精品解析：河北部分学校2025-2026学年高二上学期期末数学试卷

数学试卷 注意事项： 1.答题前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 4.本试卷主要考试内容：人教A版选择性必修第一册到选择性必修第二册第四章. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 若直线与互相垂直，则（ ） A. B. C. 4 D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用两直线垂直的条件建立方程，求解参数即可. 【详解】因为直线与互相垂直， 所以，解得，故D正确. 故选：D 2. 若数列的前项和，则（ ） A. 2 B. 4 C. 6 D. 8 【答案】C 【解析】 【分析】应用计算求解. 【详解】数列的前项和，则. 故选：C. 3. 若等比数列的公比为，则“”是“是递减数列”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】D 【解析】 【分析】举例即可说明，充分性以及必要性均不成立，即可得出答案. 【详解】充分性：在等比数列中，设首项为，由， 取，此时等比数列的通项公式为： ， 随着的逐渐增大，增大， 则等比数列是递增数列，不是递减数列，故充分性不成立， 必要性：取首项， 则等比数列的通项公式为： ， 从而得出数列是递减数列，但是，所以必要性不成立， 故“”是“是递减数列”的既不充分也不必要条件. 故选：D. 4. 已知椭圆的左焦点为，右顶点为，点在椭圆上，且轴，直线与轴交于点．若，则椭圆的离心率为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】如图结合题设可得，，据此可得答案. 【详解】由题可得，从而. 因，则，又由题可得， 则. 故选：A 5. 在四面体中，，分别为棱，的中点，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据空间向量的加法、减法及数乘运算化简即可． 【详解】如图所示， 因为是CD的中点，所以，也即， 因此． 故选：B． 6. 若抛物线上有一动点，且焦点为，则的最小值为（ ） A. 10 B. 17 C. 12 D. 22 【答案】C 【解析】 【分析】由抛物线定义结合题设可得答案. 【详解】由题可得抛物线焦点为，准线为，如图，过作准线垂线，垂足为，由抛物线定义，. 故选：C 7. 已知数列是等差数列，数列是等比数列，且，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据等差数列和等比数列的通项公式进行求解. 【详解】因为， 所以， 所以数列是首项为2，公差为3的等差数列， 数列是首项为2，公比为2的等比数列， 所以， 则，所以+148. 故答案为：A 8. 如图，已知双曲线的左、右焦点分别为，点与的焦点不重合，点关于的对称点分别为点，线段的中点在的右支上．若，则的实轴长为（ ） A. 42 B. 21 C. 63 D. 84 【答案】B 【解析】 【分析】根据给定条件可得，利用及双曲线定义求出实轴长.. 【详解】由点分别为线段的中点，为线段的中点，得， 而，则，解得， 由在双曲线的右支上，得的实轴长. 故选：B 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知双曲线：，：，：，则（ ） A. 与的实轴长相等 B. 与的焦点相同 C. 与的离心率相等 D. 与的焦距相等 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据各双曲线方程写出对应双曲线的参数，进而依次判断各项的正误. 【详解】对于，对应参数分别为，实轴长为4，焦点为，离心率为，焦距为， 对于，对应参数分别为，实轴长为4，焦点为，离心率为，焦距为， 对于，对应参数分别为，实轴长为，焦点为，离心率为，焦距为， 所以与的实轴长、离心率相等，与的焦点不同，与的焦距相等. 故选：ACD 10. 已知等差数列的前项和为，且，则（ ） A. B. 公差 C. 是中的最大值 D. 【答案】BD 【解析】 【分析】对于AD，由结合等差数列下标和性质可判断选项正误；对于B，由可得，据此可判断选项正误；对于C，由题可得，据此可判断选项正误. 【详解】对于AD：，故A错误，D正确； 对于B：, 由A分析，.则，故B正确； 对于C：由以上分析，，因， 则，, 结合，可知数列前5项为正数，从第6项开始为负数，则是中的最大值，故C错误. 故选：BD 11. 已知曲线：，点，，，，，，为上关于轴对称的两点，则（ ） A. 由两个离心率相等的椭圆组成 B. 经过点的直线与有4个公共点 C. 存在四个点，使得 D. 当为正三角形时，点到直线MN的距离的最大值为 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据乘法的性质，结合椭圆的定义、离心率公式、一元二次方程根的判别式、数形结合思想逐一判断即可. 【详解】由，得或， 所以由椭圆与椭圆组成， ，是的两个焦点，，是的两个焦点， 由图可知，与有4个交点，所以存在四个点， 使得，且，故C正确； 与的离心率均为，故A正确； 当直线经过点时，即， 代入，得， 因为，所以直线与相切， 且切点不在上，易知直线与相交， 所以经过点的直线与有3个公共点，故B错误. 不妨设在的左边，当为正三角形时，直线DM的倾斜角为， 则直线DM的方程为，由图可知，当在的下半部分时，的周长最大， 将代入，得，解得， 所以点到直线MN的距离的最大值为，D正确. 故选：ACD 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 一个乒乓球从120cm高处自由落下，每次触地后弹起的高度都是前一次高度的一半，则该乒乓球第3次触地后弹起的高度为______cm． 【答案】 【解析】 【分析】运用等比数列的递推模型，每次高度均为前一次的一半，只需依次进行三次乘法运算，即可得到第三次触地后的弹起高度. 【详解】乒乓球每次触地后弹起的高度是前一次高度的一半： 第一次触地后弹起高度：， 第二次触地后弹起高度：， 第三次触地后弹起高度：， 故第三次触地后弹起的高度为. 故答案为： 13. 已知向量，则向量在向量上的投影向量的模为______． 【答案】## 【解析】 【分析】先求出向量在向量上的投影向量，然后利用向量求模公式计算即可. 【详解】设向量与向量的夹角为， 因为向量， 所以，， 所以向量在向量上的投影向量为： ， 向量在向量上的投影向量的模为： ， 故答案为：. 14. 若点到双曲线的一条渐近线的距离为，则数列的前项和______． 【答案】 【解析】 【分析】求出双曲线的渐近线方程，利用点到直线距离公式求出通项公式，再利用等差数列前和公式求解. 【详解】由双曲线性质得双曲线的渐近线方程为， 依点到直线的距离公式得， 而数列是等差数列，故. 故答案为： 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 在等差数列中，， （1）求的通项公式； （2）设，求数列的前项和． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据等差数列基本量的计算可得公差，即可求解， （2）利用裂项相消法求和即可得解. 【小问1详解】 由可得，故， 则， 【小问2详解】 ， 故 16. 已知动点是直线上的任意一点，动圆的半径，直线与动圆相交于，两点，且. （1）求直线的方程； （2）若在动圆上，求此时圆的方程. 【答案】（1）或. （2）或. 【解析】 【分析】（1）设，由圆的弦长公式即可求解； （2）由（1）确定圆心满足或.再结合，列出等式求解即可. 【小问1详解】 设.由题意可知点到直线的距离， 即，即或， 所以直线的方程为或. 【小问2详解】 由（1）可知圆心满足或. 由，可得. ①由解得或. ②由可得，方程无解. 综上，此时圆的方程为或. 17. 如图，在四棱锥中，底面是正方形，侧棱底面，，，分别为的中点． （1）证明：． （2）求平面与平面夹角的余弦值． 【答案】（1） 因为底面是正方形，且侧棱底面， 所以两两互相垂直， 故以点为坐标原点，所在直线分别为轴建立空间直角坐标系， 如图所示： 因为，是正方形，分别为的中点， 所以， 又分别为的中点，所以， 所以， 由， 则，所以. （2） 【解析】 【分析】（1）根据题意建立空间直角坐标系，写出相应点的坐标，利用向量法证明即可； （2）在（1）建立的空间直角坐标系中，求出平面与平面的法向量，利用向量法求解即可. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 因为底面，底面， 所以， 在正方形中，， 由，所以平面， 所以向量为平面的一个法向量，且， 设平面的一个法向量为：，又， 由， 令，则，所以， 设平面与平面的夹角为， 所以 ， 由图可知平面与平面的夹角为锐角， 所以平面与平面夹角的余弦值为. 18. 已知数列满足，且． （1）若，求； （2）求的通项公式（用和表示）； （3）设的前项和为，若，求（用和表示）． 【答案】（1） （2） （3）（） 【解析】 【分析】（1）根据已知条件计算即可； （2）分为奇数和偶数，结合累乘法进行分析得出的表达式； （3）分为奇数和偶数，利用分组求和与等比数列前项和公式求解即可. 【小问1详解】 因为，， 所以当时，， . 【小问2详解】 当为奇数时，， 因为，所以， 又，所以当为奇数时，， 当为偶数时，， 因为，所以， 又，所以当为偶数时，， 综上所述：. 【小问3详解】 当为奇数时， ， 其中是以首项为， 公比为的等比数列的前项的和， 是以首项为， 公比为的等比数列的前项的和， 所以， 当为偶数时， ， 其中是以首项为， 公比为的等比数列的前项的和， 是以首项为， 公比为的等比数列的前项的和， 所以， 所以，其中. 19. 已知为坐标原点，，动点满足，，其中分别是直线的斜率．设动点的轨迹分别为曲线． （1）若，，求曲线，的方程. （2）若，，证明：为定值. （3）若直线，分别与曲线交于，两点，设为线段的中点，当在曲线上变化时，证明：为定值. 【答案】（1）的方程为（），的方程为（） （2） 设，则， 由，得，即， ， 由点在曲线上，得；由点在曲线上，得， 则，于是，即， 所以为定值. （3） 证明：设，则由（2）可得（）①. 设，.因为，所以直线的方程为. 由消去，得， 结合①，消去，整理得， 则，代入直线的方程，可得，即. 同理可得直线的方程为， 由消去，并结合①，消去，整理得， 同理可得. 易知直线与轴垂直，且线段的中点的坐标为， 故，为定值. 【解析】 【分析】（1）设出动点的坐标，利用斜率坐标公式及斜率关系列式求出曲线的方程，再将代入即得. （2）设，由给定条件可得，再利用斜率坐标公式求出的表达式，然后利用点分别在曲线上推理计算得证. （3）设，确定直线的方程为.通过联立椭圆方程得到 .同理得到.进而可求证. 【小问1详解】 设，.若，，则，，， 由，整理得（），即曲线的方程为（）. 同理，由，得（），即曲线的方程为（）. 【小问2详解】 略 【小问3详解】 略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 数学试卷 注意事项： 1.答题前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 4.本试卷主要考试内容：人教A版选择性必修第一册到选择性必修第二册第四章. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 若直线与互相垂直，则（ ） A. B. C. 4 D. 2. 若数列的前项和，则（ ） A. 2 B. 4 C. 6 D. 8 3. 若等比数列的公比为，则“”是“是递减数列”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 4. 已知椭圆的左焦点为，右顶点为，点在椭圆上，且轴，直线与轴交于点．若，则椭圆的离心率为（ ） A. B. C. D. 5. 在四面体中，，分别为棱，的中点，则（ ） A. B. C. D. 6. 若抛物线上有一动点，且焦点为，则的最小值为（ ） A. 10 B. 17 C. 12 D. 22 7. 已知数列是等差数列，数列是等比数列，且，则（ ） A. B. C. D. 8. 如图，已知双曲线的左、右焦点分别为，点与的焦点不重合，点关于的对称点分别为点，线段的中点在的右支上．若，则的实轴长为（ ） A. 42 B. 21 C. 63 D. 84 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知双曲线：，：，：，则（ ） A. 与的实轴长相等 B. 与的焦点相同 C. 与的离心率相等 D. 与的焦距相等 10. 已知等差数列的前项和为，且，则（ ） A. B. 公差 C. 是中的最大值 D. 11. 已知曲线：，点，，，，，，为上关于轴对称的两点，则（ ） A. 由两个离心率相等的椭圆组成 B. 经过点的直线与有4个公共点 C. 存在四个点，使得 D. 当为正三角形时，点到直线MN的距离的最大值为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 一个乒乓球从120cm高处自由落下，每次触地后弹起的高度都是前一次高度的一半，则该乒乓球第3次触地后弹起的高度为______cm． 13. 已知向量，则向量在向量上的投影向量的模为______． 14. 若点到双曲线的一条渐近线的距离为，则数列的前项和______． 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 在等差数列中，， （1）求的通项公式； （2）设，求数列的前项和． 16. 已知动点是直线上的任意一点，动圆的半径，直线与动圆相交于，两点，且. （1）求直线的方程； （2）若在动圆上，求此时圆的方程. 17. 如图，在四棱锥中，底面是正方形，侧棱底面，，，分别为的中点． （1）证明：． （2）求平面与平面夹角的余弦值． 18. 已知数列满足，且． （1）若，求； （2）求的通项公式（用和表示）； （3）设的前项和为，若，求（用和表示）． 19. 已知为坐标原点，，动点满足，，其中分别是直线的斜率．设动点的轨迹分别为曲线． （1）若，，求曲线，的方程. （2）若，，证明：为定值. （3）若直线，分别与曲线交于，两点，设为线段的中点，当在曲线上变化时，证明：为定值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $