即为所作； （2） 如图，即为所作； 【解析】 【分析】（1）根据平移的方式确定出点A1，B1，C1的位置，再顺次连接即可得到； （2）根据旋转可得出确定出点A2，B2，C2的位置，再顺次连接即可得到． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【点睛】本题考查作图-旋转变换与平移变换，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． 17. 为检测一种玩具气球的质量情况，需往气球里充满一定量的气体，当温度不变时，气球里的气体的压强是气体体积的反比例函数，其图象如图所示． （1）求反比例函数的表达式；（不用写自变量取值范围） （2）若气球内气体的压强不能超过，为安全起见，则其体积要控制在什么范围? 【答案】（1） （2）气体的体积应不小于 【解析】 【分析】此题考查了反比例函数的应用． （1）利用待定系数法求函数解析式即可； （2）把代入（1）中的函数解析式，求出，根据反比例函数的增减性进行解答即可 【小问1详解】 解：设，由题意知 ，即； 【小问2详解】 当时，． 在第一象限，随的增大而减小， 当时，， 为了安全起见，气体的体积应不小于． 18. 一个不透明的盒子里装有4张书签，分别描绘“春”，“夏”，“秋”，“冬”四个季节，书签除图案外都相同，并将4张书签充分搅匀． （1）若从盒子中任意抽取1张书签，恰好抽到“夏”的概率为______； （2）若从盒子中任意抽取2张书签（先抽取1张书签，且这张书签不放回，再抽取1张书签），求抽取的书签恰好1张为“春”，1张为“秋”的概率．（请用画树状图或列表等方法说明理由） 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了利用画树状图或列表的方法求两次事件的概率，解题的关键是： （1）用标有“夏”书签的张数除以书签的总张数即得结果； （2）利用树状图画出所有出现的结果数，再找出1张为“春”，1张为“秋”的结果数，然后利用概率公式计算即可． 【小问1详解】 解：∵有4张书签，分别描绘“春”，“夏”，“秋”，“冬”四个季节， ∴恰好抽到“夏”的概率为， 故答案为：； 【小问2详解】 解：用树状图列出所有等可的结果： 等可能的结果：（春，夏），（春，秋），（春，冬），（夏，春），（夏，秋），（夏，冬），（秋，春），（秋，夏），（秋，冬），（冬，春），（冬，夏），（冬，秋）． 在12个等可能的结果中，抽取的书签1张为“春”，1张为“秋”出现了2次， P（抽取的书签价好1张为“春”，1张为“秋”）． 19. 观察下列等式： 第1个等式：； 第2个等式：； 第3个等式：； 第4个等式：； …… 根据以上规律解答以下问题： （1）写出第5个等式：______；写出第n个等式：______﹔ （2）由分式性质可知：，试求的值． 【答案】（1），； （2）． 【解析】 【分析】（1）类比给出的4个等式，写出第5个等式即可，进而得出第n个等式； （2）利用得到的规律将原式变形，再计算即可． 【小问1详解】 解：； ； 【小问2详解】 解：原式 ． 【点睛】此题考查数字的变化规律，从简单情形入手，找出一般规律，利用规律解决问题． 20. 如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于点，，且一次函数与轴，轴分别交于点，． （1）求反比例函数和一次函数的表达式； （2）根据图象直接写出不等式的解集． 【答案】（1）反比例函数解析式为，一次函数解析式为 （2）或 【解析】 【分析】本题考查了待定系数法求解析式，一次函数与反比例函数的交点问题，掌握交点坐标满足两个函数解析式是解题关键． （1）待定系数法求出两个函数解析式即可； （2）利用反比例函数以及一次函数图象，即可解决问题． 【小问1详解】 解：∵反比例函数的图象经过， ∴， ∴， 又在的图象上， ∴， ∴， 把，代入， 得， 解得， ∴一次函数解析式为； 【小问2详解】 解：根据所给函数图象可知， 当或时，一次函数的图象在反比例函数图象的上方，即， ∴∴不等式的解集为：或． 21. 如图，在矩形中，是边上的一点，连接，作交边于点． （1）求证：； （2）若，求的长． 【答案】（1） 证明：∵矩形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴． （2）1 【解析】 【分析】（1）根据矩形的性质，垂直的定义，利用两角对应相等的两个三角形相似证明即可． （2）根据矩形的性质，得，利用，求的长，再结合，解答即可． 本题考查了矩形的性质，垂直的定义，三角形相似的判定和性质，熟练掌握判定和性质是解题的关键． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵矩形，， ∴， ∵， ∴， ∴， 解得， ∴． 22. 如图，直线l与相切于点A，是的直径，点C，D在l上，且位于点A两侧，连接，分别与交于点E，F，连接． （1）求证：； （2）若的半径，，，求的长． 【答案】（1） 证明：∵直线l与相切于点A， ∴， ∴， ∵是的直径， ∴， ∴， ∴； （2）． 【解析】 【分析】（1）利用切线和直径的性质求得，再利用等角的余角相等即可证明； （2）先求得，，证明和是等腰直角三角形，求得的长，再证明，据此求解即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵， ∴，， ∵直线l与相切于点A， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∵是的直径， ∴， ∴也是等腰直角三角形， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，即， ∴． 【点睛】本题考查的是等腰三角形的性质和判定，相似三角形的性质和判定，切线的性质，勾股定理等知识点的应用，掌握切线的性质定理、相似三角形的判定定理和性质定理是解题的关键． 23. 如图1，的对角线与交于点O，点M，N分别在边，上，且．点E，F分别是与，的交点． （1）求证：； （2）连接交于点H，连接，． （ⅰ）如图2，若，求证：； （ⅱ）如图3，若为菱形，且，，求的值． 【答案】（1）见详解 证明：∵四边形是平行四边形， ∴，， ∴， 又∵， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∴． 在与中， ∴． ∴． （2）（ⅰ）见详解， ∵ ∴， 又．， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴ （ⅱ） 【解析】 【分析】（1）利用平行四边形的性质得出，再证明是平行四边形，再根据平行四边形的性质可得出，再利用证明，利用全等三角形的性质可得出． （2）（ⅰ）由平行线截线段成比例可得出，结合已知条件等量代换，进一步证明，由相似三角形的性质可得出，即可得出．（ⅱ）由菱形的性质得出，进一步得出，，进一步可得出，进一步得出，同理可求出，再根据即可得出答案． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 （ⅰ）略 （ⅱ）∵是菱形， ∴， 又，， ∴， ∴， ∵．， ∴， ∴， 即， ∴， ∴， ∵，，， ∴， ∴， 即， ∴ ∴， 故． 【点睛】本题主要考查了平行四边形的判定以及性质，全等三角形判定以及性质，相似三角形的判定以及性质，平行线截线段成比例以及菱形的性质，掌握这些判定方法以及性质是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $