11.1.2 构成空间几何体的基本元素-【创新教程】2025-2026学年高中数学必修第四册五维课堂教师用书word（人教B版）

本高中数学讲义聚焦构成空间几何体的基本元素，系统梳理点、线、面的概念及位置关系，涵盖直线与直线、直线与平面、平面与平面的位置关系，以及直线与平面垂直和距离的定义，构建从基础元素到空间关系的学习支架。 资料以长方体为核心载体，通过文字、符号、图形语言对应呈现知识，结合例题与变式训练，培养学生直观想象与数学抽象素养，助力课中教学互动，课后可帮助学生回顾知识、强化练习，有效查漏补缺。

11.1.2　构成空间几何体的基本元素 课程标准 素养解读 1.以长方体为载体，认识构成几何体的基本元素，认识和理解空间点、直线、平面的位置关系 2．用数学符号表示点、直线、平面的位置关系 以长方体为载体，认识和理解点、直线、平面的位置关系，培养学生的数学抽象素养，提升直观想象素养 [知识梳理] [知识点一]　空间中的点、线、面　 1．构成空间几何体的基本元素：点、线、面是构成空间几何体的基本元素． 2．直线在平面内的概念：如果直线l上的所有点都在平面α内，就说直线l在平面α内，或者说平面α经过直线l. 3．常见的文字语言、符号语言与图形语言的对应关系 文字语言 符号语言 图形语言 A在l上 　A∈l　 A在l外 　A∉l　 A在α内 　A∈α　 A在α外 　A∉α　 l在α内 　l⊂α　 l在α外 　l⊄α　 或 l，m相交于A 　l∩m＝A　 l，α相交于A 　l∩α＝A　 α，β相交于l 　α∩β＝l　 [知识点二]　空间中直线与直线的位置关系　 空间两条直线的位置关系 位置关系 特点 相交 　同一平面内，有且只有一个公共点　 平行 　同一平面内，无公共点　 异面直线 　既不平行也不相交，无公共点　 [知识点三]　空间中直线与平面、平面与平面的位置关系　 1．直线与平面的位置关系 位置关系 直线在平面内 直线在平面外 直线与平面相交 直线与平面平行 公共点 　无数个　 　1个　 　0个　 符号表示 a⊂α a∩α＝A a∥α 图形表示 2.两个平面的位置关系 位置关系 平行 相交 图示 表示法 α∥β α∩β＝a 公共点 个数 　0个　 　无数个　 1.空间中直线与平面有怎样的位置关系？如何分类？ 提示：直线与平面按交点个数可分为直线在平面内(l⊂α)与直线在平面外(l⊄α)两种位置关系，其中直线在平面外，又包括直线与平面相交和直线与平面平行两种位置关系． [知识点四]　直线与平面垂直　 1．定义：一般地，如果直线l与平面α相交于一点A，且对平面α内任意一条过点A的直线m，都有　l⊥m　，则称直线l与平面α垂直(或l是平面α的一条垂线，α是直线l的一个垂面)，记作　l⊥α　，其中点A称为垂足． 2．点到平面的距离由长方体可以看出，给定空间中一个平面α及一个点A，过A可以作而且只可以作平面α的一条垂线．如果记垂足为B，则称B为A在平面α内的射影(也称为投影)，线段AB为平面α的垂线段，　AB的长　为点A到平面α的距离． 3．直线到平面的距离与两平行平面之间的距离 当直线与平面平行时，直线上　任意一点　到平面的距离称为这条直线到这个平面的距离；当平面与平面平行时，一个平面上　任意一点　到另一个平面的距离称为两平行平面之间的距离． 2.如果直线l⊥平面α，A是垂足，过A点在平面α内有多少直线与l垂直？ 提示：由直线l与平面α垂直的定义知，过A点在平面α内的任意一条直线都与l垂直． [预习自测] 1．下列图形中不一定是平面图形的是(　　) A．三角形　　　　　 B．平行四边形 C．梯形 D．四边相等的四边形 解析：D　[三角形、平行四边形、梯形都是平面图形，只有四边相等的四边形可能不是平面图形．] 2．已知直线m⊂平面α，P∉m，Q∈m，则(　　) A．P∉α，Q∈α B．P∈α，Q∉α C．P∉α，Q∉α D．Q∈α 解析：D　[由点、线、面之间的位置关系可判断P与α关系不确定，Q∈α.] 3．设平面α与平面β相交于l，直线a⊂α，直线b⊂β，a∩b＝M，则M　________　l. 解析：如图，M∈α，M∈β，∴M∈l. 答案：∈ 构成几何体的基本元素 [例1]　(1)如图所示的棱锥有　________　个面(　　) A．3　　 B．4 C．5 D．6 (2)(多选题)下列说法正确的是(　　) A．任何一个几何体都必须有顶点、棱和面 B．一个几何体可以没有顶点 C．一个几何体可以没有棱 D．一个几何体可以没有面 [思路点拨]　点、线、面是构成空间几何体的基本元素． [解析]　(1)四棱锥有5个面． (2)球只有一个曲面，故A错误，B正确，C正确，由于几何体是空间图形，故一定有面，D错误． [答案]　(1)C　(2)BC 组成几何体的是面，面与面相交得到线，即棱；线与线相交得到点，即几何体的顶点． [变式训练] 1．试指出下列各几何体的基本元素(如图)． 解：①中几何体有6个顶点，12条棱和8个三角形面； ②中几何体有12个顶点，18条棱和8个面； ③中几何体有6个顶点，10条棱和6个面； ④中几何体有2条曲线，3个面(2个圆面和1个曲面)． 几何体中点、线、面的位置关系 [例2]　如图所示，在长方体ABCD－A′B′C′D′中，如果把它的12条棱延伸为直线，6个面延展为平面，那么在这12条直线与6个平面中： (1)与直线B′C′平行的平面有哪几个？ (2)与直线B′C′垂直的平面有哪几个？ (3)与平面BC′平行的平面有哪几个？ (4)与平面BC′垂直的平面有哪几个？ (5)点A′到平面ABCD的距离可以用哪些线段表示？ (6)线段AA′到平面B′BCC′的距离可以用哪些线段表示？ (7)平面AC与平面A′C′间的距离可以用哪些线段来表示？ (8)线段BD′在平面ABCD内的投影用哪个线段表示？ [思路点拨]　根据点、线、面之间的关系正确判断． [解]　(1)有平面ADD′A′与平面ABCD. (2)有平面ABB′A′，平面CDD′C′. (3)有平面ADD′A′. (4)有平面ABB′A′，平面CDD′C′，平面A′B′C′D′与平面ABCD. (5)线段AA′，BB′，CC′，DD′. (6)线段AB，A′B′，D′C′，DC. (7)可用线段AA′，BB′，CC′，DD′来表示． (8)线段BD. (1)解决此类问题的关键在于识图，根据图形识别直线与平面平行、垂直，平面与平面平行、垂直． (2)长方体和正方体是立体几何中的重要几何体，加深对其认识有助于进一步认识立体几何中的点、线、面的基本关系． [变式训练] 2．在正方体ABCD－A1B1C1D1中，写出所有： (1)与直线AD平行的直线，与AD异面的直线． (2)与直线AD平行的平面，并用合适的符号表示． (3)与直线AD垂直的平面，并用合适的符号表示． (4)与平面BCC1B1平行的平面，并用合适的符号表示． 解：(1)与AD平行的直线有BC，A1D1，B1C1，与AD异面的直线有：A1B1，C1D1，BB1，CC1. (2)直线AD∥平面BCC1B1，直线AD∥平面A1B1C1D1. (3)直线AD⊥平面ABB1A1，直线AD⊥平面CDD1C1. (4)平面ADD1A1∥平面BCC1B1. 空间的距离 [例3]　线段AB长为5 cm，在水平面上向右移动4 cm后记为CD，将CD沿铅垂线方向向下移动3 cm后记为C′D′，再将C′D′沿水平方向向左移动4 cm后记为A′B′，依次连接构成长方体ABCD－A′B′C′D′. (1)该长方体的高为　________　； (2)平面A′B′BA与平面CDD′C′间的距离为　________　. (3)点A到平面BCC′B′的距离为　________　. [思路点拨]　先找到表示距离的垂线段，然后求解． [解析]　如图，在长方体ABCD－A′B′C′D′中，AB＝5 cm，BC＝4 cm，CC′＝3 cm，∴长方体的高为3 cm；平面A′B′BA与平面CDD′C′之间的距离为4 cm；点A到平面BCC′B′的距离为5 cm. [答案]　(1)3 cm　(2)4 cm　(3)5 cm 求距离首先要找垂线，即找出平面的垂线，结合长方体中点、线、面关系即可求． [变式训练] 3．如图所示，在长方体A′B′C′D′－ABCD中，AB＝3 cm，BC＝2 cm，BB′＝1 cm， 求：(1)点A′到平面B′BCC′的距离； (2)直线A′D′与平面ABCD的距离； (3)平面ABB′A′与平面CDD′C′的距离． 解：(1)点A′到平面B′BCC′的距离为A′B′＝3 cm. (2)直线A′D′与平面ABCD的距离为AA′＝1 cm. (3)平面ABB′A′与平面CDD′C′的距离为AD＝2 cm. 1．下列关于直线l与平面α的符号表示不正确的是(　　) A．l⊂α　　　　　 B．l∥α C．l∈α D．l∩α＝A 解析：C　[直线l在平面α内表示为l⊂α，点A在平面α内，应为A∈α.] 2．下列说法正确的是(　　) A．在空间中，一个点运动成直线 B．在空间中，直线平行移动形成平面 C．在空间中，直线绕与其相交的另一条直线转动形成平面或锥面 D．在空间中，矩形上各点沿同一方向移动形成长方体 解析：C　[一个点运动也可以成曲线，故A错；在空间中，直线平行移动可以形成平面或曲面，故B错；在空间中，矩形上各点沿铅垂线向上(或向下)移动相同距离所形成的几何体是长方体，故D错．] 3．在长方体ABCD－A1B1C1D1中，直线BC与平面A1B1C1D1的位置关系用符号表示为　________　. 解析：直线BC与平面A1B1C1D1平行． 答案：BC∥平面A1B1C1D1 4．在如图所示的长方体ABCD－A′B′C′D′中，互相平行的平面共有　________　对，与A′A垂直的平面是　________　. 解析：平面ABCD与平面A′B′C′D′平行，平面ABB′A′与平面CDD′C′平行，平面ADD′A′与平面BCC′B′平行，共3对，与AA′垂直的平面是平面ABCD，平面A′B′C′D′. 答案：3　平面ABCD，平面A′B′C′D′ 5．用符号表示下列点、线、面的关系． (1)点A不在平面α内． (2)直线l与直线m相交于点A. (3)直线l与平面α相交于点P. 解：(1)A∉α　(2)l∩m＝A　(3)l∩α＝P 1．正方体ABCD－A1B1C1D1中，棱长为2 cm，则点A与点C1的距离为(　　) A．2　　　　　　　 B．2 C．2 D．2 解析：D　[连接AC(图略)，则AC＝2.又CC1⊥平面ABCD，∴AC＝AC2＋CC＝12，∴AC1＝2.] 2．在长方体ABCD－A1B1C1D1中，与棱A1B1异面的棱有　________　条(　　) A．4 B．3 C．2 D．1 解析：A　[与A1B1异面的是AD，DD1，BC，CC1,4条棱．] 3．若直线l在平面α内，则符号表示正确的是(　　) A．l⊂α B．l∥α C．l∈α D．l∩α＝A 解析：A　[直线l在平面α内表示为l⊂α.] 4．在长方体ABCD－A1B1C1D1的六个面中，与平面AA1D1D平行的面有(　　) A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 解析：A　[只有平面BB1C1C与平面AA1D1D平行．] 5．(多选题)下列关于长方体的叙述中，正确的是(　　) A．将一个矩形沿竖直方向平移一段距离可形成一个长方体 B．长方体中相对的面都互相平行 C．长方体中的任意两条棱要么相交，要么平行 D．两平行平面之间的棱互相平行且相等 解析：ABD　[长方体中的任意两条棱也可能异面．] 6．(多选题)在正方体ABCD－A1B1C1D1中，下列说法正确的是(　　) A．AD1∥平面BCC1B1 B．AC与BC1相交 C．点A1，D1到平面BCC1B1的距离相等 D．与AB平行的面只有一个，与AB垂直的面有两个 解析：AC　[B中AC与BC1不相交也不平行，D中与AB平行的平面有两个．] 7．在长方体ABCD－A1B1C1D1中，直线AD与平面A1B1C1D1的位置关系用符号表示为　________　. 解析：直线AD与平面A1B1C1D1平行 答案：AD∥平面A1B1C1D1 8.如图所示，在长方体ABCD－A1B1C1D1中，和棱A1B1不相交的棱有　________　条． 解析：不相交包括与A1B1平行的棱，有3条，与A1B1异面的棱，有4条． 答案：7 9．(多空题)若点P在直线a上，点P不在平面α内，则直线a与平面α的位置关系是　________　，用符号表示为　________　. 答案：平行或相交　a⊄α 10.如图所示，在长方体A′B′C′D′­ABCD中，AB＝4 cm，BC＝2 cm，BB′＝1 cm， 求(1)点B′到平面AA′D′D的距离； (2)直线A′B′与平面ABCD的距离； (3)平面ABCD与平面A′B′C′D′的距离． 解：(1)点B′到平面AA′D′D的距离为A′B′＝4 cm. (2)直线A′B′与平面ABCD的距离为AA′＝1 cm. (3)平面ABCD与平面A′B′C′D′的距离为AA′＝1 cm. 11．在正方体ABCD－A1B1C1D1中． (1)写出与平面ABCD平行的平面，并用合适的符号表示； (2)写出平面BCC1B1与平面CDD1C1的位置关系，并用合适的符号表示． 解：(1)平面A1B1C1D1∥平面ABCD. (2)平面BCC1B1与平面CDD1C1相交，即平面BCC1B1∩平面CDD1C1＝直线CC1. 12．如图，往透明塑料制成的长方体ABCD－A1B1C1D1容器内灌进一些水，将容器底面一边BC固定于地面上，再将容器倾斜，随着倾斜度的不同，有下列三个说法： ①水的部分始终呈棱柱状；②水面四边形EFGH的面积不改变；③当E在AA1上时，AE＋BF是定值． 其中，正确的说法是(　　) A．①② B．① C．①②③ D．①③ 解析：D　[显然水的部分呈棱柱状，故①正确；易知四边形EFGH是矩形，且EH保持不变，随着倾斜度的不同，EF长度也变化，所以四边形EFGH面积也变化，故②不正确；由于水的体积不变，四棱柱ABFE－DCGH的高不变，所以梯形ABFE的面积不变，所以AE＋BF是定值，故③正确，所以四个命题中①③正确，故选D.] 13．如图所示是长方体的表面展示图，在这个长方体中： (1)直线DM与平面ABQP的位置关系是怎样的？ (2)平面DCMN与平面ERFG的位置关系是怎样的？ (3)线段BC的长度是点C到平面APQB的距离吗？ 解：根据展开图，折叠得到几何体模型，如图所示． (1)直线DM∥平面ABQP. (2)平面DCMN与平面ERFG相交于MN(FG)． (3)线段BC的长度是点C到平面APQB的距离． 学科网（北京）股份有限公司 $