精品解析：山东2025-2026学年上学期 九年级期末测试数学试题

九年级质量监测数学 本试卷共8页，满分150分.考试时间为120分钟． 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、座号和准考证号等填写在答题卡和试卷指定的位置上． 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．答案写在试卷上无效. 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．本考试不允许使用计算器． 一、选择题：（本题共10小题，每小题4分，共40分．每小题只有一个选项符合题目要求） 1. 某机床加工的零件如图所示，该零件的左视图是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据左视图的概念选择即可． 【详解】根据左视图的概念，左视图是从主视图的左边往右边看， 故选：D． 【点睛】此题考查了左视图的概念，解题的关键是熟悉左视图的概念． 2. 在中，，若的三边都放大2倍，则的值（　　） A. 缩小2倍 B. 放大2倍 C. 不变 D. 无法确定 【答案】C 【解析】 【分析】直接利用锐角的正弦的定义求解． 【详解】解：∵， ∴， ∵的三边都放大2倍， ∴∠A的对边与斜边的比不变， ∴的值不变， 故选：C． 【点睛】本题考查三角函数的定义，属于基础题，掌握是解题的关键． 3. 如图，是的直径，，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了弧、弦、圆心角的关系，熟练掌握在同圆或等圆中，等弧对等角是解题的关键．根据得到，再结合平角定义求解，即可解题． 【详解】解：，是的直径， ， 故选：D． 4. 将抛物线向下平移2个单位长度，所得抛物线的解析式为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据“左加右减、上加下减”的原则进行解答即可． 此题主要考查了二次函数图像与几何变换，熟练掌握平移的规律“左加右减，上加下减”是解题的关键． 【详解】解：将抛物线向下平移2个单位长度，所得抛物线的解析式为， 故选：B． 5. 若一元二次方程的一个根为，则a的值为（ ） A. 3 B. 0 C. 1 D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程的解，方程的解就是能够使方程左右两边相等的未知数的值，正确理解方程的解的含义是解题的关键． 利用一元二次方程根的定义，将根代入方程求解即可． 【详解】解：∵是方程的一个根， ∴ 把代入方程得，即 ， ∴ ， ∴ ． 故选：A． 6. 将标有“最”“美”“河”“南”的四个小球装在一个不透明的口袋中（每个小球上仅标一个汉字），这些小球除所标汉字不同外，其余均相同．从中随机摸出一个球，放回后再随机摸出一个球，则摸到的球上的汉字可以组成“河南”的概率是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了用树状图求概率，树状图可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合两步或两步以上完成的事件，熟记概率公式是解题的关键． 根据题意画出树状图即可得到两次摸出球上的汉字可以组成“河南”的概率． 【详解】解：将标有“最”“美”“河”“南”四个汉字的小球分别记为：， 画树状图如下： 由图可知共有种，其中两次摸出球上汉字可以组成“河南”的结果有种， ∴两次摸出球上汉字概率为：． 故选：D． 7. 如图，在平面直角坐标系xOy中，两个“”字是位似图形，位似中心点O，①号“”与②号“”的位似比为.点在①号“”上，则点P在②号“”上的对应点Q的坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了位似变换的性质，熟练掌握位似变换的性质是解题的关键． 根据位似变换的性质计算即可解答． 【详解】解：∵号“”与号“”的位似比为，点， ∴点P在号“”上的对应点Q的坐标为，即． 故选：A． 8. 已知二次函数的图象如图，则一次函数和反比例函数的图象为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据二次函数的开口方向，对称轴位置，于轴交点，确定、、符号，进而确定一次函数与反比例函数所在象限，即可求解， 本题考查了，通过函数图像判断二次函数的各项系数，一次函数与反比例函数图像的综合判断，解题的关键是：熟练掌握函数的系数与函数图像之间的对应关系． 【详解】解：由二次函数的图象可知： ∵二次函数开口向下， ∴， ∵对称轴位于轴右侧， ∴，则：， ∵抛物线交于轴的负半轴， ∴， ∴一次函数的图像，经过二、三、四象限，反比例函数在二、四象限， 故选：． 9. 如图，六边形六边形，相似比为，则下列结论正确的是（ ） A. B. 六边形的周长六边形的周长 C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查相似多边形的性质．根据相似多边形的性质对各选项进行逐一分析是解决问题的关键． 【详解】解：∵六边形六边形，相似比为， ∴，即，故A正确； 六边形的周长六边形的周长，故B错误； ，故C错误； ，即：，故D错误； 故选：A． 10. 已知关于x的二次函数，在的取值范围内，若，则（ ） A. 函数有最大值 B. 函数有最大值3 C. 函数没有最小值 D. 函数没有最大值 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查的是二次函数的最值问题．理解二次函数的最值是解题的关键．先求得抛物线的对称轴，再根据二次函数的性质求解即可． 【详解】解：抛物线的对称轴为直线， ∵，开口向下，在的取值范围内，且， ∴当时，函数有最大值，最大值为， 当时，函数有最小值，最小值为， 观察四个选项，选项B符合题意， 故选：B． 二、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分） 11. 如果，那么______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了比例的性质，熟练掌握比例的性质是解题的关键．由可得，再将变形为，代入即可求解． 【详解】解：， ， ． 故答案为：． 12. 一个暗箱中放有除颜色外其他完全相同的n个红球，6个黄球，4个白球，现将球搅匀后，任意摸出1个球记下颜色，再放回暗箱，通过大量重复试验后发现，摸到黄球的频率稳定在附近，由此可以估算n的值是_____． 【答案】10 【解析】 【分析】本题考查用频率估计概率，利用概率公式求数量等知识，在同样条件下，大量反复试验时，随机事件发生的频率逐渐稳定在概率附近，可以从比例关系入手，列出方程求解即可，掌握概率公式和频率与概率的关系是解题的关键． 【详解】解：由题意可得，， 解得， 经检验，是原分式方程的解． 故答案为：10． 13. 如图，在中，，棱长为1的立方体展开图有两边分别在上，有两个顶点在斜边上，则的值等于_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了求角的正切值，根据题意可证明得到，再根据正切的定义可得． 【详解】解：如图所示，由题意得，， ∵，即， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 14. 如图，在边长为1的小正方形组成的网格中，点O，A，B，D 均在格点上，以O为圆心为半径的弧经过点B，以O为圆心，为半径的弧交于点E，的延长线交弧于点 C，则图中阴影部分的面积为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了求扇形面积．根据图中阴影部分的面积为，即可求解． 【详解】解：根据题意得：，，， ∴图中阴影部分的面积为． 故答案为： 15. 如图，将矩形沿对角线翻折，点C的对应点是点N，与交于点P，与交于点M，若，，则_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了矩形与折叠问题，勾股定理，相似三角形的性质与判定，由矩形的性质可得，；可证明，证明得到；可证明，得到，设，则，由勾股定理得，解方程求出的长，再利用勾股定理求出的长即可得到答案． 【详解】解：∵四边形是矩形，且对角线交于点Q， ∴，； ∵， ∴， ∴， ∴； ∵， ∴，， ∴， ∴； 由折叠的性质可得， ∴， ∴， 设，则， 在中，由勾股定理得， ∴， 解得或（舍去）， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 三、解答题（本大题共10个小题，共90分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 16. 计算：． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了实数混合运算，熟练掌握相关运算法则，是解题的关键．根据特殊角的三角函数值，二次根式性质，绝对值意义，负整数指数幂运算法则，进行计算即可． 【详解】解： ． 17. 解方程：2－x－3=0． 【答案】=－1；=1．5 【解析】 【详解】试题分析：利用因式分解法进行解方程． 试题解析：原方程可变为：（x+1）（2x－3）=0 解得：=－1 =1．5 考点：解一元二次方程． 18. 已知：四边形ABCD是菱形，于点E，于点F．求证：． 【答案】 证明：∵AE⊥BC，AF⊥DC， ∴∠AEB＝∠AFD＝90°． ∵四边形ABCD是菱形， ∴AB＝AD，∠B＝∠D， ∴△ABE≌△ADF（AAS）， ∴AE＝AF． 【解析】 【分析】由AE⊥BC，AF⊥DC，得到∠AEB＝∠AFD＝90°，由菱形的性质得到AB＝AD，∠B＝∠D，即可证明△ABE≌△ADF（AAS），结论得证． 【详解】略 【点睛】本题是简单的推理证明题，主要考查了菱形的性质、全等三角形的判定和性质，熟练掌握菱形的性质是解题的关键． 19. 消防车是消防救援的主要装备，图1是某种消防车云梯，图2是其侧面示意图，点、、在同一直线上，可绕着点旋转，为云梯的液压杆（长度可以变化），点在同一水平线上，与地面平行，其中可伸缩，云梯的最大长度为，套管的长度不变，． （1）在某种工作状态下测得，，，求的长． （2）将云梯伸长到最大长度15米，当从上升到时，云梯顶端的铅直高度升高了多少米？（参考数据：，） 【答案】（1）的长为 （2）云梯顶端的铅直高度升高了3米 【解析】 【分析】本题考查解直角三角形的应用，解题的关键是作辅助线构造直角三角形解决问题． （1）过点作，垂足为，解直角三角形可得，可得结论； （2）过点作，垂足为，可得当时，，当时，，作差即可解答． 【小问1详解】 解：如图1，过点作，垂足为， 在中，， ， 在中，， ， 则，即， 解得， 再中，根据勾股定理，，‘ 的长为； 【小问2详解】 解：如图2，过点作，垂足为， 在中，， ， 当时，， 当时，， 云梯伸到最大且从上升到时，云梯顶端的铅直高度升高了3米． 20. 如图，在中，，平分交于点D，点B为边上一点，以为直径的恰好经过点D． （1）求证：是的切线； （2）若，，求的半径． 【答案】（1）证明：如图，连接， ， ， 平分交于点D， ， ， ， ， ， ， OD是的半径， 直线与相切； （2）的半径为6 【解析】 【分析】本题考查切线的判定，等腰三角形的性质，平行线的判定和性质，勾股定理，掌握切线的判定方法是解题的关键． （1）连接，根据等边对等角可得，根据角平分线的定义可得，等量代换后得出，进而证明，得出，即可证明是的切线； （2）设的半径为r，利用勾股定理解即可求解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：， ， 设的半径为r，则， 解得， 的半径为6． 21. 如图，四边形为平行四边形，为边上一点，连接，它们相交于点，且． （1）求证：； （2）若，，，求的长． 【答案】（1）证明：∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴； （2） 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质，平行四边形的性质，熟练掌握和灵活运用相关知识是解题的关键； （1）利用平行四边形的性质得到，则，然后证明即可； （2）先利用得到，计算出，则，利用平行线分线段成比例定理求得，再证明，据此解答即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴，即， ∴． 22. 如图，学校在教学楼后面搭建了两个简易的矩形自行车车棚，一边利用教学楼的后墙（可利用墙长为），其他的边用总长的不锈钢栅栏围成，左右两侧各开一个的出口，不锈钢栅栏形状如“山”字形.（备注信息：在自行车棚后面距教学楼后墙8米处，规划有机动车停车位） （1）设自行车车棚面积为，车棚宽度为，求与之间的函数关系式为_____，并直接写出自变量的取值范围______； （2）若学校拟利用现有栅栏对自行车车棚进行扩建，请问该车棚面积最大可达到多少？请通过计算说明． 【答案】（1）； （2） 自行车车棚面积最大可达到， 说明： ， ，对称轴为直线，而， 当时，有最大值为：， 自行车车棚面积最大可达到. 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的实际应用，熟练掌握以上知识点是解题的关键． （1）根据矩形的面积表示出，结合题目条件求出自变量的范围； （2）根据二次函数的性质解题即可． 【小问1详解】 解：由题意知，， ∴， 且墙长为，在自行车棚后面距教学楼后墙8米处，规划有机动车停车位， ∴， 解得； 故答案为： ；； 【小问2详解】 略 23. 在平面直角坐标系中，反比例函数的图象与等腰直角三角形相交，，. （1）如图1，若反比例函数的图象恰好经过的顶点B时，求反比例函数的表达式； （2）在（1）的前提下，过点A作交反比例函数的图象于点Q，连接，求的面积和点Q的坐标； （3）如图2，若反比例函数的图象交的边于点C，且，点P是反比例函数图象上的一动点，满足的面积是3，请直接写出点P的坐标. 【答案】（1） （2），点Q的坐标为， （3）或 【解析】 【分析】（1）过点B作于点H，利用等腰直角三角形的性质求出点B的坐标，利用待定系数法求出函数解析式即可； （2）过点Q作轴于点M，求出直线的解析式是和直线的解析式为，与反比例函数解析式联立得到点Q的坐标为，则，利用即可得到答案； （3）求出，过点C作于点N，得到，过点P作轴于点R，求出反比例函数解析式为，由（2）可知，，解方程即可得到m的值，即可得到点P的坐标. 【小问1详解】 解：过点B作于点H， ∵是等腰直角三角形，，. ∴， ∴点B的坐标为， ∵反比例函数的图象恰好经过的顶点B， ∴， 解得， ∴反比例函数的表达式为； 【小问2详解】 过点Q作轴于点M， 设直线的解析式是，把点B的坐标代入得到， ， 解得， ∴直线的解析式是， ∵， ∴可设直线的解析式为，把点A的坐标代入得到 ， 解得， ∴直线的解析式为， 联立得到， 解得或（不合题意，舍去）， ∴点Q的坐标为， ∴， ∴ ； 【小问3详解】 ∵是等腰直角三角形，，. ∴， ∵， ∴, ∴， 过点C作于点N，则，过点P作轴于点R， ∴点C的坐标是， ∴，解得， ∴反比例函数解析式为， 设点P的坐标为， 则,， 由（2）可知，， 解得：（不合题意，舍去）或或或（不合题意，舍去）， ∴点P的坐标为或 【点睛】此题考查了反比例函数和几何综合题，用到了待定系数法求函数解析式，解分式方程、等腰直角三角形的性质、一次函数和反比例函数图象交点问题等知识，数形结合是解题的关键. 24. 如图1，抛物线经过，两点，与轴交于点，为第四象限内抛物线上一点． （1）求抛物线的函数表达式； （2）设四边形的面积为S，求S的最大值； （3）如图2，过点作轴于点，连接，，与轴交于点．当时，求满足条件的点坐标． 【答案】（1） （2）的最大值为 （3） 【解析】 【分析】（1）将代入，即可求解； （2）过点作轴于点为第四象限内抛物线上一点，设点，则，根据得，然后根据二次函数的最值求解即可； （3）由题意得到，则，设，由，求出，再由待定系数法求直线的解析式即可；分解直线的解析式和抛物线的解析式，求出点的坐标即可． 【小问1详解】 解：将代入，得： ； 【小问2详解】 解：过点作轴于点，如图所示， 令，则， ， ， 为第四象限内抛物线上一点，设点， ， ， ， ， 当时，有最大值，； 【小问3详解】 解：设交轴于点，如图， 轴，轴， ， ， ， ， ， ， 设，则， ， ， ， 设直线的解析式为， 把代入得： ， ， 令， 解得：， 点的横坐标为， 把代入得：， 点的坐标为． 【点睛】本题考查二次函数的图象及性质，等腰三角形的判定，求一次函数解析式，勾股定理，求二次函数解析式，待定指数法求函数解析式，熟练掌握二次函数的图象及性质，勾股定理，注意数形结合思想是解题的关键． 25. 如图1，已知正方形，点P是边上的一个动点（不与点B、C重合），点E在上，满足，延长交于点F． （1）求的度数； （2）连接， ①如图2，当时，求的长； ②当时，直接写出此时的面积_____． 【答案】（1） （2）①；② 【解析】 【分析】（1）由正方形的性质得，，则，所以，，则，所以； （2）①作于点G，则，而，所以，则，可证明，得，作于点H，可证明，则，因为，得出，可得出答案；②当，则，可推导出，则，作于点L，可证明，所以，即是等边三角形，得到，即可求出． 【小问1详解】 证明：∵四边形是正方形，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 【小问2详解】 解：①如图1，作于点G，则， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 作于点H，则， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ， 设，则， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴, ∵， ∴； ②如图2，是等腰三角形，且，则， ∵， ∴， ∴， ∴， 作于点L，则， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了正方形基本性质，全等三角形证明及性质，等边三角形性质，相似三角形证明及性质、锐角三角函数等知识点，综合程度比较大，能够正确做出辅助线是解题关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 九年级质量监测数学 本试卷共8页，满分150分.考试时间为120分钟． 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、座号和准考证号等填写在答题卡和试卷指定的位置上． 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．答案写在试卷上无效. 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．本考试不允许使用计算器． 一、选择题：（本题共10小题，每小题4分，共40分．每小题只有一个选项符合题目要求） 1. 某机床加工的零件如图所示，该零件的左视图是（ ） A. B. C. D. 2. 在中，，若的三边都放大2倍，则的值（　　） A. 缩小2倍 B. 放大2倍 C. 不变 D. 无法确定 3. 如图，是的直径，，则的度数为（ ） A. B. C. D. 4. 将抛物线向下平移2个单位长度，所得抛物线的解析式为（ ） A. B. C. D. 5. 若一元二次方程的一个根为，则a的值为（ ） A. 3 B. 0 C. 1 D. 6. 将标有“最”“美”“河”“南”的四个小球装在一个不透明的口袋中（每个小球上仅标一个汉字），这些小球除所标汉字不同外，其余均相同．从中随机摸出一个球，放回后再随机摸出一个球，则摸到的球上的汉字可以组成“河南”的概率是（ ） A. B. C. D. 7. 如图，在平面直角坐标系xOy中，两个“”字是位似图形，位似中心点O，①号“”与②号“”的位似比为.点在①号“”上，则点P在②号“”上的对应点Q的坐标为（ ） A. B. C. D. 8. 已知二次函数的图象如图，则一次函数和反比例函数的图象为（ ） A. B. C. D. 9. 如图，六边形六边形，相似比为，则下列结论正确的是（ ） A. B. 六边形的周长六边形的周长 C. D. 10. 已知关于x的二次函数，在的取值范围内，若，则（ ） A. 函数有最大值 B. 函数有最大值3 C. 函数没有最小值 D. 函数没有最大值 二、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分） 11. 如果，那么______． 12. 一个暗箱中放有除颜色外其他完全相同的n个红球，6个黄球，4个白球，现将球搅匀后，任意摸出1个球记下颜色，再放回暗箱，通过大量重复试验后发现，摸到黄球的频率稳定在附近，由此可以估算n的值是_____． 13. 如图，在中，，棱长为1的立方体展开图有两边分别在上，有两个顶点在斜边上，则的值等于_____． 14. 如图，在边长为1的小正方形组成的网格中，点O，A，B，D 均在格点上，以O为圆心为半径的弧经过点B，以O为圆心，为半径的弧交于点E，的延长线交弧于点 C，则图中阴影部分的面积为______． 15. 如图，将矩形沿对角线翻折，点C的对应点是点N，与交于点P，与交于点M，若，，则_____． 三、解答题（本大题共10个小题，共90分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 16. 计算：． 17. 解方程：2－x－3=0． 18. 已知：四边形ABCD是菱形，于点E，于点F．求证：． 19. 消防车是消防救援的主要装备，图1是某种消防车云梯，图2是其侧面示意图，点、、在同一直线上，可绕着点旋转，为云梯的液压杆（长度可以变化），点在同一水平线上，与地面平行，其中可伸缩，云梯的最大长度为，套管的长度不变，． （1）在某种工作状态下测得，，，求的长． （2）将云梯伸长到最大长度15米，当从上升到时，云梯顶端的铅直高度升高了多少米？（参考数据：，） 20. 如图，在中，，平分交于点D，点B为边上一点，以为直径的恰好经过点D． （1）求证：是的切线； （2）若，，求的半径． 21. 如图，四边形为平行四边形，为边上一点，连接，它们相交于点，且． （1）求证：； （2）若，，，求的长． 22. 如图，学校在教学楼后面搭建了两个简易的矩形自行车车棚，一边利用教学楼的后墙（可利用墙长为），其他的边用总长的不锈钢栅栏围成，左右两侧各开一个的出口，不锈钢栅栏形状如“山”字形.（备注信息：在自行车棚后面距教学楼后墙8米处，规划有机动车停车位） （1）设自行车车棚面积为，车棚宽度为，求与之间的函数关系式为_____，并直接写出自变量的取值范围______； （2）若学校拟利用现有栅栏对自行车车棚进行扩建，请问该车棚面积最大可达到多少？请通过计算说明． 23. 在平面直角坐标系中，反比例函数的图象与等腰直角三角形相交，，. （1）如图1，若反比例函数的图象恰好经过的顶点B时，求反比例函数的表达式； （2）在（1）的前提下，过点A作交反比例函数的图象于点Q，连接，求的面积和点Q的坐标； （3）如图2，若反比例函数的图象交的边于点C，且，点P是反比例函数图象上的一动点，满足的面积是3，请直接写出点P的坐标. 24. 如图1，抛物线经过，两点，与轴交于点，为第四象限内抛物线上一点． （1）求抛物线的函数表达式； （2）设四边形的面积为S，求S的最大值； （3）如图2，过点作轴于点，连接，，与轴交于点．当时，求满足条件的点坐标． 25. 如图1，已知正方形，点P是边上的一个动点（不与点B、C重合），点E在上，满足，延长交于点F． （1）求的度数； （2）连接， ①如图2，当时，求的长； ②当时，直接写出此时的面积_____． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $