9.2 正弦定理与余弦定理的应用-【创新教程】2025-2026学年高中数学必修第四册五维课堂教师用书word（人教B版）

本讲义聚焦正弦定理与余弦定理的应用这一核心知识点，前承正余弦定理的基础内容，后续通过测量距离、高度、角度等实际问题展开，构建情境引入、常见角概念梳理、解题步骤总结、例题与变式训练的学习支架。 以中国海监船驱离非法探油船为情境引入，引导学生用数学眼光观察现实问题，通过例题解析与变式训练培养数学思维（推理、运算），知识梳理与自测题助力用数学语言表达，课中辅助教师教学，课后帮助学生查漏补缺。

9．2　正弦定理与余弦定理的应用 课程标准 素养解读 1.能利用余弦定理、正弦定理解决简单的生产、生活中的实际问题． 2．巩固深化余弦定理、正弦定理有关知识与方法. 通过运用余弦定理、正弦定理建立数学模型，解决简单的实际问题，提升数学建模素养．通过利用余弦、正弦定理求解距离、高度、角度问题，培养数学运算素养. [情境引入] 中国海监船肩负着我国海域的维权、执法使命．某时某中国海监船位于中国南海的A处，与我国海岛B相距s海里．据观测得知有一外国探油船位于我国海域C处进行非法资源勘探，这艘中国海监船奉命以v海里/小时的速度前去驱逐．假如能测得∠BAC＝α，BC＝m海里，你能根据上述数据计算出它赶到C处的时间吗？要解决这个问题，就需要用到解三角形的相关知识． 问题　解三角形的实际应用有哪些常见问题？ 提示　测量距离，测量高度，测量角度等． [知识梳理] [知识点一]　测量中的常见角　 名称 意义 图示 方位角 从正北方向顺时针转到目标方向线的最小　正角　. 方向角 正北或正南方向线与目标方向线所成的　锐角　. 仰角与 俯角 在同一铅垂平面内，目标视线与水平视线所成的角中，目标视线在水平视线上方的叫做仰角，目标视线在水平视线下方的叫做俯角. 坡角 坡面与水平面的夹角． 设坡角为α，坡度为i，则i＝＝tan α. 坡度 坡面的垂直高度h和水平宽度l的比. 1.方向角和方位角是同一个概念吗？ [提示]　方向角是从指定方向线到目标方向线的小于90°的水平角，而方位角是从正北方向顺时针转到目标方向线所成的角． 2．坡度和坡比有区别吗？ [提示]　坡度是坡面与水平面所成的二面角的度数，而坡比是坡面的铅直高度与水平宽度的比． [知识点二]　解三角形应用题的常见步骤　 3.利用正(余)弦定理解应用题常忽略的问题有哪些？ [提示]　(1)检验求解出的结果是否符合实际意义； (2)题中求解往往有精确度的要求，要合理选择近似值，并且为了避免误差的积累，解题过程中应尽量地使用已知(原始)数据，少用或不用间接求出的近似值，必用时要按照近似计算的规则取近似值； (3)利用正弦定理、余弦定理解应用题时，往往数据较多，关系较复杂，因此在解答过程中，要做到算法简练、算式工整、计算准确，还应注意方程思想的应用． [预习自测] 1．某次测量中，点A在点B的北偏东55°，则点B在点A的(　　) A．北偏西35°　　　　 B．北偏东55° C．南偏西35° D．南偏西55° 解析：D　[根据题意和方向角的概念画出草图，如图所示．α＝55°，则β＝α＝55°. 所以点B在点A的南偏西55°.] 2．海上的A，B两个小岛相距10 n mile，从A岛望C岛和B岛成60°的视角，从B岛望C岛和A岛成75°的视角，则B岛与C岛之间的距离是(　　) A．10 n mile B. n mile C．5 n mile D．5 n mile 解析：D　[在△ABC中，C＝180°－60°－75°＝45°，由正弦定理，得＝， 解得BC＝5 n mile.] 3．如图所示，要测量底部不能到达的某电视塔AB的高度，在塔的同一侧选择C，D两个观测点，且在C，D两点测得塔顶的仰角分别为45°，30°，在水平面上测得∠BCD＝120°，C，D两地相距500 m，则电视塔AB的高度是　________　 m. 解析：设AB＝x，在Rt△ABC中，∠ACB＝45°， ∴BC＝AB＝x；在Rt△ABD中，∠ADB＝30°， ∴BD＝x；在△BCD中，∠BCD＝120°，CD＝500 m，由余弦定理得( x)2＝x2＋5002－2×500xcos 120°，解得x＝500 m. 答案：500 4．某登山队在山脚A处测得山顶B的仰角为45°，沿倾斜角为30°的斜坡前进1 000 m后到达D处，又测得山顶的仰角为60°，则山的高度BC为　________　 m. 解析：过点D作DE∥AC交BC于E，因为∠DAC＝30°，故∠ADE＝150°.于是∠ADB＝360°－150°－60°＝150°. 又∠BAD＝45°－30°＝15°， 故∠ABD＝15°，由正弦定理得 AB＝ ＝＝500(＋)(m)． 所以在Rt△ABC中，BC＝ABsin 45°＝500(＋1)(m)． 答案：500(＋1) 5．某人在M汽车站的北偏西20°方向上的A处，观察到点C处有一辆汽车沿公路向M汽车站行驶．公路的走向是M汽车站的北偏东40°.开始时，汽车到A处的距离为31千米，汽车前进20千米后，到A处的距离缩短了10千米．问：汽车还需行驶多远才能到达M汽车站？ 解：画出示意图如图．设汽车前进20千米后到达B处．在△ABC中，AC＝31千米，BC＝20千米，AB＝21千米，由余弦定理，得cos C＝＝，则sin2C＝1－cos2C＝，∴sin C＝(负值舍去)． ∴sin ∠MAC＝sin (120°－C)＝sin 120° cos C－cos 120°·sin C＝. 在△MAC中，由正弦定理，得MC＝＝×＝35(千米)， 从而有MB＝MC－BC＝15(千米)． 因此，汽车还需行驶15千米才能到达M汽车站． 测量距离问题 [例1]　如图，某货轮在A处看灯塔B在货轮的北偏东75°，距离为12 n mile，在A处看灯塔C在货轮的北偏西30°，距离为8 n mile，货轮由A处向正北航行到D处时，再看灯塔B在南偏东60°. 求：(1)A处与D处之间的距离； (2)灯塔C与D处之间的距离． [思路点拨]　(1)由∠BDA＝60°，利用正弦定理计算AD. (2)由(1)知AD长，利用余弦定理计算CD. [解]　(1)在△ABD中，∠ADB＝60°，B＝45°，由正弦定理得AD＝＝＝24. 即A处当D处之间的距离为24n mile. (2)在△ADC中，由余弦定理得 CD2＝AD2＋AC2－2AD·ACcos 30°，解得CD＝8. 即C处与D处的距离为8 n mile. 日常生活中，测量距离问题常借助平面三角形解决，常有两种情况： 1. 测量从一个可到达的点到另一个不可到达的点之间的距离问题． 这实际上就是已知三角形两个角和一边解三角形的问题，用正弦定理就可解决．(如图所示) 2．测量两个不可到达的点之间的距离问题． 首先把求不可到达的两点A，B之间的距离转化为应用正弦定理求三角形的边长问题，先把求未知的BC和AC的问题转化为测量可到达的一点与不可到达的一点之间距离的问题(如图所示)，然后在△ABC中求解AB. 3．解三角形应用问题的四个步骤 [变式训练] 1.如图，隔河看两目标A，B，但不能到达，在岸边选取相距 km的C，D两点，并测得∠ACB＝75°，∠BCD＝45°，∠ADC＝30°，∠ADB＝45°(A，B，C，D在同一平面内)，求两目标A，B之间的距离． 解：在△ACD中，∠ADC＝30°， ∠ACD＝120°， ∴∠CAD＝30°. ∴AC＝CD＝km. 在△BDC中，∠CBD＝180°－(45°＋30°＋45°)＝60°. 在△BCD中，由正弦定理，得 BC＝＝. 则在△ABC中，由余弦定理，得 AB2＝AC2＋BC2－2AC·BC·cos∠BCA ＝()2＋2－2×cos 75°＝5. ∴AB＝ km. ∴两目标A，B之间的距离为 km. 测量高度问题 [例2]　如图所示，在山顶铁塔上B处测得地面上一点A的俯角为α，在塔底C处测得A处的俯角为β.已知铁塔BC部分的高为h，则山高CD＝　________　. [思路点拨]　根据图形，把已知和所求分别放置在一个或几个三角形中，并通过其公共元素联系起来，由正(余)弦定理解决． [解析]　由已知得∠BCA＝90°＋β，∠ABC＝90°－α，∠BAC＝α－β，∠CAD＝β. 在△ABC中，由正弦定理得 ＝， 即＝， ∴AC＝＝. 在Rt△ACD中，CD＝ACsin∠CAD＝ADsin β ＝. 故山高CD＝. [答案]　 根据已知条件与求解目标，把已知量与求解量尽量集中在有关的三角形中，有时根据需求量解不同的三角形． [变式训练] 2．如图所示，为测量山高MN，选择A和另一座山的山顶C为测量观测点．从A点测得M点的仰角∠MAN＝60°，C点的仰角∠CAB＝45°以及∠MAC＝75°；从C点测得∠MCA＝60°.已知山高BC＝100 m，求另一山高MN. 解：根据图示，AC＝100 m. 在△MAC中，∠CMA＝180°－75°－60°＝45°. 由正弦定理得＝⇒AM＝100 m. 在Rt△AMN中，＝sin 60°， ∴MN＝100×＝150(m)． 测量角度问题 [例3]　如图，甲船以每小时30海里的速度向正北方航行，乙船按固定方向匀速直线航行．当甲船位于A1处时，乙船位于甲船的北偏西105°方向的B1处，此时两船相距20海里，当甲船航行20分钟到达A2处时，乙船航行到甲船的北偏西120°方向的B2处，此时两船相距10海里．问：乙船每小时航行多少海里？ [思路点拨]　构造三角形，把已知和未知放到三角形中，利用正(余)弦定理求解． [解]　如图，连接A1B2由已知A2B2＝10，A1A2＝30×＝10，∴A1A2＝A2B2. 又∠A1A2B2＝180°－120°＝60°， ∴△A1A2B2是等边三角形， ∴A1B2＝A1A2＝10. 由已知，A1B1＝20， 在△A1B2B1中，∠B1A1B2＝105°－60°＝45°. 由余弦定理得 B1B＝A1B＋A1B－2A1B1·A1B2·cos 45° ＝202＋(10)2－2×20×10×＝200， ∴B1B2＝10. 因此，乙船的速度为×60＝30(海里/时)． 解决测量角度问题的注意点 (1)明确方位角和方向角的含义； (2)分析题意，分清已知与所求，并根据题意画出正确的示意图，这是最关键的一步； (3)将实际问题转化为可用数学方法解决的问题后，注意正、余弦定理的“联袂”使用． [变式训练] 3．如图所示，渔船甲位于岛屿A的南偏西60°方向的B处，且与岛屿A相距12海里，渔船乙以10海里/时的速度从岛屿A出发沿正北方向航行，若渔船甲同时从B处出发沿北偏东α的方向追赶渔船乙，刚好用2小时追上． (1)求渔船甲的速度； (2)求sin α的值． 解：(1)依题意知，∠BAC＝120°，AB＝12， AC＝10×2＝20，∠BCA＝α. 在△ABC中，由余弦定理，得BC2＝AB2＋AC2－2AB·AC·cos∠BAC＝122＋202－2×12×20×cos 120°＝784. 解得BC＝28. 所以渔船甲的速度为＝14(海里/时)． (2)在△ABC中，因为AB＝12，∠BAC＝120°，BC＝28，∠BCA＝α，由正弦定理，得＝， 即sin α＝＝＝. 1．如图所示，在河岸AC上测量河的宽度BC，测量下列四组数据，较适宜的是(　　) A．a，c，α　　　　　 B．b，c，α C．c，a，β D．b，α，γ 解析：D　[由α，γ可求出β，由α，β，b，可利用正弦定理求出BC，故选D.] 2．甲骑电动自行车以24 km/h的速度沿着正北方向的公路行驶，在点A处望见电视塔S在电动车的北偏东30°方向上，15 min后到点B处望见电视塔在电动车的北偏东75°方向上，则电动车在点B时与电视塔S的距离是(　　) A．6 km　　　　　　 B．3 km C．3 km D．3 km 解析：C　[由题意知，AB＝24×＝6 km， ∠BAS＝30°，∠ASB＝75°－30°＝45°. 由正弦定理，得BS＝＝＝ 3(km)．] 3．在福州青运会开幕式举行的升旗仪式上，从坡角为15°的看台上，同一列的第一排和最后一排分别测得旗杆顶部的仰角为60°和30°.若同一列的第一排和最后一排之间的距离为10米(如图所示)，则旗杆的高度为　________　米． 解析：如图所示，记看台上的一列为BC，旗杆为OP， 依题意可知∠PCB＝45°，∠PBC＝180°－60°－15°＝105°，∠PBO＝60°，BC＝10米， ∴∠CPB＝180°－45°－105°＝30°， ∴在△PBC中，由正弦定理可知PB＝·sin∠PCB＝20(米)， ∴在Rt△POB中，OP＝PB·sin∠PBO＝20×＝30(米)，即旗杆的高度为30米． 答案：30 4．如图所示，设A，B两点在河的两岸，一测量者在A的同侧，在A所在的河岸边选定一点C，测出AC的距离为50 m，∠ACB＝45°，∠CAB＝105°，则A，B两点的距离为　________　m. 解析：由题意知∠ABC＝30°，由正弦定理，得＝， ∴AB＝＝＝50(m)． 答案：50 5．如图所示，货轮在海上以40 km/h的速度由B向C航行，航行的方位角是140°.A处有一灯塔，在B处观察灯塔A的方位角是110°，在C处观察灯塔A的方位角是35°，由B到C需航行半个小时，求C到灯塔A的距离． 解：在△ABC中，BC＝40×＝20(km)， ∠ABC＝140°－110°＝30°， ∠ACB＝(180°－140°)＋35°＝75°， ∴∠BAC＝75°. 由正弦定理，得＝， ∴AC＝＝＝＝10(－)(km)． 故C到灯塔A的距离为10(－)km. 1．如图所示，为测一树的高度，测量者在地面上选取A，B两点，从A，B两点分别测得树尖的仰角为30°，45°，且A，B两点之间的距离为60 m，则树的高度为(　　 ) A．(15＋3) m　　　　　 B．(30＋15) m C．(30＋30) m D．(15＋30) m 解析：C　[由正弦定理及已知条件可得＝，故PB＝＝，所以树的高度h＝PBsin 45°＝＝30＋30(m)．] 2．若水平面上点B在点A南偏东30°方向上，则在点A处测得点B的方位角是(　　 ) A．60° B．120° C．150° D．210° 解析：C　[方位角是指从正北方向顺时针旋转到达目标方向的水平角．如图所示，点B的方位角是180°－30°＝150°.故选C.] 3．某观察站C与两灯塔A，B的距离分别为300米和500米，测得灯塔A在观察站C的北偏东30°方向上，灯塔B在观察站C的正西方向上，则两灯塔A，B间的距离为(　　 ) A．500米 B．600米 C．700米 D．800米 解析：C　[由题意，在△ABC中，AC＝300米，BC＝500米，∠ACB＝120°.利用余弦定理可得AB2＝3002＋5002－2×300×500×cos 120°，所以AB＝700米，故选C.] 4．有一长为10 m的斜坡，倾斜角为75°，在不改变坡高和坡顶的前提下，通过加长坡面的方法将它的倾斜角改为30°，则坡底要延长的长度(单位：m)是(　　 ) A．5 B．10 C．10 D．10 解析：C　[如图，设将坡底加长到C时，倾斜角为30°，在△ABC中，AB＝10 m，∠C＝30°，∠BAC＝75°－30°＝45°. 由正弦定理得＝.即BC＝＝＝10(m)．] 5．(多选题)某人向正东方向走了x km后向右转了150°，然后沿新方向走了3 km，结果离出发点恰好 km，则x的值为(　　) A. B．2 C．2 D．3 解析：AB　[如图所示，在△ABC中，AB＝x，BC＝3，AC＝，∠ABC＝30°， 由余弦定理得，AC2＝AB2＋BC2－2AB·BC·cos∠ABC. 即()2＝x2＋32－2x·3·cos 30°. ∴x2－3x＋6＝0. 解得x＝2或x＝.] 6．如图所示，在地面上共线的三点A，B，C处测得一建筑物的仰角分别为30°，45°，60°，且AB＝BC＝60 m，则建筑物的高度为(　　 ) A．15 m B．20 m C．25 m D．30 m 解析：D　[设建筑物的高度为h，由题图知，PA＝2h，PB＝h，PC＝h， ∴在△PBA和△PBC中，分别由余弦定理，得 cos∠PBA＝，① cos∠PBC＝.② ∵∠PBA＋∠PBC＝180°， ∴cos∠PBA＋cos∠PBC＝0.③ 由①②③，解得h＝30或h＝－30(舍去)， 即建筑物的高度为30 m．] 7．作用在同一点的三个力F1，F2，F3平衡，已知F1＝30 N，F2＝50 N，F1与F2之间的夹角是60°，则F3与F1之间的夹角的正弦值为　________　. 解析：本题以物理中的力的分解知识为背景，主要考查正弦定理及余弦定理．由题意，知F3应和F1，F2的合力F平衡．设F3与F1之间的夹角为θ，作图(如图)， 可知当三力平衡时，由余弦定理得F3＝ ＝70 N，再由正弦定理得＝，即sin θ＝＝. 答案： 8．一蜘蛛沿东北方向爬行x cm捕捉到一只小虫，然后向右转105°，爬行10 cm捕捉到另一只小虫，这时它向右转135°爬行回它的出发点，那么x＝　________　. 解析：如图所示，设蜘蛛原来在O点，先爬行到A点，再爬行到B点， 易知在△AOB中，AB＝10 cm，∠OAB＝75°，∠ABO＝45°，则∠AOB＝60°. 由正弦定理知，x＝＝＝(cm)． 答案： cm 9．甲、乙两楼相距20米，从乙楼底望甲楼顶的仰角为60°，从甲楼顶望乙楼顶的俯角为30°，则甲楼的高是　________　米，乙楼的高是　________　米． 解析：甲楼的高为20 tan 60°＝20×＝20(米)；乙楼的高为20－20tan 30°＝20－20×＝(米)． 答案：20　 10．某广场有一块不规则的绿地如图所示，城建部门欲在该地上建造一个底座为三角形的环保标志，小李、小王设计的底座形状分别为△ABC，△ABD，经测量AD＝BD＝7米，BC＝5米，AC＝8米，∠C＝∠D.求AB的长度． 解析：在△ABC中，由余弦定理得： cos C＝＝， 在△ABD中，由余弦定理得： cos D＝＝. 由∠C＝∠D，得cos C＝cos D， 解得AB＝7，所以AB的长度为7米． 11．空中有一气球D，在它正西方向的地面上有一点A，在此处测得气球的仰角为45°，同时在气球的南偏东60°方向的地面上有一点B，测得气球的仰角为30°，两观察点A，B相距266 m，计算气球的高度． 解：如图，设CD＝x， 在Rt△ACD中，∠DAC＝45°，所以AC＝CD＝x. 在Rt△BCD中，∠CBD＝30°，所以CB＝＝x. 在△ABC中，∠ACB＝90°＋60°＝150°， 由余弦定理得AB2＝AC2＋BC2－2·AC·BC·cos∠ACB， 所以2662＝x2＋(x)2－2·x·x·，所以x＝38(m)．所以气球的高度为38 m. 12．(2021·上海卷)已知在ΔABC中，A、B、C所对边分别为a，b，c，且a＝3，b＝2c. (1)若A＝，求S△ABC的面积； (2)若2sin B－sin C＝1，求△ABC的周长． 解：(1)cos A＝⇒－＝⇒ c＝； S△ABC＝bcsin A＝×2××＝. (2)依题意，正弦定理： ＝⇒sin B＝2sin C ∴代入计算：4sin C－sin C＝1⇒sin C＝， 则sin B＝ 当B为锐角时，sin A＝sin (B＋C)＝sin Bcos C＋cos Bsin C＝×＋×＝， ＝＝⇒ ， ∴C△ABC＝4－＋3 当B为钝角时，sin A＝sin (B＋C)＝sin Bcos C＋cos Bsin C＝×－×＝， ＝＝⇒ ， ∴C△ABC＝4＋＋3 13．如图所示，一辆汽车从A市出发沿海岸一条直公路以100 km/h的速度向东匀速行驶，汽车开动时，在A市南偏东方向距A市500 km且与海岸距离为300 km的海上B处有一快艇与汽车同时出发，要把一件材料交送给这辆汽车的司机． (1)快艇至少以多大的速度行驶才能把材料送到司机手中？ (2)求快艇以最小速度行驶时的行驶方向与AB所成的角； (3)若快艇每小时最快行驶75 km，快艇应如何行驶才能尽快把材料交到司机手中，最快需要多长时间？ 解：如图所示，设快艇以v km/h的速度从B处出发，沿BC方向，t小时后与汽车在C处相遇． (1)在△ABC中，AB＝500，AC＝100t，BC＝vt，BD为AC边上的高，BD＝300. 设∠BAC＝α，则sin α＝，cos α＝， 由余弦定理得，BC2＝AC2＋AB2－2AB·ACcos α， 即v2t2＝(100t)2＋5002－2×500×100t·， 整理得，v2＝－＋10 000＝250 000＋10 000－ ＝250 0002＋3 600. 当＝，即t＝时，v＝3 600，vmin＝60. 即快艇至少以60 km/h的速度行驶才能把稿件送到司机手中． (2)当v＝60 km/h时，在△ABC中， AB＝500，AC＝100×＝625，BC＝60×＝375， 由余弦定理cos∠ABC＝＝0， ∴∠ABC＝90°，故快艇应以垂直AB的方向向北偏东行驶． (3)如图所示，设快艇以75 km/h的速度沿BE行驶，t小时后与汽车在E处相遇． 在△ABE中，AB＝500，AE＝100t，BE＝75t，cos ∠BAE＝. 由余弦定理(75t)2＝5002＋(100t)2－2×500×100t×，整理得t＝4或t＝(舍)， 当t＝4时，AE＝400，BE＝300， AB2＝AE2＋BE2， 所以快艇应垂直于海岸向北行驶才能尽快把材料交到司机手中，最快需要4 h. 学科网（北京）股份有限公司 $