精品解析：安徽省六安第二中学2025-2026学年第一学期高一期中考试数学试卷

六安二中2025-2026学年度第一学期高一年级期中考试 数学试卷 分值：150分 时间：120分钟 命题人：葛晓宇 审题人：张苏 一､单选题：本大题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上. 1. 已知集合，，若，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 2. 函数的定义域是（ ） A. B. C. D. 3. 已知正数、满足，则的最小值为（ ） A. 4 B. 6 C. 8 D. 9 4. 命题：，为假命题的一个充分不必要条件是（ ） A. B. C. D. 5. 我国在2020年9月22日在联合国大会提出，二氧化碳排放力争于2030年前实现碳达峰，争取在2060年前实现碳中和．为了响应党和国家的号召，某企业在国家科研部门的支持下，进行技术攻关：把二氧化碳转化为一种可利用的化工产品，经测算，该技术处理总成本y（单位：万元）与处理量x（单位：吨）之间的函数关系可近似表示为，当处理量x等于多少吨时，每吨的平均处理成本最少（ ） A. 120 B. 200 C. 240 D. 400 6. 已知，，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 7. 若不等式的解集是，则不等式的解集是（ ） A. B. C. D. 8. 黎曼函数是由德国数学家黎曼发现并提出的，在高等数学中有着广泛的应用，在上的定义为：当（，且，为互质的正整数）时，；当或或为内的无理数时，.已知，，，则（ ）注：，为互质的正整数，即为已约分的最简真分数. A. 的值域为 B. C. D. 以上选项都不对 二､多选题：本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 下列函数中，与函数不是同一个函数的是（ ） A. B. C. D. 10. 下列命题中正确的是（　　） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 11. 下列说法不正确的是（ ） A. 函数 在定义域内是减函数 B. 若是奇函数，则一定有 C. 已知函数 在 上是增函数，则实数的取值范围是 D. 若的定义域为，则 的定义域为 三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 不等式的解集为__________. 13. 函数的单调递增区间是________． 14. 设是定义在上的奇函数，对任意的，，满足：，若，则不等式的解集为________. 四､解答题：本小题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤. 15. 已知集合，. （1）若，求，； （2）若，求实数的取值范围. 16. （1）已知，求的解析式； （2）已知函数对于任意的都有，求的解析式. 17. 已知，，关于x的不等式的解集为. （1）求a，b的值； （2）若不等式对一切恒成立，求实数k的取值范围. 18. 已知定义在上的函数满足，且当时，. （1）求的值，并证明为奇函数； （2）求证在上是增函数； （3）若，解关于的不等式. 19. 已知函数是定义在上的奇函数，且， （1）求a，b的值； （2）判断在上的单调性，并证明． （3）设若对任意的，总存在，使得成立，求实数k的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 六安二中2025-2026学年度第一学期高一年级期中考试 数学试卷 分值：150分 时间：120分钟 命题人：葛晓宇 审题人：张苏 一､单选题：本大题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上. 1. 已知集合，，若，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据集合的包含关系即可求解. 【详解】由题意，因为，即集合是集合的子集，所以. 故选：D. 2. 函数的定义域是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】根据函数的解析式有意义需满足的条件，解不等式组，即得答案． 函数要有意义，需满足， 解得且，即函数的定义域是， 故选：D． 3. 已知正数、满足，则的最小值为（ ） A. 4 B. 6 C. 8 D. 9 【答案】D 【解析】 【分析】利用基本不等式的乘“1”法即可得解. 【详解】由题意得， 当且仅当时，即时，取得最小值9． 故选：D. 4. 命题：，为假命题的一个充分不必要条件是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】原命题若为假命题，则其否定必为真，即恒成立，由二次函数的图象和性质，解不等式可得答案． 【详解】命题”为假命题，命题“，”为真命题， 当时，成立， 当时，，故方程的解得：， 故的取值范围是：，要满足题意，则选项是集合真子集，故选项B满足题意. 故选：B 5. 我国在2020年9月22日在联合国大会提出，二氧化碳排放力争于2030年前实现碳达峰，争取在2060年前实现碳中和．为了响应党和国家的号召，某企业在国家科研部门的支持下，进行技术攻关：把二氧化碳转化为一种可利用的化工产品，经测算，该技术处理总成本y（单位：万元）与处理量x（单位：吨）之间的函数关系可近似表示为，当处理量x等于多少吨时，每吨的平均处理成本最少（ ） A. 120 B. 200 C. 240 D. 400 【答案】D 【解析】 【分析】先根据题意求出每吨的平均处理成本与处理量之间的函数关系，然后分和分析讨论求出其最小值即可 【详解】由题意得二氧化碳每吨的平均处理成本为， 当时，， 当时，取得最小值240， 当 时，， 当且仅当，即时取等号，此时取得最小值200， 综上，当每月的理量为400吨时，每吨的平均处理成本最低为200元， 故选：D 6. 已知，，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先寻找与、的关系，再根据不等式性质得结果. 【详解】因为+2（），所以，选D. 【点睛】本题考查不等式性质，考查基本分析求解能力，属基础题. 7. 若不等式的解集是，则不等式的解集是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由题意得为方程的根，且，进而结合韦达定理求得，进而求解不等式即可. 【详解】由题意，为方程的根，且， 则，即， 则不等式，即为， 则，即，解得， 所以不等式的解集是. 故选：C 8. 黎曼函数是由德国数学家黎曼发现并提出的，在高等数学中有着广泛的应用，在上的定义为：当（，且，为互质的正整数）时，；当或或为内的无理数时，.已知，，，则（ ）注：，为互质的正整数，即为已约分的最简真分数. A. 的值域为 B. C. D. 以上选项都不对 【答案】B 【解析】 【分析】设，（，且，为互质的正整数） ，B＝{x|x＝0或x＝1或x是[0，1]上的无理数}，然后对A选项，根据黎曼函数在上的定义分析即可求解；对B、C选项：分①，；②，；③或分析讨论即可． 【详解】解：设，（，且，为互质的正整数），B＝{x|x＝0或x＝1或x是[0，1]上的无理数}， 对A选项：由题意，的值域为，其中是大于等于2的正整数， 故选项A错误； 对B、C选项： ①当，，取，则，； ②当，，＝0； 若，则， 若，则，则； ③当或，则，， 所以选项B正确，选项C、D错误， 故选：B. 【点睛】关键点点睛：本题解题的关键是牢牢抓住黎曼函数在上的定义去分析. 二､多选题：本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 下列函数中，与函数不是同一个函数的是（ ） A. B. C. D. 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据两函数定义域相同且解析式一致即为相等函数，一一判断即可. 【详解】解：的定义域为． 对于A，的定义域为，与的定义域不同，不是同一函数； 对于B，定义域为，与定义域相同，对应关系相同，是同一函数； 对于C，的定义域为，与定义域不同，不是同一函数； 对于D，，与的对应关系不同，不是同一函数． 故选：ACD． 10. 下列命题中正确的是（　　） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 【答案】BC 【解析】 【分析】根据不等式的性质，作差比较法等知识对选项进行分析，从而确定正确答案. 【详解】对于A、，则或， 当时，，故A错误； 对于B，，，则，故B正确； 对于C，， ，， 则，即，故C正确； 对于D，， 又，所以， 则， 即，故D错误． 故选：BC． 11. 下列说法不正确的是（ ） A. 函数 在定义域内是减函数 B. 若是奇函数，则一定有 C. 已知函数 在 上是增函数，则实数的取值范围是 D. 若的定义域为，则 的定义域为 【答案】ABC 【解析】 【分析】对于AB，取，即可说明；对于C，分段讨论，但要注意结合，由此即可判断；对于D，由即可判断. 【详解】对于AB，若，因为，是奇函数，但，时，无意义，故AB描述不正确，符合题意； 对于C，已知函数 在 上是增函数， 首先当时，单调递增，则， 其次当时，（对称轴为）单调递增，则，即， 但若要保证函数 在 上是增函数，还需满足，即， 所以实数的取值范围是 ，故C描述不正确，符合题意； 对于D，若的定义域为，则的定义域满足，解得，故D描述正确，不符合题意. 故选：ABC. 三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 不等式的解集为__________. 【答案】 【解析】 【分析】把分式不等式转化为一元二次不等式计算得到解集； 【详解】因为， 等价于，即，解得 所以不等式的解集为 故答案为： 13. 函数的单调递增区间是________． 【答案】（区间开闭都行） 【解析】 【分析】先求函数的定义域，再结合复合函数单调性分析判断. 【详解】令，解得，即函数的定义域为， 令，其图象开口向下，对称轴为， 则在上单调递增，在上单调递减， 且在定义域内单调递增， 可得在上单调递增，在上单调递减， 所以的单调递增区间为. 故答案为：. 14. 设是定义在上的奇函数，对任意的，，满足：，若，则不等式的解集为________. 【答案】 【解析】 【分析】先得到在上单调递增，且为偶函数，故在上单调递减，分与、三种情况，结合，得到不等式的解集. 【详解】不妨设，由得， 即， 故在上单调递增， 因为为R上的奇函数，所以， 的定义域为，且， 故为偶函数，在上单调递减， 当时，， 因为，所以，故， 即，解得， 当时，， 因为，所以，故，解得； 当时，，符合题意； 故不等式的解集为. 故答案为： 【点睛】关键点点睛：根据题意，得，设在上单调递增，且为偶函数，根据性质可解不等式. 四､解答题：本小题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤. 15. 已知集合，. （1）若，求，； （2）若，求实数的取值范围. 【答案】（1）， （2）或. 【解析】 【分析】（1）根据集合的并集、补集、交集运算求解； （2）转化为集合的包含关系，分类讨论求解即可. 【小问1详解】 当时，， ， 或， . 【小问2详解】 ，， 则当时，，解得，满足题意； 当时，，解得， 综上，实数的取值范围为或. 16. （1）已知，求的解析式； （2）已知函数对于任意的都有，求的解析式. 【答案】（1），；（2） 【解析】 【分析】（1）变形得到，且，从而得到； （2）将x替换为，得，方程思想，求出解析式. 【详解】（1），其中， 故所求函数的解析式为，其中. （2）∵对于任意的x都有， ∴将x替换为，得， 联立方程组：， 消去，可得. 17. 已知，，关于x的不等式的解集为. （1）求a，b的值； （2）若不等式对一切恒成立，求实数k的取值范围. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据一元二次不等式的解集与相应的一元二次方程根的关系，结合韦达定理求解； （2）将问题转为对一切恒成立，设，，求出的最小值即可求解. 【小问1详解】 因为不等式的解集为或，所以1和b是方程的两个实数根，且，所以，解得； 【小问2详解】 若不等式对一切恒成立，则不等式对一切恒成立， 由于当，， 所以对一切恒成立， 设，，所以在上单调递增，则，则，即, 所以不等式对一切恒成立，则实数k的取值范围为 18. 已知定义在上的函数满足，且当时，. （1）求的值，并证明为奇函数； （2）求证在上是增函数； （3）若，解关于的不等式. 【答案】（1） 令，得. ，所以函数为奇函数； （2）在R上任取，则，所以.又，所以函数在R上是增函数. （3）或 【解析】 【分析】（1）赋值法；（2）结合增函数的定义，构造即可；（3）运用题干的等式，求出，结合（2）的单调性即可. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 由，得，. 由得. 因为函数在R上是增函数， 所以，解得或. 故原不等式的解集为或. 19. 已知函数是定义在上的奇函数，且， （1）求a，b的值； （2）判断在上的单调性，并证明． （3）设若对任意的，总存在，使得成立，求实数k的取值范围． 【答案】（1）； （2） 在上单调递增， 证明如下： 任取， 其中，所以， 故在上单调递增. （3） 【解析】 【分析】（1）由定义在上的奇函数满足，结合列方程即，可求出实数的值； （2）用定义法证明即可； （3）将问题转化为，再转化为二次函数能成立问题，然后进行分类讨论即可. 【小问1详解】 因为函数是定义在上的奇函数， ，即，又，即， 经检验，该函数为奇函数， 故. 【小问2详解】 略 【小问3详解】 由（1）知在上单调递增，则， 任意的，总存在， 使得成立等价于，即， 即存在使得成立， 令， ①当，即时，的根为符合题意； ②当且时，即时，恒成立，不符合题意； ③当且时，； ④当且时，即时， 的对称轴为，且存在使得成立， 即，解得， ⑤当且时，即时，因为的对称轴为，所以符合题意， 综上所述，实数的取值范围为：. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $