11.1.6 第一课时 祖暅原理与柱体、锥体的体积-【创新教程】2025-2026学年高中数学必修第四册五维课堂教师用书word（人教B版）

本讲义聚焦高中数学“祖暅原理与柱体、锥体的体积”核心内容，先通过“幂势既同，则积不容异”的祖暅原理建立体积计算理论基础，再推导柱体（V=Sh）、锥体（V=1/3 Sh）体积公式，结合例题与变式训练形成从原理到应用的完整学习支架。 资料以瓶子装水情境引入激发兴趣，注重直观想象与数学运算素养培养，如等积变换法求体积提升空间观念，课中例题解析助教师高效授课，课后练习题与预习自测帮助学生巩固知识，查漏补缺，强化知识应用能力。

11.1.6　祖暅原理与几何体的体积 第一课时　祖暅原理与柱体、锥体的体积 课程标准 素养解读 1.了解祖暅原理 2．掌握柱体、锥体的体积公式，会利用它们求有关几何体的体积 通过求柱体、锥体的体积，培养学生的直观想象素养，提升学生的数学运算素养 [情境引入] 　如图1所示，一个装了水的密封瓶子，其内部可以看成是由半径为1 cm和半径为3 cm的两个圆柱组成的简单几何体．当这个几何体如图2所示水平放置时，液面高度为20 cm；当这个几何体如图3所示水平放置时，液面高度为28 cm，如何求这个简单几何体的总高度． [知识梳理] [知识点一]　祖暅原理　 1．祖暅原理的概念：“幂势既同，则积不容异”，即“夹在两个平行平面间的两个几何体，如果被平行于这两个平面的任意平面所截，两个截面的面积总相等，那么这两个几何体的体积相等”． 2．祖暅原理的应用：等底面积、等高的两个柱体或锥体的体积相等． [知识点二]　柱体、锥体的体积公式　 1．柱体、锥体的体积公式： 名称 体积(V) 柱体 棱柱 Sh(S为底面面积，h为高) 圆柱 πr2h(r为底面半径) 锥体 棱锥 Sh(S为底面面积，h为高) 圆锥 πr2h(r为底面半径) 1.当几何体的形状不规则时，如何求体积？ [提示]　当几何体形状不规则时，常用分割或补形的方法将其变为一个或几个规则的、体积易求的几何体，再求其体积． 2．锥体中平行于底面的截面具有哪些性质？ [提示]　在锥体与平行于底面的截面所构成的小锥体中，有如下比例关系：＝＝＝对应线段(如高、斜高、底面边长等)的平方之比，＝对应线段(如高、斜高、底面边长等)的立方之比． [预习自测] 1．一个正三棱锥的底面边长为6，侧棱长为，那么这个正三棱锥的体积是(　　) A．9　　B.　　　C．7　　　D. 解析：A　[设正三棱锥高为h，则有h＝＝，所以V＝××62×＝9.] 2．若圆柱的侧面展开图是长12 cm、宽8 cm的矩形，则这个圆柱的体积为　________　cm3. 解析：设圆柱的底面半径为r cm，高为h cm，则或∴或 ∴V＝πr2h＝ cm3或 cm3. 答案：或 3．三棱锥P－ABC中，PA⊥底面ABC，PA＝3，底面ABC是边长为2的正三角形，则三棱锥P－ABC的体积为　________　. 解析：由棱锥的体积公式，得三棱锥P－ABC的体积为××22×3＝. 答案： 柱体的体积 [例1]　已知等边圆柱(轴截面是正方形的圆柱)的表面积为S，求其内接正四棱柱的体积． [思路点拨]　直接利用柱体的体积公式求解． [解]　如图所示，设圆柱OO1为等边圆柱，正四棱柱ABCD－A1B1C1D1是圆柱OO1的内接正四棱柱． 设圆柱的底面半径为r，则高h＝2r. ∵S表＝S侧＋2S底＝2πrh＋2πr2＝6πr2＝S，∴r＝.又正四棱柱ABCD－A1B1C1D1的底边边长为AB＝2rsin 45°＝r， ∴正四棱柱ABCD－A1B1C1D1的体积V＝S底·h＝(r)2·2r＝4r3＝4()3＝. 故该圆柱的内接正四棱柱的体积为. 棱柱和圆柱都是柱体，V柱体＝S·h，关键是找出相应的底面面积和高． [变式训练] 1．底面为正三角形的直棱柱的侧面的一条对角线长为2，且与该侧面内的底边所成的角为45°，求此三棱柱的体积． 解：如图所示，由条件知此三棱柱为正三棱柱． ∵正三棱柱的面对角线AB1＝2，∠B1AB＝45°. ∴AB＝2×sin 45°＝＝BB1. ∴V三棱柱＝S△ABC·BB1＝×()2×＝. 锥体的体积 [例2]　如图，四棱锥PABCD的底面是边长为1的正方形，PA⊥CD，PA＝1，PD＝，求此四棱锥的体积． [思路点拨]　直接利用锥体的体积公式求解． [解]　在△PAD中，PA＝AD＝1，PD＝， ∴PA2＋AD2＝PD2. ∴PA⊥AD，又PA⊥CD，且AD∩CD＝D， ∴PA⊥平面ABCD，从而PA是底面ABCD上的高， ∴V四棱锥＝S正方形ABCD·PA＝×12×1＝. (1)求锥体体积常利用锥体体积的计算公式V＝S底h直接计算． (2)当锥体不易直接计算时，注意应用间接法求解． [变式训练] 2．(1)用半径为R的半圆卷成一个圆锥，则它的体积为(　　) A.πR3　　　　　 B.πR C.πR3 D.πR3 (2)如图所示，已知ABCD－A1B1C1D1是棱长为a的正方体，E，F分别为AA1，CC1的中点，则四棱锥A1－EBFD1的体积为　________　. 解析：(1)设圆锥的底面圆的半径为r，高为h， 则2πr＝πR，所以r＝，且h＝＝，所以圆锥的体积 V＝πr2h＝π×2×＝πR3. (2)因为EB＝BF＝FD1＝D1E＝＝a，D1F∥EB， 所以四边形EBFD1是菱形． 连接EF，则△EFB≌△EFD1， 易知三棱锥A1－EFB与三棱锥A1－EFD1的高相等， 答案：(1)A　(2)a3 等积变换法求锥体的体积 [例3]　如图所示，直三棱柱ABC－A1B1C1的侧棱和底面边长都是a，截面AB1C和截面A1BC1相交于DE，求三棱锥B－B1DE的体积． [思路点拨]　等积变换法也称等积变形法或等积转换法，它是通过变换合适的底面来求几何体体积的一种方法．求三棱锥的体积时常采用此方法． 等积变换法：利用三棱锥的“等积性”，即体积计算时可以以任意一个面作为三棱锥的底面，在求三棱锥体积或点到面的距离时，可选择容易计算的方式． [变式训练] 3．如图所示的正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为a，则三棱锥A1－AB1D1的高为　________　；体积为　________　. 解析：设三棱锥A1－AB1D1的高为h， 则＝h××(a)2＝. 因为＝＝a×a2＝， 所以＝，所以h＝a， 所以三棱锥A1－AB1D1的高为a. 答案：a　 1．下列命题中正确的是(　　) A．夹在两条平行线间的两个平面图形，被截得的线段总相等，则这两个平面图形的面积相等 B．经过长方体相对的两个面的中心的任意平面，把长方体分成体积相等的两个柱体 C．夹在两个平行平面间的棱柱和圆柱，若轴截面的面积相等，则这两个几何体的体积相等 D．夹在两个平行平面间的任意几何体，只要截面面积相等，则体积相等 解析：B　[根据祖暅原理进行判断，故选B.] 2．在梯形ABCD中，∠ABC＝，AD∥BC，BC＝2AD＝2AB＝2，将梯形ABCD绕AD所在直线旋转一周而形成的曲面所围成的几何体的体积为(　　) A.　B.　　C.　　D．2π 解析：C　[如图所示，此几何体是底面半径为1，高为2的圆柱挖去一个底面半径为1，高为1的圆锥，故所求体积V＝2π－＝.] 3．如图，ABC－A′B′C′是体积为1的棱柱，则四棱锥C－AA′B′B的体积是　________　. 解析：∵＝＝， ∴＝1－＝. 答案： 4．如图所示，在棱长为4的正方体ABCD－A1B1C1D1中，P是A1B1上一点，且PB1＝A1B1，则四棱锥P－BCC1B1的体积为　________　. 解析：PB1＝A1B1＝1，V＝·＝×16×1＝. 答案： 5．在Rt△ABC中，AB＝3，BC＝4，∠ABC＝90°，把△ABC绕其斜边AC所在的直线旋转一周后，所形成的几何体的体积是多少？ 解：如图所示，两个圆锥的底面半径为斜边上的高BD， 且BD＝＝， 两个圆锥的高分别为AD和DC，所以V＝V1＋V2＝ πBD2·AD＋πBD2·CD ＝πBD2·(AD＋CD)＝πBD2·AC＝π×2×5＝π. 故所形成的几何体的体积是π. 1．正方体的表面积为96，则正方体的体积为(　　) A．48　　　　　　　 B．64 C．16 D．96 解析：B　[设正方体的棱长为a，则6a2＝96，∴a＝4，故V＝a3＝43＝64.] 2．将两个棱长为10 cm的正方体铜块熔化后铸成一个底面边长为5 cm的正四棱柱，则该正四棱柱的高为(　　) A．8 cm B．80 cm C．40 cm D. cm 解析：B　[设正四棱柱的高为h cm，根据题意，得5×5×h＝2×103，解得h＝80.故选B.] 3．若正方体的棱长为，则以该正方体各个面的中心为顶点的凸多面体的体积为(　　) A. B. C. D. 解析：B　[由题意知，以正方体各个面的中心为顶点的凸多面体是正八面体(即由两个同底等高的正四棱锥组成)，所有棱长均为1，其中每个正四棱锥的高均为，故正八面体的体积V＝2V正四棱锥＝2××12×＝.故选B.] 4．(2021·北京卷，8)定义：24小时内降水在平地上积水厚度(mm)来判断降雨程度，其中小雨(＜10 mm)，中雨(10 mm－25 mm)，大雨(25 mm－50 mm)，暴雨(50 mm－100 mm)，小明用一个圆锥形容器接了24小时的雨水，如图，则这天降雨属于哪个等级(　　) A．小雨 B．中雨 C．大雨 D．暴雨 解析：B　[按相似，小圆锥的底面半径r＝ mm＝50 mm，故V小锥＝×π×502×150 mm3＝503·π mm3，积水厚度h＝＝ mm＝12.5 mm，属于中雨，选B.] 5．(多选题)一个圆柱和一个圆锥的轴截面分别是边长为a的正方形和正三角形，则它们的表面积分别为(　　) A.πa2 B.πa2 C.πa2 D.πa2 解析：BD　[S柱＝2×π2＋2π··a＝ πa2，S锥＝π2＋π··a＝πa2.] 6．圆柱的侧面展开图是长12 cm、宽8 cm的矩形，则这个圆柱的体积为　________　 cm3(　　) A．288 π B．192 π C. D. 解析：CD　[设圆柱的底面半径为r cm，高为 h cm，则，或 ∴或 ∴V＝πr2h＝cm3或cm3.] 7．正三棱柱底面边长为2，高为1，则其体积为　________　. 解析：底面积S＝×22＝，所以V＝. 答案： 8.如图所示，三棱锥的顶点为P，PA，PB，PC为三条侧棱，且PA，PB，PC两两互相垂直，已知PA＝2，PB＝3，PC＝4，三棱锥P­ABC的体积V＝　________　. 解析：V＝·S·h＝·S△PAC·PB＝××2×4×3＝4. 答案：4 9．(多空题)正三棱柱的侧面积为54 cm2，体积为45 cm3，则此棱柱的高为　________　 cm，底面边长为 　________　 cm. 解析：设底面边长为a cm，高为h cm，则3ah＝54，且a2h＝45，解得a＝10，h＝. 答案：　10 10．如图，已知ABCD－A1B1C1D1是棱长为a的正方体，E为AA1的中点，F为CC1上一点，求三棱锥A1－D1EF的体积． 11．如图，直三棱柱ABC－A1B1C1的高为6 cm，底面三角形的边长分别为3 cm,4 cm,5 cm.以上、下底的内切圆为底面，挖去一个圆柱，求剩余部分形成的几何体的表面积和体积． 解：因为32＋42＝52，所以底面是直角三角形．所以上、下底面内切圆半径r＝＝1(cm)．所以S表＝(3＋4＋5)×6＋2×－2π×12＋2π×1×6＝72＋12－2π＋12π＝(84＋10π)(cm2)，V＝×3×4×6－π×12×6＝(36－6π)(cm3)．故剩余部分形成几何体的表面积是(84＋10π)(cm2)，体积是(36－6π)(cm3)． 12．(2021·天津卷，6)两个圆锥的底面是一个球的同一截面，顶点均在球面上，若球的体积为，两个圆锥的高之比为1∶3，则这两个圆锥的体积之和为(　　) A．3π B．4π C．9π D．12π 解析：B　[如图所示，设两个圆锥的底面圆圆心为点D， 设球的半径为R，则＝，可得R＝2， 因为圆锥AD和圆锥BD的高之比为3∶1， 即AD＝3BD， 所以，AB＝AD＋BD＝4BD＝4， 所以，BD＝1，AD＝3 ， 因为CD⊥AB，则∠CAD＋∠ACD＝∠BCD＋∠ACD＝90°，所以，∠CAD＝∠BCD， 又因为∠ADC＝∠BDC，所以，△ACD∽△CBD， 所以，＝，∴CD＝＝， 因此，这两个圆锥的体积之和为π×CD2·(AD＋BD)＝π×3×4＝4π. 故选：B.] 13．如图所示，正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为a，过顶点B，D，A1截下一个三棱锥． (1)求剩余部分的体积； (2)求三棱锥A－A1BD的高． 解：(1)由题意，正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为a，则正方体的体积为V正方体＝a3，根据三棱锥的体积公式，可得＝·S△ABD·A1A＝··AB·AD·A1A＝a3 所以剩余部分的体积V＝V正方体－＝a3－a3＝a3； (2)由(1)知＝＝a3， 设三棱锥A－A1BD的高为h，则＝··h＝×××(a)2×h＝a2h，故a2h＝a3，解得h＝a. 学科网（北京）股份有限公司 $