第九章 解三角形 章末归纳提升-【创新教程】2025-2026学年高中数学必修第四册五维课堂教师用书word（人教B版）

该高中数学讲义通过思维导图系统构建解三角形知识体系，归纳提升部分按已知条件分类总结四种常见类型及解法，清晰呈现正弦定理、余弦定理的应用脉络与内在联系。 讲义亮点在于“真题引领+变式训练”设计，如例2结合2020年全国Ⅱ卷真题，引导学生用正弦定理实现边角互化，培养数学思维。实际应用题（如例3海上救援）强化模型意识，变式训练分层设置，助力学生提升运算能力与应用能力，教师可据此实施精准教学。

[网络构建] [归纳提升] 　　利用正、余弦定理解三角形 解三角形的常见类型及解法 在三角形的六个元素中，若知道三个，其中至少一个元素为边，即可求解三角形，按条件可分为以下几种： (1)已知两角和一边，如已知A，B和c，由A＋B＋C＝π求C，由正弦定理求a，b. (2)已知两边和这两边的夹角，如已知a，b和C，应先用余弦定理求c，再应用正弦定理先求较短边所对的角，然后利用A＋B＋C＝π，求另一角． (3)已知两边和其中一边的对角，如已知a，b和A，可先用正弦定理求B，由A＋B＋C＝π求C，再由正弦定理或余弦定理求c，也可利用余弦定理构造关于边c的一元二次方程求解．要注意解可能有多种情况． (4)已知三角a，b，c，可应用余弦定理求A，B，C. [例1]　如图所示，在△ABC中，AB＝AC＝2，BC＝2，点D在BC边上，∠ADC＝45°，求AD的长度． [解]　在△ABC中，∵AB＝AC＝2，BC＝2， ∴由余弦定理，得cos C＝＝， ∴sin C＝. 在△ADC中，由正弦定理得，＝，∴AD＝·sin C＝×＝. [变式训练] 1．在△ABC中，角A，B，C所对的边长分别为a，b，c，设a，b，c满足条件b2＋c2－bc＝a2和＝＋，求A和tan B的值． 解：由余弦定理cos A＝＝， 因此A＝60°，在△ABC中，C＝180°－A－B＝120°－B. 由已知条件，应用正弦定理＋＝＝＝＝＝＋，从而tan B＝. 与解三角形有关的综合问题 　该类问题以三角形为载体，在已知条件中设计了三角形的一些边角关系，由于正弦定理和余弦定理都是关于三角形的边角关系的等式，通过定理的运用能够实现边角互化，在边角互化时，经常用到三角函数中两角和与差的公式及倍角公式等． [例2]　(2020·全国Ⅱ卷，17)△ABC中，sin2A－sin2B－sin2C＝sin Bsin C. (1)求A； (2)若BC＝3，求△ABC周长的最大值． [解]　(1)由正弦定理和已知条件得BC2－AC2－AB2＝AC·AB.① 由余弦定理得BC2＝AC2＋AB2－2AC· ABcos A．② 由①②得cos A＝－，因为0<A<π， 所以A＝. (2)由正弦定理及(1)得＝＝＝2， 从而AC＝2sin B，AB＝2sin(π－A－B)＝3cos B－sin B， 故BC＋AC＋AB＝3＋sin B＋3cos B ＝3＋2sin. 又0<B<，所以当B＝时，△ABC周长取得最大值3＋2. [变式训练] 2．(2020·新高考全国Ⅱ卷，17)在①ac＝， ②c sin A＝3，③c＝b这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，若问题中的三角形存在，求c的值；若问题中的三角形不存在，说明理由． 问题：是否存在△ABC，它的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且sin A＝sin B，C＝，　________　？ 注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分． 解析：若c＝b，因为sin A＝sin B，结合正弦定理＝，知a＝b＝c， 所以A＝C＝，B＝， 所以sin A＝，sin B＝，与sin A＝sin B. 所以此时不存在这样的△ABC. 答案：选择③，不存在 解析：因为sin A＝sin B，结合正弦定理＝，知a＝b， 由余弦定理知c2＝a2＋b2－2abcos C＝b2，即c＝b， 若csin A＝3，由正弦定理＝知a＝6， 所以c＝b＝2. 答案：选择②，c＝2 解析：因为sin A＝ sin B，结合正弦定理＝，知a＝b， 由余弦定理知c2＝a2＋b2－2abcos C＝b2，即c＝b， 若ac＝，则c＝1. 答案：选择①，c＝1. 　　　正、余弦定理在实际中的应用 正、余弦定理在实际生活中，有着非常广泛的应用，常见的问题涉及距离、高度、角度以及平面图形的面积等很多方面．解决这类问题，关键是根据题意画出示意图，将问题抽象为三角形的模型，然后利用定理求解．注意隐含条件和最后将结果还原为实际问题进行检验． [例3]　如图，A，B是海面上位于东西方向相距5(3＋)n mile的两个观测点．现位于A点北偏东45°，B点北偏西60°的D点有一艘轮船发出求救信号，位于B点南偏西60°且与B点相距20n mile的C点的救援船立即前往营救，其航行速度为30n mile/h，该救援船到达D点需要多长时间？ [解]　由题意知AB＝5(3＋)n mile， ∠DBA＝90°－60°＝30°，∠DAB＝90°－45°＝45°， ∴∠ADB＝180°－(45°＋30°)＝105°， 在△ADB中，由正弦定理得＝， ∴DB＝＝ ＝ ＝＝10(n mile)， 又∠DBC＝∠DBA＋∠ABC＝30°＋(90°－60°)＝60°，BC＝20(n mile)， 在△DBC中，由余弦定理得 CD2＝BD2＋BC2－2BD·BC·cos∠DBC ＝300＋1 200－2×10×20×＝900， ∴CD＝30(n mile)． 则需要的时间t＝＝1(h)． 所以救援船到达D点需要1 h. [变式训练] 3．为了测量两山顶M，N间的距离，飞机沿水平方向在A，B两点进行测量．A，B，M，N在同一个铅垂平面内(如图)．飞机能够测量的数据有俯角和A，B间的距离．请设计一个方案，包括：①指出需要测量的数据(用字母表示，并在图中标出)；②用文字和公式写出计算M，N间的距离的步骤． 解：①需要测量的数据有：A观测到M，N的俯角α1，β1，B观测M，N的俯角α2，β2；A，B间的距离d(如图所示)． ②法一　第一步：计算AM.在△ABM中由正弦定理得 AM＝； 第二步：计算AN，在△ABN中，由正弦定理得 AN＝； 第三步：计算MN.在△AMN中由余弦定理得 MN＝. 法二　第一步：计算BM.在△ABM中由正弦定理得BM＝； 第二步：计算BN.在△ABN中由正弦定理得 BN＝； 第三步：计算MN.在△BMN中由正弦定理得 MN＝. 学科网（北京）股份有限公司 $