精品解析：安徽省安庆市2025一2026学年度第一学期期末义务教育阶段过程性素质评价 九年级数学试题

2025-2026学年度第一学期期末义务教育阶段过程性素质评价 九年级数学试题 （考试时间：120分钟，试卷满分：150分） 一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，满分40分、在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的） 1. 我国古代数学的发展历史源远流长，曾诞生了很多伟大的数学发现．下列与我国古代数学发现相关的图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ） A. 杨辉三角 B. 割圆术示意图 C. 赵爽弦图 D. 洛书 【答案】B 【解析】 【分析】根据轴对称图形与中心对称图形的定义判断即可． 【详解】解：A、是轴对称图形，不是中心对称图形，不符合题意； B、既是轴对称图形，也是中心对称图形，符合题意； C、是中心对称图形，不是轴对称图形，不符合题意； D、既不是中心对称图形，也不是轴对称图形，不符合题意． 2. 将抛物线向右平移2个单位，再向下平移6个单位，则平移后的抛物线的函数表达式为（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了平面直角坐标系中抛物线的平移，其规律为“左加右减，上加下减”，据此即可求解． 【详解】解：将抛物线向右平移2个单位，再向下平移6个单位，则平移后的抛物线的函数为，即． 故选：A 3. 在反比例函数的图象上有两点，当时，有，则m的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查反比例函数的图象和性质，根据反比例函数的增减性，得到，进行求解即可． 【详解】解：∵在反比例函数的图象上，且当时，有， ∴反比例函数的图象经过第四象限， ∴， ∴； 故选：D． 4. 为了测量一个铁球的直径，将该铁球放入工件槽内，测得的有关数据如图所示（单位：cm），则该铁球的直径为（ ） A. 12 cm B. 10 cm C. 8 cm D. 6 cm 【答案】B 【解析】 【分析】如图，连接AB、OA、OC，OA交AB于E，由切线性质可得OC⊥CD，由AB//CD可得OC⊥AB，根据垂径定理可得AE的长，在△OAE中，利用勾股定理列方程可求出OA的长，进而可得铁球的直径. 【详解】如图，连接AB、OA、OC，OA交AB于E， ∵CD是⊙O的切线，C点为切点， ∴OC⊥CD， ∵AB//CD， ∴OC⊥AB， ∵AB=8， ∴AE=AB=4， ∵OA=OC，CE=AD=2， ∴在Rt△OAE中，OA2=AE2+（OA-CE）2，即OA2=42+（OA-2）2， 解得：OA=5， ∴铁球的直径=2OA=10. 故选：B. 【点睛】本题考查切线的性质及垂径定理，圆的切线垂直于过切点的半径；垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧；熟练掌握相关性质及定理是解题关键. 5. 如图，若点A是反比例函数的图象上一点，过点A作x轴的垂线交x轴于点B，点C是y轴上任意一点，则的面积为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】A 【解析】 【分析】设点A的坐标为，将长和点C到的距离用a表示出来，最后根据三角形的面积公式即可求解． 【详解】解：设点A的坐标为， ∵轴， ∴， ∵点C在y轴上， ∴点C到的距离为a， ∴， 故选：A． 【点睛】本题主要考查了反比例函数的图象和性质，解题的关键是熟练掌握反比例函数k值的几何意义以及反比例函数的图象和性质． 6. 如图，正五边形内接于，点在弧上．若，则度数为（　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查正五边形的性质，圆周角定理，三角形的内角和定理，解题的关键是正确作出辅助线． 连接，，由正五边形的性质可得的度数，根据圆周角定理可得的度数，由三角形的内角和定理计算即可． 【详解】解：如图，连接，， ∵五边形是正五边形， ∴， ∴， ∵， ∴． 故选：C． 7. 为了美观，在加工太阳镜时将下半部分轮廓制作成抛物线的形状（如图所示），对应的两条抛物线关于轴对称，轴，，最低点在轴上，高，，则右轮廓所在抛物线的解析式为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的应用，先根据B、D关于y轴对称，得出D点坐标为，再求出左边抛物线的顶点C的坐标为，则右边抛物线的顶点F的坐标为，设右边抛物线的解析式为，代入即可得出答案． 【详解】解：∵高，，B、D关于y轴对称， ∴D点坐标为， ∵轴，，最低点C在x轴上， ∴关于直线对称， ∴左边抛物线的顶点C的坐标为， ∴右边抛物线的顶点F的坐标为， 设右边抛物线的解析式为， 把代入得，解得， 故右边抛物线的解析式为， 故选：B． 8. 如图，交于点，，，分别为，的中点，且．若，，则的长为（ ） A. B. 4 C. D. 5 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了相似三角形的判定和性质，对顶角相等，解二元一次方程组，解题的关键是熟练掌握相似三角形的判定方法．证明，得出，证明，得出，即，根据，，得出，，代入，解方程组，求出结果即可． 【详解】解：∵，， ∴， ∴， ∵，分别为，的中点， ∴，， ∵， ∴， 即， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴，， ∴， ∴， 整理得：， 得：， 解得：． 故选：D． 9. 如图，一次函数的图象如图所示，则二次函数的图象大致为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查二次函数的图象、一次函数的图象，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．根据一次函数的图象可以判断，，从而可以判断二次函数的图象的开口方向、对称轴以及与轴的交点，从而可以解答本题． 【详解】解：由一次函数的图象可得，， 二次函数的图象开口向上，对称轴为直线，交轴于， ， 二次函数的图象与轴有两个交点， 故选：B． 10. 如图，在中，，为边上的动点，过作于点，连接并延长交于点．当取得最小值时，则的长为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了圆周角，点到圆上的距离，勾股定理，相似三角形的判定和性质，根据题意判断出点的运动轨迹是解题关键．根据直径所对的圆周角是直角，得到点在以为直径的圆上运动，取的中点，以为圆心，的长为半径作，连接与交于点，连接并延长交于点，由点到圆上的距离可知，当点在位置时，取得最小值为,由勾股定理可得，再证明,得到，求出的长即可． 【详解】解：， ， 点在以为直径的圆上运动， 如图，取的中点，以为圆心，的长为半径作，连接与交于点，连接并延长交于点， 由点到圆上的距离可知，当点在位置时，取得最小值为, 在中，， ，， ， ， ， ，， ， ， ， , , ， ， 即当取得最小值时，则的长为， 故选：C． 二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分） 11. 若，则的值是_______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了比例的性质，根据题意设，，再代入中化简求解，即可解题． 【详解】解：， ， 设，， 则； 故答案为：． 12. 如图，的顶点是正方形网格的格点，则的值为______ 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了格点与勾股定理，锐角三角函数的计算，根据题意，作，运用勾股定理逆定理可得是直角三角形，再根据锐角三角函数的计算即可求解，掌握格点与勾股定理，正弦函数的计算方法是解题的关键． 【详解】解：如图所示，过点作于点， ∴根据格点可得，， ∴，即是直角三角形，， ∴在中，， 故答案为： ． 13. 如图，内接于，，，于点．若的半径为，则的长为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了圆周角定理，勾股定理，含30度角的直角三角形的性质；连接、，根据圆周角定理可得，由勾股定理求得的长，进而根据含30度角的直角三角形的性质，即可求解． 【详解】解：如图，连接、， ∵， ∴． 又∵， ∴． 在中，∵，， ∴； 故答案为：． 14. 如图，在平面直角坐标系中，点A，B分别是反比例函数、一次函数的交点，已知．在线段上取一点C，过C点作直线l 平行x轴，交反比例函数于点D，连接、． （1）_______； （2）记的面积为，则最大值为_______． 【答案】 ①. 4 ②. 【解析】 【分析】本题主要考查了待定系数法求解析式，二次函数的性质，坐标与图形． （1）将代入，即可解答； （2）设，则，根据点C在线段上得到，由，高，得到，根据二次函数的性质即可解答． 【详解】解：（1）∵反比例函数的图象过点， ∴，解得． 故答案为：4 （2）∵一次函数的图象过点， ∴，解得， ∴一次函数解析式为 由（1）得， ∴反比例函数解析式为． 解方程组得，， ∴ 设，则， ∵点C是线段上的点， ∴ ∵，高， ∴， ∵， ∴， ∴ ∴的最大值为． 故答案为： 三、解答题（本大题共2小题，每小题8分，共16分，请在题卷的相应区域答题．） 15. 计算：． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查的是特殊角的三角函数值，熟练记忆并准确代入特殊角的三角函数值是解题的关键．先代入、、、的具体值，再通过四则运算和分母有理化逐步计算，最终化简得到结果． 【详解】解：原式 ． 16. 如图，在边长为1个单位长度的正方形网格中，的顶点均在格点（网格线的交点）上． （1）将以点为位似中心放大2倍得到，请画出； （2）使用无刻度的直尺作外接圆的圆心（无需写做法，但要保留清晰的作图痕迹）． 【答案】（1）如图所示； （2）如图所示点为所求： 【解析】 【分析】本题考查了位似变换和三角形外接圆圆心的作法，解题的关键是理解位似的性质以及外接圆圆心是三角形三边垂直平分线的交点； （1）以点为位似中心，放大2倍意味着对应点到位似中心的距离是原距离的2倍，分别得到，即可； （2）根据三角形的外接圆圆心是三边垂直平分线的交点，利用网格特性，找到，，的中点，并作其垂直平分线，两条垂直平分线的交点即为外接圆圆心． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 四、解答题（本大题共2小题，每小题8分，共16分） 17. 如图，与都是等腰直角三角形，，，，连接、． 求证：； 【答案】 ∵与都是等腰直角三角形， ∴，， ∴,， ∴， ∴， ∴． 【解析】 【分析】根据等腰三角形的性质可得，，即可得出，，从而得出，即可得出结论． 【详解】略 【点睛】本题考查了相似三角形判断与性质，等腰直角三角形的性质，解题的关键是熟练掌握性质定理． 18. 如图，一次函数与反比例函数的图象交于，两点． （1）观察图象，当时，的取值范围为________； （2）求的面积． 【答案】（1）或 （2）8 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数与一次函数的综合应用，包括：一次函数解析式的求解、利用函数图象解不等式、三角形面积的割补法计算．关键是先通过反比例函数求出交点坐标，再结合图象和坐标进行后续分析与计算． （1）利用反比例函数解析式求出交点、的坐标，再将不等式转化为“一次函数值小于反比例函数值”的图象问题，结合图象观察一次函数图象在反比例函数图象下方的取值范围，即可得到不等式的解集． （2）通过、两点坐标求出一次函数的解析式，再找到一次函数与轴的交点；将的面积转化为与的面积差，利用三角形面积公式代入坐标计算即可． 【小问1详解】 解：∵点、在反比例函数上， ∴将代入得，解得； 将代入得， ∴，． 不等式即一次函数值小于反比例函数值，结合图象可知，当或时，一次函数图象在反比例函数图象下方； 故答案为：或； 【小问2详解】 解：将、代入得：， 解得， ∴一次函数为． 令，得，解得，即一次函数与轴交点为， 则． 故的面积为8． 五、解答题（本大题共2小题，每小题10分，共20分） 19. 某古村落的斜坡上有一棵古树，斜坡的坡度i为，古树底端Q到坡底A点的距离为2.6米．为了保护这棵古树，在距离斜坡底A点4.4米的水平地面上立了一块古树信息牌，古树和古树信息牌均与地面垂直．某校数学兴趣小组测得当太阳光线与水平线成角时，古树落在信息牌上的影子长为3米，请帮助他们计算出古树的高度．（结果精确到0.1，参考数据：，，） 【答案】古树的高度为米 【解析】 【分析】本题考查解直角三角形的实际应用，延长交于点，过点作，解直角三角形，求出的长，进而求出的长，解直角三角形，求出的长，根据，进行计算即可． 【详解】解：延长交于点，过点作，由题意，得：， 则四边形为矩形， ∴，， 在中， ∵斜坡的坡度i为，， ∴， 设，则：， ∴， ∴， ∴，， ∴， 在中，由题意，得：， ∴， ∴； 答：古树的高度为米． 20. 如图，抛物线与轴交于，两点，与轴交于点，点为抛物线的顶点． （1）求，两点的坐标； （2）若，求的值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，抛物线与坐标轴的交点问题，相似三角形的判定与性质等知识点． （1）令，解一元二次方程即可求解，两点的坐标； （2）过点M作轴于点N，通过证明进行求解即可． 【小问1详解】 解：对于，令，则， ∵， ∴， 解得， ∴； 【小问2详解】 解：将配方得， ∴点M的坐标为． 对于，当， ∴， ∴， ∴， 如答图，过点M作轴于点N，则 ∵， ∴， ∴， ∴， 即， 解得，又， ∴． 六、解答题（本大题共2小题，每小题12分，共24分） 21. 如图，中，以为直径的交于点，是的切线，且，垂足为，延长交于点． （1）求证：； （2）若，求的长． 【答案】（1） 证明：如图所示，连接， ∵以为直径的交于点，是的切线， ∴， ∵， ∴， ∴， 又， ∴， ∴， ∴； （2） 【解析】 【分析】（1）连接，根据已知可得，则，又，等量代换得出，即可证明； （2）连接，证明，在中，，求得，根据得出，进而可得，根据，即可求解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：连接，如图， 则， ∴， ∴， ∴， 在中，， ∴， ∴， 又∵是直径， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了切线的性质，直径所对的圆周角是直角，平行线分线段成比例，正切的定义，熟练掌握以上知识是解题的关键． 22. 某地蔬菜市场为指导某种蔬菜的生产和销售，对往年的市场行情和生产情况进行了调查，得到如图所示的信息．其中，这种蔬菜每千克成本元/千克与销售月份之间满足二次函数关系，每千克售价元/千克与销售月份之间满足一次函数关系． （1）分别求，关于的函数关系式； （2）按照往年的行情，在哪个月份销售这种蔬菜的收益最大？ （3）该蔬菜市场管理部门为了稳定蔬菜销售，提高销售商户经营的积极性，决定给商户每千克补贴4元，那么，一年中有几个月份商户销售这种蔬菜不会出现亏损？ 【答案】（1），； （2）5月份销售这种蔬菜收益最大 （3）一年中有9个月份商户销售这种蔬菜不会出现亏损 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的应用，待定系数法求二次函数的解析式，二次函数的图象与性质，求二次函数的最值，关键是能从图象中获取信息． （1）利用待定系数法求解即可； （2）设每千克蔬菜利润为W元，根据“”列式，利用二次函数的性质即可求解； （3）令补贴后每千克利润为，解方程即可求解． 【小问1详解】 解：由图象信息可设，将代入， 得：， 解得：， ∴． 设，将，代入， 得：， 解得：，， ∴； 【小问2详解】 解：设每千克蔬菜利润为W元，则 ， ∵， ∴当时，W取得最大值， 即5月份销售这种蔬菜收益最大； 【小问3详解】 解：令补贴后每千克利润， 解得：，， ∵当时，， ∴一年中有9个月份商户销售这种蔬菜不会出现亏损． 七、解答题（本题共14分） 23. 如图，正方形中，点是线段的中点，点是线段上的动点，连接与交于点，连接并延长交于点． （1）①如图1，当点与点重合时，求证：． ②如图2，当点是线段的中点时，的值： （2）如图3，若，求证：． 【答案】（1） ①如图1，四边形是正方形， ， ， ， ， ， ， ； ② （2） 证明：如图3， ，，， ， ， ， ， ， ， ， ， ，又， ， ， ， ， ， ， ， ． 【解析】 【分析】①证明，得出，再证出，即可得出； ②如图2，连接．交于点．证明四边形是平行四边形，得出，证明，得出，证明，得出，即可求解． （2）证明，得出，再证明，得出，证明，即可证明． 【小问1详解】 解：①略 ②如图2，连接．交于点． 四边形是正方形， ， 点、分别是、的中点， ， 四边形是平行四边形， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ； 【小问2详解】 略 【点睛】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定与性质，等腰三角形的性质和判定等知识，用到的知识点较多，难度较大，属于中考压轴题． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年度第一学期期末义务教育阶段过程性素质评价 九年级数学试题 （考试时间：120分钟，试卷满分：150分） 一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，满分40分、在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的） 1. 我国古代数学的发展历史源远流长，曾诞生了很多伟大的数学发现．下列与我国古代数学发现相关的图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ） A. 杨辉三角 B. 割圆术示意图 C. 赵爽弦图 D. 洛书 2. 将抛物线向右平移2个单位，再向下平移6个单位，则平移后的抛物线的函数表达式为（　　） A. B. C. D. 3. 在反比例函数的图象上有两点，当时，有，则m的取值范围是（ ） A. B. C. D. 4. 为了测量一个铁球的直径，将该铁球放入工件槽内，测得的有关数据如图所示（单位：cm），则该铁球的直径为（ ） A. 12 cm B. 10 cm C. 8 cm D. 6 cm 5. 如图，若点A是反比例函数的图象上一点，过点A作x轴的垂线交x轴于点B，点C是y轴上任意一点，则的面积为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 6. 如图，正五边形内接于，点在弧上．若，则度数为（　） A. B. C. D. 7. 为了美观，在加工太阳镜时将下半部分轮廓制作成抛物线的形状（如图所示），对应的两条抛物线关于轴对称，轴，，最低点在轴上，高，，则右轮廓所在抛物线的解析式为（ ） A. B. C. D. 8. 如图，交于点，，，分别为，的中点，且．若，，则的长为（ ） A. B. 4 C. D. 5 9. 如图，一次函数的图象如图所示，则二次函数的图象大致为（ ） A. B. C. D. 10. 如图，在中，，为边上的动点，过作于点，连接并延长交于点．当取得最小值时，则的长为（ ） A. B. C. D. 二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分） 11. 若，则的值是_______． 12. 如图，的顶点是正方形网格的格点，则的值为______ 13. 如图，内接于，，，于点．若的半径为，则的长为______． 14. 如图，在平面直角坐标系中，点A，B分别是反比例函数、一次函数的交点，已知．在线段上取一点C，过C点作直线l 平行x轴，交反比例函数于点D，连接、． （1）_______； （2）记的面积为，则最大值为_______． 三、解答题（本大题共2小题，每小题8分，共16分，请在题卷的相应区域答题．） 15. 计算：． 16. 如图，在边长为1个单位长度的正方形网格中，的顶点均在格点（网格线的交点）上． （1）将以点为位似中心放大2倍得到，请画出； （2）使用无刻度的直尺作外接圆的圆心（无需写做法，但要保留清晰的作图痕迹）． 四、解答题（本大题共2小题，每小题8分，共16分） 17. 如图，与都是等腰直角三角形，，，，连接、． 求证：； 18. 如图，一次函数与反比例函数的图象交于，两点． （1）观察图象，当时，的取值范围为________； （2）求的面积． 五、解答题（本大题共2小题，每小题10分，共20分） 19. 某古村落的斜坡上有一棵古树，斜坡的坡度i为，古树底端Q到坡底A点的距离为2.6米．为了保护这棵古树，在距离斜坡底A点4.4米的水平地面上立了一块古树信息牌，古树和古树信息牌均与地面垂直．某校数学兴趣小组测得当太阳光线与水平线成角时，古树落在信息牌上的影子长为3米，请帮助他们计算出古树的高度．（结果精确到0.1，参考数据：，，） 20. 如图，抛物线与轴交于，两点，与轴交于点，点为抛物线的顶点． （1）求，两点的坐标； （2）若，求的值． 六、解答题（本大题共2小题，每小题12分，共24分） 21. 如图，中，以为直径的交于点，是的切线，且，垂足为，延长交于点． （1）求证：； （2）若，求的长． 22. 某地蔬菜市场为指导某种蔬菜的生产和销售，对往年的市场行情和生产情况进行了调查，得到如图所示的信息．其中，这种蔬菜每千克成本元/千克与销售月份之间满足二次函数关系，每千克售价元/千克与销售月份之间满足一次函数关系． （1）分别求，关于的函数关系式； （2）按照往年的行情，在哪个月份销售这种蔬菜的收益最大？ （3）该蔬菜市场管理部门为了稳定蔬菜销售，提高销售商户经营的积极性，决定给商户每千克补贴4元，那么，一年中有几个月份商户销售这种蔬菜不会出现亏损？ 七、解答题（本题共14分） 23. 如图，正方形中，点是线段的中点，点是线段上的动点，连接与交于点，连接并延长交于点． （1）①如图1，当点与点重合时，求证：． ②如图2，当点是线段的中点时，的值： （2）如图3，若，求证：． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $