第二章 二元一次方程组 单元测试题 2025--2026学年浙教版七年级数学下册

七年级数学下册 第二章 二元一次方程组 单元测试题 浙教版 一、选择题（每题3分，共30分） 1． 下列方程中，是二元一次方程的是（　　） A． B． C． D． 2．已知用y的代数式表示x得（　　） A． B． C． D． 3．已知关于x，y的方程组的解为，则a的值为（　　） A．-2 B．0 C．2 D．4 4．用代入法解方程组时，代入正确的是（　　） A． B． C． D． 5．已知是方程的一个解，则a的值为（　　） A． B． C． D． 6．关于，的方程组的解是，其中的值被盖住了．不过仍能求出，则的值是（　　） A． B． C． D． 7． 《九章算术》中记载了这样一个问题：“甲、乙二人持钱不知其数。甲得乙半而钱五十，乙得甲太半而亦钱五十。”其大意为：“甲、乙两人各自带了若干钱。若甲拿到乙的一半钱后刚好凑成五十文；若乙拿到甲的三分之二钱后也能凑成五十文。问两人原本各带了多少文钱？”设甲、乙原有钱分别为x，y文，则可列方程组为（　　） A． B． C． D． 8．m为何值时，关于x、y的二元一次方程组的解x、y是互为相反数（　　） A．1 B． C．5 D．14 9． 一瓶牛奶的营养成分中， 碳水化合物的质量是蛋白质的 1.5 倍， 碳水化合物、蛋白质与脂肪的质量共 ． 设蛋白质、脂肪的质量分别为 ，方程可列为（　　） A． B． C． D． 10．若关于，的二元一次方程组的解也是二元一次方程的解，则的值为(　　) A． B． C．1 D．2 二、填空题（每题3分，共18分） 11．若是关于，的二元一次方程，则　 　． 12． 写一个以 为解的二元一次方程：　 　 13．已知是方程的一个解，则　 　． 14．若是方程组的解，则的值是　 　. 15．已知方程组的解满足，则=　 　． 16． 我国民间流传着许多趣味算题，它们多以顺口溜的形式表达，其中《孙子算经》中记载了这样一个数学问题：一群老人去赶集，半路买了一堆梨，一人一个多一梨，一人两个少二梨，请问君子知道否，几个老人几个梨？若设有x个老人，y个梨，则可列出的方程组为　 　． 三、解答题（共8题，共72分） 17． 甲、乙两人共有 6 本课外书， 如果甲送给乙 1 本， 那么两人的课外书恰好一样多， 问甲和乙原来各有几本课外书？ 设原来甲有课外书 本， 乙有课外书 本． （1） 请列出方程组： （2） 当 分别取 时， 填写下表： 方程 　 　 x 3 4 5 6 3 4 5 6 y （3） 写出方程组的解． 求甲、乙两人原有课外书的数量． 18．解方程组： （1）； （2） 19．已知关于x，y的方程（m2-4）x2+（m-2）x+2y=3． （1）m为何值时，它是一元一次方程？ （2）m为何值时，它是二元一次方程？ 20．设甲数为x，乙数为y，根据题意列出二元一次方程． （1）甲数的2倍与乙数的的差是5． （2）甲数的一半与乙数的相反数的和的是6． 21．围棋起源于中国，古代称为“弈”，是棋类鼻祖，围棋距今已有四千多年的历史，中国象棋也是中华民族的文化瑰宝，它源远流长，趣味浓厚，基本规则简明易懂，我市某学校为丰富学生课余生活，计划到超市购买一批象棋和围棋，已知购买3副象棋和2副围棋共需140元，购买1副象棋和4副围棋共需130元. （1）求每副象棋和围棋的单价： （2）若学校准备购买象棋和围棋共100副，总费用不超过2700元，那么最多能购买多少副象棋？ 22．小明作业本中有一页被墨水污染了，已知他所列的方程组是正确的，写出题中被墨水污染的条件，并求解这道应用题． 应用题：小东在某商场中看中的一台电视和一台空调在“五一”前共需要5500元．由于该商场开展“五一”促销活动，同样的电视打八折销售， ，于是小东在促销期间购买了同样的电视一台．空调两台，共花费7200元．求“五一”前同样的电视和空调每台各多少元？ 解：设“五一”前同样的电视每台x元，空调每台y元，根据题意，得 23．已知关于x，y的方程组，其中a是实数． （1）若，求a的值； （2）若方程组的解也是方程的一个解，求的值； 24． 根据以下素材，探索完成任务． 如何设计门票购买方案？ 素材1 乒乓球比赛的门票分为三个档次，购买1张档门票和2张档门票需要700元；购买2张档门票和3张档门票需要1200元；购买1张档门票需要80元． 素材2 购票平台有优惠活动：每购买1张A档门票就赠送1张C档门票． 素材3 某公司计划组织30名员工观看比赛． 问题解决 任务1 求档和档门票的单价． 任务2 购买门票中，档9张，档11张，求公司购买门票至少需要多少元． 任务3 该公司购买门票共花了4040元，且赠送的档门票全部用完．请你求出所有符合条件的购买方案，并写出解答过程． 答案解析部分 1．【答案】A 【解析】【解答】解：A：是二元一次方程，A正确； B：只有一个未知数，不是二元一次方程，B错误； C：有三个未知数，不是二元一次方程，C错误； D：中次数是2，不是二元一次方程，D错误. 故答案为：A . 【分析】含有两个未知数，并且含有未知数的项的次数都是1，像这样的方程叫做二元一次方程，据此进行判断即可． 2．【答案】A 【解析】【解答】解：2x+3y=6， 移项得：2x=6-3y， 解得：． 故答案为：A． 【分析】由题意，将y看作已知数，x看作未知数，经过移项、系数化为1即可求解． 3．【答案】A 【解析】【解答】解：将代入， 得4b+4=12，3b-8=a， 由4b+4=12，得b=2， ∴a=3b-8=-2 故答案为：A. 【分析】把代入原方程组，先求得b=2，再代入求a的值即可. 4．【答案】A 【解析】【解答】解：， 把y=3-x代入2x-y=5得， ， 去括号得，． 故选：A． 【分析】考查了用代入法解二元一次方程组，代入消元法的原理，将方程组中第二个方程y=3-x代入第一个方程2x-y=5，从而得到变形后的方程，即可得出答案． 5．【答案】B 【解析】【解答】解：∵是方程的一个解， ∴， ∴. 故答案为：B. 【分析】将二元一次方程的解代入方程，将其转化成与a有关的一元一次方程，解出方程即可求出答案. 6．【答案】A 【解析】【解答】解：把代入得：， 解得：， 把，代入得：， 解得：， 故选：A． 【分析】 由二元一次方程组的解的概念可把代入方程组第二个方程求出的值，再将，的值代入中，进而求出的值即可． 7．【答案】A 【解析】【解答】解： 由题意得： 故答案为：A. 【分析】由题意可得等量关系：甲的钱数+乙的钱数×=50，乙的钱数+甲的钱数×=50，然后再列出方程组即可. 8．【答案】C 【解析】【解答】解：∵x、y是互为相反数， ∴x+y=0，即y=-x， 将y=-x代入方程组得， 解①得，x=1， 将x=1代入②式得， ， 解得m=5； 故答案为：C. 【分析】根据相反数的性质得到关于x，y的等式，并将等式代入方程组，用代入消元法可解出方程组，即可得出m的值． 9．【答案】A 【解析】【解答】由题意： 碳水化合物的质量是蛋白质的 1.5 倍， 因此 碳水化合物的质量是1.5x ∴1.5x+x+y=30，即： 故答案为A. 【分析】先把碳水化合物的质量表示出来，再根据等量关系： 碳水化合物+蛋白质+脂肪的质量= ，列出方程即可. 10．【答案】D 【解析】【解答】解：由 方程组的解也是二元一次方程的解可得： ②×2－①得：3x=0，∴x=0， 把x=0代入③得：y=4. 把x=0，y=4代入①得：2×4=4k， ∴， 故答案为：D． 【分析】由题意得三元一次方程组，求解即可得到k的值. 11．【答案】2 【解析】【解答】解：∵原式是关于，的二元一次方程， ∴，，，解得， 故答案为：2． 【分析】二元一次方程必须符合以下三个条件：（1）方程中只含有2个未知数；（2）含未知数项的最高次数为一次；（3）方程是整式方程．本题根据二元一次方程的定义和特点，列式计算即可确定k的值。 12．【答案】x+y=6 【解析】【解答】解：以为解的二元一次方程为：x+y=6 故答案为：x+y=6. 【分析】以为解的二元一次方程有无数个，只要保证写成的方程是正确的即可. 13．【答案】 【解析】【解答】解：∵是方程的一个解， ∴，解得：， 故答案为：． 【分析】根据方程解的意义，将解代入方程中，得到关于待求字母参数的方程求解． 14．【答案】-13 【解析】【解答】解：∵是方程组的解， ∴， ∴， ∴4b-9b=35， ∴b=-7. ∴a=-6. ∴. 故答案为：-13. 【分析】将 x和y的值代入方程组中，求出关于a和b的方程组，解出a和b，即可求出的值. 15．【答案】 【解析】【解答】解：， ，得， 由， 得， 解得， 故答案为：． 【分析】通过观察方程组，由方程①-②可得到一个含x-y的表达式，结合给定的x-y=3，可得关于字母k的方程，求解即可. 16．【答案】 【解析】【解答】解：设有x个老人，y个梨， 根据题意可列方程：. 故答案为：. 【分析】设有x个老人，y个梨，根据“ 一人一个多一梨”可列方程x+1=y，根据“ 一人两个少二梨 ”可列方程2x-2=y，联立两方程，即可得到答案. 17．【答案】（1）解：由题意可得：，即 （2）解： 方程 x+y=6 x-y=2 x 3 4 5 6 3 4 5 6 y 3 2 1 0 1 2 3 4 （3）解：由（2）可得，方程x+y=6和x-y=2 的公共解为x=4，y=2， ∴ 方程组的解为， ∴ 甲原有课外书的数量为4本，乙原有课外书的数量为2本． 【解析】【分析】(1)根据等量关系列出二元一次方程组即可. (2)将x得值分别代入方程中，求出y即可. (3)根据（2）的公共解写出方程组的解即可. 18．【答案】（1）①+②，得3x=9， 解得x=3， 把x=3代入①，得y=1， 所以方程组的解是. （2）方程组可化为 ①×3，得12m-9n=36③， ②×4，得12m-16n=8④， ③-④，得7n=28， 解得n=4， 把n=4代入②，得m=6， 所以原方程组的解是. 【解析】【分析】 （1）直接利用加减消元法解； （2）先化简方程组，再利用加减消元法解二元一次方程组． 19．【答案】（1）解：依题意得，m2-4=0且m-2=0， 解得m=2， 即当m=2时，它是一元一次方程； （2）解：依题意得，且m-2≠0， 解得m=-2， 即当m=-2时，它是二元一次方程. 【解析】【分析】（1）根据一元一次方程的定义可得x2和x的系数均为0，即可求得； （2）根据二元一次方程的定义可得x2的系数为0，且x的系数不为0，即可求得. 20．【答案】（1）解：由题意得： （2）解：由题意得：. 【解析】【分析】（1）用甲数的2倍减去乙数的等于5，即； （2）用甲数的加上乙的相反数的和的等于6，即，即可求得. 21．【答案】（1）解：设每副象棋的单价是x元，每副围棋的单价是y元，根据题意得， 解得，经检验，符合题意； 答：每副象棋的单价是30元，每副围棋的单价是25元； （2）解：设购买m副象棋，则购买（100-m）副围棋， 根据题意得：30m+25（100-m）≤2700， 解得：m≤40， ∴最大整数解为40， 答：最多能购买40副象棋. 【解析】【分析】(1)根据下列等量关系列方程组：①3×象棋的单价+2×围棋的单价=140，②象棋的单价+4×围棋的单价=130. (2)根据购买象棋和围棋共100副可设购买m副象棋，则购买（100-m）副围棋，再根据不等关系“ 总费用不超过2700元 ”列不等式求解即可. 22．【答案】解：被污染的条件为：同样的空调每台优惠400元，设“五一”前同样的电视每台x元，空调每台y元，根据题意，得 解得 答：“五一”前同样的电视每台2500元，空调每台3000元． 【解析】【分析】本题是二元一次方程组在实际销售问题中的应用，解题关键在于根据已知方程组和题目背景，分析出被污染的条件（即空调的优惠信息 ），再通过建立方程组求解电视和空调 “五一” 前的价格。思路是先补全被污染的条件，再利用 “五一” 前总价和促销期花费这两个等量关系列方程组求解. 23．【答案】（1）解：∵， ∴可得， 解得：； （2）解：，得：， 解得：， 把代入①得： 解得： ∵方程组的解也是方程的一个解， ∴ 解得：， ∴ 【解析】【分析】本题主要考查了二元一次方程组的解和解二元一次方程组，灵活运用加减消元法是解题的关键． （1）根据x=y得出0=2a+1，然后可求出a的值； （2）先解方程组得出y=a-2，x=3a-1，根据方程组的解也是方程x-5y=3的一个解，把y=a-2，x=3a-1，代入x-5y=3 ，求出a=3，然后再把a=3代入计算即可． 24．【答案】解：(任务1)设A档门票的单价是x元，B档门票的单价是y元， 根据题意得： 解得： 答：A档门票的单价是300元，B档门票的单价是200元； (任务2)根据题意得： 。 答：公司购买门票至少需要4980元； (任务3)设购买m张A档门票，n张B档门票，则购买 张C档门票， 根据题意得： 又∵m， n， ( )均为非负整数， 或 ∴共有两种购买方案， 方案1：购买4张A档门票，9张B档门票，13张C档门票； 方案2：购买10张A档门票，2张B档门票，8张C档门票. 【解析】【分析】(任务1)设A档门票的单价是x元，B档门票的单价是y元，根据“购买1张A档门票和2张B档门票需要700元；购买2张A档门票和3张B档门票需要1200元”，可列出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论； (任务2)利用总价=单价×数量，即可求出结论； (任务3)设购买m张A档门票，n张B档门票，则购买 张C档门票，利用总价=单价×数量，可列出关于m，n的二元一次方程，结合m，n， 均为非负整数，即可得出各购买方案. 学科网（北京）股份有限公司 $