精品解析：天津市和平区2025-2026学年高一上学期1月期末数学试题

天津市和平区2025-2026学年高一上学期1月期末 数学试题 第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共100分，时间100分钟. 第Ⅰ卷（选择题 共27分） 监测注意事项： 1.答第Ⅰ卷前，务必将自己的姓名、准考证号填涂在答题卡上. 2.每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动.用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号. 3.本卷共9小题，每小题3分，共27分. 一、单选题（在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 设集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据交集的定义进行求解即可. 【详解】因为，， 所以. 故选：B 2. 命题“，”的否定是（ ） A. “，” B. “，” C. “，” D. “，” 【答案】D 【解析】 【分析】根据全称命题的否定是存在命题进行判断即可. 【详解】因为全称命题的否定是存在命题， 所以“，”的否定是“，”. 故选：D 3. “”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】 【分析】根据充分必要条件与集合间关系的联系求解. 【详解】因为， 所以“”是“”的充分不必要条件， 故选：A. 4. 已知某扇形的面积是5，半径为2，则该扇形的圆心角的弧度数为（ ） A. B. C. D. 5 【答案】C 【解析】 【分析】根据扇形的面积公式和弧长公式进行求解即可. 【详解】该扇形的圆心角的弧度数为，该圆心角所对的弧长为， 因为某扇形的面积是5，半径为2， 所以有. 故选：C 5. 函数的零点所在的一个区间为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据函数单调性性质，结合函数零点存在原理进行求解即可. 【详解】因为函数都是实数集上的增函数， 所以函数是实数集上的增函数，且图象是连续不断的一条曲线， 因为， 所以，因此该函数有唯一零点，且零点在内. 故选：B 6. 若角的顶点与原点重合，它的始边与轴的非负半轴重合，它的终边上一点坐标为，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用三角函数定义进行求解即可. 【详解】因为， 所以，， 因此. 故选：A 7. 若，，，则，，的大小关系为（ ） A B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先把转化为同底数的对数形式，再利用对数函数的单调性，分别比较、、的大小. 【详解】，，而，且单调增函数， 所以，即； ，，而，且单调增函数， 所以，即； ，； 综上可得. 故选：C 8. 将函数（）的图象上所有点的横坐标变为原来的2倍，纵坐标不变，再将所得图象向左平行移动个单位长度，得到函数的图象.若函数为偶函数，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用三角函数图像的变换求解即可. 【详解】将函数（）的图象上所有点的横坐标变为原来的2倍可得， 再将所得图象向左平行移动个单位长度，得到函数， 因为函数为偶函数，所以，解得：， 由于，所以，， 故选：D 9. 已知函数若，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】判断单调性求解，再去“”得到不等式，解出即可. 【详解】当时，， 因为函数在单调递增，且函数是减函数， 所以在单调递减； 当时，， 因为函数在是单调递增，且函数是减函数， 所以在单调递减； 又，所以在单调递减， 若，则，即， 解得或，所以实数的取值范围为， 故选：A. 第Ⅱ卷（非选择题 共73分） 监测注意事项： 1.用黑色墨水的钢笔或签字笔将答案写在答题卡上. 2.本卷共11小题，共73分. 二、填空题（本大题共6小题，每小题4分，共24分） 10. 函数的定义域为_____. 【答案】 【解析】 【分析】由分式分母不为零、平方根被开方数不小于零即可求得. 【详解】要使函数有意义，则，解得且， 所以函数的定义域为， 故答案为： 11. 若幂函数的图象过点，则________. 【答案】 【解析】 【分析】根据幂函数过点求出解析式即可得解. 【详解】因为幂函数的图象过点 所以因为，解得， 所以，故. 故答案为： 12. _____. 【答案】## 【解析】 【分析】由诱导公式及两角和的余弦公式求解. 【详解】因为， 所以 故答案为：. 13. 若，则的最小值为_____. 【答案】. 【解析】 【分析】先根据已知条件 ，构造出两个正数，再对代数式进行变形，最后利用基本不等式性质求解最小值. 【详解】因为 ，所以 ，所以 ，， 所以， 当且仅当 ，即 时，等号成立. 因此 所以 的最小值为 . 故答案为：. 14. 已知，则_____. 【答案】 【解析】 【分析】根据诱导公式，结合同角三角函数关系中的商关系进行求解即可. 【详解】. 故答案为： 15. 已知定义域为的函数，满足，且，若当时，，则当函数在区间上的零点个数最多时，所有零点之和为_____. 【答案】 【解析】 【分析】根据已知等式判断函数的奇偶性和对称性，进而可以判断出函数的周期，根据这些性质画出函数的图象，根据零点的定义，利用数形结合思想和二次函数的对称性进行求解即可. 【详解】由题意得函数的定义域为， 因为，所以函数奇函数， 则该函数关于原点对称，且， 又因为，所以函数的对称轴为， ， 所以该函数的周期为，画出函数图象如下图所示： 令，则问题转化为在区间直线与的交点个数最多， 由数形结合思想可知，当时，直线与函数图象没有交点； 当时，直线与函数图象有个交点； 当时，直线与函数图象有个交点； 当时，直线与函数图象有个交点； 所以当时，在区间直线与函数图象的交点个数最多，共个， 它们分别是， 它们的和为. 所有零点之和为. 故答案为： 三、解答题（本大题共5小题，共49分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 16. （1）化简：，（式中字母均为正数）； （2）计算：. 【答案】（1）（2） 【解析】 【分析】（1）根据指数幂的乘法和除法的法则进行求解即可； （2）根据对数的运算性质进行求解即可. 【详解】（1） （2） 17. 已知，. （1）求的值； （2）求的值. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据同角的三角函数关系式进行求解即可； （2）根据两角差的余弦公式进行求解即可. 【小问1详解】 因为，所以， 因为， 所以 【小问2详解】 18. 已知全集，若集合，（）. （1）若，求集合及； （2）若，求实数的取值范围. 【答案】（1）；或； （2） 【解析】 【分析】（1）解一元二次不等式求集合，再根据并集和补集的定义运算； （2）讨论集合是否为空集，再根据即可求出. 【小问1详解】 ， 若，则，则， 则或； 【小问2详解】 若为空集，则，得，符合； 若不是空集，则， 因为，所以且，得，则， 综上，实数的取值范围为. 19. 已知函数（，）的最小正周期为. （1）求函数的解析式； （2）求函数的对称轴方程与函数的单调递增区间； （3）当时，求函数的最小值以及取得最小值时的值. 【答案】（1） （2）函数的对称轴方程为，单调递增区间为 （3）函数的最小值为，取得最小值时的值为 【解析】 【分析】（1）利用三角恒等变换化简，结合其周期即可求解函数解析式； （2）结合正弦函数的对称轴与单调递增区间即可求解； （3）结合正弦函数图像性质即可求得最值. 【小问1详解】 , , 因为函数（，）的最小正周期为， 所以，解得：， 所以 【小问2详解】 由于， 令，解得：， 所以函数的对称轴方程为 令， 解得：， 所以函数的单调递增区间为 【小问3详解】 由于， 当，则， 所以当，即时，取最小值，即 20. 已知函数（，）的图象关于原点对称. （1）求实数的值； （2）判断函数的单调性，并用定义法进行证明； （3）若存在，使得成立，求实数的取值范围. 【答案】（1） （2）在单调递减，证明见解析 （3） 【解析】 【分析】（1）利用奇函数 “” 的性质，代入表达式化简后，结合的条件求出； （2）先由（1）得的表达式，再根据函数单调性的定义，任取​并作差，通过判断差的正负来证明在上单调递减； （3）先化简不等式左边得到，再代入的表达式，换元转化为函数最值问题，最后观察函数的单调性求出最小值，从而得到的取值范围. 【小问1详解】 因为图象关于原点对称，所以是奇函数， 对于， 恒成立， 所以，又，所以. 【小问2详解】 由（1）得，则在上单调递减， 证明如下：任取，且， 则， 因为，且函数是增函数，所以， 所以，所以， 即， 所以在上单调递减. 【小问3详解】 因为，， 所以即， 令，因为，所以，不等式可化为， 整理得，设，则 因为， 且函数和在单调递增，所以在单调递增， 所以， 所以，即实数的取值范围是. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 天津市和平区2025-2026学年高一上学期1月期末 数学试题 第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共100分，时间100分钟. 第Ⅰ卷（选择题 共27分） 监测注意事项： 1.答第Ⅰ卷前，务必将自己的姓名、准考证号填涂在答题卡上. 2.每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动.用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号. 3.本卷共9小题，每小题3分，共27分. 一、单选题（在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 设集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 命题“，”的否定是（ ） A. “，” B. “，” C. “，” D. “，” 3. “”是“”（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 4. 已知某扇形的面积是5，半径为2，则该扇形的圆心角的弧度数为（ ） A. B. C. D. 5 5. 函数的零点所在的一个区间为（ ） A. B. C. D. 6. 若角的顶点与原点重合，它的始边与轴的非负半轴重合，它的终边上一点坐标为，则（ ） A B. C. D. 7. 若，，，则，，的大小关系为（ ） A. B. C. D. 8. 将函数（）的图象上所有点的横坐标变为原来的2倍，纵坐标不变，再将所得图象向左平行移动个单位长度，得到函数的图象.若函数为偶函数，则的值为（ ） A B. C. D. 9. 已知函数若，则实数的取值范围为（ ） A. B. C D. 第Ⅱ卷（非选择题 共73分） 监测注意事项： 1.用黑色墨水的钢笔或签字笔将答案写在答题卡上. 2.本卷共11小题，共73分. 二、填空题（本大题共6小题，每小题4分，共24分） 10. 函数的定义域为_____. 11. 若幂函数的图象过点，则________. 12. _____. 13. 若，则的最小值为_____. 14. 已知，则_____. 15. 已知定义域为函数，满足，且，若当时，，则当函数在区间上的零点个数最多时，所有零点之和为_____. 三、解答题（本大题共5小题，共49分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 16. （1）化简：，（式中字母均为正数）； （2）计算：. 17. 已知，. （1）求的值； （2）求的值. 18. 已知全集，若集合，（）. （1）若，求集合及； （2）若，求实数的取值范围. 19. 已知函数（，）的最小正周期为. （1）求函数的解析式； （2）求函数的对称轴方程与函数的单调递增区间； （3）当时，求函数的最小值以及取得最小值时的值. 20. 已知函数（，）的图象关于原点对称. （1）求实数的值； （2）判断函数的单调性，并用定义法进行证明； （3）若存在，使得成立，求实数的取值范围. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $