9.1.2 余弦定理-【新课程能力培养】2025-2026学年高中数学必修第四册练习手册（人教B版）

方法二：cos(2m-B)+sin(m+B)=cosB-sinB=号①， 5 平方，可得1-2 sinlcosD=-名，2 2sinfeosD=-若Be0,m). -sinB>0,cosB>0,∴sinB+cosB=V+2 sinBcosR=号②， 由①②可得sinB=3 5 （2)c1=点Ae0,),n4=号由正孩定 里品品得6=-界由山知coB=号在 理 △ABC中，sinC=sin(A+B)=sinA cosB+cosA cosB=-l2x4-S =i3×513 ×语5m子bsn号x5x裙器 14.B【解析】由题意，知a=80,b=100,A=45°， :bsin A=100xY2=50V2<80.bsin4<a<h,符合条件 的三角形有2个，故选B. 15解，《)由品及正孩定理，每器 SinB 34.4=.又4e0,号.4=君 cosA 6 (2)2R-n-8.V56-c2R(V万sinB-s血c V3sinB-sin(int-cost) =8sinB-石 又：△ABC为锐角三角形，Be(牙，变)，即B-石 e石，），V36-ee(4,4V3). 9.1.2余弦定理 第1课时余弦定理 1.B【解析】根据余弦定理，可知c2-a2+b2-2 abcosC.故 选B. 2.B【解析】.在△ABC中，设三个内角A,B,C的 对边依次为a,b,c,若2+b2=c2+ab,则cosC=+b2-c2= 2ab 之，G号由Ce罗罗”不能推出+6-c b”；反之，能成立.故Ce号，2牙”是“+6-4b 成立的必要非充分条件.故选B. 3.B【解析】d=b2+c2-2 becosA=3+4-4V3×V13= 1,sin4-2-1 =1=2 参考答案。 4B【解析】由题意，可知cosC=2e2_132-(V32 2ab 2xx3 =3,0<C<180°.C=120 5.D【解析】由a2-b2+c2+ac=0,可得2+c2-b2=-ac,由 余弦定理，可得cos8=心-一分，0c、因此，B 2ac 2T 3 6.BD【解析】根据余弦定理，可知+c2-b2=2 accosB, 代人化简，可得2cosB:8=V5,即nB=Y. 2, 0<B<m,B=写或B=7 31 7.ACD【解析】若A>B,则a>b,2 RsinA>2 RsinB, n4>inB,故A正确：根据正弦定理，得品品·即 ,第得n1受，又01，o0,4 哥或A=要，故B不正确：根据余弦定理，得c01 c>分，整理，得+e2-6<0,eosB=“< 2bc 2ac 0,∴.B为钝角，故C正确；a=V3,b=4,且2 absinC= Vs(-e.nG-V了(a.即nc-V3cc 又0<C<,C=写，∴△ABC的面积为)×V3×4 xsinC=-3, 故D正确. 8.T【解析】d2-V2amtc2=b,cosB=0+c2-b= 4 2ac -受，Be0,子做答案为程 2ac 9.3Y5【解析】a=2,6=3,c=4,c0s4=bd 2bc -数-数-冬，则m-v1-V积-V得- V15 C.sin4=bsin4=3x V15-3V15. 8 B D 第9题答图 10.2或4【解析】由余弦定理，得a2=b2+c2-2 bccosA, 即4=b2+12-6b,化简，得b2-6b+8=0,解得b=2或b=4. 1.(子【解折】b=1,且abeos+oeo1=bc, 55 N 高中数学必修第四册人教B版 可得abcosC+-becosA=ac,由余弦定理，可得b.+b2-c2+ 2ab bc.b2c2-d-c,整理，得b=c=1,c=.又由cosB= 2bc 2ac 牙，ae(Y,V2,可得de (号，2.又“fx)=+在(3,2上单调递增，且当a= Y5时，cosB=Z:当a=V7时，co=子，coB的取 值范围为品圣) 12.解：(1)由余弦定理，得cosB=32-= 2ac 4X公V,解得61,6=1（含去）.故61 2V3 （②)由正孩定理，得nG=4=Y×=V罗 2 0e(0,),C号或C,当C罗时，B=牙，b 3 V+e=V1+3=2:当C=2时，A=B=石，b==l.综上， b=2或b=1. 13.解：(1).sinA+cos2C-cos2B=V2 sinA sinB, .'.sin2A +sin2B -sin2C=V2 sinAsinB,.'.a2+62-c2=V2 ab, ..cosC=thie-V2 ab-V2 2ab 2ab 2 又Ce(0,π)，.C=T 4 (2)8=a+b≥2Vab(当且仅当“a=b=4”时取等号)， ab≤16，Sax的最大值为)×16 xsin=4V2. 14.BC【解析】设△ABC的周长为I,则由(a+b):(c+ oo)-6594,可得ag2号6名2g 15 be青2器又a46+e,则756=器e=若，敌三 角形不确定，A错误：由c0=e-)0,A为纯 2bc 角，故B正确；由正弦定理sinA:sinB:sinC=a:b:c=7:5:3, 故C正确：由b=8,则-8，得15，故a=7,b5,c 3.由cosl=分，得sn-VY,△1BC的面积是csin4 ×5x3xV号-15Y5,故D错误 2 15.(2V3,8V3)【解析】2+b2=c2+ab,.+b2 c山，cowc=子又ce0.号引，故c号 (56 即A+B=2T,A-2T-B,由△ABC为锐角三角形知， 3 3 0k号， 解得TBT,由正弦定理，可知b 0k2π-kT, 6 2 "sinB sinC' 3 2 即4 sinsin得c2B放△MBC面积为、号besin4 专x2品a等8=4V万x空mnB sinB 8a+2V3.君c号，期m,g0. V3),故s=+2V万e2V3,8V3) 第2课时利用余弦定理解三角形的相关问题 1.B【解析】由余弦定理，可得b=cbd,化简， 2bc 得c2=a+b2,由勾股定理的逆定理，可知△ABC是以角C 为直角的直角三角形.故选B. 2.B【解析】b2=ac,c=2a,则b2=2d2,由余弦定理，得 cm2-子放注B 2ac sin4 sinB=sinc=2R,得as 3.D【解析】由正弦定理0=b c 2RsinA,b=2RsinB,c=2RsinC..sinA sinB:sinC=5:7:9, ,∴.a:b:c=5:7:9.令a=5t,b=7t,c=9t(t>0),∴.cosC= -25c8-0 2ab 2x5t×7t 4.B【解析】：a(sinA-sinB)+bsinB=esinC,由正弦定 理，得aa-b)be,即6-ed,C-分 2ab 又Ce(0,π)，.C=T.又a+b=2c=2,则c=1,a+b=2. 3 由a2+b2-c2=2+b2-1=b,(a+b)2-3ab=1,得ab=1.S△e= 5.C【解析】设最大角为a,c0sa=25t36-64=3 2×5×660 00.三角形是纯角三角形，故选C 6.BCD【解析】由余弦定理，得cosM=b+c2-心= 2bc ,A=牙义=24=号，G=子，故△1BC为等腰 直角三角形. 7.AC【解析】，bcosC+ccosB=2 acosB,∴sinBcosC+ sinCcosB=2sinA cosB,sin (B+C)=sinA =2sinA cosB. sin40,则co6=分BE0,),B=智，故A正确， B错误：由余弦定理，得cosB=-“,6=2V2, 2ac 则c=a2+c2-8≥2ac-8,解得ac≤8，当且仅当a=c=2V2时 取等号.sinB=-VY≤2V3,故C正确，D错误 4 8.c【解析】根据正弦定理，得d+b2-c2<0.由余弦定 理，得cosC=+2c<0,六角C是纯角.△4BC的最长 2ab 边是c.故答案为c. 9.2【解析】由正弦定理，得bsinC=csinB.又3 bsinC- 5csinBcosA=0,.'.bsinC(3-5cosA )=0..bsinC0...3-5cosA= 0,即cos1=子又Ae(0,T),m4=号，由余孩定理 得4-b2+c26c,bc≤5，S=2 besin4=号bc≤2 10.T【解析】，cos2C-cos2A-sinB=-V2 sinBsinC, .∴.(1-sin2℃)-(1-sin2A)-sin2B=-V2 sinBsinC,即sin2A sin2C-sin2B=-V2 sinBsinC.由正弦定理，得a2-c2-b2--V2bc →d=c2+b2-V2bc,由余弦定理，得a2=c2+b2-2 becos4, :c0s=Y号，0<1<m,则A=牙，设△ABC的外接圆半径 2 为R,则BC=2R,则R=1,则△ABC外接圆的面积为 sinA TR2-T 11.(2,4]【解析】由becosA=a,a=2,得bccosA=2, 由余弦定理，得bebt2d=2,即b+e2-亡-4，b+c2-8.又 2bc :学≥学特受=空尺解得6气4又 a=2,.2<b+e≤4.b+c的取值范围为(2,4]. 12.解：(1)：a=V5,sinM+V5sinB=2V2, .'.sinA +asinB=2V2.XasinB=bsinA,.'.sinA+3sinA=2V2 解得sinM=2.在△ABC中，b,A为锐角，A=牙 2 (2)ad2=b2+c2-2 becosA,.c2-3V2c+4=0,解得c= V2或c=-2V2,当c=V2时，Saw=2 besinA=2x3x V2xV2-号，当c-2V2时，Saum号6sin4=号×3x 2 2V2xVY73,:A4BC的面积为号或3 2 13.解：(1)由sinM+sinB=V2sinC,在△ABC中， 将正弦定理代入，可得a+b=V2c,又a+b+c=2V2+2, 即V2c+c=2V2+2,得c=2. 参考答案。 (2)由(1)知c=2,a+b=V2c,∴.a+b=2V2. ,S△ABc= 号sinG=号nC,h=号又有a62V7, oG-4e2=ab-e-7ce0,180r）. 2ab 2ab ∴.C=60° 14.B【解析】sinB=sincoC+号sinC,sin(4+C)= sinAcosC+cosAsinC=sinAcosC+sinC.4- 由正弦定理，知b=品inB,c=sinC,又6+e=2.· 品n+品nC-2,nsin6+oing-月 2sinA 1V3 ,又Be0,牙，smB+君)e(3小， sinB+π 6 .'.dmin=1. 15.B【解析】方法一：A=60°，角A的平分线交BC 于点n.∠D=∠D30m.义6=，·品- bAn-m 1AD.csin 6=b=3.BD=V7,CD=3V7,M= c 6 CB=4V7. .∵2=b2+c2-2bcc0sA,.∴.16×7=9c2+c2-2 3e弓，解得c-4,在△ABD巾，由正弦 sin/BAD sinADB即Y7 定理，可知，BD sin/ADB,sin∠ADB=2 = 4 -..b=3c>c, B V7 第15题答图 .B>C,.∠ADB=30°+C,∠ADC=30°+B, ·∠ADB<LADC,LADB为锐角，COs∠ADB=V3= 7 V21 7 方法二：A=60°，角A的平分线交BC于点D, c-2n3又，品- 1bAD.sin 6_ 6 名=3BD=V7,G0=3V7,m=Gh=4V7.-b+ cC-2ceos1,6x7=9c4r2-2-3ce:7,解得c=4.由余孩 定理，可得cos∠BAD=AD2BD,即VY3=AD+16-1, 2AD-c 2 8AD 57 N 高中数学必修第四册人教B版 AD2-4V3AD+9=0,∴.(AD-V3)(AD-3V3)=0. AD=3V3或AD=V3.b=3c>C,∴B>C.又B+C=120°， B60°>∠BAD,AD>BD=V7,∴AD=3V3,.cos LA DB= DA+DB2-AB=27+7-16=V21 2DA·DB 2x3V3×V7 7 "阶段性练习卷（一） 1C【解析】M=石，B=平，a=3,由正弦定理，得 sin"singsin3sin 3x a= b sinA 2一=3V2.故 sinπ 6 2 选C. 2.C【解析】·a=2c-b=106-b=7b, 3 2bc 分c,M-号，散tc 3.B【解析】由题意，知a-80,b=100,A=45°，.bsin A= 10xY号-50V2<86sin4a小，符合条件的三角形 有2个，故选B. 4.A【解析】由sin(A+B)=cosC,得sinC-cosC,则tanC 1,又C为△ABC的内角，C=年又+62-c2-4,cosC= 城-品竖，则-2v7,5ncl 2ab 故选A. 5.A【解析】由余弦定理，可得cosA=b2d,b+ 2bc e2-d-2bccosA,sinA=v2 bev2 cos4-2ecos=cos sin4=V2 2 又：△ABC为锐角三角形，M=平，故选A 6.D【解析】由asinB=2 csinA,可得ab=2ca,∴.b=2c. 又.2+bc=b2+c2,.∴.a2+2c2-4c2+c2,即a2=3c2,∴.a=1V3c.在 △ABC中，cosB=ite2b2_3c4c24c20.又Be(0,T), 2ac 2V3c2 B=受故选D, 7.BC【解析】对于A选项，b=7,c=3,C=30°，.由 正弦定理，可得sinB=bsinc7x c 交名1：无解：对于 B选项，b=5,c=4,B=45°，.由正弦定理，可得sinC= (58 N b 写2，且6，有-解：对于C 5 选项，a=6,b=3V3,B=60°，.由正弦定理，可得 sin1 asink、6xV3 2=1,A=90°，此时C=30°，有一解： 3V3 对于D选项，a=20,b=30,A=30°，∴.由正弦定理，可得 含6小有阿年欧 a 8BCD【得折】由cs∠CDB-Y,可得s∠CDBR V1-写=25，放A错误；设cD=,0,则GB-2. 5 在△CBD中，由余弦定理，可得-Y5=9+4,整理， 5 6x 可得5x2-2V5x-15=0,解得=V5(负值舍去)，即CD= V5,CB=2V5,A-m+x3xV5x 2V5+x5xV5×2Y5=8,故B正确：在△BCD和 5 5 △ABC中，由余弦定理，可知cOsB=BC+BD-CD- 2BC·BD BC+ABAC,即，20+9-5=20+64AC,解得AC= 2BC·AB 2x3x2V5 2x2V5 x8 2V5,故△ABC的周长为AB+AC+BC=8+2V5+2V5= 8+4V5,故C正确；由余弦定理，可得cosC= 22,一0，数C为施的，故D正商数击 BCD. 9.2V3【解析】由三角形的面积公式，可知S= 24B-AC-sin4=2x2V3×2x1-2V3. 10.1:V3:2【解析】，在△ABC中，A:B:C=1:2:3, .B=2A,C=3A.又.A+B+C=180°，A=30°，B=60°，C= 90°，∴a:b:c=sinA:sinB:sinC=sin30°：sin60°：sin90°= 1:V3:2. 11.Y3【解析】sinM=V2sinB,a=V2b.又 3 V.2。- (0,π)，sinB=V1-cosB=V3 3 12.4V3(4,8)【解析】若b=4,则B=A=30°， C=120°，因此△ABC的面积为2×4x4xsin120°=4V3.由9.1.2 第1课时 基础练习 一、选择题 1.设a,b,c分别为△ABC内角A,B, C的对边，则下列等式成立的是() A.c2=a2+b2+2abcosC B.c2=a2+b2-2abcosC C.c2=a2+b2+2absinC D.c2=a2+62-2absinC 2.在△ABC中，设三个内角A,B,C, 的对边依次为，6，，则Ce骨，罗 是“a+b2=c2+ab”成立的(） A.充分非必要条件 B.必要非充分条件 C.充要条件 D.既非充分又非必要条件 3.在△ABC中，已知b=V3,，A=30°， c=2,则sin4=() A.4B.2 C.1 D.2 4.在△ABC中，角A,B,C的对边分 别为a,b,c.若a=1,b=3,c=V13,则角 C=() A.90° B.120° C.60° D.45° 5.在△ABC中，若a2-b2+c2+ac=0,则 B=() 第九章解三角形。 余弦定理 余弦定理 A君 B开C智D. 6.(多选题)在△ABC中，角A,B,C 的对边分别为a,b,c,若(a2+c2-b2)tanB= V3ac,则B的值为() A石B.写 C.57 6 D.2 7.(多选题)在△ABC中，角A,B,C 所对的边分别为a,b,c,则下列命题正确 的是() A.若A>B,则sinA>sinB B.若a=3V3,b=3,B=30°，则A=60° C.若6<CosA,则△ABC为饨角三角形 D.若a=V3,b=4且2 absinC=V3(a2+ b2-c2),则△ABC的面积为3 二、填空题 8.△ABC的内角A,B,C所对边长分 别为a,b,c,且a2-V2ac+c2=b2,则B= 9.在△ABC中，角A,B,C的对边分 别为a,b,c,a=2,b=3,c=4,设AB边上 的高为h,则h= 10.设△ABC的内角A,B,C的对边分 别为a,b,c,若a=2,c=2V3,cosA= ,则 11.在△ABC中，角A,B,C所对的边 分别是a,6,c,已知ae,V2, 练(5 N 高中数学必修第四册人教B版 b=1,且abcosC+ccosA=abc,则cosB的取值 范围为 三、解答题 12.在△ABC中，角A,B,C所对的边 分别为a,b,c,且a=1,c=V3. ()若B=石，求b (2)若A=石，求b. 13.在△ABC中，角A,B,C的对边 分别为a,b,c,且sin2A+cos2℃-cos2B= V2 sinA sinB. (1)求C的大小 (2)已知a+b=8,求△ABC的面积的最 大值 (6练 提升练习 14.(多选题)在△ABC中，已知(a+b): (c+a):(b+c)=6:5:4,给出的下列结论中正 确的是（) A.由已知条件，这个三角形被唯一确定 B.△ABC一定是钝角三角形 C.sinA sinB:sinC=7:5:3 D.若b+c=8,则△ABC的面积是15V3 2 15.在△ABC中，角A,B,C的对边分 别是a,b,c.且满足a2+b2=c2+ab.若b=4, 且△ABC为锐角三角形，则△ABC面积的 取值范围为 第九章解三角形。 第2课时 利用余弦定理解三角形的相关问题 A.能组成直角三角形 基础练习 B.能组成锐角三角形 一、选择题 C.能组成钝角三角形 1.在△ABC中，角A,B,C的对边分 D.不能组成三角形 别为a,b,c,且b=ccosA,则△ABC的形 6.(多选题)在△ABC中，角A,B,C 状为() 的对边分别为a,b,c,若a2=b2+c2-V2bc, A.正三角形 且B=2A,则△ABC不可能为() B.直角三角形 A.等腰直角三角形B.等边三角形 C.等腰直角三角形 C.锐角三角形D.钝角三角形 D.等腰三角形 7.(多选题)在△ABC中，角A,B,C 2.在△ABC中，已知b2=ac且c=2a,则 的对边分别为a,b,c,若bcosC+ccosB= cosB等于() 2 acosB,b=2V2,△ABC的面积为S,则 A. B.3 4 () C.V2 D.V2 4 3 AB=胃 3.在△ABC中，内角A,B,C所对的 B.B= 边分别为a,b,c,若sinA:sinB:sinC=5:7: 6 9,则cosC=() C.S的最大值为2V3 A.-35 B.-4 D.S的最大值为6 二、填空题 c-5 D.-10 8.在△ABC中，角A,B,C的对边分 4.在△ABC中，内角A,B,C的对边 别为a,b,c,若asinA+bsinB--esinC<0,则 △ABC的最长边是 .(用题中字母 分别为a,b,c,且a(sinA-sinB)+bsinB= esinC,a+b=2c=2,则△ABC的面积为() a,b,c表示) A.3V3 9.在△ABC中，角A,B,C的对边分 B.V3 8 4 别是a,b,c.已知a=2,3 bsinC-5 csinBcosA= C.V3 D.3V3 0,则△ABC面积的最大值是 2 2 10.在△ABC中，BC=V/2,且cos2C 5.三条线段的长分别为5,6,8，则用 cos2A-sinB=-V2 sinBsinC,则△ABC外接 这三条线段() 圆的面积为 练 N 高中数学必修第四册人教B版 11.在△ABC中，内角A,B,C所对的 边分别是a,b,c,若a=2,且becosA=a, 则b+c的取值范围为 三、解答题 12.在△ABC中，已知角A,B,C所对 的边分别是a,b,c,a=V5,b=3,sinA+ V5sinB=2V2.求： (1)角A的值 (2)△ABC的面积. 13.在△ABC中，角A,B,C所对的边 分别为a,b,c,△ABC的周长为2V2+2, 且sinA+sinB=V/2sinC. (1)求边c的长. (2)若△ABC的面积为？sinC,求角C 的度数 (8)练 提升练习 14.在△ABC中，内角A,B,C的对边 分别为a,b,c.已知sinB=-sinAcosC+)sinC, b+c=2,则a的最小值为() B.1 C.V3 D多 15.已知△ABC的内角A,B,C的对边 分别为a,b,c,A=60°，b=3c,角A的平 分线交BC于点D,且BD=V7,则cos∠ADB 的值为() A.-V21 B.V21 7 C.2V7 7 D.±2V7 7