11.1.5 第二课时 球-【创新教程】2025-2026学年高中数学必修第四册五维课堂教师用书word（人教B版）

本讲义聚焦球的结构特征、截面性质、表面积计算及组合体问题，从球的定义与结构特征入手，通过截面性质公式推导，延伸至表面积计算，再结合正方体等几何体的外接球、内切球问题，构建从基础到应用的学习支架。 以世界杯足球情境引入激发兴趣，通过截面距离计算、正方体与球的切接等例题，培养直观想象与逻辑推理素养，知识梳理与分层练习帮助学生规范数学语言表达。课中辅助教师高效授课，课后助力学生巩固知识、查漏补缺。

第二课时　球 课程标准 素养解读 1.掌握球的结构特征 2．会利用球的定义及结构特征，处理有关截面及组合体问题，会求球的表面积 通过球的截面对球的结构特征的理解，球的定义的应用及球的表面积的计算，培养学生的直观想象素养，提升逻辑推理、数学运算素养 [情境引入] 　在俄罗斯举行的2018年世界杯足球赛用球是“电视之星(Telstar)18”，它采用了经典黑白两色，深色梯形装饰用马赛克图案形成，文字则使用了金色． 问题　球是个旋转体，它是如何形成的？ 提示　球面可以看作一个半圆围绕着它的直径所在的直线旋转一周所形成的曲面，球是球面围成的几何体． [知识梳理] [知识点一]　球　 1．球的定义：球面可以看成一个半圆绕着它的直径所在的直线旋转一周所形成的曲面，球面围成的几何体，称为球．球面也可以看成：空间中到一个定点的距离等于定长的点的集合．如图所示． 2．球中常用概念 (1)球心：形成球面的半圆的圆心． (2)半径：连接球面上一点和球心的线段． (3)直径：连接球面上两点且通过球心的线段． (4)大圆与小圆：球面被经过球心的平面截得的圆称为球的大圆，被不经过球心的平面截得的圆称为球的小圆． 3．球的截面的性质：①球的截面是一个　圆面　；②球心与截面圆圆心的连线　垂直　于截面；③球半径R、截面圆半径r，则球心到截面的距离d＝　　. 4．球的表面积 如果球的半径为R，则球的表面积S＝　4πR2　. 1.球与球面有什么区别？ [提示]　球与球面是两个不同的概念，球是几何体，球面是曲面，是球的表面． 2．球心与截面圆圆心的连线与截面圆有怎样的关系？ [提示]　球心与截面圆圆心的连线垂直于截面圆，设球心到截面圆的距离为d，球半径为R，截面圆半径为r，则有d＝. [知识点二]　组合体　 1．简单组合体：由简单几何体组合而成的几何体叫做简单组合体． 2．简单组合体的构成形式：有两种基本形式：一种是由简单几何体拼接而成的；另一种是由简单几何体截去或挖去一部分而成的． 3.长方体的体对角线与其外接球直径有何关系？ [提示]　长方体的体对角线等于其外接球的直径． [预习自测] 1．如图所示的平面图形中阴影部分绕中间轴旋转一周，形成的旋转体形状为(　　) A．一个球体 B．一个球体中挖去一个圆柱 C．一个圆柱 D．一个球体中间挖去一个棱柱 解析：B　[该旋转体形状为一个球体中挖去一个圆柱．] 2．一个正方体内有一个内切球，作正方体的对角面，所得截面图形是下图中的(　　) 解析：B　[作正方体的对角面，截面必过球心和球与正方体上、下底面的切点，而与对角面中原正方体的两棱相离，故正确答案为B.] 3．若过球心的圆面的周长是C，则这个球的表面积是　________　. 解析：设球的半径为R，则C＝2πR，∴R＝， ∴球的表面积为S＝4πR2＝. 答案： 球的结构特征 [例1]　下列说法中正确的个数是(　　) ①半圆弧以其直径所在直线为轴旋转一周所成的曲面叫球；②空间中到定点的距离等于定长的所有点的集合叫球面；③球面和球是同一个概念；④经过球面上不同的两点只能作一个最大的圆 A．1　　B．2　　　C．3　　　D．4 [思路点拨]　根据球的结构特征判断． [解析]　A　[半圆弧以其直径所在直线为轴旋转一周所成的曲面叫球面，球面围成的几何体叫球，故①错误；②正确；球面和球是两个不同的概念，故③错误；若球面上不同的两点恰好为最大的圆的直径的端点，则过此两点的大圆有无数个，故④错误，故选A.] 球与球面是完全不同的两个概念，球是几何体，而球面是曲面，是球的表面，过两点的大圆中，若两点恰为球的直径端点，则这时大圆有无数个． [变式训练] 1．给出下列命题： ①球的任意两个圆的交点的连线是球的直径；②用过球心的平面截球，截面圆是球的大圆；③球面上任意一点到球心的距离即等于半径；④球面上不同的三点可能在同一条直线上． 其中正确命题的个数是(　　) A．4 B．3 C．2 D．1 解析：C　[由球的结构特征知，②③正确，①④错误．] 球的截面问题 [例2]　在球内有相距9 cm的两个平行截面，面积分别为49π cm2和400π cm2，求此球的半径． [思路点拨]　球半径、截面圆半径，球心到截面圆心的距离构成一个直角三角形，利用直角三角形知识求解． [解]　若两截面位于球心的同侧，如图所示的是经过球心O的大圆截面，C，C1分别是两平行截面的圆心， 设球的半径为R，截面圆的半径分别为r，r1， 由πr＝49π，得r1＝7. 由πr2＝400π，得r＝20， 在Rt△OB1C1中，OC1＝＝， 在Rt△OBC中，OC＝＝. 由题意可知OC1－OC＝9，即－＝9，解此方程，取正值得R＝25. 若球心在两截面之间，如图所示，OC1＝，OC＝. 由题意可知OC1＋OC＝9，即＋＝9，此方程无解． 综上所述，此球的半径为25 cm. 解决与球有关的截面问题时，要注意球的球心和截面圆的圆心的位置，这是联系球半径和截面圆半径的关键所在．本题易出现丢解现象，仅考虑两个截面在圆心同侧，忽略异侧，解题时应小心谨慎． [变式训练] 2．湖面上浮着一个球(水下部分不超过一半)，湖水结冰后，将球取出，冰上留下一个直径为24 cm，深为8 cm的空穴，则球的半径为　________　 cm，球的表面积为　________　 cm2. 解析：设球的半径为R cm， 由题意知，截面圆的半径r＝12 cm，球心到截面的距离d＝(R－8)cm， 由R2＝r2＋d2，得R2＝144＋(R－8)2， 即208－16R＝0，解得R＝13， 故S球＝4πR2＝676π cm2. 答案：13　676π 几何体的外接球、内切球问题 [例3]　有三个球，第一个球内切于正方体，第二个球与这个正方体各条棱相切，等三个球过这个正方体的各个顶点，求这三个球的表面积之比． [思路点拨]　作出截面图，求出半径是关键． [解]　设正方体的棱长为a. (1)正方体的内切球球心是正方体的中心，切点是正方体六个面的中心，经过四个切点及球心作截面如图，所以有2r1＝a，r1＝，所以S1＝4πr＝πa2. (2)球与正方体的各棱的切点在每条棱的中点，过球心作正方体的对角面的截面如图，2r2＝a，r2＝a，所以S2＝4πr＝2πa2. (3)正方体的各个顶点在球面上，过球心作正方体的对角面的截面如图，所以有2r3＝a，r3＝a，所以S3＝4πr＝3πa2. 综上可得S1∶S2∶S3＝1∶2∶3. 球的组合体问题，关键是正确地作出截面图，用圆的知识把立体问题化为平面问题进行解决．对直棱柱、正棱锥与球的切接问题，关键是作图，分析球心与几何体的中心的关系，注意利用球半径、截面圆半径、球心与截面圆圆心的连线等． [变式训练] 3．求棱长为a的正四面体的外接球半径与内切球的半径． 解：如图所示，设正四面体ABCD的高为AO1， 外接球球心为O，半径为R，正三角形BCD的中心为O1. ∵正四面体的棱长为a， ∴O1B＝a×＝a. 在Rt△AO1B中， AO1＝＝＝a. 在Rt△OO1B中，OO＝OB2－O1B2＝R2－2＝R2－， ∴OO1＝. ∵AO1＝AO＋O1O，∴R＋＝a. ∴R＝a，即正四面体外接球的半径为a. 设正四面体内切球的半径为r，则球心也为O. ∵正四面体的高AO1＝a， ∴r＝OO1＝AO1－AO＝a－a＝a， 即正四面体的内切球半径为a. 1．下面几何体的截面一定是圆面的是(　　) A．圆台　B．球　　C．圆柱　　D．棱柱 解析：B　[截面可以从各个不同的角度截取，截得的截面都是圆面的几何体只有球．] 2．长方体的体对角线长为5，若长方体的8个顶点都在同一个球面上，则这个球的表面积是(　　) A．20π B．25π C．50π D．200π 解析：C　[∵对角线长为5，∴2R＝5，S＝4πR2＝4π×2＝50π.] 3．用一个平面去截半径为25 cm的球，截面圆面积是225π cm2，则球心到截面的距离为　________　cm. 解析：由截面圆面积是225π cm2，得截面圆半径为15 cm，故球心到截面的距离d＝＝＝20(cm)． 答案：20 4．正方体的表面积为a2，它的顶点都在球面上，则这个球的表面积是　________　. 解析：设正方体棱长为x，球半径为R，则6x2＝a2，(2R)2＝3x2，∴4R2＝，∴S＝4πR2＝. 答案： 5．A，B，C是球面上三点，已知弦(连接球面上两点的线段)AB＝18 cm，BC＝24 cm，AC＝30 cm，平面ABC与球心的距离恰好为球半径R的一半，求球的半径． 解：如图所示， 因为AB2＋BC2＝AC2， 所以△ABC是直角三角形，AC为斜边． 所以△ABC的外接圆圆心O1是AC的中点． 过A，B，C三点的平面截球O得圆O1的半径为r＝15 cm. 在Rt△OO1C中，R2＝2＋r2. 所以R2＝＋152，所以R2＝300， 所以R＝10cm.即球的半径为10cm. 1．过球面上任意两点A，B作大圆，可能的个数是(　　) A．有且只有一个　　　 B．一个或无穷多个 C．无数个 D．以上均不正确 解析：B　[当过A，B的直线经过球心时，经过A，B的截面所得的圆都是球的大圆，这时过A，B作球的大圆有无数个；当直线AB不经过球心O时，经过A，B，O的截面就是一个大圆，这时只能作出一个大圆．] 2．正方体的内切球半径与外接球半径的比是(　　) A．1∶ B．1∶ C.∶ D．1∶2 解析：B　[正方体的内切球半径为正方体棱长的一半，外接球半径为正方体对角线长的一半．设正方体的棱长为a，则内切球的半径为r＝，外接球的半径为R＝a，所以内切球半径与外接球半径的比为1∶.] 3．在半径为1的球面上有不共面的四个点A，B，C，D且AB＝CD＝x，BC＝DA＝y，CA＝BD＝z，则x2＋y2＋z2等于(　　) A．2 B．4 C．8 D．16 解析：C　[如图所示，构造长方体，设长方体的长、宽、高分别为a，b，c则a2＋b2＋c2＝22＝4，根据题意得a2＋b2＝x2，b2＋c2＝z2，a2＋c2＝y2，则x2＋z2＋y2＝2(a2＋b2＋c2)＝8，故选C.] 4．正方体的表面积为54，则它的外接球的表面积为(　　) A．27π B.π C．36π D.π 解析：A　[设正方体的棱长为a， 则S＝6a2＝54，∴a＝3. ∴其外接球半径为R＝a＝. ∴外接球表面积为S＝4πR2＝4π×2＝27π.] 5．(多选题)一个正方体内接于一个球，过球心作一截面，如图所示，则截面可能的图形是(　　) 解析：ABC　[当截面平行于正方体的一个侧面时得C，当截面过正方体的体对角线时得B，当截面不平行于任何侧面也不过对角线时得A，但无论如何都不能截出D.] 6．(多选题)给出下列命题，其中正确的是(　　) A．球面上四个不同的点一定不在同一平面内 B．球的任意两个大圆的交点的连线是球的直径 C．用不过球心的平面截球，球心和截面圆心的连线垂直于截面 D．球的半径是球面上任意一点和球心的连线段 解析：BCD　[若四点在同一截面圆上，则这四点在同一平面内，故A错，B对，C对，D对．] 7．在半径为13的球面上有A、B、C三点，其中AC＝6，BC＝8，AB＝10，则球心到经过这三个点的截面的距离为　________　. 解析：由线段的长度知△ABC是以AB为斜边的直角三角形，所以其外接圆的半径r＝＝5，所以d＝＝12. 答案：12 8．长方体的长、宽、高分别为5,4,3，其顶点都在球O的球面上，则球O的表面积为　________　. 解析：球的直径是长方体的体对角线，所以2R＝＝，S＝4πR2＝50π. 答案：50π 9．(多空题)球面上有三个点，其中任意两点的球面距离(经过两点的大圆在这两点之间的一段劣弧的长度)都等于大圆周长的，经过这三个点的小圆的周长为4π，那么这个球的半径为　______　，表面积　________　. 解析：如图所示，设这三个点是A，B，C，球的半径为R，A，B，C所在的小圆半径为r，则2πr＝4π，即r＝2. ∵A，B，C三点中任意两点的球面距离是大圆周长的， ∴∠AOB＝∠AOC＝∠COB＝. ∵OA＝OB＝OC＝R，∴AB＝BC＝CA＝R. ∴△ABC是半径为2的圆的内接等边三角形． ∴×·R＝2，∴R＝2. S表＝4π×(2)2＝48π. 答案：2　48π 10．正四棱锥的顶点都在同一球面上，若该棱锥的高为4，底面边长为2，求该球的表面积． 解：如图，设球心为O，半径为r， 则Rt△AOF中， (4－r)2＋()2＝r2， 解得r＝，∴该球的表面积为 4πr2＝4π×2＝π. 11．已知球的两个平行截面的面积分别为5π和8π，它们位于球心的同侧，且距离等于1，求这个球的半径． 解：如图，设这两个截面圆的半径分别为r1，r2，球心到截面的距离分别为d1，d2，球的半径为R，则πr＝5π，π＝8π，所以r＝5，r＝8，又因为R2＝r＋d＝r＋d，所以d－d＝8－5＝3，即(d1－d2)(d1＋d2)＝3，又d1－d2＝1，所以解得 所以R＝＝＝3，即球的半径等于3. 12．已知球O是棱长为1的正方体ABCD－A1B1C1D1的内切球，则平面ACD1截球O所得的截面面积为　________　. 解析：由题意知△ACD1是等边三角形，球与三边的中点都相切，平面ACD1截球O所得的截面即为△ACD1的内切圆．因为三角形的边长为，所以内切圆的半径r＝××＝，所以所求截面的面积为π×2＝. 答案： 13．《九章算术》中，将底面为长方形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为阳马；将四个面都为直角三角形的三棱锥称之为鳖臑，若三棱锥P－ABC为鳖臑，PA⊥平面ABC，PA＝AB＝2，AC＝4，三棱锥P－ABC的四个顶点都在球O的球面上，求球O的表面积　________　. 解析：将三棱锥P－ABC放入长方体中，如图，三棱锥P－ABC的外接球就是长方体的外接球，因为PA＝AB＝2，AC＝4，△ABC为直角三角形，所以BC＝＝2，设外接球的半径为R，由题意可得(2R)2＝22＋22＋(2)2＝20，故R2＝5，则球O的表面积为4πR2＝20π. 答案：20π 学科网（北京）股份有限公司 $