第十章 复数 章末归纳提升-【创新教程】2025-2026学年高中数学必修第四册五维课堂教师用书word（人教B版）

该高中数学复数单元复习讲义通过“网络构建”和“归纳提升”系统梳理知识体系，以框架图呈现复数概念、复数相等、模及几何意义、综合应用等模块脉络，用表格归纳实数、虚数、纯虚数的充要条件，清晰展现知识内在联系与重难点分布。 讲义亮点在于例题与变式训练分层设计，如复数分类判断、模的最值求解、与几何结合的综合题，培养运算能力和推理意识。每个专题配解题步骤与易错提醒，基础生可掌握方法，优秀生能深化思维，助力教师实施精准分层教学，支持学生自主复习提升。

[网络构建] [归纳提升] 有关复数的概念 　复数常设为z＝a＋bi(a，b∈R)，z∈R⇔b＝0；z为虚数⇔b≠0；z为纯虚数⇔a＝0且b≠0. [例1]　已知m∈R，复数z＝＋(m2＋2m－1)i，当m为何值时； (1)z∈R；(2)z是虚数；(3)z是纯虚数． [解]　(1)当m2＋2m－1＝0且m－1≠0， 即m＝－1±时，z∈R. (2)当m2＋2m－1≠0且m－1≠0. 即m≠－1±且m≠1时，z为虚数． (3)当＝0且m2＋2m－1≠0. 即m＝0或－2时， z为纯虚数． [变式训练] 1．复数z＝log3(x2－3x－3)＋ilog2(x－3)，当x为何实数时： (1)z∈R；(2)z为虚数． 解：(1)因为一个复数是实数的充要条件是虚部为0， 所以 解得x＝4，所以当x＝4时，z∈R. (2)因为一个复数是虚数的充要条件是虚部不为0，所以解得x>且x≠4. 所以当x>且x≠4时，z为虚数． 复数相等 　复数的代数形式z＝x＋yi(x，y∈R)，从实部、虚部来理解一个复数，把复数z满足的条件转化为实数x，y应该满足的条件，从而可以从实数的角度利用待定系数法和方程思想来处理复数问题． [例2]　已知x，y为共轭复数，且(x＋y)2－3xyi＝4－6i，求x，y. [解]　设x＝a＋bi(a，b∈R)，则y＝a－bi. 又(x＋y)2－3xyi＝4－6i，∴4a2－3(a2＋b2)i＝4－6i， ∴∴或或或∴或或或 [变式训练] 2．已知复数z＝(1＋2i)(－2＋i)－. (1)化简复数z； (2)若z2＋(2a－1)z－(1－i)b－16＝0，求实数a，b的值． 解：(1)z＝(1＋2i)(－2＋i)－ ＝－4－3i－＝－4－3i－(2－i)＝－6－2i. (2)∵(－6－2i)2＋(2a－1)(－6－2i)－(1－i)b－16＝0， ∴32＋24i－6(2a－1)－2(2a－1)i－b＋bi－16＝0， ∴22－12a－b＋(26－4a＋b)i＝0， ∴解得 复数的模及其几何意义 1．z≠0，z为纯虚数⇔＝－z. 2．复数模的计算公式：若z＝a＋bi(a，b∈R)，则|z|＝，在解答有关复数模的问题时应重视以下结论的运用：z·＝|z|2＝||2，|z1·z2|＝|z1|·|z2|，＝(z2≠0)等． [例3]　复数z满足|z＋3－i|＝，求|z|的最大值和最小值． [解]　|z＋3－i|＝表示以－3＋i对应的点P为圆心，以为半径的圆，如图所示， 则|OP|＝|－3＋i|＝＝2，显然|z|max＝|OA|＝|OP|＋＝3， |z|min＝|OB|＝|OP|－＝. [变式训练] 3．已知z∈C且|z|＝1，求|z2－z＋1|的最值． 解：因为|z|＝1，所以z·＝1， 所以z2－z＋1＝z2－z＋z＝z(z＋－1)， 所以|z2－z＋1|＝|z(z＋－1)|＝|z|·|z＋－1| ＝|z＋－1|. 设z＝x＋yi(x，y∈R)，那么|z＋－1|＝|2x－1|， 又因为|z|＝1，所以x2＋y2＝1. 所以－1≤x≤1，所以－3≤2x－1≤1， 则0≤|2x－1|≤3. 所以|z2－z＋1|的最小值为0，最大值为3. 复数与其他知识的综合应用 　复数具有代数形式，且复数z＝a＋bi(a，b∈R)与复平面内的点Z(a，b)之间建立了一一对应关系，复数又是数形结合的桥梁，要注意复数与向量、方程、函数等知识的交汇． [例4]　四边形ABCD是复平面内的平行四边形，A，B，C，D四点对应的复数分别为1＋3i,2i,2＋i，z. (1)求复数z； (2)z是关于x的方程2x2－px＋q＝0的一个根，求实数p，q的值． [解]　(1)复平面内A，B，C对应的点坐标分别为(1,3)，(0,2)，(2,1)， 设D的坐标为(x，y)，由于＝， ∴(x－1，y－3)＝(2，－1)， ∴x－1＝2，y－3＝－1，解得x＝3，y＝2，故D(3,2)， 则点D对应的复数z＝3＋2i. (2)∵3＋2i是关于x的方程2x2－px＋q＝0的一个根， ∴3－2i是关于方程2x2－px＋q＝0的另一个根， 则3＋2i＋3－2i＝，(3＋2i)·(3－2i)＝， 即p＝12，q＝26. [变式训练] 4．已知复平面内点A，B对应的复数分别是z1＝sin2θ＋i，z2＝－cos2θ＋icos 2θ，其中θ∈(0，π)，设对应的复数为z. (1)求复数z； (2)若复数z对应的点P在直线y＝x上，求θ的值． 解：(1)由题意得z＝z2－z1＝－cos2θ－sin2θ＋(cos 2θ－1)i＝－1＋(－2sin2θ)i. (2)由(1)知，点P的坐标为(－1，－2sin2θ)． 由点P在直线y＝x上得－2sin2θ＝－， ∴sin2θ＝，又θ∈(0，π)，∴sin θ>0， 因此sin θ＝，∴θ＝或θ＝. 学科网（北京）股份有限公司 $