9.1.2 余弦定理-【创新教程】2025-2026学年高中数学必修第四册五维课堂教师用书word（人教B版）

在数学教学中，余弦定理是高中数学的重要内容，通过向量运算推导得出三角形内角和定理的应用，帮助学生理解数学建模的过程，以及数学在实际问题中的应用。 本讲义通过向量运算推导得出三角形内角和定理的应用，帮助学生理解数学建模的过程，以及数学在实际问题中的应用。

9.1.2　余弦定理 课程标准 素养解读 1.借助向量的运算，探索三角形边长与角度的关系，掌握余弦定理． 2．能用余弦定理解决简单的实际问题. 通过推导归纳余弦定理．提升逻辑推理，数学运算，数学抽象素养. [情境引入] 我们遇到这么一个问题，“遥不可及的月亮离地球究竟有多远呢？”，在古代，天文学家没有先进的仪器就已经估算出了两者的距离，那么，他们是用什么神奇的方法探索到这个奥秘的呢？我们知道，对于未知的距离、高度等．存在着许多可供选择的测量方案，比如可以应用全等三角形、相似三角形的方法，或借助直角三角形的方法．阿基米德说过：“给我一个支点，我可以撬起地球．”但实际情况是根本找不到这样的支点．全等三角形法有时就像这样．你根本没有足够的空间去构造出全等三角形．所以每种方法都有它的局限性．其实上面介绍的问题是用以前的方法所不能解决的．从本节我们开始学习余弦定理、正弦定理以及它们在科学实践中的应用．这两个定理能解决上述问题． 问题　1.在△ABC中，设||＝a，||＝b.||＝c.这三边与角A之间有什么关系呢？ 2．你能用边b，c和角A来表示△ABC的面积吗？ 提示　1.根据向量的数量积，可得a2＝· ＝(－)·(－) ＝||2－2·＋||2 ＝||2－2||·||cos A＋||2 ＝b2－2bccos A＋c2， 即a2＝b2＋c2－2bccos A. 2．在△ABC中，设AB边上的高为h，S△ABC＝ch＝cbsin A. [知识梳理] [知识点]　余弦定理　 余弦定理 语言 表述 三角形任何一边的平方等于其他两边平方的和减去这两边与它们夹角余弦的积的两倍 符号 表示 a2＝　b2＋c2－2bccos_A　； b2＝　a2＋c2－2accos_B　； c2＝　a2＋b2－2abcos_C　 余弦 定理 推论 cos A＝　　； cos B＝　　； cos C＝　　 作用 实现三角形边与角的互化 在△ABC中，若a2＝b2＋c2，a2>b2＋c2，a2<b2＋c2，能否说△ABC分别是直角三角形，钝角三角形，锐角三角形？ [提示]　若a2＝b2＋c2，则△ABC是直角三角形； 若a2>b2＋c2，则△ABC是钝角三角形； 若a2<b2＋c2，则△ABC不一定是锐角三角形，因为a不一定是最大边． [预习自测] 1．在△ABC中，符合余弦定理的是(　　) A．c2＝a2＋b2－2abcos C B．c2＝a2－b2－2bccos A C．b2＝a2－c2－2bccos A D．cos C＝ 解析：A　[注意余弦定理形式，特别是正负号问题．] 2．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若b＝3，c＝2，cos A＝，则a＝(　　) A．5　B.　　C．4　　D．3 解析：D　[由余弦定理得a2＝b2＋c2－2bccos A＝9＋4－2×3×2×＝9，解得a＝3.] 3．在△ABC中，cos C＝，AC＝4，BC＝3，则cos B＝(　　) A.　　　　　　　 B. C. D. 解析：A　[如图，由余弦定理可知： cos C＝＝＝， 可得AB＝3，又由余弦定理可知： cos B＝＝＝.故选A.] 4．在△ABC中，若a＝3，b＝8，C＝60°，则cos A＝　________　. 解析：由余弦定理得c2＝a2＋b2－2abcos C， 即c2＝9＋64－2×3×8×＝49， 又c>0，所以c＝7. 所以cos A＝＝＝. 答案： 5．在△ABC中，若a＝7，b＝8，cos C＝，则最大角的余弦值是　________　. 解析：c2＝a2＋b2－2abcos C＝9，c＝3，B为最大角，cos B＝＝＝－. 答案：－ 　　已知两边和它们的夹角解三角形 [例1]　在△ABC中，已知a＝2，b＝2，C＝15°，求A，B和c. [思路点拨]　已知两边和它们的夹角，用余弦定理求出边c，再由余弦定理的推论求出A或B，最后用三角形内角和定理求出第三个角． [解]　由余弦定理，得 c2＝a2＋b2－2abcos C＝4＋8－2×2×2cos 15°. ∵cos 15°＝cos(45°－30°)＝cos 45°cos 30°＋sin 45°sin 30°＝， ∴c2＝8－2＝(－)2，∴c＝－. 又∵cos A＝＝， ∴A＝30°，B＝180°－(A＋C)＝135°. ∴A＝30°，B＝135°，c＝－. 已知三角形的两边和它们的夹角解三角形，基本方法是先用余弦定理求出第三边，再由余弦定理的推论求出另外一外角，最后用三角形内角和定理求出第三个角． [变式训练] 1．在△ABC中，a＝2，c＝＋，B＝45°，解三角形． 解：根据余弦定理得b2＝a2＋c2－2accos B ＝(2)2＋(＋)2－2×2×(＋)×cos 45°＝8，所以b＝2.因为cos A＝ ＝＝，因为0<A<π， 所以A＝60°，C＝180°－(A＋B)＝75°. 已知三边解三角 [例2]　在△ABC中，已知a∶b∶c＝2∶∶(＋1)，求各角度数． [思路点拨]　1.由三边之比表达出三边，用余弦定理求解． 2．由三边之比表达出三边，用余弦定理求出最大角，再用正弦定理求第二个角，最后利用三角形内角和定理求出第三个内角． [解]　已知a∶b∶c＝2∶∶(＋1)， 令a＝2k，b＝k，c＝(＋1)k(k>0)． 由余弦定理，得 cos A＝＝＝， cos B＝＝＝， ∴A＝45°，B＝60°. ∴C＝180°－A－B＝180°－45°－60°＝75°. 根据三角形的三边关系求角的基本方法是先用余弦定理求出一个角，再用余弦定理求出另一个角，最后用三角形内角和定理求出第三个角． [变式训练] 2．在△ABC中，已知a＝2，b＝6＋2，c＝4，求A，B，C. 解：根据余弦定理，cos A＝ ＝＝. ∵A∈(0，π)，∴A＝， cos C＝ ＝＝， ∵C∈(0，π)，∴C＝. ∴B＝π－A－C＝π－－＝π， ∴A＝，B＝π，C＝. 判断三角形的形状 [例3]　在△ABC中，若acos A＋bcosB＝ccos C，试判断△ABC的形状． [思路点拨]　根据余弦定理把角化为边，利用边的关系判断． [解]　由余弦定理可得 a·＋b·＝c·， 等式两边同乘以2abc得 a2(b2＋c2－a2)＋b2(a2＋c2－b2)＝ c2(a2＋b2－c2)， 整理化简得a4＋b4－2a2b2＝c4， 所以(a2－b2)2＝c4. 因此有a2－b2＝c2或b2－a2＝c2. 即a2＝b2＋c2或b2＝a2＋c2， 故△ABC为直角三角形． 1．利用三角形的边角关系判断三角形的形状时，需要从“统一”入手，即使用转化的思想解决这类问题，一般有两条思考路线：(1)化边为角，再进行三角恒等变换，求出角的大小或角的正、余弦值符号；(2)化角为边，再进行代数恒等变换，求出三条边之间的关系式． 2．判断三角形的形状时，经常用到以下结论： (1)△ABC为直角三角形⇔a2＝b2＋c2或b2＝a2＋c2或c2＝a2＋b2； (2)△ABC为锐角三角形⇔a2＋b2>c2且b2＋c2>a2且c2＋a2>b2； (3)△ABC为钝角三角形⇔a2＋b2<c2或b2＋c2<a2或c2＋a2<b2. [变式训练] 3．在△ABC中，A，B，C的对边分别为a，b，c，若>0，则△ABC(　　) A．一定是锐角三角形　 B．一定是直角三角形 C．一定是钝角三角形 D．是锐角或直角三角形 解析：C　[∵>0， ∴c2－a2－b2>0，∴a2＋b2<c2， ∴△ABC为钝角三角形， 故选C.] 1．若三条线段的长分别为5,6,7，则用这三条线段(　　) A．能组成直角三角形 B．能组成锐角三角形 C．能组成钝角三角形 D．不能组成三角形 解析：B　[因5＋6＞7，故能组成三角形，又因三角形最大边对应的角的余弦值cos θ＝＝＞0，所以最大角为锐角，所以能组成锐角三角形．] 2．在△ABC中，sin A∶sin B∶sin C＝3∶2∶3，则cos C的值为(　　) A.　B．－　　C.　　D．－ 解析：A　[根据正弦定理，得a∶b∶c＝sin A∶sin B∶sin C＝3∶2∶3，设a＝3k，b＝2k，c＝3k(k＞0)． 则有cos C＝＝.] 3．在△ABC中，a＝7，b＝4，c＝，则△ABC的最小角为　________　. 解析：∵a＞b＞c，∴C为最小角， 由余弦定理得cos C＝＝ ＝.∴C＝. 答案： 4．一个三角形的两边长分别为5和3，它们夹角的余弦值是－，则三角形的另一边长为　________　. 解析：设另一边长为x，则x2＝52＋32－2×5×3×＝52，∴x＝2. 答案：2 5．在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且(a＋b＋c)·(b＋c－a)＝3bc，sin A＝2sin Bcos C．试判断△ABC的形状． 解：因为(a＋b＋c)(b＋c－a)＝3bc， 所以a2＝b2＋c2－bc. 由余弦定理得a2＝b2＋c2－2bccos A，所以cos A＝.又因为0°＜A＜180°，所以A＝60°. 因为sin A＝sin(B＋C)＝sin Bcos C＋cos Bsin C，且sin A＝2sin Bcos C， 所以sin Bcos C＝cos Bsin C，则sin(B－C)＝0. 因为－180°＜B－C＜180°，所以B－C＝0°， 即B＝C. 又因为A＝60°，所以B＋C＝180°－A＝120°， 即B＝C＝60°，故△ABC为等边三角形． 1．△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.若b2＋c2－a2＝bc，则A＝(　　 ) A.　B.　　C.　　D. 解析：A　[由余弦定理可得cos A＝＝＝，又A∈(0，π)，所以A＝.故选A.] 2．△ABC中，a＝3，b＝，c＝2，那么B等于(　　 ) A．30°　　　　　　 B．45° C．60° D．120° 解析：C　[cos B＝＝.∴B＝60°.] 3．边长为5,7,8的三角形中，最大角与最小角之和为(　　 ) A．90° B．120° C．135° D．150° 解析：B　[设边长为5,7,8的对角分别为A，B，C，则A＜B＜C. ∴cos(A＋C)＝－cos B＝－，∴A＋C＝120°.] 4．若1＋cos A＝，则三角形的形状为(　　 ) A．直角三角形 B．等腰三角形或直角三角形 C．正三角形 D．等腰直角三角形 解析：A　[由1＋cos A＝，得cos A＝，根据余弦定理，得＝，则c2＝a2＋b2.所以三角形为直角三角形．故选A.] 5．在△ABC中，已知AB＝3，AC＝2，BC＝，则·等于(　　 ) A．－ B．－ C. D. 解析：D　[∵·＝||||cos〈，〉，由向量模的定义和余弦定理可得出||＝3，||＝2，cos〈，〉＝＝.故·＝3×2×＝.] 6．(多选题)设△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若a＝2，c＝2，cos A＝，则b＝(　　 ) A．2　　B．3　　　C．4　　　D．2 解析：AC　[由余弦定理，得a2＝b2＋c2－2bccos A， ∴4＝b2＋12－6b，即b2－6b＋8＝0， ∴b＝2或b＝4.] 7．在△ABC中，若(a－c)(a＋c)＝b(b＋c)，则A＝　________　. 解析：由已知：a2－c2＝b2＋bc，∴b2＋c2－a2＝－bc， ∴＝－， 由余弦定理：cos A＝－，∴A＝120°. 答案：120° 8．在△ABC中，若a＝2，b＋c＝7，cos B＝－，则b＝　________　. 解析：∵b＋c＝7，∴c＝7－b. 由余弦定理得b2＝a2＋c2－2accos B， 即b2＝4＋(7－b)2－2×2×(7－b)×，解得b＝4. 答案：4 9．(2021·浙江卷)在△ABC中，∠B＝60°，AB＝2，M是BC的中点，AM＝2，则AC＝　________　；cos ∠MAC＝　________　. 解析：(1)AM2＝AB2＋BM2－2BM·BA·cos B，即12＝4＋BM2－2BM·2·， 所以BM2－2BM－8＝0⇒BM＝4，所以BC＝8 所以AC2＝AB2＋BC2－2AB·BC·cos B＝ 4＋64－2·2·8·＝68－16＝52， 故AC＝2. (2)由余弦定理得cos ∠MAC＝＝＝＝， 答案：2　 10．在△ABC中，已知a－b＝4，a＋c＝2b，且最大角为120°，求三边长． 解：由得 所以a＞b＞c，所以A＝120°， 所以a2＝b2＋c2－2bccos 120°， 即(b＋4)2＝b2＋(b－4)2－2b(b－4)×，即b2－10b＝0，解得b＝0(舍去)或b＝10. 所以b＝10，a＝14，c＝6. 11．在△ABC中，a＋b＝10，cos C是方程2x2－3x－2＝0的一个根，求△ABC周长的最小值． 解：∵2x2－3x－2＝0∴x1＝2，x2＝－ 又∵cos C是方程2x2－3x－2＝0的一个根 ∴cos C＝－ 由余弦定理可得：c2＝a2＋b2－2ab·＝(a＋b)2－ab 则：c2＝100－a(10－a)＝(a－5)2＋75 当a＝5时，c最小且c＝＝5，此时a＋b＋c＝10＋5，∴△ABC周长的最小值为10＋5. 12．如图所示，在△ABC中，已知点D在BC边上，AD⊥AC，sin∠BAC＝，AB＝3，AD＝3，则BD的长为　________　. 解析：因为sin∠BAC＝sin (90°＋∠BAD)＝ cos∠BAD＝， 所以在△ABD中，有BD2＝AB2＋AD2－2AB·ADcos∠BAD， 所以BD2＝18＋9－2×3×3×＝3，所以BD＝. 答案： 13．如图所示，△ABC中，AB＝2，cos C＝，D是AC上一点，且cos∠DBC＝. 求∠BDA的大小． 解：由已知得cos∠DBC＝，cos C＝， 从而sin ∠DBC＝，sin C＝， ∴cos∠BDA＝cos(∠DBC＋C)＝·－·＝， ∴∠BDA＝60°. 学科网（北京）股份有限公司 $