9.1.3 正、余弦的综合运用-【创新教程】2025-2026学年高中数学必修第四册五维课堂教师用书word（人教B版）

本讲义聚焦正、余弦定理的综合运用核心知识点，前承正余弦定理基础内容，后接几何问题解决，通过知识梳理（三角形面积公式、边角关系结论）、预习自测搭建学习支架，系统整合从基础到综合应用的学习脉络。 该资料以秦九韶面积公式情境引入激发探究，例题涵盖线段长度、面积计算等问题，培养逻辑推理与数学运算素养。课中助力教师分层教学，课后通过练习题与高考真题帮助学生巩固，有效提升综合应用能力。

9．1.3　正、余弦的综合运用 课程标准 素养解读 能用余弦定理、正弦定理解决简单的几何问题. 通过余弦定理、正弦定理的应用，提升逻辑推理，数学运算素养. [情境引入] 我国南宋数学家秦九韶(约1202～1261)独立地发现了求三角形面积的方法．他把三角形的三边分别叫作大斜、中斜、小钭(如图)，他在著作《数书九章》卷五中记述：“以小斜幂并大斜幂减中斜幂，余半之，自乘于以；以小斜幂乘大斜幂，减上，余四约之．为实；一为从隅，开平方得积．”用今天的符号来表示即是S＝. 问题　你能用所学的知识证明这个结论吗？ 提示　S＝acsin B＝ac·＝ac·＝. [知识梳理] [知识点一]　三角形的面积公式　 (1)S＝a·ha(ha为a边上的高)； (2)S＝absin C＝bcsin A＝acsin B； (3)S＝·r·(a＋b＋c)(r为内切圆半径)． [知识点二]　几个重要结论　 在△ABC中， (1)若sin 2A＝sin 2B，则A＝B或A＋B＝； (2)若cos A＝cos B，则　A＝B　； (3)若a2>b2＋c2，则△ABC为　钝角三角形　； (4)若a2＝b2＋c2，则△ABC为　直角三角形　； (5)若a2<b2＋c2且b2<a2＋c2且c2<a2＋b2，则△ABC为　锐角三角形　. 　解三角形问题需注意哪些？ [提示]　1.解决三角形中的综合问题需注意 解三角形与三角函数结合的题目是最近几年高考的一个趋势，解决此类问题常以三角形为载体，以正、余弦定理和三角函数公式为工具来综合考查，因此掌握正、余弦定理、三角函数的公式和性质是解题的关键． 2．解几何计算问题的注意点 (1)几何计算问题一般涉及三角形或多边形的边长、角度、面积等，解题时要充分挖掘几何图形的性质． (2)分析图形中涉及的三角形或多边形，将所求问题归结到尽可能少的三角形中． (3)合理利用正、余弦定理，选用恰当的计算公式． [预习自测] 1．在△ABC中，若b＝2，A＝120°，其面积S＝，则△ABC外接圆的半径为(　　) A.　　　　　　　 B．2 C．2 D．4 解析：B　[∵S＝bcsin A，∴＝×2csin 120°， ∴c＝2，∴a＝＝ ＝2，设△ABC外接圆的半径为R，∴2R＝＝＝4，∴R＝2.] 2．在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c.若c2＝(a－b)2＋6，C＝，则△ABC的面积是(　　) A．3 B. C. D．3 解析：C　[∵c2＝(a－b)2＋6 ∴a2＋b2－c2＝2ab－6 ∵a2＋b2－c2＝2ab cos C＝ab ∴2ab－6＝ab，∴ab＝6 ∴S＝absin C＝×6×＝，选C.] 3．设△ABC的内角A、B、C所对的边分别为a、b、c，且C＝，a＋b＝λ，若△ABC面积的最大值为9，则λ的值为(　　) A．8 B．12 C．16 D．21 解析：B　[由三角形的面积公式可得，S△ABC＝absin C＝ab≤·2＝λ2，当且仅当a＝b时取“＝”，令λ2＝9，解得λ＝12，选B.] 4．若锐角△ABC的面积为10，且AB＝5，AC＝8，则BC等于　________　. 解析：S＝AB·AC·sin A，∴sin A＝， 在锐角三角形中A＝，由余弦定理 BC＝＝7. 答案：7 5．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且cos(A－B)cos B－sin(A－B)sin(A＋C)＝－. (1)求sin A的值； (2)若a＝4，b＝5，求c. 解：(1)由cos(A－B)cos B－sin(A－B)sin(A＋C)＝－， 得cos(A－B)cos B－sin(A－B)sin B＝－， 则cos(A－B＋B)＝－， 即cos A＝－.又0<A<π， 则sin A＝. (2)根据余弦定理，有 (4)2＝52＋c2－2×5c×(－)， 解得c＝1或c＝－7(负值舍去)． 有关线段长度或夹角计算 [例1]　如图所示，在梯形ABCD中，AD∥BC，AB＝5，AC＝9，∠BCA＝30°，∠ADB＝45°，求BD的长． [思路点拨]　选择适当的三角形，合理利用正、余弦定理解题． [解]　在△ABC中，AB＝5，AC＝9，∠BCA＝30°. 由正弦定理得＝， ∴sin∠ABC＝＝＝. ∵AD∥BC，∴∠BAD＝180°－∠ABC，于是sin∠BAD＝sin(180°－∠ABC)＝sin∠ABC＝. 同理，在△ABC中，AB＝5，sin∠BAD＝，∠ADB＝45°， ＝， 即＝，解得BD＝. 解决与三角形长度有关的问题的策略 (1)若已知条件在同一个三角形中．则直接利用正、余弦定理求解．(2)若已知条件及所求线段在多个三角形中，要根据条件选择适当的三角形，再利用正、余弦定理求解． [变式训练] 1．如图，已知梯形ABCD中，AB∥CD，CD＝2，AC＝，∠BAD＝60°，DE⊥AB，求梯形的高． 解：∵∠BAD＝60°，∴∠ADC＝120°. 在△ACD中，AC＝，CD＝2，∠ADC＝120°， 由余弦定理，得 AC2＝AD2＋DC2－2AD·DCcos∠ADC， 即()2＝AD2＋22－4ADcos 120°， 整理得AD2＋2AD－15＝0， ∴AD＝3或AD＝－5(舍去)． ∴DE＝ADsin 60°＝，所以梯形的高为. 与面积有关的问题 [例2]　在△ABC中，已知B＝30°，AB＝2，AC＝2，求△ABC的面积． [思路点拨]　根据所给条件，需先运用正弦定理求出边BC，再代入S＝acsin B计算． [解]　由正弦定理，得sin C＝＝， 又AB·sin B<AC<AB，故该三角形有两解： C＝60°或120°. ∴当C＝60°时，A＝90°，S△ABC＝AB·AC·sin A＝2； 当C＝120°时，A＝30°，S△ABC＝AB·AC·sin A＝. ∴△ABC的面积为2或. 1．在已知三角形一角求其面积时常运用公式S＝absin C＝bcsin A＝acsin B求解． 2．在已知两边及一边的对角运用正弦定理求另一边时应注意对解的个数的判定不能漏解，若有两解一般面积也有两个不同的值． 3．已知三边求面积时，可用余弦定理求出一个角的余弦进而求出它的正弦值，再代入面积公式，也可直接用海伦公式S＝来计算． 4．若所求面积的图形不规则，可通过作辅助线或其他途径构造三角形转化为三角形的面积；而对于面积的最值问题常利用函数的方法解决． [变式训练] 2．△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知sin A＋cos A＝0，a＝2，b＝2. (1)求c； (2)设D为BC边上一点，且AD⊥AC，求△ABD的面积． 解：(1)由已知得tan A＝－，所以∠BAC＝ 在△ABC中，由余弦定理得， 28＝4＋c2－4c cos，即c2＋2c－24＝0， 解得c＝－6(舍去)，c＝4. (2)由题设可得∠CAD＝， 所以∠BAD＝∠BAC－∠CAD＝， 故△ABD面积与△ACD面积的比值为 ＝1， 又△ABC的面积为×4×2sin ∠BAC＝2， 所以△ABD的面积为. 　三角形中的边角等式的证明 [例3]　△ABC中，角A，B，C对应边分别为a，b，c. 求证：＝. [思路点拨]　(1)运用正、余弦定理把左边转化为角的式子，再推到右边． (2)运用正、余弦定理把右边角的式子转化为边的式子，再推到左边． [证明]　证法一：由余弦定理得 a2＝b2＋c2－2bccos A，b2＝a2＋c2－2accos B， 得a2－b2＝b2－a2－2bccos A＋2accos B， 即a2－b2＝c(acos B－bcos A)， 变形得＝＝cos B－cos A， 由正弦定理＝＝得＝， ＝， ∴＝＝. ∴等式成立． 证法二：＝ ＝cos B－cos A， ∵＝＝， ∴＝，＝， cos B＝，cos A＝， 代入上式得 ＝·－· ＝－＝＝. ∴等式成立． 三角形中的有关证明问题基本方法同三角恒等式的证明，但要注意灵活地运用正弦定理或余弦定理使混合的边、角关系统一为边的关系或角的关系，使之转化为三角恒等式的证明，或转化为关于a，b，c的代数恒等式的证明，并注意三角形中的有关结论的运用． [变式训练] 3．在△ABC中，求证： ＋＋＝0. 证明：∵＝ ＝ ＝＝4R2(cos B－cos A)． 同理：＝4R2(cos C－cos B)； ＝4R2(cos A－cos C)． ∴左边＝4R2(cos B－cos A)＋4R2(cos C－cos B)＋4R2(cos A－cos C)＝0.左边＝右边，故原等式成立． 三角形中的综合问题 [例4]　△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.设(sin B－sin C)2＝sin2A－sin Bsin C. (1)求A； (2)若a＋b＝2c，求sin C. [思路点拨]　(1)由正弦定理将已知等式角化边，再由余弦定理求出A；(2)由已知及正弦定理可解得sin(C＋60°)的值，由两角差的正弦公式即可得解． [解]　(1)由已知得sin2B＋sin2C－sin2A＝ sin Bsin C，故由正弦定理得b2＋c2－a2＝bc. 由余弦定理得cos A＝＝. 因为0°＜A＜180°，所以A＝60°. (2)由(1)知B＝120°－C，由题设及正弦定理得 sin A＋sin(120°－C)＝2sin C，即＋cos C＋sin C＝2sin C，可得cos(C＋60°)＝－.由于0°＜C＜120°，所以sin(C＋60°)＝，故sin C＝sin(C＋60°－60°)＝sin(C＋60°)cos 60°－cos(C＋60°)sin 60°＝. 解三角形综合问题的方法 (1)三角形中的综合应用问题常常把正弦定理、余弦定理、三角形面积公式等知识联系在一起．要注意选择合适的方法、知识进行求解． (2)解三角形常与向量、三角函数知识综合考查，解答此类题目，首先要正确应用所学知识“翻译”题目条件．然后要根据题目条件和要求选择正弦或余弦定理求解． [变式训练] 4．(2021·北京卷，16)已知在△ABC中，c＝2bcos B，C＝. (1)求B的大小； (2)在下列三个条件中选择一个作为已知，使△ABC存在且唯一确定，并求出BC边上的中线的长度． ①c＝b；　②周长为4＋2； ③面积为S△ABC＝. 解：(1)由正弦定理＝，得sin C＝2sin Bcos B＝sin 2B， 故C＝2B(舍)，或C＋2B＝π，故B＝A＝. (2)由(1)知，c＝b，故不能选①. 选②，设BC＝AC＝2x，则AB＝2x，故周长为(4＋2)x＝4＋2，解得x＝1， 即BC＝AC＝2，AB＝2，设BC中点为D，则在△ABD中，由余弦定理，cosB＝＝＝，解得AD＝. 选③，设BC＝AC＝2x，则AB＝2x，故SΔABC＝ ×(2x)×(2x)×sin 120°＝x2＝， 解得x＝，即BC＝AC＝，AB＝3，设BC中点为D，则在△ABD中， 由余弦定理，cos B＝＝ ＝，解得AD＝. 1．如果等腰三角形的周长是底边长的5倍，那么它的顶角的余弦值为(　　) A.　　B.　　　C.　　　D. 解析：D　[设顶角为C，∵l＝5c，∴a＝b＝2c， 由余弦定理得：cos C＝＝＝.] 2．在△ABC中，AB＝5，AC＝3，BC＝7，则·等于(　　) A. B．－ C. D．15 解析：B　[∵cos A＝＝＝－， ∴·＝||·||·cos∠BAC＝5×3×＝－，故选B.] 3．在△ABC中，bc＝20，S△ABC＝5，△ABC的外接圆的半径R＝，则a＝　________　. 解析：∵S△ABC＝bcsin A＝5，∴sin A＝. 由＝2R，∴a＝2×＝3. 答案：3 4．在△ABC中，AB＝2，AC＝，BC＝1＋，AD为边BC上的高，则AD的长是　________　. 解析：∵cos C＝＝，C∈(0，π)， ∴sin C＝，∴AD＝AC·sin C＝. 答案： 5．△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若＝，求角B. 解：由＝及正弦定理知＝， 整理得b2－a2＝ac＋c2， 即a2＋c2－b2＝－ac. 故由余弦定理可知 cos B＝＝＝－， 又B∈(0，π)，所以B＝. 1．已知锐角△ABC的面积为3，BC＝4，CA＝3，则角C的大小为(　　) A．75°　　B．60°　　　C．45°　　　D．30° 解析：B　[∵3＝×4×3sin C，∴sin C＝，∵△ABC为锐角三角形，∴C＝60°，故选B.] 2．△ABC中，BC＝2，B＝，当△ABC的面积等于时，sin C等于(　　) A.　　B.　　　C.　　　D. 解析：B　[由正弦定理得S△ABC＝·AB·BC·sin B＝AB＝，∴AB＝1，∴AC2＝AB2＋BC2－2AB·BC·cos B＝1＋4－4×＝3，∴AC＝，再由正弦定理，得＝，∴sin C＝.] 3．在△ABC中，∠ABC＝，AB＝，BC＝3， 则sin ∠BAC＝(　　 ) A.　　B.　　　C.　　　D. 解析：C　[由余弦定理，得AC2＝AB2＋BC2－2AB×BC×cos＝2＋9－2××3×＝5.∴AC＝.由正弦定理，得＝，∴sin A＝＝＝.] 4．在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且b2＋c2＝a2＋bc.若sin Bsin C＝sin 2A，则△ABC的形状是(　　 ) A．钝角三角形　　　　 B．直角三角形 C．等边三角形 D．等腰直角三角形 解析：C　[由b2＋c2＝a2＋bc及余弦定理，知A＝，又由sin Bsin C＝sin 2A及正弦定理，得bc＝a2＝b2＋c2－bc，所以(b－c)2＝0，即b＝c，所以△ABC为有一个内角为的等腰三角形，即为等边三角形．故选C.] 5．(多选题)在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若＝，则△ABC可以是(　　 ) A．等腰三角形 B．直角三角形 C．等腰直角三角形 D．等边三角形 解析：AB　[由＝及余弦定理，得＝，即＝，所以由正弦定理，得＝，所以有sin 2A＝sin 2B，从而2A＝2B或2A＋2B＝π，即A＝B或A＋B＝.故选AB.] 6．(2021·全国甲卷(文))在△ABC中，已知B＝120°，AC＝，AB＝2，则BC＝(　　) A．1　　B.　　　C.　　　D．3 解析：D　[知道一角和二边，求第三边显然用余弦定理， cos 120°＝⇒－＝⇒ a2＋2a－15＝0，利用十字叉乘法⇒(a－3)(a＋5)＝0，所以a＝3，故选D.] 7．已知△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且c2－b2＝ab，C＝，则的值为　________　. 解析：由余弦定理，得c2－b2＝a2－2abcos C＝a2－ab＝ab，所以a＝2b，所以由正弦定理，得＝＝2. 答案：2 8．(2021·全国乙卷(理))记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，面积为，B＝60°，a2＋c2＝3ac，则b＝　________　. 解析：由S△ABC＝acsin B，得＝acsin 60°，即＝ac，得ac＝4，所以a2＋c2＝3ac＝12， 则由余弦定理，得b2＝a2＋c2－2accos 60°＝12－2×4×＝8，所以b＝2. 答案：2 9．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c.若a＝，b＝2，A＝60°，则sin B＝　________　，c＝　________　. 解析：本小题考查正弦定理、余弦定理．由＝得sin B＝sin A＝， 由a2＝b2＋c2－2bccos A，得c2－2c－3＝0， 解得c＝3(舍负)． 答案：　3 10．(2021·新高考Ⅰ卷)记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知b2＝ac，点D在边AC上，BDsin ∠ABC＝asin C. (1)证明：BD＝b； (2)若AD＝2DC，求cos∠ABC. 解析：(1)证明：在△ABC中，由正弦定理得，BD·b＝ac，又b2＝ac，所以BD·b＝b2，即BD＝b， (2)若AD＝2DC，则AD＝b，DC＝b， 在△ABD中，由余弦定理得cos∠ADB＝ ＝； 在△BCD中，由余弦定理得cos∠BDC＝ ＝； 因为∠ADB＋∠BDC＝π，所以＋＝0，即b2＝2a2＋c2， 又b2＝ac，所以ac＝2a2＋c2，即6a2－11ac＋3c2＝0，即(3a－c)·(2a－3c)＝0，所以3a＝c或2a＝3c. 当3a＝c时，由b2＝2a2＋c2，得a2＝b2，c2＝9a2＝3b2， 在△ABC中，由余弦定理得cos∠ABC＝ ＝ ＝＝＝＞1，不成立． 当2a＝3c时，由b2＝2a2＋c2， 得a2＝b2，c2＝b2， 在△ABC中，由余弦定理得cos∠ABC＝ ＝ ＝＝＝.综上，所求 cos∠ABC＝. 答案：(1)见解析；(2) 11．在△ABC中，a2＋b2－mc2＝0(m为常数)， 且＋＝，求m的值． 解：由余弦定理c2＝a2＋b2－2abcos C，得a2＋b2＝c2＋2abcos C，由a2＋b2－mc2＝0，得c2＋2abcos C＝mc2，即2abcos C＝(m－1)c2.结合正弦定理，得2sin Asin Bcos C＝(m－1)sin 2C，又由＋＝，得＝＝，即sin Asin Bcos C＝sin 2C，得m－1＝2， 所以m＝3. 12．在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，A为锐角，lg b＋lg ＝lg sin A＝－lg ，则△ABC为(　　 ) A．等腰三角形 B．等边三角形 C．直角三角形 D．等腰直角三角形 解析：D　[因为lg b＋lg ＝lg sin A＝－lg ，所以lg ＝lg sin A＝lg ，所以c＝b， 且sin A＝.因为A为锐角，所以A＝， 所以a2＝b2＋c2－2bccos A＝b2＋2b2－2b×b×＝b2，所以a＝b，所以B＝，所以C＝，故△ABC为等腰直角三角形．故选D.] 13．(2021·新高考Ⅱ卷)在△ABC中，角A，B，C所对的边长分别为a，b，c，b＝a＋1，c＝a＋2. (1)若2sin C＝3sin A，求△ABC的面积； (2)是否存在正整数a，使得△ABC为钝角三角形？若存在，求出a的值；若不存在，说明理由． 解：(1)2sin C＝3sin A，∴2c＝3a，又∵c＝a＋2， ∴a＝4，b＝5，c＝6. cos A＝＝，在△ABC中得 sin A＝， △ABC面积S＝bcsin A＝. (2)由△ABC为钝角三角形，b＝a＋1，c＝a＋2，得c边最大，所以C角最大 cos C＝＝＜0，得a2－2a－3＜0， 所以－1＜a＜3，因为a为正整数， 所以a＝1或a＝2， 当a＝1时，b＝2，c＝3，此时a＋b＝c，与题不符 ∴存在正整数a＝2，使得△ABC为钝角三角形． 学科网（北京）股份有限公司 $