11.1.6 第二课时 台体与球的体积-【创新教程】2025-2026学年高中数学必修第四册五维课堂教师用书word（人教B版）

本讲义聚焦台体与球的体积计算这一核心知识点，系统梳理台体体积公式、球体积公式及组合体体积计算方法，通过情境引入（街道大理石球体积问题）激发思考，经知识梳理明确公式及台体与柱锥体积公式的联系，再以预习自测、例题变式（台体、球、组合体体积及切接问题）构建从基础到应用的学习支架。 该资料以生活情境（街道大理石球）培养直观想象素养，通过台体与柱锥体积公式关联推导发展逻辑推理能力，例题中组合体体积计算（如梯形旋转形成的圆柱挖圆锥模型）强化数学运算。课中辅助教师分层教学，课后练习题助力学生查漏补缺，有效提升知识应用能力。

第二课时　台体与球的体积 课程标准 素养解读 1.掌握台体和球的体积公式 2．会计算台体、球的体积，利用体积公式解决有关组合体问题 运用台体、球的体积公式进行计算，培养学生的直观想象素养和逻辑推理素养，提升学生的数学运算素养 [情境引入] 　街道旁，随时能见到用大理石磨成的光滑的大球． 问题　如何计算球的体积？ 提示　V球＝πR3. [知识梳理] [知识点一]　　 1．台体的体积 棱台与圆台统称为台体，台体的体积的计算公式是V台体＝　h(S＋＋S′)　，其中，S′，S分别是台体上、下底面的面积，h为台体的高． 2．球的体积 球的半径为R，则V球＝　πR3　. 3．组合体 由几个柱、锥、台、球等组合而成的几何体称为组合体，求组合体的体积(表面积)时，只需要算出其中每个几何体的体积(表面积)，然后再处理即可． 1.组合体的体积是各个几何体的体积之和吗？ [提示]　不一定，要看这几个几何体如何组合，也可能为体积的差． 2．柱体、锥体、台体的体积之间有何联系？ [提示]　 所以柱体、锥体的体积公式是台体的体积公式的特例． [预习自测] 1．一个球的外切正方体的全面积等于6 cm2，则此球的体积为(　　) A.π cm3　　　　　 B.π cm3 C.π cm3 D.π cm3 解析：C　[由题意，球的直径与正方体棱长相等，设正方体棱长为a，则6a2＝6，故a＝1，所以V球＝π3＝π(cm3)．] 2．若棱台的上、下底面面积分别为4,16，高为3，则该棱台的体积为　________　. 解析：V台＝h(S＋＋S′)＝×3(4＋＋16)＝28. 答案：28 3．一个球的表面积是16π，则它的体积是　________　. 解析：设球的半径为R，则由题意可知4πR2＝16π，故R＝2.所以球的体积V＝πR3＝π. 答案：π 台体的体积 [例1]　已知正四棱台两底面边长分别为20 cm和10 cm，侧面积是780 cm2.求正四棱台的体积． [思路点拨]　求出棱台的高，利用台体的体积公式求解． [解]　如图所示，正四棱台ABCD－A1B1C1D1中，A1B1＝10 cm，AB＝20 cm. 取A1B1的中点E1，AB的中点E，连接E1E， 则E1E是侧面ABB1A1的高． 设O1，O分别是上、下底面的中心，连接O1E1，O1O，OE， 则四边形EOO1E1是直角梯形． 由S侧＝4×(10＋20)·E1E＝780，得EE1＝13. 在直角梯形EOO1E1中，O1E1＝A1B1＝5， OE＝AB＝10， ∴O1O＝＝12， V正四棱台＝×12×(102＋202＋10×20) ＝2 800(cm3)， 故正四棱台的体积为2 800 cm3. 求台体的体积关键是求出上、下底面的面积和台体的高．要注意充分运用棱台内的直角梯形或圆台的轴截面寻求相关量之间的关系． [变式训练] 1．圆台上底的面积为16π cm2，下底半径为6 cm，母线长为10 cm，那么，圆台的侧面积和体积各是多少？ 解析：如图，由题意可知，圆台的上底圆半径为4 cm， 于是S圆台侧＝π(r＋r′)l＝100π(cm2)． 圆台的高h＝BC＝＝＝4(cm)， V圆台＝h(S＋＋S′)＝×4×(16π＋＋36π)＝(cm3)． 球的体积 [例2]　已知球的直径为6 cm，求它的表面积和体积． [思路点拨]　直接利用球的体积公式求解． [解析]　∵直径为6 cm，∴半径R＝3 cm， ∴表面积S球＝4πR2＝36π(cm2)， 体积V球＝πR3＝36π(cm3)． 球的基本性质是解决与球有关的问题的依据，球半径、截面圆半径和球心到截面的距离所构成的直角三角形是把空间问题转化为平面问题的主要方法． [变式训练] 2．(1)若球的大圆面积扩大为原来的2倍，球的体积扩大为原来的(　　) A．8倍 　B．4倍 　　C．2倍　　 D．2倍 (2)三个球的半径之比为1∶2∶3，那么最大的球的体积是其他两个球的体积和的(　　) A．1倍 B．2倍 C．3倍 D．4倍 解析：(1)大圆的面积扩大为原来的2倍，半径扩大为原来的倍，所以球的体积扩大为原来的2倍． (2)设三个球的半径分别为1,2,3，则大球的体积V3＝π×33＝36π，两个小球的体积和V1＋V2＝π×(13＋23)＝12π.则最大球的体积是其他两个球的体积和的3倍． 答案：(1)C　(2)C 组合体体积(表面积) [例3]　如图，梯形ABCD中，AD∥BC，∠ABC＝90°，AD＝a，BC＝2a，∠DCB＝60°，在平面ABCD内过点C作l⊥CB，以l为轴旋转一周．求旋转体的表面积和体积． [思路点拨]　先判断由哪些几何体组合得到的组合体，分别求出各几何体的体积(表面积)，再结合图形进行计算． [解]　在梯形ABCD中，∠ABC＝90°， AD∥BC，AD＝a，BC＝2a，∠DCB＝60°， ∴CD＝＝2a， AB＝CDsin 60°＝a， ∴DD′＝AA′－2AD＝2BC－2AD＝2a， ∴DO＝DD′＝a. 由于以l为轴将梯形ABCD旋转一周后形成的几何体为圆柱中挖去一个倒放的与圆柱等高的圆锥． 由上述计算知，圆柱母线长a，底面半径2a； 圆锥的母线长2a，底面半径a. ∴圆柱的侧面积S1＝2π·2a·a＝4πa2， 圆锥的侧面积S2＝π·a·2a＝2πa2， 圆柱的底面积S3＝π(2a)2＝4πa2， 圆锥的底面积S4＝πa2， ∴组合体上底面积S5＝S3－S4＝3πa2，∴旋转体的表面积S＝S1＋S2＋S3＋S5＝(4＋9)πa2. 又由题意知形成的几何体的体积为一个圆柱的体积减去一个圆锥的体积． V柱＝Sh＝π·(2a)2·a＝4πa3. V锥＝S′h＝·π·a2·a＝πa3. ∴V＝V柱－V锥＝4πa3－πa3＝πa3. 求组合体的表面积或体积，首先应弄清它的组成，其表面有哪些底面和侧面，各个面应该怎样求，然后再根据公式求出各面的面积，最后再相加或相减，求体积时也要先弄清组成，求出各简单几何体的体积，然后再相加或相减． [变式训练] 3．(1)如图，有一个水平放置的无盖正方体容器，容器高8 cm，将一个球放在容器口，再向容器内注水，当球面恰好接触水面时测得水深为6 cm，若不计容器的厚度，则球的体积为(　　) A. cm3　　　 B. cm3 C. cm3 D. cm3 (2)如图，一个无盖的器皿是由棱长为3的正方体木料从顶部挖掉一个直径为2的半球而成(半球的底面圆在正方体的上底面，球心为上底面的中心)，则该器皿的表面积S为(　　) A．54 B．54＋2π C．54＋π D．54＋3π 解析：(1)设球的半径为R cm，根据已知条件知正方体的上底面与球相交所得截面圆的半径为4 cm，球心到截面圆的距离为(R－2)cm，所以由42＋(R－2)2＝R2，得R＝5，所以球的体积为V＝πR3＝π×53＝(cm3)． (2)器皿的表面积是棱长为3的正方体的表面积减去半径为1的圆的面积，再加上半径为1的半球的表面积，即器皿的表面积S＝6×(3×3)－π×12＋×(4π×12)＝54－π＋2π＝54＋π. 答案：(1)A　(2)C 球的切、接问题 [例4]　一个高为16的圆锥内接于一个体积为972π的球，在圆锥里又有一个内切球．求： (1)圆锥的侧面积； (2)圆锥内切球的体积． [思路点拨]　选取适当的截面，找出球的半径，利用平面几何知识解决问题． [解析]　(1)如图所示，作出轴截面，则等腰三角形SAB内接于圆O，而圆O1内切于△SAB. 设圆O的半径为R，则有 πR3＝972π，∴R＝9， ∴SE＝2R＝18. ∵SD＝16，∴ED＝2. 连接AE，又SE是圆O的直径，∴SA⊥AE， ∴SA2＝SD×SE＝16×18＝288，SA＝12. ∵AB⊥SD，D为AB中点， ∴AD2＝SD·DE＝16×2＝32，AD＝4. ∴S圆锥侧＝π×AD×SA＝π×4×12＝96π. (2)设内切球的半径为r，即圆O1的半径为r， ∵△SAB的周长为2×(12＋4)＝32， ∴r×32＝×8×16，解得r＝4. 故圆锥内切球的体积V球＝πr3＝π. 球与几何体的切、接问题的解题思路 1．球外接于几何体，则几何体的各顶点均在球面上，解题时要认真分析图形，一般需依据球和几何体的对称性，明确接点的位置，根据球心与几何体特殊点间的关系，确定相关的数量关系，并作出合适的截面进行求解． 2．解决几何体的内切球问题，应先作出一个适当的截面(一般作出多面体的对角面所在的截面)，这个截面应包括几何体与球的主要元素，且能反映出几何体与球的位置关系和数量关系． [变式训练] 4．半球内有一个内接正方体，若正方体的棱长为，则这个半球的体积为　________　. 解析：过正方体对角面作截面如图所示，设半球的半径为R，因为正方体的棱长为，所以CC′＝，OC＝×＝. 在Rt△C′CO中，由勾股定理，得 CC′2＋OC2＝OC ′2，即()2＋()2＝R2， 所以R＝3.故V半球＝×πR3＝18π. 答案：18π 5．设三棱柱的侧棱垂直于底面，所有棱长都为a，顶点在一个球面上，则该球的表面积为(　　) A．πa2 B.πa2 C.πa2 D．5πa2 解析：B　[如图所示，设O1，O分别为上、下底面的中心，连接OO1，则球心O2为OO1的中点，连接AO并延长交BC于D点，连接AO2. ∵AD＝a，AO＝AD＝a，OO2＝，∴AO＝a2＋a2＝a2，故该球的表面积S球＝4π×a2＝πa2.] 1．一个圆锥与一个球的体积相等，圆锥的底面半径是球的半径的3倍，圆锥的高与底面半径之比为(　　) A．4∶9　　　　　 B．9∶4 C．4∶27 D．27∶4 解析：C　[设球的半径为r，则圆锥的底面半径是3r，设圆锥的高为h，则πr3＝π(3r)2h，解得h＝r，所以圆锥的高与底面半径之比为.] 2．圆台的上、下底面的面积分别为π，4π，侧面积是6π，这个圆台的体积是(　　) A. B．2π C. D. 解析：D　[设上、下底面半径为r′，r，母线长为l， 则∴ 圆台的高h＝＝， ∴V圆台＝(π＋＋4π)＝.] 3．圆柱形容器的内壁底半径是10 cm，有一个实心铁球浸没于容器的水中，若取出这个铁球，测得容器的水面下降了 cm，则这个铁球的表面积为　________　 cm2. 解析：设该铁球的半径为r，则由题意得 π×r3＝π×102×，解得r3＝53，∴r＝5 ∴这个铁球的表面积S＝4π×52＝100π(cm2) 答案：100π 4．如图所示，一个底面半径为R的圆柱形量杯中，装有适量的水，若放入一个半径为r的实心铁球，水面高度恰好升高r，则＝　________　. 解析：水面高度上升r，则圆柱体积增加πR2·r， 恰好是半径为r的实心铁球的体积，因此得πr3＝πR2·r，∴＝. 答案： 5．如图所示，在三棱柱ABC－A1B1C1中，E，F分别为AB，AC的中点，平面EB1C1F将三棱柱分成两部分，求这两部分的体积之比． 解：截面EB1C1F将三棱柱分成两部分，一部分是三棱台AEF－A1B1C1，另一部分是一个不规则几何体，故可以用棱柱的体积减去棱台的体积求得． 设棱柱的底面积为S，高为h，则ΔAEF的面积为S， 令V1＝＝·h·＝hS，剩余的不规则几何体的体积为 V2＝V－V1＝hS－hS＝hS，所以两部分的体积之比为V1∶V2＝7∶5. 1．若将气球的半径扩大到原来的2倍，则它的体积增大到原来的(　　) A．2倍　　　　　　　 B．4倍 C．8倍 D．16倍 解析：C　[设气球原来的半径为r，体积为V，则V＝πr3，当气球的半径扩大到原来的2倍后，其体积变为原来的23＝8倍．] 2．已知一个正方体的所有顶点在一个球面上．若球的体积为，则正方体的棱长为(　　) A. B. C. D．1 解析：C　[设正方体棱长为a，球半径为R， 则πR3＝π，∴R＝，∴a＝3，∴a＝.] 3．(2021·新高考Ⅱ卷，5)正四棱台的上、下底面的边长分别为2,4，侧棱长为2，则其体积为(　　) A．20＋12 B．28 C. D. 解析：D　[考查棱台体积的计算．如图，高h＝＝， ∴V＝(S上＋＋S下)h＝×＝.] 4．球与圆台的上、下底面及侧面都相切，且球面面积与圆台的侧面积之比为3∶4，则球的体积与圆台的体积之比为(　　) A．6∶13 B．5∶14 C．3∶4 D．7∶15 解析：A　[如图所示，作圆台的轴截面等腰梯形ABCD，球的大圆O内切于梯形ABCD，设球的半径为R，圆台的上、下底面半径分别为r1，r2，由平面几何知识知，圆台的高为2R，母线长为r1＋r2. ∵∠AOB＝90°，OE⊥AB(E为切点)， ∴R2＝OE2＝AE·BE＝r1·r2. 由已知S球∶S圆台侧＝4πR2∶π(r1＋r2)2＝3∶4， ∴(r1＋r2)2＝R2. ∴V球∶V圆台＝ ＝＝＝.] 5．(多选题)下列命题正确的是(　　) A．台体的体积公式中令S＝S′，则得到柱体的体积公式V＝S·h B．球的体积与球的半径成正比，球的体积越大，半径越大 C．在台体的体积公式中令S′＝0，即可得锥体的体积公式V＝S·h D．若圆台的上、下底面半径分别为r，R，高为h，则V圆台＝πh(R2＋Rr＋r2) 解析：ACD　[球的体积与球的半径的立方成正比，半径越大，体积越大，A、C、D正确．] 6．(多选题)若一个球的直径为d，体积为V球，一个正方体的棱长为a，体积为V正，且它们的表面积相同，则有(　　) A．d＞a B．V球＜V正 C．d＜a D．V球＞V正 解析：AD　[球直径为d，则表面积S＝πd2.正方体棱长为a，则表面积为6a2.由πd2＝6a2，∴d2＞a2，即d＞a，又V球＝π·＝＝a2·d，V正＝a3，∴V球＞V正．] 7．圆台的高是4，母线长是5，侧面积是45π，则它的体积是　________　. 解析：作圆台的轴截面． 设上底面半径为r，则下底面半径为r＋3， 则侧面积45π＝π(r＋r＋3)×5， ∴r＝3，∴V圆台＝×4(9π＋36π＋18π)＝84π. 答案：84π 8．若一个三棱棱台的上、下底面面积分别为8,18，高为5，则该棱台的体积为　________　. 解析：V台＝h(S＋′＋S′)＝×5(8＋＋25)＝75. 答案：75 9．(多空题)正三棱锥的高为1，底面边长为2，内有一个球与它的四个面都相切，则内切球的表面积为　________　，体积为　________　. 解析：∵正三棱锥的高为1，底面边长为2，∴V锥＝××(2)2×1＝2.设内切球的半径为r，以球心O为顶点，棱锥的四个面为底面把正三棱锥分割为四个小棱锥．又正三棱锥的斜高为＝，∴××(2)2·r＋3·××2×·r＝2，∴r＝－2.∴S球＝4(－2)2π，体积V＝(－2)3π. 答案：4(－2)2π　(－2)3π 10.三棱台ABC－A1B1C1中，AB∶A1B1＝1∶2，求三棱锥A1－ABC，三棱锥B－A1B1C，三棱锥C－A1B1C1的体积之比． 解：设三棱台的高为h，S△ABC＝S，则＝4S.所以＝S△ABC·h＝Sh，＝·h＝Sh.又因为V台＝h(S＋4S＋2S)＝Sh，所以＝V台－－＝Sh－－＝ Sh，所以体积比为1∶2∶4. 11．已知正四面体ABCD的外接球的体积为4π，求正四面体的体积． 解：法一：将正四面体ABCD置于正方体中，如图所示， 则正四面体的外接球即为正方体的外接球，正方体的对角线即为球的直径． 设外接球的半径为R， 由V球＝R3＝4π得R＝， 所以正方体的棱长为2，所以AB＝2， 所以S△BCD＝×2×2×＝2. 因为点A到平面BCD的距离h＝×2R＝， 所以V＝S△BCD×h＝. 法二：如图所示，设正三角形BCD的中心为O1，O为球心，正四面体ABCD外接球的半径为R，连接O1D. 由已知得πR3－4π， 故R＝. 因为AE为球的直径， 所以AD⊥DE，AE⊥O1D. 设AD＝a，则O1D＝×a＝a， 故AO1＝＝a. 所以O1E＝2R－AO1＝2－a. 由Rt△AO1D∽Rt△DO1E， 得O1D2＝AO1·O1E，解得a＝2. 故V＝S△BCD·AO1＝×a2×a＝. 12．如图，一个圆柱和一个圆锥的底面直径和它们的高都与一个球的直径相等，这时圆柱、圆锥、球的体积之比为　________　. 解析：设球的半径为R，则V柱＝πR2·2R＝2πR3，V锥＝πR2·2R＝πR3，V球＝πR3，故V柱∶V锥∶V球＝2πR3∶πR3∶πR3＝3∶1∶2. 答案：3∶1∶2 13．如图所示，一个圆锥形的空杯子上放着一个直径为8 cm的半球形的冰淇淋，请你设计一种这样的圆锥形杯子(杯口直径等于半球形的冰淇淋的直径，杯子壁厚忽略不计)，使冰淇淋融化后不会溢出杯子，怎样设计最省材料？ 解：设圆锥形杯子的高为h cm， 要使冰淇淋融化后不会溢出杯子， 则必须V圆锥≥V半球， 而V半球＝×πr3＝××43， V圆锥＝Sh＝πr2h＝×42×h， 依题意：×42×h≥××43， 解得h≥8， 即当圆锥形杯子杯口直径为8 cm，高大于或等于8 cm时，冰淇淋融化后不会溢出杯子． 又因为S圆锥侧＝πrl＝πr， 当圆锥高取最小值8时，S圆锥侧最小， 所以高为8 cm时，制造的杯子最省材料． 学科网（北京）股份有限公司 $