第二章 二元一次方程组 单元测试卷 2025--2026学年浙教版七年级数学下册

七年级数学下册 第二章 二元一次方程组 单元测试卷 浙教版 一、选择题：本大题共10小题，每小题3分，共30分. 1．下列方程中是二元一次方程的是（　　） A． B． C． D． 2．下列各方程组中，属于二元一次方程组的是（　　） A． B． C． D． 3．对于二元一次方程组，将①式代入②式，消去可以得到（　　） A． B． C． D． 4．某糖果厂用铁皮制作糖果盒，每张铁皮可制作盒身30个，或制作盒底40个，一个盒身与两个盒底配成一套糖果盒，现有45张铁皮，设用x张制作盒身，y张制作盒底，恰好配套制作糖果盒。则下列方程组中符合题意的是(　　) A． B． C． D． 5．下列是三元一次方程组的是（　　） A． B． C． D． 6． 《算法统宗》是我国古代著名的数学典籍，其中有一道题：我问开店李三公，众客都来到店中，一房七客多七客，一房九客一房空，问房几间？客几何？意思是：李三公家开店，来了一批客人，一个房间住7位客人则多出7位客人，一个房间住9位客人则多出1个房间，问李三公家的店有多少个房间？来了多少位客人？设李三公家的店有个房间，来了位客人，则可以列出的方程组为（　　） A． B． C． D． 7．甲、乙两人求二元一次方程的整数解，甲正确地求出一组解为，乙把看成，求得一组解为，则，的值为(　　) A． B． C． D． 8． 已知关于x，y的方程组，甲同学看错了字母a解得；乙同学看错了字母b解得，则该方程组的解为（　　） A． B． C． D． 9．用若干张形状、大小完全相同的长方形纸片围成正方形，4张长方形纸片围成如图1所示的正方形，其阴影部分的面积为64。用8张长方形纸片围成如图2所示的正方形，其阴影部分的面积为36。用12张长方形纸片围成如图3所示的正方形，其阴影部分的面积为（　　） A．12 B．16 C．24 D．50 10．已知关于x，y的二元一次方程组给出下列结论中，正确的是（　　） ①当这个方程组的解x，y的值互为相反数时，； ②当时，方程组的解也是方程的解； ③无论取什么实数，的值始终不变； ④若用表示，则． A．①② B．②③ C．②③④ D．①③④ 二、填空题：本大题共5小题，每小题3分，共18分。 11．已知是二元一次方程的一组解，则　 　． 12．在《九章算术》的“方程”一章里，一次方程组是由算筹布置而成，如图1，图中各行从左到右列出的算筹数分别表示未知数x，y的系数与相应的常数，图1的算筹图用我们现在的所熟悉的方程组形式表达就是，则图2所示的算筹图所表示的方程组的解为　 　． 13．请你写出一个以为解的一个二元一次方程组：　 　 14．已知关于 x， y 的二元一次方程组 的解为 ，则关于x， y的二元一次方程组 的解为　 　． 15． 若则x-y的值为　 　. 16．若关于x、y的二元一次方程组的解互为相反数，则a的值是　 　. 三、解答题：本大题共8小题，共72分。 17．解下列方程或方程组： （1）； （2）． 18．解三元一次方程组 19．已知二元一次方程 （1）用含x的代数式表示y. （2）用含y的代数式表示x. （3）用适当的数填空： 是该方程的一个解. 20．已知关于x，y的方程组 与方程3x-y=8的解相同，求 的值. 21．下面是马小虎同学解二元一次方程组的过程，请认真阅读并完成相应的任务． 解方程组： 解：①，得．③…（第一步） ②③，得，解得，…（第二步） 将代入①，得…（第三步） 所以原方程组的解为…（第四步） （1）这种求解二元一次方程组的方法叫做______法，以上求解步骤中，马小虎同学从第______步开始出现错误． （2）请写出此题正确的解答过程． 22．某体育用品商店用1975元购进A、B两种型号足球共40个，这两种型号足球的进价、售价如表所示． A型 B型 进价（元/个） 40 65 售价（元/个） 60 100 （1）这两种型号的足球各购进多少个？ （2）该体育用品商店将这40个足球销售完能获得多少利润？ 23． 随着新能源汽车市场的迅速发展，市场对电池的需求也逐渐增大. 某电池生产企业承接了生产58000组汽车电池的任务让甲、乙两个车间的工人来完成. 若甲车间工人每人每天平均生产15组电池，乙车间工人每人每天平均生产20组电池，则需40天时间完成；若甲、乙车间工人每人每天平均都生产25组电池，则只需29天时间完成. （1）求甲、乙两个车间参与生产的工人数. （2）根据实际生产需要，该企业设计了如下两种具体生产方案： 甲车间 乙车间 新增费用 方案一 每人每天平均生产15组电池 租用先进设备，工作效率在每人每天平均生产20组电池的基础上提高了 租用设备费用为每天1200元，租用期间的来回运输费共1400元 方案二 从其他部门调配若干名工人到甲车间后，每人每天平均生产28组电池 每人每天平均生产24组电池 调配过来的工人每人每天需支付费用150元 若方案一比方案二多用了4天时间完成，请问：从新增费用的角度考虑，选择哪种方案更节省开支？请说明理由. 24．随着“低碳生活，绿色出行”理念的普及，新能源汽车正逐渐成为人们喜爱的交通工具。某汽车销售公司计划购进一批新能源汽车尝试进行销售，据了解2辆型汽车、3辆型汽车的进价共计80万元；3辆型汽车、2辆型汽车的进价共计95万元． （1）求、两种型号的汽车每辆进价分别为多少万元？ （2）若该公司计划正好用200万元购进以上两种型号的新能源汽车（两种型号的汽车均购买），请你帮助该公司设计购买方案； （3）若该汽车销售公司销售1辆型汽车可获利8000元，销售1辆型汽车可获利5000元，在（2）中的购买方案中，假如这些新能源汽车全部售出，哪种方案获利最大？最大利润是多少元？ 答案解析部分 1．【答案】B 【解析】【解答】解：A．中，的次数为2，不是二元一次方程，故不合题意； B．符合二元一次方程定义，是二元一次方程，故符合题意； C．，不是整式方程，故不合题意； D．中，x的次数为2，不是二元一次方程，故不合题意； 故答案为：B． 【分析】根据二元一次方程的定义“方程中只含有2个未知数，且含未知数项的最高次数为一次的整式方程是二元一次方程”逐项判断解题． 2．【答案】A 【解析】【解答】解：A、符合定义； B、含有三个未知数，不符合定义； C、含有未知数的项的最高次数为2，故不符合定义； D、含有分式方程，故不符合定义. 故答案为：A. 【分析】如果方程组中含有两个未知数，且含未知数的项的次数都是一次，那么这样的方程组为二元一次方程组，据此判断. 3．【答案】C 【解析】【解答】解：∵ 二元一次方程组， ∴将①式代入②式，得， 整理得：， 故答案为：C． 【分析】本题考查了代入消元法，将①式代入②式中进行化简，即可得到答案． 4．【答案】C 【解析】【解答】解：根据题意可得， . 故答案为：C . 【分析】根据“ 45张铁皮 ”可得，根据 “一个盒身与两个盒底配成一套糖果盒”可得，即可求得. 5．【答案】D 【解析】【解答】解：∵选项A中，x2+y=7的次数是二次；选项B中，是分式方程；选项C中，xyz=1的次数是三次。 ∴选项只有选项D是正确的。 故正确答案选：D. 【分析】根据三元一次方程组的定义：每个方程组含有3个方程，每个方程都是一次方程，都是整式方程。可以进行判断可得. 6．【答案】C 【解析】【解答】 解：由题意得： 故答案为：C . 【分析】根据题意：房间有x个，若每个房间住7人，那么x个房间一共能住7x人，还多出7位客人，则客人的总数y=x个房间住的人数加上多出来的7人，即y=7x+7；再根据房间有x个，多出1个房间，说明实际用来住客人的房间是x-1个；每个房间住9人，那么客人总数y就等于(x-1)个房间住的人数，即y=9(x-1)；联立两个二元一次方程可得方程组，由此可得出答案. ​​​​​​​ 7．【答案】C 【解析】【解答】解：由题意，将代入得a+b=1；将代入得a-2b=7，即 ①-②得3b=-6，b=-2， 将b=-2代入①得a-2=1，a=3 a、b的值为 故答案为：C. 【分析】分别将甲、乙的解代入对应方程可得关于a、b的二元一次方程组，求解方程组即可. 8．【答案】A 【解析】【解答】解：∵关于x，y的二元一次方程组的解，需要同时满足二元一次方程组中各个方程 ∴甲同学看错字母a解得 可代入方程x+by=3，解得b=-1 ∴乙同学看错字母b解得可代入方程ax+2y=-5，解得a=-1 ∴正确的二元一次方程组为，解得 ，A正确. 故答案为：A. 【分析】本题考查二元一次方程组的解的概念，需要同时满足二元一次方程组中的各个方程，因此即使看错其中一个方程，解出的值仍适用于另一个方程，代入便可求出字母a，b的值，从而求解出正确的解。 9．【答案】B 【解析】【解答】解：设长方形的长为a，宽为b， 由图1得，(a+b)2-4ab=(a-b)2=64， 即：a-b=8； 由图2得，(a+2b)2-8ab=(a-2b)2=36， 即：a-2b=6； 则， 解得：a=10，b=2， 由图3得，(a+3b)2-12ab=(a-3b)2=16， 即阴影部分的面积为16， 故答案为：B. 【分析】通过图形直观，表示阴影部分的面积是解决问题的前提，设长方形的长为a，宽为b，由图1图2得出a、b的值，再根据图3求出(a+3b)2-12ab的值，即求出(a-3b)2的值即可. 10．【答案】D 【解析】【解答】解： ①-②得：4y=8-4a， 解得：y=2-a， 将y=8-4a代入②式得：x-(2-a)=3a， 解得：x=2a+2， 故方程组的解为：； ①当方程组的解x，y的值互为相反数时， x+y=2a+2+2-a=0， 解得：a=-4， 故①正确； ②当a=1时，方程组的解为 ， 将代入 中得： 4+1=4+2a， 解得：≠1， 则方程组的解也不是方程的解， 故②错误； ③x+2y=2a+2+（2-a）=4， 则无论取什么实数，的值始终不变， 故③正确； ④将变形得， 将代入得： ， 故④正确； 综上所述，正确的有：①③④； 故答案为：D. 【分析】根据加减消元法解二元一次方程组，可得出x，y的值，再根据各项一 一代入即可判断，得出答案. 11．【答案】2 【解析】【解答】解：由题可知，是二元一次方程的一组解 ，故把代入二元一次方程有， ，解得：， 故答案为：． 【分析】此题考查了二元一次方程的解。因为是方程的一组解，故是满足方程 ，故将代入二元一次方程，再解方程即可. 12．【答案】 【解析】【解答】解：图2所示的算筹图所表示的方程组为 ，解得：； 故答案：． 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，根据图1的算筹图得到图2所示的算筹图，得到二元一次方程组，根据二元一次方程组的解法，求得方程组的将诶，即可得到答案. 13．【答案】（答案不唯一） 【解析】【解答】解：由题意得，满足题意得方程组可以为， 故答案为：（答案不唯一）． 【分析】 由二元一次方程组的解的概念，只需要写出两个解为的二元一次方程即可． 14．【答案】 【解析】【解答】解：由已知可得： x-1=2，y+1=-1. ∴. 故答案为：. 【分析】根据已知方程组的模型可以知道：x-1=2，y+1=-1.进而求出x、y的值即可. 15．【答案】-1 【解析】【解答】解：∵， ∴， 解得：， ∴x-y=1-2=-1. 故答案为：-1. 【分析】根据绝对值的非负性和二次根式的非负性，由两个非负数的和为零，则每一个数都等于零，可得关于x、y的二元一次方程组，解这个方程组即可求出x、y的值，然后代入x-y计算即可求解. 16．【答案】1 【解析】【解答】解：， ①②得：， 即， 由题意得：， 即， 解得：． 故答案为：1． 【分析】两方程相加可得，结合题意建立方程，解方程即可求出答案. 17．【答案】（1）解：， ， ， ； （2）解：， 得：， 得：， ， 把代入得：， ． ． 【解析】【分析】(1)去括号后再移项，即可求解方程； (2)后y的系数相反，相加消去y可得x的值，再求出y的值即可. 18．【答案】解：将③分别代入①②，消去x，得 解这个二元一次方程组，得 将 代入③，得x=-2， 所以原方程组的解是 【解析】【分析】观察已知方程组，将③分别代入①、②，消去x，将方程组变形为二元一次方程组，接着求解二元一次方程组，即可得到y、z的值；接下来，再将y、z的值代入③中进行计算，即可完成解答. 19．【答案】（1）解：∵， ∴， ∴. （2）解：∵， ∴x+6y=4， ∴x=4-6y. （3）解：当x=-2时，=1， ∴是 该方程的一个解. 【解析】【分析】（1）根据等式的基本性质用x表示y即可； （2）根据等式的基本性质用y表示x即可； （3）根据方程的解的定义代入方程计算即可. 20．【答案】解：解方程组 得 把 代入3x-y=8， 得 解得a=3， 所以 【解析】【分析】用含a的式子表示x和y的值，然后代入 3x-y=8 求出a的值，然后代入 计算即可. 21．【答案】（1）解：根据解二元一次方程组的过程，可知这种求解二元一次方程组的方法叫做加减消元法，马小虎同学从第二步开始出现错误， 故答案为：加减消元，二； （2）解： ①，得……③ ， ②③，得 ， 解得：， 将代入①，得． 解得：， ∴原方程组的解为． 【解析】【分析】（1）根据解二元一次方程组的过程，可判断使用加减消元法，观察步骤可知第二步合并同类项时出错； （2）按照用”加减消元法“解二元一次方程组的步骤进行求解即可. （1）解：根据解题步骤分析，这种求解方程组的方法是加减消元法，在第二步合并同类项出错， 故答案为：加减消元法，第二步． （2）解：方程组： 解：①，得……③ ， ②③，得 ， 解得． 将代入①，得3． 解得x=． 所以，原方程组的解为． 22．【答案】（1）解：设购进型号足球个，购进型号足球个， 根据题意得， 解得． 答：种型号足球购进25个，种型号足球购进15个； （2）解：元， 答：该体育用品商店将这40个足球销售完能获得1025元的利润． 【解析】【分析】（1）设购进型号足球个，购进型号足球个，根据“ 某体育用品商店用1975元购进A、B两种型号足球共40个 ”列出方程组求解即可； （2）利用“ 总利润=每个A型足球的销售利润×购进A型足球的数量+每个B型足球的销售利润×购进B型足球的数量 ”列出算式求解即可. 23．【答案】（1）解：设甲车间m人，乙车间n人， 根据题意得， 解得. 答：甲车间参与生产的有30人，乙车间参与生产的50人 （2）解：方案一费用：甲车间共30人，每人每天平均生产15组电池，因此甲车间一天生产30×15=450（组）电池 乙车间共50人，每人每天平均生产20×（1+55%）=31（组）电池，因此乙车间一天生产50×31=1550（组）电池 共有58000组电池，需要58000÷（450+1550）=29（天）完成任务 新增费用为1200×29+1400=36200（元） 方案二费用：设方案二调整到甲车间x人， ∵方案一比方案二多用了4天时间完成 ∴方案二需要29-4=25（天） 根据题意得 解得. 新增费用为（元） ∴选方案一更节省 【解析】【分析】（1）考查二元一次方程组的应用，根据数量关系“人数×工作效率=工作总量”列出方程组，选择适当的方法求解方程组即可。 （2）根据表格信息分别计算方案一与方案二新增的总费用，可以先计算使用方案一所需的总天数（），再求出方案一因租用设备产生的费用；由于方案一比方案二多4天，从而得到方案二的工作天数，便可以列方程求出方案二中甲车间新增的人数，从而算出新增的费用。 24．【答案】（1）解：设型汽车每辆的进价为万元，型汽车每辆的进价为万元， 依愿意，得：， 解得：． 答：A型汽车每辆的进价为25万元，B型汽车每辆的进价为10万元． （2）解：设购进A型汽车m辆，购进B型汽车n辆，依题意，得：， 解得：． ∵m，n均为正整数， ∴，，， ∴共3种购买方案， 方案一：购进A型车6辆，B型车5辆； 方案二：购进A型车4辆，B型车10辆； 方案三：购进A型车2辆，B型车15辆． （3）解：方案一获得利润：（元）； 方案二获得利润：（元）； 方案三获得利润：（元）． ∵， ∴购进A型车2辆，B型车15辆获利最大，最大利润是91000元． 【解析】【分析】（1）设A型汽车每辆的进价为x万元，B型汽车每辆的进价为y万元，根据“2辆A型汽车、3辆B型汽车的进价共计80万元；3辆A型汽车、2辆B型汽车的进价共计95万元”，列出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论； （2）设购进A型汽车m辆，购进B型汽车n辆，根据总价=单价×数量，即可得出关于m，n的二元一次方程，结合m，n均为正整数，即可得出结论； （3）利用总利润=每台车的利润×数量，求出三种购车方案获得的利润，比较后可得答案． 学科网（北京）股份有限公司 $