9.1.1 正弦定理-【新课程能力培养】2025-2026学年高中数学必修第四册练习手册（人教B版）

第九章解三角形。 N 第九章解三角形 91正弦定理与余弦定理 9.1.1正弦定理 第1课时 正弦定理 基础练习 C.V10 2 D.V30 4 一、选择题 6.已知在△ABC中，角A,B,C所对 1.在△ABC中，a=7,c=5,则sin4: 的边分别为a,b,c,其中acosB+bcosA= sinC的值是（) 3 ctanC,若c=V10,则△ABC外接圆的面积 A子B哥 c D高 为() A.16m B.25m 2.在△ABC中，已知V3AC=V2BC, C.36π D.49m 且A=,则C=（) 7.在△ABC中，内角A,B,C所对的 边分别为a,b,c.下列等式正确的是() A年B设CF D得 A.a:b=A:B B.a:b=sinA sinB C.a:b=sinB:sinA D.asinA=bsinB 3.在△ABC中，已知AB=V2AC,B= 30°，则C=() 二、填空题 8.在△ABC中，内角A,B,C所对应 A.45° B.15° C.45°或135° D.15°或105° 的边分别是a,b,c,若b=4a,B=60°，则 4.(多选题)在△ABC中，B=45°，AB= sinA= 10,可使得C有两个不同取值的AC的长度 9.在△ABC中，内角A,B,C所对的 是() 边分别为a,b,c,若A:B:C-1:2:3,则号 A.7B.8 C.9 D.10 5.在△ABC中，内角A,B,C的对边 10.已知△ABC的周长为3+V3,且 分别为a,b,c,且a=V2,c=V5,B= sinA+sinB=V3 sinC,A Bl= 30°，则△ABC的面积为() 11.在△ABC中，角A,B,C的对边分 A.V30 B.V10 4 N 高中数学必修第四册人教B版 别为，，若n号-写，且20=4： 提升练习 C,则a 14.在△ABC中，a=x,b=2,B=45°，若 三角形有两解，则x的取值范围是() 三、解答题 A.x>2 B.x<2 12.锐角△ABC的内角A,B,C的对边： 分别为a,b,c.已知2b-a=2c·cosA,求C. C.2<r<2V2 D.2<x<2V3 15.(多选题)以下关于正弦定理或其 变形正确的有() A.在△ABC中，a:b:c=sinA:sinB:sinC B.在△ABC中，若sin2A=sin2B,则a=b C.在△ABC中，A>B是sinA>sinB的充 分不必要条件 D.在△ABC中，sinAsinB+sinC b+c 13.在△ABC中，角A,B,C所对边分 别为a,b,c,且btanA=(2c-b)tanB. (1)求A的值 (2)若向量m=(cosB,2cosA),n= 0,cos号》，求m-2n的取值范周 (2)练 第九章解三角形。 第2课时 利用正弦定理解三角形的相关问题 A.等腰三角形 基础练习 B.直角三角形 一、选择题 C.等腰直角三角形 1.记△ABC的内角A,B,C的对边分 D.等腰三角形或直角三角形 别为a,6,c,若A=平，3，b-2,则sinB 6.在△ABC中，角A,B,C的对边分别 为a,b,c,则“acosA=bcosB”是“△ABC 为等腰三角形”的() A.V2 B.V2 A.充分不必要条件 4 6 B.必要不充分条件 C.V② 2 D.V 3 C.充要条件 2.在△ABC中，角A,B,C的对边分 D.既不充分也不必要条件 别为a,,c,若a-c,sinC=写，则sin4 7.(多选题)在△ABC中，内角A,B, C所对的边分别是a,b,c,若c-acosB= ) (2a-b)cosA，则下列结论可能正确的有 A B.2 D.4 A.A-受 B.B=A c b c.B=号 D.B=C 3.在△ABC中， -c cosB"sinc, 则B= 二、填空题 8.在△ABC中，内角A,B,C所对的 A石 B.T 4 边分别为a,b,c,asinB=-V3 bcosA,则 c骨 号 A= 9.在△ABC中，设a,b,c分别是三个 4.在△ABC中，若acosB=c,则△ABC 内角A,B,C所对的边，b=2,c=1,面积 的形状是() A.等边三角形 B.等腰三角形 SMBC- 2,则内角A的大小为 C.直角三角形 D.等腰直角三角形 10.已知△ABC的内角A,B,C的对边 T+B 分别为a,b,c,且9c-a=9 bcosA,角B的 5.在△ABC中，若满足4= sin 2 bc0s(2m-A)’ 平分线与AC交于点D,且BD=1,则1+1 则该三角形的形状为() 的值为 练 N 高中数学必修第四册人教B版 11.若a,b,c分别是△ABC的内角A, 提升练习 B,C所对的边，已知2 acosC=2b+V3c,则 角A的大小为 14.在△ABC中，内角A,B,C对的 三、解答题 边分别为a,b,c,若a=80,b=100,A= 12.在△ABC中，AD是∠BAC的平分 45°，则符合条件的三角形有() 线，用正孩定理江明：把肥 A.1个 B.2个 C.1个或2个 D.0个 15.已知在锐角△ABC中，角A,B,C 所对的边分划为a,么，。品。一积 (1)求角A的大小. (2)若a=4,求V3b-c的取值范围. 13.在△ABC中，角A,B,C所对的边 分别为a,6,c,且cos(2m-B+sin(+B)= (1)求sinB的值. (2)若cosd=-3,a=5,求△ABc的 面积. (4)练练习手册参考答案 第九章 “9.1正弦定理与余弦定理 9.1.1正弦定理 第1课时正弦定理 1.A【解析】由正弦定理，得sinM:sinC=a:c= 51 2.B【解析】由正弦定理及V3AC=V2BC,可得 能=V,a=,snB=V是sm4-Y7.又 sinA BC3 V3 10C,=号B牙6-m号牙沿 3C【解析】由正弦定理，可得品=品，即 VC-6,可释nc=V竖.=V万AC,可知 AB>AC,CB.0<C<180°，∴.C=45或C=135°. 4.BC【解析】△ABC中，B=45°，AB=10,当A BsinB< AC<AB,即5V2<AC<10时，使得C有两个不同取值. 5.B【解析】Sam=行oxsinE=-×V2xV5xin30P V0,故选B. 6.B【解析】由正弦定理，得sinAcosB+sinBcosA= sn4+B)sinC-3 inCanC,.解得anCg,放sncY沿. 10 则R=V10=5,故所求外接圆的面积为25m.故选B. 2xV10 10 7B【解折】由正弦定理品=g,可得a:b=s4: sinB,对比选项可知只有B正确.故选B. 8.V3【解析】b=4a,B=60°，.由正弦定理，得 8 sin=asinB_'2。=3 8· 9.V3【解析】A:B:C=1:2:3,A+B+C=m,A= 石，B=写，C=7,由正弦定理，得g=、2 bsinB 3 2 参考答案。 解三角形 V/3 3 10.V3【解析】在△ABC中，令内角A,B,C所对 边分别为a,b,c,由sinM+sinB=V3sinC,得a+b= V3c,而a+b+c=3+V3,AB1=c=V3.故答案为V3. 1.3V+4【解折1coC=1-2Nm号=1-号-号，则 mC=专A+B+C=m,2B=4+C,B=号，snB=Y。 2 cowB=而snl=n(B4C=incoin-Yx号 +分×号=3V得4，由正弦定，知a:m4 10 sinC 3V3+4 10=3V3+4 4 8 12.解：2b-=2 c.cosA,由正弦定理，可得2sinB-sinA= 2sinCcosA,2sin T-(A+C)]-sinA =2sinCcosA,2sin (A +C)- sinM=2 sinCcosA,展开可得2 sinA cosC+2 sinCcos4-sinM= 2sinCosincosinA0.sinc 是锐角，C=号 13.解：(1)由btan4=(2c-b)tanB及正弦定理，得 sinB sinA =(2sinC-sinB)sing cosA oB，整理，得sn4cosB+ cosA sinB=2sinCcosA,sin (A +B)=2sinCcosA .'.sinC= 2 2sinCcos1.sinC≠0，cos4=7,A=号 (2)m2n-cosB -co) -(cosB,cosc)=(cosB.cos()) .m-2nl-VeoBcos-B) 2 2 -V1-2sin2B-6): 由于0<B<2,得sim(2B-石)e←，， 53 N 高中数学必修第四册人教B版 14C【解析】由题设条件，可知>2， .2<r< xsin45°<2， 2V2. sinA sinB=sinc=2R,b:e= 15.AD【解析】由a=b 2 RsinA:2 RsinB:2sinC=sinA:sinB:sinC,故A正确；由 sin2A=Sin2B,可得2A=2B或2A+2B=T,即A=B或A+B= 受，ab或-心，故B错误；在△AhC中，由血4> sinB台a>b台→A>B,因此A>B是sinA>sinB的充要条件，故 C错误：由正弦定理，得b+c一=2 RsinB+2 RsinC-2R=左 sinB+sinC sinB+sinC 边，故D正确. 第2课时利用正弦定理解三角形的相关问题 1.D《解折】由正弦定理品品得如B=合 sinM=号sin牙=V2.放选D, 3 2.C【解析】由a=3c以及正弦定理，可得sinA=3sinC, 3.B【解析】cC,由正弦定理，可得 C=1,即tanB=1,又B∈(0，T),B=开故选B. sinC 4.C【解析】.acosB=c,.∴sinA cosB=sinC=sin(A+B)= sinA cosB+cosA sinB,∴.cosA sinB=0..sinB>0,∴.cosA=0.又 .0°<A<180°，.A=90°，△ABC为直角三角形. 5D【解析】由三角函数的诱导公式，可得名= sin牙+B) _cosB cos(2T-A)cosA ,又由正弦定理，得A=coB,即 sinB cosA sinAcosA=sinBcosB,可得sin2A=sin2B.,A,B∈(0.T), M=B或A+B=7,∴△ABC为等腰三角形或直角三角形. 6.D【解析】在△ABC中，由acosA=bcosB及正弦定 理，得sinAcosA=sinBcosB,即有sin2A=sin2B,而A,B, A+B∈(0，T),于是2A=2B或2A+2B=T,即A=B或A+B= 受，命题“若acos1=bcoB,则△ABC为等腰三角形”是 假命题； 当△ABC为等腰三角形时，不一定是a=b,命题“若 △ABC为等腰三角形，则acosA=bcosB”是假命题，， “acosA=bcosB”是“△ABC为等腰三角形”的既不充分也 不必要条件.故选D 54 7.AB【解析】在△ABC中，由c-acosB=(2a-b)cosA, sinC-sinA cosB=(2sinA-sinB)cosA,sin(A+B)-sinA cosB= (2sinA-sinB)cosA=cosA sinB=2sinA cosA-sinBcosA=sinBcosA= sinA cosA→cosA(sinB-sinA)=0,则cosA=0或sinB=sinA, 4=罗或B=A. 8.2π【解析】asinB=--V3 beosA,由正弦定理， 3 可得sinA sinB=-V3 sinBcosA. 又sinB≠0，∴.sinA=-V3cosA,故tanA=-V3. 又Ae(0,π)，A=2π.故答案为2π 3 3 9.石或【解折】△ABC的面积Sau=)csin4 6 2×2x1xm4=分n=分1e0,m),4=君或 6 10.25【解析】·9c-a=9bcos4,由正弦定理，得 9sinC-sinA=9 sinBcosA,即9sin(A+B)-sinA=9 sinBcosA，,即 9sinA cosB +9cosA sinB -sinA =9sinBcosA,..9sinA cosB =sinA. 又sin4>0,cosB=g又Be(0,m),Be0,7,故 sng4y,sn号-V空-号，由5awam 得)csin∠ABC=a~BD:sm∠ABD+3e~BDsin∠DBC, 即4V5 3 11.5π【解析】由正弦定理，可得2sin4cosC=2sinB+ 6 V3sinC,即2 sinA cosC=2sin(A+C)+V3sinC,化简， 得2 cosAsinC+-V3sinC=0.又sinC>0,则cos4=-Y3」 2, 即角A的大小为5m 6 12.证明：设∠BAD=,∠BDA=B,则∠CAD=, ∠CDA=180°B.在△ABD和△ACD中分别运用正弦定理， 得4B=sim9，AC=sin180=B2,又sin(180°-6)=sinB, BD sina'DC sina 品瓷即轻0 13.解：(1)方法一：.cos(2T-B)+sin(T+B)=cosB- sinB=1 =5，又cos2B+sin2B=1,25sin2B+5sinB-12=(5sinB-3）· (5sinB+4)-0.Be(0,m),sin>0,解得sinB= 方法二：cos(2m-B)+sin(m+B)=cosB-sinB=号①， 5 平方，可得1-2 sinlcosD=-名，2 2sinfeosD=-若Be0,m). -sinB>0,cosB>0,∴sinB+cosB=V+2 sinBcosR=号②， 由①②可得sinB=3 5 （2)c1=点Ae0,),n4=号由正孩定 里品品得6=-界由山知coB=号在 理 △ABC中，sinC=sin(A+B)=sinA cosB+cosA cosB=-l2x4-S =i3×513 ×语5m子bsn号x5x裙器 14.B【解析】由题意，知a=80,b=100,A=45°， :bsin A=100xY2=50V2<80.bsin4<a<h,符合条件 的三角形有2个，故选B. 15解，《)由品及正孩定理，每器 SinB 34.4=.又4e0,号.4=君 cosA 6 (2)2R-n-8.V56-c2R(V万sinB-s血c V3sinB-sin(int-cost) =8sinB-石 又：△ABC为锐角三角形，Be(牙，变)，即B-石 e石，），V36-ee(4,4V3). 9.1.2余弦定理 第1课时余弦定理 1.B【解析】根据余弦定理，可知c2-a2+b2-2 abcosC.故 选B. 2.B【解析】.在△ABC中，设三个内角A,B,C的 对边依次为a,b,c,若2+b2=c2+ab,则cosC=+b2-c2= 2ab 之，G号由Ce罗罗”不能推出+6-c b”；反之，能成立.故Ce号，2牙”是“+6-4b 成立的必要非充分条件.故选B. 3.B【解析】d=b2+c2-2 becosA=3+4-4V3×V13= 1,sin4-2-1 =1=2 参考答案。 4B【解析】由题意，可知cosC=2e2_132-(V32 2ab 2xx3 =3,0<C<180°.C=120 5.D【解析】由a2-b2+c2+ac=0,可得2+c2-b2=-ac,由 余弦定理，可得cos8=心-一分，0c、因此，B 2ac 2T 3 6.BD【解析】根据余弦定理，可知+c2-b2=2 accosB, 代人化简，可得2cosB:8=V5,即nB=Y. 2, 0<B<m,B=写或B=7 31 7.ACD【解析】若A>B,则a>b,2 RsinA>2 RsinB, n4>inB,故A正确：根据正弦定理，得品品·即 ,第得n:受，又01，o0,4 哥或A=要，故B不正确：根据余弦定理，得c01 c>分，整理，得+e2-6<0,eosB=“< 2bc 2ac 0,∴.B为钝角，故C正确；a=V3,b=4,且2 absinC= Vs(-e.nG-V了(a.即nc-V3cc 又0<C<,C=写，∴△ABC的面积为)×V3×4 xsinC=-3, 故D正确. 8.T【解析】d2-V2ac+e2=b,cosB=+2-b2= 4 2ac -受，Be0,子做答案为程 2ac 9.3Y5【解析】a=2,6=3,c=4,c0s4=bd 2bc -数-数-冬，则m-v1-V积-V得- V15 C.sin4=bsin4=3x V15-3V15. 8 B D 第9题答图 10.2或4【解析】由余弦定理，得a2=b2+c2-2 bccosA, 即4=b2+12-6b,化简，得b2-6b+8=0,解得b=2或b=4. 1.(子【解折】b=1,且abeos+oeo1=bc, 55