9.1.1 正弦定理-【创新教程】2025-2026学年高中数学必修第四册五维课堂教师用书word（人教B版）

本讲义聚焦高中数学正弦定理核心知识点，从三角形面积公式切入推导定理，梳理常见变形及解的个数判断方法，构建“公式推导-变形应用-解的讨论”学习支架，衔接前后知识逻辑。 资料以雷达兵训练情境引入激发兴趣，通过逻辑推理证明定理培养数学思维，例题与变式训练提升运算素养。课中辅助教师引导探究，课后自测与练习帮助学生查漏补缺，体现用数学眼光观察现实、用数学思维解决问题的核心素养。

9．1　正弦定理与余弦定理 9．1.1　正弦定理 课程标准 素养解读 1.探索三角形边长与角度的关系，掌握正弦定理． 2．能用正弦定理解决简单的实际问题. 通过证明正弦定理的过程，培养逻辑推理素养．通过运用正弦定理解三角形，提升数学运算素养. [情境引入] 在雷达兵的训练中，有一个项目叫“捉鬼(战士语)”，即准确地发现敌台的位置．在该项目的训练中，追寻方的安排是以两个小组作为一个基本单位去执行任务，用战士的话说就是两条线(即用两台探测器分别探出敌台的方向)一交叉就把敌人给“叉”出来了，想藏？想跑？门都没有．其实这里面不仅仅是两线交叉确定交点的问题，还隐藏了另一个数学问题，即两个探寻小组之间的位置是已知的，它们和敌台构成一个三角形，战士探明了敌台的方向，也就是知道了该三角形的两个内角．通过本课时的学习，我们就会知道其中的奥秘了． 问题　在一个三角形中，各边和它所对角的正弦比有什么关系？ 提示　相等． [知识梳理] [知识点一]　三角形面积公式 　任意三角形的面积公式为： (1)S△ABC＝　bcsin A　＝　acsin B　＝　absin C　，即任意三角形的面积等于任意两边与它们夹角的正弦的乘积的一半． (2)S△ABC＝ah，其中a为△ABC的一边长，而h为该边上的高的长． [知识点二]　正弦定理　 在一个三角形中．各边和它所对角的正弦的比相等． 即＝＝＝2R.(R为△ABC外接圆的半径) [知识点三]　正弦定理的常见变形　 (1)a＝2Rsin A，b＝2Rsin B，c＝2Rsin C(R为△ABC外接圆的半径)． (2)sin A＝，sin B＝，sin C＝(R为△ABC外接圆的半径)． (3)三角形的边长之比等于对应角的正弦比，即a∶ b∶c＝sin A∶sin B∶sin C. (4)＝＝＝. (5)asin B＝bsin A，asin C＝csin A．bsin C＝csin B. [知识点四]　对三角形解的个数的判断　 已知三角形的两角和任意一边，求另两边和另一角，此时有唯一解，三角形被唯一确定．已知两边和其中一边的对角，求其他的边和角，此时可能出现一解、两解或无解的情况，三角形未必被唯一确定，例如，已知a，b和A解三角形为例，从两个角度予以说明： (1)代数角度 由正弦定理得sin B＝， ①若>1，则满足条件的三角形个数为0.即无解． ②若＝1，则满足条件的三角形个数为1.即一解． ③若<1，则满足条件的三角形个数为1或2. 已知两边和其中一边的对角解三角形时一定是一解吗？ [提示]　在△ABC中，已知两边和其中一边的对角解三角形时，可先用正弦定理求出另一边的对角的正弦值，此时解的个数不确定，应注意讨论：(1)其正弦值大于1，无解．(2)其正弦值等于1，一解，(3)其正弦值小于1，①对应边小于或等于已知角的对边，一解．②对应边大于已知角的对边，两解． (2)几何角度 图形 关系式 解的个数 A为锐角 ①a＝bsin A； ②a≥b 　一解　 bsin A<a<b 　两解　 a<bsin A 　无解　 A为钝角或直角 a>b 　一解　 a≤b 　无解　 [预习自测] 1．在△ABC中，A＝60°，a＝，b＝，则B＝(　　) A．45°或135°　　　　　 B．60° C．45° D．135° 解析：C　[由正弦定理＝，得sin B＝＝＝.∵a＞b，∴A＞B，∴B＝45°.] 2．在锐角△ABC中，角A，B所对的边长分别为a，b.若2asin B＝b，则角A等于(　　) A.　　　　　　　　 B. C. D. 解析：D　[∵2asin B＝b，∴＝， 又由正弦定理可得：＝ ∴sin A＝＝， 又∵△ABC为锐角三角形．∴A＝，故选D.] 3．在△ABC中，若BC＝，sin C＝2sin A，则AB＝(　　) A．2　B．3　　C．4　　D．5 解析：A　[利用正弦定理化简sin C＝2sin A，得AB＝2BC，∵BC＝，∴AB＝2.] 4．△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若cos A＝，cos C＝，a＝1，则b＝　________　. 解析：由条件可得sin A＝，sin C＝，从而有sin B＝sin[π－(A＋C)]＝sin(A＋C)＝sin Acos C＋ cos Asin C＝.由正弦定理＝，可知b＝＝. 答案： 5．在△ABC中，c＋b＝12，A＝60°，B＝30°，则c＝　________　，b＝　________　. 解析：因为A＝60°，B＝30°，所以C＝90°，由正弦定理＝，得b＝c.又c＋b＝12，所以c＝8，b＝4. 答案：8　4 已知两角及一边解三角形 [例1]　已知在△ABC中，c＝10，A＝45°，C＝60°，求a，b和B. [思路点拨]　(1)由内角和定理求角B. (2)由正弦定理计算出另两边a，b. [解]　∵＝， ∴a＝＝＝. B＝180°－(A＋C)＝180°－(45°＋60°)＝75°. 又∵＝， ∴b＝＝＝ ＝×＝. 已知三角形的两角和任一边解三角形的方法 (1)若所给边是已知角的对边时，可由正弦定理求另一角所对的边，再由三角形内角和定理求出第三个角，最后由正弦定理求出第三边． (2)若所给边不是已知角的对边时，可先由三角形内角和定理求出第三个角，再由正弦定理求另外两边． [变式训练] 1．在△ABC中，若A＝60°，B＝45°，BC＝3，则AC＝(　　) A．4　B．2　　C.　　D. 解析：B　[由正弦定理＝，得＝，所以AC＝×＝2，故选B.] 　　已知两边及一边的对角解三角形 [例2]　已知一三角形中a＝2，b＝6，A＝30°，判断三角形是否有解，若有解，解该三角形． [思路点拨]　先利用正弦定理求另一边对角的正弦值，再利用三角形中大边对大角考虑解的情况，然后解三角形． [解]　∵bsin A<a<b，∴△ABC有两解． ∵＝， ∴sin B＝·sin A＝×＝， ∴B＝60°或120°. (1)当B＝60°时，C＝180°－30°－60°＝90°， c＝＝4， (2)当B＝120°时，C＝30°，∵A＝C＝30°， ∴c＝a＝2. 已知两边和其中一边的对角解三角形时的方法 (1)首先由正弦定理求出另一边对角的正弦值． (2)如果已知的角为大边所对的角时，由三角形中大边对大角，大角对大边的法则能判断另一边所对的角为锐角，由正弦值可求出该锐角，满足条件的三角形唯一． (3)如果已知的角为小边所对的角时，则不能判断另一边所对的角为锐角，这时由正弦值可求两个角，需要分类讨论，满足条件的三角形有两个． [变式训练] 2．在△ABC中，A＝60°，a＝4，b＝4，则B＝(　　) A．45°或135°　　　　　 B．135° C．45° D．以上答案都不对 解析：C　[∵＝，A＝60°，a＝4， b＝4， ∴sin B＝＝＝. ∵0°<B<180°， ∴B＝45°或135°. 又∵4>4，∴B＝45°.] 　　利用正弦定理判断三角形的形状 [例3]　在△ABC中，已知＝且2sin Asin B＝2sin2 C，试判断该三角形的形状． [思路点拨]　本题给出的已知条件中含有边角关系，首先需进一步明确边角关系，其次利用正弦定理和逆用二倍角的正弦公式确定三角形中角的关系． [解]　由已知＝＝. ∴b2－a2＝ab，① 又2sin Asin B＝2sin2C，由正弦定理得2ab＝2c2.② 由①②，得b2＝a2＋c2. ∴该三角形是以B为直角的直角三角形． 利用正弦定理判断三角形的形状的两条途径 (1)化角为边．将题目中的所有条件，利用正弦定理化角为边，再根据多项式的有关知识(分解因式、配方等)得到边的关系，如a＝b，a2＋b2＝c2等，进而确定三角形的形状．利用的公式为：sin A＝，sin B＝，sin C＝. (2)化边为角．将题目中所有的条件，利用正弦定理化边为角，再根据三角函数的有关知识得到三个内角的关系，进而确定三角形的形状．利用的公式为：a＝2Rsin A，b＝2Rsin B，c＝2Rsin C. [变式训练] 3．在△ABC中，已知a2tan B＝b2tan A，则△ABC的形状为(　　) A．等腰三角形 B．直角三角形 C．等边三角形 D．等腰三角形或直角三角形 解析：D　[∵在△ABC中，a2tan B＝b2tan A， ∴由正弦定理，得＝. 又sin A≠0，sin B≠0，∴＝. ∴sin Acos A＝sin Bcos B，即 sin 2A＝sin 2B，即sin 2A＝sin 2B， ∴A＝B或2A＝π－2B，即A＝B或A＋B＝， ∴△ABC为等腰三角形或直角三角形．] 正弦定理的综合应用 [例4]　如图所示，D是Rt△ABC的斜边BC上一点，AB＝AD，记∠CAD＝α，∠ABC＝β. (1)求证：sin α＋cos 2β＝0； (2)若AC＝DC，求β的值．(注：cos 2β＝1－2sin2 β) [思路点拨]　根据正弦定理，实现边角互化． (1)证明　在Rt△ABC中，∵AB＝AD，∴∠ADB＝∠ABC＝β. ∵α＝－∠BAD＝－(π－2β)＝2β－， ∴sin α＝sin(2β－)，即sin α＝－sin(－2β)． ∴sin α＝－cos 2β，∴sin α＋cos 2β＝0. (2)[解]　在△ADC中，根据正弦定理得 ＝. 又AC＝DC，∠ADC＝π－β， ∴＝，∴sin β＝sin α. 由(1)知sin α＝－cos 2β，∴sin β＝－cos 2β. ∴2sin2 β－sin β－＝0， 解得sin β＝或－. ∵0<β<，∴sin β＝，∴β＝. (1)在三角形中，进行三角函数式的化简、证明或求值时，一要注意边角互化，二要注意三角函数公式的灵活应用，特别是三角恒等式变形的技巧． (2)判断三角形形状的常用方法有：①化边为角．将题目中的条件利用正弦定理化边为角(若sin 2A＝sin 2B，则A＝B或A＋B＝)，再根据三角函数的有关知识得到三个内角的关系，进而确定三角形的形状；②化角为边．将题目中的所有条件，利用正弦定理化角为边，再根据代数恒等变换得到边的关系(如a＝b，a2＋b2＝c2)，进而确定三角形的形状． [变式训练] 4．在△ABC中，已知3b＝2a sin B，且cos B＝cos C，角A是锐角，则△ABC的形状是(　　) A．直角三角形 B．等腰三角形 C．等腰直角三角形 D．等边三角形 解析：D　[由3b＝2asin B，得＝， 根据正弦定理得＝， 所以＝，即sin A＝. 又角A是锐角，所以A＝60°. 又cos B＝cos C，且B，C都为三角形的内角， 所以B＝C. 故△ABC为等边三角形，故选D.] 1．在△ABC中，若sin A＞sin B，则角A与角B的大小关系为(　　) A．A＞B B．A＜B C．A≥B D．A，B的大小关系不能确定 解析：A　[由sin A＞sin B⇔2Rsin A＞2Rsin B(R为△ABC外接圆的半径)⇔a＞b⇔A＞B.] 2．在△ABC中，AC＝，BC＝2，B＝60°，则角C的值为(　　) A．45°　B．30°　　C．75°　　D．90° 解析：C　[由正弦定理，得＝， ∴sin A＝. ∵BC＝2＜AC＝，∴A为锐角． ∴A＝45°，∴C＝75°.] 3．在△ABC中，若C＝60°，b＝，c＝3，则A＝　________　. 解析：由正弦定理，得sin B＝＝＝，结合b＜c可得B＝45°，则A＝180°－B－C＝75°. 答案：75° 4．在△ABC中，若A＝105°，B＝45°，b＝2，则c等于　________　. 解析：∵A＝105°，B＝45°，∴C＝30°. 由正弦定理得c＝＝＝2. 答案：2 5．在△ABC中，已知内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且A＝30°，C＝105°，a＝10，求b，c. 解：因为A＝30°，C＝105°，所以B＝180°－(A＋C)＝45°. 因为＝＝，所以b＝＝＝10，c＝＝＝5＋5. 1．在△ABC中，a＝3，b＝5，sin A＝，则sin B＝(　　 ) A.　　B.　　　C.　　　D．1 解析：B　[由＝，知＝，即sin B＝，选B.] 2．已知a，b，c分别是△ABC的三个内角A，B，C所对的边，若A＝60°，c＝6，a＝6，则此三角形有(　　 ) A．两解　 B．一解 　　C．无解　　D．无穷多解 解析：B　[由等边对等角可得C＝A＝60°，由三角形的内角和可得B＝60°，所以此三角形为正三角形，有唯一解．] 3．在△ABC中，a＝bsin A，则△ABC一定是(　　 ) A．锐角三角形　　　　 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．等腰三角形 解析：B　[由题意有＝b＝，则sin B＝1，即角B为直角，故△ABC是直角三角形．] 4．在△ABC中，若c＝，C＝60°，则＝(　　 ) A．6 B．2 C．2 D. 解析：C　[利用正弦定理的推论，得＝＝＝2.] 5．(多选题)在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c.若a＝1，b＝，A＝30°，则角B等于(　　) A．30° B．150° C．60° D．120° 解析：CD　[由正弦定理＝可得sin B＝＝＝，所以B＝60°或B＝120°.故选CD.] 6．(多选题)锐角△ABC中，三个内角分别是A，B，C，且A>B，则下列说法正确的是(　　) A．sin A>sin B B．cos A<cos B C．sin A>cos B D．sin B＜cos A 解析：ABC　[A>B⇔a>b⇔sin A>sin B，故A成立． 函数y＝cos x在区间[0，π]上是减函数， ∵A>B，∴cos A<cos B，故B成立． 在锐角三角形中，∵A＋B>，∴A>－B， 函数y＝sin x在区间[0，] 上是增函数， 则有sin A>sin(－B)，即sin A>cos B，故C成立，同理sin B>cos A，故D不成立．] 7．在△ABC中，若a＝3，cos A＝－，则△ABC的外接圆的半径为　________　. 解析：由cos A＝－，得sin A＝＝，设△ABC的外接圆的半径为R，由正弦定理，有2R＝＝2，即△ABC的外接圆的半径为. 答案： 8．在△ABC中，若B＝，b＝a，则C＝　________　. 解析：在△ABC中，由正弦定理＝，得＝＝＝2a，所以sin A＝，所以A＝或π.因为b＝a＞a，所以B＞A，即A＜，所以A＝，所以C＝π－A－B＝π－－＝π. 答案：π 9．在△ABC中，B＝，BC边上的高AD等于BC，且AD＝1，则AC＝　________　，sin A＝　________　. 解析：如图，由AD＝1，B＝，知BD＝1，又AD＝BC＝BD， ∴DC＝2，AC＝＝. 由正弦定理可知，sin∠BAC＝＝×3＝. 答案：　 10．已知在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，c＝10，A＝45°，C＝30°，求a，b和B. 解：因为c＝10，A＝45°，C＝30°，所以B＝180°－(A＋C)＝105°. 由＝，得a＝＝＝10.由＝，得b＝＝＝20sin 75°＝20×＝5＋5 11．已知△ABC中角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且acos C＋c＝b. (1)求角A的大小； (2)若a＝1，b＝，求c的值． 解：(1)由acos C＋c＝b，得sin Acos C＋sin C＝sin B. 因为sin B＝sin (A＋C)＝sin Acos C＋cos Asin C，所以sin C＝cos Asin C. 因为sin C≠0，所以cos A＝.因为0＜A＜π，所以A＝. (2)由正弦定理，得sin B＝＝.所以B＝或. ①当B＝时，由A＝，得C＝，所以c＝2； ②当B＝时，由A＝，得C＝， 所以c＝a＝1. 综上可得c＝1或2. 12．如图，正方形ABCD的边长为1，延长BA至E，使AE＝1，连接EC，ED，则sin ∠CED＝(　　 ) A. B. C. D. 解析：B　[由题意得EB＝EA＋AB＝2，则在Rt△EBC中，EC＝＝＝.在△EDC中，∠EDC＝∠EDA＋∠ADC＝＋＝，由正弦定理得＝＝＝，所以sin ∠CED＝·sin ∠EDC＝·sin ＝.] 13．在△ABC中，已知c＝10，＝＝，求a，b及△ABC的内切圆半径． 解：由正弦定理知＝，∴＝. 即sin Acos A＝sin Bcos B，∴sin 2A＝sin 2B. 又∵a≠b，∴2A＝π－2B，即A＋B＝. ∴△ABC是直角三角形，且C＝90°， 由得a＝6，b＝8. 故内切圆的半径为r＝＝＝2. 学科网（北京）股份有限公司 $