11.4.2 第一课时 平面与平面垂直的判定-【创新教程】2025-2026学年高中数学必修第四册五维课堂教师用书word（人教B版）

本讲义聚焦高中数学“平面与平面垂直的判定”核心知识点，先通过二面角的定义、平面角的度量（含“作、证、指、算”步骤）构建基础，再衔接平面与平面垂直的定义及判定定理（线面垂直推面面垂直），形成从概念到应用的完整学习支架。 以“门的旋转”情境引入培养直观想象，通过问题链（如二面角平面角的三个条件）深化数学抽象，结合四棱锥、空间四边形等实例强化逻辑推理。课中助力教师引导学生构建知识体系，课后练习题帮助学生巩固判定方法，查漏补缺。

11.4.2　平面与平面垂直 第一课时　平面与平面垂直的判定 课程标准 素养解读 1.借助长方体，通过直观感知，归纳出平面与平面垂直的判定定理及性质定理，并加以证明． 2．会应用平面与平面垂直的判定定理证明平面与平面垂直. 通过探究发现及应用平面与平面垂直的判定定理和性质定理，重点培养数学抽象素养及提升逻辑推理素养和直观想象素养. [情境引入] 　我们常说“把门开大一点”，当门绕着门轴旋转时，门所在的平面与墙面形成了一个角． 问题　如何描述和度量门所在平面与墙面所形成的角？ 提示　用二面角的平面角来度量． [知识梳理] [知识点一]　二面角　 1．二面角的定义 (1)半平面：平面内的一条直线把平面分成两部分，这两部分都叫作半平面． (2)二面角：从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫作二面角．这条直线叫作二面角的棱，这两个半平面叫作二面角的面；如图(1)(2)，棱为AB或l，面分别为α，β. 2．二面角的表示方法 (1)棱为AB，面分别为α，β的二面角记作二面角α－AB－β，如上图(1)． (2)棱为l，面分别为α，β的二面角记作：二面角α－l－β，如上图(2)． (3)若在α，β面内分别取不在棱上的点P，Q，这个二面角可记作二面角P－AB－Q，如上图(1)． 1.两个平面相交，构成几个二面角？它们的平面角的大小有什么关系？ [提示]　4个．相对的两个二面角相等，相邻的两个二面角互补． 2．二面角的大小范围是多少？ [提示]　二面角的平面角的范围是[0，π]，当两个半平面重合时，平面角为0；当两个半平面合成一个平面时，平面角为π. 3．二面角的平面角的大小和在棱上所选点的位置有关吗？ [提示]　根据“等角定理”可知，二面角的平面角的大小和棱上所选的点无关． 3．二面角的平面角、直二面角 (1)二面角的平面角：在二面角的棱上任取一点，以该点为垂足，在两个半平面内分别作垂直于棱的射线，则这两条射线所构成的角叫作二面角的平面角．如上图(1)，O为棱AB上任意一点，在平面α内过点O作OP⊥AB，在平面β内过点O作OQ⊥AB，则∠POQ为二面角α－AB－β的平面角． (2)二面角的大小：二面角的大小可以用它的平面角来度量，二面角的平面角是多少度，就说这个二面角是多少度． (3)直二面角：平面角是直角的二面角叫作直二面角． [知识剖析] (1)二面角的大小与棱上取点的位置无关．一个二面角的平面角有无数个，它们的大小是相等的． (2)二面角的平面角必须具备三个条件：①二面角的平面角的顶点在二面角的棱上；②二面角的平面角的两条边分别在二面角的两个半平面内；③二面角的平面角的两条边都与棱垂直．前两个条件决定了二面角的平面角在同一个平面内，第三个条件决定了二面角的平面角大小的唯一性和平面角所在的平面与棱垂直． (3)二面角的平面角θ的范围是0°≤θ≤180°.当两个半平面重合时，θ＝0°；当两个半平面合成一个平面时，θ＝180°. 4．二面角和它的平面角的画法 画二面角和它的平面角，最常用的有以下两种方法： (1)直立式画法，如图甲、乙； (2)平卧式画法，如图丙、丁． 5．求二面角的平面角的步骤 (1)找到或作出二面角的平面角； (2)证明(1)中的角就是所求的角； (3)计算出此角的大小． 以上步骤可概括为“一作、二证、三计算”． [知识点二]　平面与平面垂直　 1．平面与平面垂直的定义 一般地，两个平面相交，如果它们所成的二面角是直二面角，就说这两个平面互相垂直． [知识剖析] 两个平面互相垂直是两个平面相交的特殊情况．两直线垂直是利用两条直线所成的角是直角来定义的，两平面垂直是利用两相交平面所成的二面角是直二面角来定义的． 2．两个平面互相垂直的画法 在画两个互相垂直的平面时，通常将表示直立平面的平行四边形的竖边画成和表示水平平面的平行四边形的横边垂直，如图(1)(2)，平面α与平面β垂直，记作α⊥β. [知识点三]　平面与平面垂直的判定定理　 (1)文字语言：如果一个平面过另一个平面的垂线，那么这两个平面垂直． (2)图形语言：如图(1)(2)． (3)符号语言：l⊂β，l⊥α⇒β⊥α. 4.证明面面垂直的关键是什么？判定定理的实质是什么？ [提示]　(1)判定定理简记为“若线面垂直，则面面垂直”．因此要证明平面与平面垂直，可转化为寻找其中一个平面的垂线，即证线面垂直． (2)两个平面垂直的判定定理不仅是判定两个平面互相垂直的依据，而且是找出与一个平面垂直的平面的依据．如建筑工人在准备砌墙时，常常在较高处固定一条下端系有铅锤的线，再沿着该线砌墙，这样就能保证所砌的墙面与水平面垂直． [预习自测] 1．直线l⊥平面α，l⊂平面β，则α与β的位置关系是(　　) A．平行　　　 B．可能重合 C．相交且垂直 D．相交不垂直 解析：C　[由面面垂直的判定定理知C正确．] 2．不能肯定两个平面一定垂直的情况是(　　) A．两个平面相交，所成二面角是直二面角 B．一个平面经过另一个平面的一条垂线 C．一个平面垂直于另一个平面内的一条直线 D．平面α内的直线a与平面β内的直线b是垂直的 解析：D　[直二面角表示两平面垂直，B是判定定理，C也符合判定定理．] 3．若P是△ABC所在平面外一点，而△PBC和△ABC都是边长为2的正三角形，PA＝，那么二面角P－BC－A的大小为　________　. 解析：如图，取BC的中点D，连接DA，DP，则∠PDA为二面角P－BC－A的平面角．∵DP＝DA＝，PA＝，∴DP2＝DA2＝PA2，∴∠PDA＝90°. 答案：90° 平面与平面垂直的基本问题 [例1]　已知m、l是直线，α、β是平面，给出下列说法： ①若l垂直于α内两条相交直线，则l⊥α； ②m⊂α，l⊂β，且l⊥m，则α⊥β； ③若l⊂β，且l⊥α，且α⊥β； ④若m⊂α，l⊂β，且α∥β，则l∥m. 其中正确的序号是　________　. [思路点拨]　依据线面垂直，面面垂直的判定定理判断． [解析]　①③符合线面垂直，面面垂直的判定定理；②错误，并不能得出α⊥β；④错误，l与m可以异面． [答案]　①③ 对于用符号语言表示的命题形式的判定，一是将符号语言转化为图形语言，结合定理判定其正确性；二是利用模型(几何体)进行验证． [变式训练] 1．已知直线a，b与平面α、β、γ，下列能使α⊥β成立的条件是(　　) A．α⊥γ，β⊥γ　　　 B．α∩β＝a，b⊥a，b⊂β C．α∥β，a∥α D．a∥α，a⊥β 解析：D　[由a∥α，知α内必有直线l与a平行，而a⊥β，∴l⊥β，∴α⊥β.] 用判定定理判断面面垂直 [例2]　如图，在四棱锥S－ABCD中，底面四边形ABCD是平行四边形，SC⊥平面ABCD，E为SA的中点．求证：平面EBD⊥平面ABCD. [思路点拨]　欲证平面EBD⊥平面ABCD，只需在平面EBD内找到一条直线垂直于平面ABCD，而已知SC⊥平面ABCD，故只需在平面EBD内找一条直线与SC平行即可． [证明]　如图，连接AC，与BD交于点F，连接EF. ∵F为▱ABCD对角线AC与BD的交点，∴F为AC的中点． ∵E为SA的中点，∴EF为△SAC的中位线，∴EF∥SC. ∵SC⊥平面ABCD，∴EF⊥平面ABCD. 又∵EF⊂平面EBD，∴平面EBD⊥平面ABCD. 利用判定定理证明面面垂直的一般方法：先从已知条件的直线中寻找平面的垂线，若这样的垂线存在，则可通过线面垂直来证明面面垂直；若这样的垂线不存在，则需通过作辅助线来解决． [变式训练] 2．如图所示，在空间四边形ABCD中，AB＝BC，AD＝DC，E，F，G分别是AD，DC，CA的中点． 求证：平面BEF⊥平面BDG. 证明：连接EG，FG.∵E，F，G分别是AD，DC，CA的中点，且AD＝DC， ∴DFEG，且DF＝DE， ∴四边形EDFG为菱形，∴EF⊥DG， 又∵AB＝BC，AG＝GC，∴AC⊥BG， 又∵EF∥AC，∴EF⊥BG.又DG∩BG＝G，∴EF⊥平面BDG，又∵EF⊂平面BEF，∴平面BEF⊥平面BDG. 求二面角 [例3]　如图所示，在△ABC中，AB⊥BC，SA⊥平面ABC，DE垂直平分SC，且分别交AC，SC于点D，E，又SA＝AB，SB＝BC. (1)证明：BD⊥平面SAC； (2)求二面角E－BD－C的大小． [思路点拨]　求二面角大小要先找出二面角的平面角，然后在三角形内求解． (1)[证明]　∵SB＝BC，且E为SC的中点， ∴BE⊥SC，又∵DE⊥SC，BE∩DE＝E， ∴SC⊥平面BDE，又BD⊂平面BDE， ∴BD⊥SC. ∵SA⊥平面ABC，BD⊂平面ABC， ∴SA⊥BD，又SA∩SC＝S，∴BD⊥平面SAC. (2)[解]　由(1)BD⊥平面SAC及AC，DE⊂平面SAC，可得BD⊥DE，BD⊥AC， ∴∠EDC为二面角E－BD－C的平面角， 设SA＝a，则AB＝a， 在Rt△ABS中，SB＝a，∴BC＝a. 在Rt△ABC中，AC＝＝a， ∴SC＝2a，∴∠ASC＝60°， 又∵∠EDC＝∠ASC，∴∠EDC＝60°， ∴二面角E－BD－C的大小为60°. 1．求二面角的步骤是：(1)作出二面角的平面角；(2)证明该角两边都与棱垂直；(3)指出该角就是二面角的平面角；(4)计算该角的大小、简记为作、证、指、算． 2．(1)定义法：在二面角的棱上找一点，在两个半平面内过该点分别作垂直于棱的射线． (2)垂面法：过棱上一点作与棱垂直的平面，该平面与二面角的两个半平面形成两条交线，这两条射线(交线)所成的角，即二面角的平面角． (3)垂线法：利用线面垂直的性质来寻找二面角的平面角，这是最常用也是最有效的一种方法． [变式训练] 3.如图．已知Rt△ABC，斜边BC⊂α，点A∉α，AO⊥α，O为垂足，∠ABO＝30°，∠ACO＝45°，求二面角A－BC－O的大小． 解：如图，在平面α内，过点O作OD⊥BC，垂足为D，连接AD. 设OC＝a. ∵AO⊥α，BC⊂α，∴AO⊥BC. 又∵AO∩OD＝O，∴BC⊥平面AOD. 又∵AD⊂平面AOD， ∴AD⊥BC，∴∠ADO是二面角A－BC－O的平面角． 由AO⊥α，OB⊂α，OC⊂α，知AO⊥OB，AO⊥OC. 又∵∠ABO＝30°，∠ACO＝45°，CO＝a， ∴AO＝a，AC＝a，AB＝2a. 在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，∴BC＝＝a， ∴AD＝＝＝a. 在Rt△AOD中，sin∠ADO＝＝＝. ∴∠ADO＝60°，即二面角A－BC－O的大小是60°. 1．二面角是(　　) A．两平面相交所成的角 B．一个平面绕该平面的一条直线旋转所成的图形 C．从一条直线出发的两个半平面所组成的图形 D．从一个平面内一条直线出发的一个半平面与该平面所组成的图形 解析：C　[由二面角定义可知，故C.] 2．下列命题中正确的是(　　) A．平面α和β分别过两条互相垂直的直线，则α⊥β B．若平面α内的一条直线垂直于平面β内的两条平行直线，则α⊥β C．若平面α内的一条直线垂直于平面β内的两条相交直线，则α⊥β D．若平面α内的一条直线垂直于平面β内的无数条直线，则α⊥β 解析：C　[当平面α和β分别过两条互相垂直且异面的直线时，平面α和β有可能平行，故A错；由直线与平面垂直的判定定理知，B、D错，C正确．] 3．把等腰直角△ABC沿斜边BC上的高AD折成一个二面角，此时∠BAC＝60°，则此二面角的大小是　________　. 解析：此二面角的平面角为∠BDC，设AD＝1，则AB＝AC＝，又∵∠BAC＝60°，∴BC＝，在△BDC中，BD＝CD＝1，∴BD2＋CD2＝BC2， ∴∠BDC＝90°. 答案：90° 4．在长方体ABCD－A1B1C1D1中，AB＝AD＝2，CC1＝，则二面角C1－BD－C的大小为　________　. 解析：如图所示，取BD中点O，连接OC，OC1， ∵AB＝AD＝2，∴OC⊥BD，CO＝. ∵CD＝BC，∴C1D＝C1B，∴C1O⊥BD. ∴∠C1OC为二面角C1BDC的平面角． tan∠C1OC＝＝＝. ∴∠C1OC＝30°，即二面角C1BDC的大小为30°. 答案：30° 5．如图，过S点引三条长度相等但不共面的线段SA，SB，SC，且∠ASB＝∠ASC＝60°，∠BSC＝90°， 求证：平面ABC⊥平面BSC. 证明：如图，取BC中点D，由SA＝SB＝SC，∠ASB＝∠ASC＝60°，得AB＝AC＝SA. 连接SD，AD，则AD⊥BC，SD⊥BC，∴∠ADS是二面角A－BC－S的平面角． 又∠BSC＝90°，令SA＝1，则SD＝，AD＝， ∴SD2＋AD2＝SA2，∴∠ADS＝90°. ∴平面ABC⊥平面BSC. 1．空间四边形ABCD中，若AD⊥BC，BD⊥AD，那么有(　　) A．平面ABC⊥平面ADC B．平面ABC⊥平面ADB C．平面ABC⊥平面DBC D．平面ADC⊥平面DBC 解析：D　[⇒⇒平面ADC⊥平面DBC.] 2．如图，PA垂直于矩形ABCD所在的平面，则图中与平面PCD垂直的平面是(　　) A．平面ABCD　　　 B．平面PBC C．平面PAD D．平面PAB 解析：C　[∵PA⊥CD，AD⊥CD，PA∩AD＝A， ∴CD⊥平面PAD，又CD⊂平面PCD，∴平面PCD⊥平面PAD.] 3．在三棱锥A－BCD中，若AD⊥BC，BD⊥AD，△BCD是锐角三角形，那么必有(　　) A．平面ABD⊥平面ADC B．平面ABD⊥平面ABC C．平面ADC⊥平面BCD D．平面ABC⊥平面BCD 解析：C　[由AD⊥BC，BD⊥AD，∴AD⊥平面BCD，又AD⊂平面ADC，∴平面ADC⊥平面BCD.] 4.如图，设P是正方形ABCD外一点，且PA⊥平面ABCD，则平面PAB与平面PBC、平面PAD的位置关系是(　　) A．平面PAB与平面PBC、平面PAD都垂直 B．它们两两垂直 C．平面PAB与平面PBC垂直，与平面PAD不垂直 D．平面PAB与平面PBC、平面PAD都不垂直 解析：A　[∵PA⊥平面ABCD，BC⊂平面ABCD，∴PA⊥BC. 又BC⊥AB，PA∩AB＝A， ∴BC⊥平面PAB.∵BC⊂平面PBC， ∴平面PBC⊥平面PAB. 由AD⊥PA，AD⊥AB，PA∩AB＝A，得AD⊥平面PAB. ∵AD⊂平面PAD，∴平面PAD⊥平面PAB. 由已知易得平面PBC与平面PAD不垂直，故选A.] 5．(多选题)下列命题，正确的是(　　) A．两个相交平面组成的图形叫做二面角 B．异面直线a，b分别和一个二面角的两个面垂直，则a，b组成的角与这个二面角的平面角相等或互补 C．二面角的平面角是从棱上一点出发，分别在两个面内作射线所成角的最小角 D．二面角的大小与其平面角的顶点在棱上的位置没有关系 解析：BD　[A.不符合二面角定义，C从运动的角度演示可知，二面角的平面角不是最小角，故选BD.] 6．(多选题)设l，m，n表示三条不同的直线，α，β，γ表示三个不同的平面，给出下列四个选项中正确的是(　　) A．若l∥α，m∥l，m⊥β，则α⊥β B．若m⊥α，m⊥n，则n∥α C．若m，n为异面直线，m∥α，n∥α，m∥β，n∥β，则α∥β D．若α⊥β，α⊥γ，则γ⊥β 解析：AC　[对于B，n有可能在α内，错误；对于D，则可能有α∥β，错误；AC正确．] 7．ABCD是正方形，PA⊥平面ABCD，则二面角B－PA－C的平面角的度数为　________　. 解析： ∵PA⊥平面ABCD，AB⊂平面ABCD，AC⊂平面ABCD，∴PA⊥AB，PA⊥AC，即∠BAC即为二面角B－PA－C的平面角，又在正方形中∠BAC＝45°，故所求二面角的平面角为45°. 答案：45° 8．如图，四棱锥P－ABCD中，底面ABCD是矩形，PA⊥底面ABCD，则这个五面体的五个面中两两互相垂直的共有　________　对． 解析：因为PA⊥平面ABCD，所以平面PDA⊥平面AB－CD，平面PAB⊥平面ABCD，又因为四边形ABCD为矩形，所以AB⊥平面PAD，得平面PAB⊥平面PAD，同理可得平面PBC⊥平面PAB，平面PAD⊥平面PCD.故图中互相垂直的平面共有5对． 答案：5 9．如图，△ABC是等腰直角三角形，∠BAC＝90°，AB＝AC＝1，将△ABC沿斜边BC上的高AD折叠，使平面ABD⊥平面ACD，则折叠后BC＝　________　，∠BAC＝　________　. 解析：因为AD⊥BC，所以AD⊥BD，AD⊥CD，所以∠BDC是二面角B－AD－C的平面角．因为平面ABD⊥平面ACD，所以∠BDC＝90°.在△BCD中，∠BDC＝90°，BD＝CD＝，所以BC＝＝1. 则△ABC为正三角形，所以∠BAC＝60°. 答案：1　60° 10.如图，在四面体ABCD中，BD＝a，AB＝AD＝CB＝CD＝AC＝a.求证：平面ABD⊥平面BCD. 证明：取BD的中点E，连接AE，CE， 因为△ABD与△BCD是等腰三角形， 所以AE⊥BD，BD⊥CE. 所以∠AEC是二面角A－BD－C的平面角． 在△ABD中，AB＝a，BE＝BD＝a， 所以AE＝＝a. 同理CE＝a.在△AEC中，AE＝CE＝a，AC＝a. 由于AC2＝AE2＋CE2，所以AE⊥CE，所以∠AEC＝90°，所以平面ABD⊥平面BCD. 11．如图所示，在长方体ABCD－A1B1C1D1中，AB＝AD＝1，AA1＝2，M是棱CC1的中点．证明：平面ABM⊥平面A1B1M. 证明：由长方体的性质可知A1B1⊥平面BCC1B1，又因为BM⊂平面BCC1B1，所以A1B1⊥BM.又因为CC1＝2，M为CC1的中点，所以C1M＝CM＝1.在Rt△B1C1M中B1M＝＝，同理BM＝＝，又因为B1B＝2，所以B1M2＋BM2＝B1B2，从而BM⊥B1M.又因为A1B1∩B1M＝B1，A1B1，B1M⊂平面A1B1M，所以BM⊥平面A1B1M，因为BM⊂平面ABM，所以平面ABM⊥平面A1B1M. 12.如图所示，在四棱锥P－ABCD中，PA⊥底面ABCD，且底面各边都相等，M是PC上的一动点，当点M满足　________　时，平面MBD⊥平面PCD.(只要填写一个你认为是正确的条件即可) 解析：连接AC.∵底面ABCD的各边都相等， ∴BD⊥AC. ∵PA⊥底面ABCD，BD⊂平面ABCD， ∴BD⊥PA. 又PA∩AC＝A，∴BD⊥平面PAC. 又PC⊂平面PAC，∴BD⊥PC. ∴当DM⊥PC(或BM⊥PC)时， 即有PC⊥平面MBD，而PC⊂平面PCD， ∴平面MBD⊥平面PCD. 答案：DM⊥PC(或BM⊥PC等，答案不唯一) 13．(2021·全国乙卷(文)，18)如图，四棱锥P－ABCD的底面是矩形，PD⊥底面ABCD，M为BC的中点，且PB⊥AM. (1)证明：平面PAM⊥平面PBD； (2)若PD＝DC＝1，求四棱锥P－ABCD的体积． 解析：(1)证明：∵PD⊥平面ABCD， AM⊂平面ABCD， ∴PD⊥AM. ∵PD⊥AM，PB⊥AM，PB∩PD＝D，PB⊂平面PBD，PD⊂平面PBD， ∴AM⊥平面PBD. 又∵AM⊂平面PAM. ∴平面PAM⊥平面PBD. (2)∵M为BC的中点， ∴BM＝AD，且AB＝DC＝1①. ∵AM⊥平面PBD，BD⊂平面PBD， ∴AM⊥BD. 则有∠BAM＋∠MAD＝90°，∠MAD＋∠ADB＝90°，即∠BAM＝∠ADB， 则有△BAM∽△ADB，则有＝②， 将①式代入②，解得AD＝. 所以S▱ABCD＝AD·DC＝×1＝. VP－ABCD＝S▱ABCD·PD＝××1＝. 答案：(1)见解析；(2)VP－ABCD＝ 学科网（北京）股份有限公司 $