11.1.5 第一课时 圆柱、圆锥、圆台-【创新教程】2025-2026学年高中数学必修第四册五维课堂教师用书word（人教B版）

本讲义聚焦高中数学旋转体中的圆柱、圆锥、圆台，从旋转体定义出发，系统梳理三者的形成过程、结构特征（轴、高、底面、侧面、母线等）及表面积公式，构建从概念抽象到几何计算的完整学习支架。 资料以情境问题引入激发思考，通过轴截面分析、侧面展开图转化等直观教学方法，培养数学抽象与直观想象素养，结合例题变式训练提升数学运算能力。课中助力教师引导学生构建知识体系，课后通过自测与练习帮助学生查漏补缺，强化知识应用。

11．1.5　旋转体 第一课时　圆柱、圆锥、圆台 课程标准 素养解读 1.通过实物和模型，总结出圆柱、圆锥、圆台的结构特征 2．能根据圆柱、圆锥、圆台的定义和结构特征，掌握有关概念及计算圆柱、圆锥、圆台的表面积 通过实物和模型观察，抽象出圆柱、圆锥、圆台的结构特征，培养学生的数学抽象，提升直观想象素养；通过圆柱、圆锥、圆台的表面积的计算，提升学生的数学运算素养 [情境引入] 很多物体的形成可以看作按一定的要求旋转形成． 问题　一个圆台是如何旋转得到的？ 提示　以直角梯形垂直于底边的腰所在的直线为旋转轴，将直角梯形旋转一周可形成圆台． [知识梳理] [知识点一]　旋转体　 1．定义：由一个平面图形绕着一条直线旋转产生的曲面所围成的几何体． 2．轴：旋转轴叫做旋转体的轴． 3．高：在轴上的边(或它的长度)． 4．底面：垂直于轴的边旋转而成的圆面． 5．侧面：不垂直于轴的边旋转而成的曲面． 6．母线：无论旋转到什么位置，不垂直于轴的边． 7．轴截面：通过轴的平面所得到的截面． [知识点二]　圆柱　 1．圆柱的定义：以矩形的一边所在直线为旋转轴，将矩形旋转一周而形成的曲面所围成的几何体．如图所示． 2．圆柱中常用概念： (1)轴：旋转轴叫做圆柱的轴． (2)高：在轴上的边(或它的长度)． (3)底面：垂直于轴的边旋转而成的圆面． (4)侧面：不垂直于轴的边旋转而成的曲面． (5)母线：无论旋转到什么位置，不垂直于轴的边． 1.分别以矩形ABCD(非正方形)的AB，AD边所在直线为旋转轴，将矩形ABCD旋转一周得到的两个圆柱相同吗？ [提示]　不相同 [知识点三]　圆锥　 1．圆锥的定义：以直角三角形一直角边所在直线为旋转轴，将直角三角形旋转一周而形成的曲面所围成的几何体．如图所示． 2．圆锥中常用概念： (1)轴：旋转轴叫做圆锥的轴． (2)高：在轴上的边(或它的长度)． (3)底面：垂直于轴的边旋转而成的圆面． (4)侧面：不垂直于轴的边旋转而成的曲面． (5)母线：无论旋转到什么位置，不垂直于轴的边． [知识点四]　圆台　 1．圆台的定义：以直角梯形垂直于底边的腰所在直线为旋转轴，将直角梯形旋转一周而形成的曲面所围成的几何体．如图所示． 2．圆台中常用概念： (1)轴：旋转轴叫做圆台的轴． (2)高：在轴上的边(或它的长度)． (3)底面：垂直于轴的边旋转而成的圆面． (4)侧面：不垂直于轴的边旋转而成的曲面． (5)母线：无论旋转到什么位置，不垂直于轴的边． 2.以平行于底面的平面截圆柱、圆锥、圆台，得到的截面是什么图形？ [提示]　都是圆面，截圆柱所得的圆面与上、下底面相同，圆锥、圆台所得到的圆面从下向上逐渐变小． [知识点五]　圆柱、圆锥、圆台的侧面积与全面积　 1．轴截面 在旋转体中，通过轴的平面所得到的截面通常简称为轴截面，圆柱、圆锥、圆台的轴截面分别是矩形、等腰三角形、等腰梯形． 2．旋转体的侧面积与全面积 (1)旋转体侧面的面积称为旋转体的侧面积，侧面积与底面积之和称为旋转体的表面积(或全面积)． (2)圆柱、圆锥、圆台的表面积公式 几何体 侧面展开图 表面积公式 圆柱 S圆柱＝2πr(r＋l)，r为底面半径，l为侧面母线长 圆锥 S圆锥＝πr(r＋l)，r为底面半径，l为侧面母线长 圆台 S圆台＝π(r′2＋r2＋r′l＋rl)，r′为上底面半径，r为下底面半径，l为侧面母线长 3.圆柱、圆锥、圆台的轴截面所得图形的边长与哪些量有关系？ [提示]　圆柱的轴截面是矩形，一边为圆柱的底面圆直径，另一边为母线长；圆锥的轴截面是等腰三角形，腰为母线长，底边长为底面圆直径；圆台的轴截面为等腰梯形，两腰为母线长，上、下分别为上、下底面圆直径． 4．圆锥、圆台的侧面展开图是怎样的图形？如何求侧面积？ [提示]　圆锥的侧面展开图为扇形，扇形的半径为母线长，圆弧为底面圆周长；圆台的侧面展开图为扇形再剪去一个扇形剩余部分，其面积为两个扇形面积的差．S圆锥侧＝πrl，其中r为底面圆半径，l为母线长；S圆台侧＝π(r1＋r2)·l，其中r1，r2分别为上、下底面半径，l为母线长． [预习自测] 1．正方形绕其一条对角线所在直线旋转一周，所得几何体是(　　) A．圆柱　　　　　　 B．圆锥 C．圆台 D．两个圆锥 解析：D　[连接正方形的两条对角线知对角线互相垂直，故绕其一条对角线所在直线旋转一周形成两个圆锥．] 2．下列几何体中不是旋转体的是(　　) 解析：D　[只有D不是旋转体．] 3．一个圆锥的母线长为20 cm，母线与轴的夹角为30°，则圆锥的高为　________　cm. 解析：h＝20cos 30°＝10. 答案：10 圆柱、圆锥、圆台的结构特征 [例1]　下列说法： (1)以直角梯形的一腰所在的直线为旋转轴，旋转一周得到的旋转体为圆台； (2)圆柱、圆锥、圆台的底面都是圆面； (3)分别以矩形两条相邻边所在直线为旋转轴，将矩形旋转一周，所得到的两个圆柱可能是不同的圆柱； (4)用一个平面去截圆锥，得到一个圆锥和一个圆台． 其中正确说法的序号是　________　. [思路点拨]　依据圆锥、圆柱、圆台的结构特征逐一判断． [解析]　(1)错误．若以直角梯形的不垂直于底边的腰为轴旋转一周形成的旋转体不是圆台，是圆锥和圆台的组合体．(2)正确．圆柱、圆锥、圆台的底面都是垂直于轴的矩形、直角三角形、直角梯形的一边旋转而成的圆面．(3)正确．若矩形的两邻边长不相等，则其旋转形成的曲面或圆面的半径也不一样，故所得圆柱也不同．(4)错误．当此平面与圆锥的底面平行时，才能截得一个圆锥和一个圆台，否则不能得到． [答案]　(2)(3) 1．圆柱、圆锥、圆台都是一个平面图形绕其特定边(弦)旋转而成的几何体，必须准确认识各旋转体对旋转轴的具体要求． 2．只有理解了各旋转体的生成过程，才能明确由此产生的母线、轴、底面等概念，进而判断与这些概念有关的命题的正误． [变式训练] 1．(多选题)下列命题正确的是(　　) A．在圆柱的上、下底面的圆周上各取一点，则这两点的连线是圆柱的母线 B．圆锥的顶点与底面圆周上任意一点的连线是圆锥的母线 C．在圆台的上、下两底面圆周上各取一点，则这两点的连线是圆台的母线 D．圆柱的任意两条母线所在的直线是互相平行的 解析：BD　[由圆柱、圆锥、圆台的定义及母线的性质可知B，D正确，A，C错误．] 　　　圆柱、圆锥、圆台的有关几何计算 [例2]　(1)圆台的一个底面周长是另一个底面周长的3倍，轴截面的面积等于392 cm2，母线与轴的夹角是45°，求这个圆台的高、母线长和两底面半径． (2)圆台的两底面面积分别为π，49 π，平行于底面的截面面积的2倍等于两底面面积之和，求圆台的高被截面分成的两部分的比． [思路点拨]　做出轴截面，利用等腰梯形，结合题目条件，利用平行线分线段成比例知识，构造方程求解． [解]　(1)法一　圆台的轴截面如图所示，根据题意可设圆台的上、下底面半径分别为x cm和3x cm，即A′O′＝x cm，AO＝3x cm(O′，O分别为上、下底面圆圆心)，过A′作AB的垂线，垂足为点D. 在Rt△AA′D中，∠AA′D＝45°，AD＝AO－A′O′＝2x cm，所以A′D＝AD＝2x cm. 因为S轴截面＝(A′B′＋AB)·A′D＝(2x＋6x)×2x＝392，所以x＝7，故圆台的高OO′＝14 cm，母线长AA′＝OO′＝14 cm，上、下底面的半径分别为7 cm和21 cm. 法二　圆台的轴截面为梯形A′ABB′，设圆台上、下底面半径分别为x cm和3x cm. 延长AA′，BB′，交OO′的延长线于点S.在Rt△SOA中，∠ASO＝45°，所以SO＝AO＝3x cm，SO′＝A′O′＝x cm，所以OO′＝2x cm，S轴截面＝(2x＋6x)×2x＝392，所以x＝7，所以圆台的高OO′＝14 cm，母线AA′＝OO′＝14 cm，上、下底面半径分别为7 cm和21 cm. (2)画出圆台的轴截面，如图所示，延长梯形两腰交于点V，O2，O1，O分别是圆台上底面、截面和下底面的圆心，令VO2＝h，O2O1＝h1，O1O＝h2， 则所以 所以h1∶h2＝2∶1，即圆台的高被截面分成的两部分的比为2∶1. (1)旋转体基本量的计算，一般从轴截面入手，利用等腰梯形、等腰三角形、矩形或结合题目条件，利用平行线分线段成比例，相似等知识解决． (2)有关截面圆半径的计算可以借助圆锥的轴截面，利用相似三角形的相似比求解． [变式训练] 2．一个圆锥的高为2 cm，母线与轴的夹角为30°，求圆锥的母线长及圆锥的轴截面的面积． 解：如图，轴截面SAB，圆锥SO的底面直径为AB，SO为高，SA为母线，则∠ASO＝30°.在Rt△SOA中，AO＝SO·tan 30°＝(cm)． SA＝＝＝(cm)． 所以S△ASB＝SO·2AO＝(cm2)．所以圆锥的母线长为cm，圆锥的轴截面的面积为cm2. 　　圆柱、圆锥、圆台侧面展开图的应用 [例3]　(1)若圆台的上、下底面半径分别是10 cm和20 cm，它的侧面展开图的扇环的圆心角是180°，则圆台的表面积为　________　cm2. (2)如图所示，圆台的上、下底面半径分别为5 cm和10 cm，母线AB＝20 cm，从圆台母线AB的中点M拉一条绳子绕圆台侧面转到A点．则绳子的最短长度为　________　；当绳子最短时，上底圆周上的点到绳子的最短距离为　________　 cm. [思路点拨]　画出侧面展开图，转化为平面几何知识求解． [解析]　(1)如图所示，设圆台的上底面周长为c cm，由于扇形的圆心角是180°，则c＝π·SA＝2π×10，解得SA＝20 cm.同理可得SB＝40 cm，所以AB＝SB－SA＝20 cm.所以S表＝S侧＋S上＋S下＝π×(10＋20)×20＋π×102＋π×202＝1 100π(cm2)． (2)如图所示，将圆台侧面展开，则绳子的最短长度为侧面展开图中A1M的长度． 设OB＝l′，由＝得l′＝20 cm，所以∠AOA1＝×360°＝90°， OA＝OA1＝40 cm，OM＝30 cm. 在Rt△A1OM中，A1M＝＝＝50(cm)． 所以绳子的最短长度为50 cm. 如图所示，过O作OQ⊥A1M于Q，交弧BB1于P，则PQ长为所求最短距离．因为OA1·OM＝A1M·OQ，即40×30＝50×OQ，所以OQ＝24 cm，所以PQ＝OQ－OP＝OQ－OB＝24－20＝4(cm)，即上底圆周上的点到绳子的最短距离为4 cm. [答案]　(1)1 100π　(2)50　4 1．圆柱、圆锥、圆台的侧面积常通过侧面展开图求解． 2．求圆柱、圆锥、圆台侧面上两点的最短距离问题，基本方法是将侧面展成平面图形，转化为平面上的线段长度问题，然后利用平面几何的知识解决． [变式训练] 3．如图所示，有一个底面半径为1，高为2的圆柱体，在A点处有一只蚂蚁，现在这只蚂蚁要围绕圆柱表面由A点爬到B点，问蚂蚁爬行的最短距离是多少？ 解：把圆柱的侧面沿AB剪开，然后展开成为平面图形——矩形，如图所示，连接AB′，则AB′即为蚂蚁爬行的最短距离，∵AA′为底面圆的周长，∴AA′＝2π×1＝2π.又AB＝A′B′＝2，∴AB′＝＝＝2，即蚂蚁爬行的最短距离为2. 1．下列说法中正确的个数是(　　) ①用一个平面去截一个圆锥得到一个圆锥和一个圆台；②圆锥中过轴的截面是一个等腰三角形；③分别以矩形(非正方形)的长和宽所在直线为旋转轴，旋转一周得到的两个几何体是两个不同的圆柱． A．0　　B．1　　　C．2　　　D．3 解析：C　[①中，必须用一个平行于底面的平面去截圆锥，才能得到一个圆锥和一个圆台，故①说法错误；显然②③说法正确．故说法正确的有2个．] 2．以下说法正确的是(　　) A．圆台上底面的面积与下底面的面积之比一定小于1 B．矩形绕任意一条直线旋转都可以围成圆柱 C．直角三角形绕其一边所在直线旋转一周都可以围成圆锥 D．圆台的上、下底面不一定平行，但过圆台侧面上每一点的母线都相等 解析：A　[A正确，圆台是由圆锥截得的，截面是上底面，其面积小于下底面的面积；B错误，矩形绕其对角线所在直线旋转，不能围成圆柱；C错误，绕直角边所在直线旋转可以围成圆锥，但绕斜边所在直线旋转围成的是由两个圆锥组成的组合体；D错误，圆台的上、下底面一定平行．] 3．把一个圆锥截成圆台，已知圆台的上、下底面半径的比是1∶4，母线长为10 cm，则圆锥的母线长为　________　. 解析：如图，∵O1B1∶OB＝1∶4，∴SB1∶SB＝1∶4，即＝.∴＝，解得SB＝，故圆锥的母线长为 cm. 答案： cm 4．边长为5 cm的正方形EFGH是圆柱的轴截面，则从E点沿圆柱的侧面到点G的最短距离是　________　cm. 解析：如图所示，E′F＝×2π×＝π(cm)， ∴最短距离E′G＝＝(cm)． 答案： 5．将边长为4 cm和8 cm的矩形纸片卷成一个圆柱的侧面，求圆柱的轴截面的面积． 解：当以4 cm为母线长时，设圆柱底面半径为r， 则8＝2πr，∴2r＝.∴S轴截面＝4×＝(cm)2.当以8 cm为母线长时，设圆柱底面半径为R，则2πR＝4,2R＝.∴S轴截面＝8×＝(cm)2.综上，圆锥的轴截面面积为cm2. 1．图1是由下列哪个平面图形绕轴O′O旋转而成的组合体(　　) 解析：D　[组合体上半部分是圆锥，下半部分是一个圆台，因此应该是由上半部分为三角形，下半部分为梯形的平面图形旋转而成的，观察四个选项得D正确．] 2．一个圆锥的母线长为5，底面圆半径为3，则该圆锥的轴截面的面积为(　　) A．10　　　　　　　　　 B．12 C．20 D．15 解析：B　[圆锥的轴截面是等腰三角形，腰长为5，底为6，则高为4，所以轴截面面积S＝×6×4＝12.] 3．(2021·新高考Ⅰ卷，3)已知圆锥的底面半径为，其侧面展开图为一个半圆，则该圆锥的母线长为(　　) A．2 B．2 C．4 D．4 解析：B　[根据底面周长等于侧面展开图弧长，设母线为l，底面半径为r，则有2πr＝·2πl，化简得l＝2r＝2，答案选B.] 4．已知圆柱的轴截面是边长为5 cm的正方形ABCD，则在圆柱侧面上从A到C的最短距离为(　　) A．10 cm B. cm C．5 cm D．5 cm 解析：B　[如图所示，沿母线BC剪开，曲面上从A到C的最短距离为平面上线段A1C1的长． ∵AB＝BC＝5 cm，∴的长为×2π×＝π＝A1B1， ∵B1C1＝BC＝5 cm， ∴A1C1＝＝＝5＝(cm)．故选B.] 5．(多选题)给出下列命题，正确的是(　　) A．圆柱的母线与它的轴可以不平行 B．圆锥的顶点、圆锥底面圆周上任意一点及底面圆的圆心三点的连线都可以构成直角三角形 C．在圆台的上、下两底面圆周上各取一点，则这两点的连线不一定是圆台的母线 D．圆柱的任意两条母线所在的直线可以不互相平行的 解析：BC　[由圆柱、圆锥、圆台的定义及母线的性质可知BC正确，AD错误．] 6．(多选题)用平行于圆锥底面的平面截圆锥，所得小圆锥的侧面积与原来大圆锥的侧面积的比是1∶3，则这个截面把圆锥的高分成的两段的比是(　　) A．1∶3 B．1∶(－1) C．1∶9 D．(－1)∶1 解析：BD　[如图，由题意，可知圆锥PO1与圆锥PO的侧面积之比为1∶3，即＝. ∵△PO1A1∽△POA，∴＝＝，∴2＝ ＝，∴＝，∴＝.故选BD.] 7．将边长为1的正方形以其一边所在直线为旋转轴旋转一周，所得几何体的侧面积是　________　. 解析：所得几何体为圆柱，其底面圆半径为1，高为1，侧面积S＝2πrh＝2π×1×1＝2π. 答案：2π 8．(2021·全国甲卷(文)，14)已知一个圆锥的底面半径为6，其体积为30π，则该圆锥的侧面积为　________　. 解析：设圆锥的高为h，母线长为l，则 V＝Sh＝πr2·h＝12 πh＝30 π⇒h＝， 所以l＝＝ ＝， 所以S侧＝πrl＝6×π＝39 π， 故答案为：39 π. 答案：39 π 9．若母线长是4的圆锥的轴截面的面积是8，则该圆锥的高是　________　，底面圆的半径是　________　. 解析：设圆锥的高为h，则圆锥的底面半径r＝.所以由题意可知·2r·h＝h＝8，∴h＝2，r＝＝2. 答案：2　2 10．把一个圆锥截成圆台，已知圆台上、下底面的半径比是1∶5，母线长是10 cm，求圆锥的母线长． 解：如图，△SAB为圆锥的轴截面，O为底面圆的圆心，AB为底面直径，截面圆的直径为A1B1，圆心为O1，则等腰梯形A1ABB1为截得圆台的轴截面． 由题意，知A1O1∶AO＝1∶5，A1A＝10 cm. 设圆锥的母线长为x cm，即SA＝x， 则SA1＝x－10. 根据相似三角形的性质，得＝，即＝，解得x＝， 所以圆锥的母线长为 cm. 11．如图所示，用一个平行于圆锥SO底面的平面截这个圆锥，截得圆台上、下底面的面积之比为1∶16，截去的圆锥的母线长是3 cm，求圆台O′O的母线长． 解析：设圆台的母线长为l cm，由截得圆台上、下底面的面积之比为1∶16，可设截得圆台的上、下底面的半径分别为r,4r.过轴SO作截面，如图所示． 则△SO′A′∽△SOA，SA′＝3 cm，所以＝，所以＝＝，解得l＝9，即圆台的母线长为9 cm. 12．将一圆形纸片沿半径剪开为两个扇形，其圆心角之比为3∶4，再将它们卷成两个圆锥侧面，则两圆锥的高之比为(　　) A．3∶4 B．9∶16 C．27∶64 D．2∶ 解析：D　[设圆的半径为r，则两个圆锥母线长都为r，两个圆锥底面圆周长分别为2π·r×与2πr×，所以两圆锥底面圆半径分别为r，r，所以高分别为＝r，＝r，故高之比为2∶.] 13．已知在直角三角形ABC中，AC⊥BC，BC＝2，tan ∠ABC＝2(如图所示)． (1)若以AC为轴，直角三角形ABC旋转一周，试说明所得几何体的结构特征并求所得几何体的表面积． (2)一只蚂蚁在问题(1)形成的几何体上从点B绕着几何体的侧面爬行一周回到点B，求蚂蚁爬行的最短距离． 解析：(1)在直角三角形ABC中，由BC＝2，tan∠ABC＝2，即tan∠ABC＝＝2，得AC＝4.若以AC为轴旋转一周，形成的几何体为以BC＝2为半径，高AC＝4的圆锥，则AB＝＝6，其表面积为S＝π×22＋×2π×2×6＝16π. (2)由问题(1)的圆锥，要求蚂蚁爬行的最短距离，则沿点B的母线把圆锥侧面展开为平面图形(如图)最短距离就是点B到点B1的距离， ∠BAB1＝＝在△ABB1中由余弦定理得BB1＝＝6. 所以蚂蚁爬行的最短距离为6. 学科网（北京）股份有限公司 $