精品解析：四川成都市新都区润德英才学校2025-2026学年高二上学期期末考试数学试题

润德英才学校2024级高二上期期末考试 数 学试题 考试时间120分钟，满分150分 命题人：王开学 注意事项： 1.答题前，考生务必在答题卡上将自己的姓名、座位号、准考证号用0.5毫米的黑色签字笔填写清楚. 2.选择题使用2B铅笔填涂在答题卡上对应题目标号的位置上，如需改动，用橡皮擦擦干净后再填涂其它答案：非选择题用0.5毫米的黑色签字笔在答题卡的对应区域内作答，超出答题区域答题的答案无效；在草稿纸上、试卷上答题无效. 3.考试结束后由监考老师将答题卡收回. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 复数(其中为虚数单位)的虚部为（    ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用复数的乘方运算求出该复数，即得其虚部. 【详解】由，故该复数的虚部为4. 故选：C. 2. 从小到大排列的一组数据:80，86，90，96，110，120，126，134，则这组数据的下四分位数为（    ） A. 86 B. 88 C. 123 D. 126 【答案】B 【解析】 【分析】根据百分位数计算规则计算可得. 【详解】因为，所以这组数据的下四分位数为. 故选：B 3. 已知空间向量的夹角为60°，且，则（    ） A. B. 2 C. D. 7 【答案】A 【解析】 【分析】先利用向量数量积的定义式求出，再由向量数量积的运算律即可求得答案. 【详解】由题意，， 因， 故. 故选：A. 4. 下列直线中，倾斜角最大的是（    ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据各直线的方程求出其斜率，进而求得其倾斜角后比较即得. 【详解】对于A，由可得直线斜率为，直线的倾斜角为； 对于B，由可得直线斜率为，直线的倾斜角为； 对于C，由可得直线斜率为，直线的倾斜角为； 对于D，由可得直线斜率为，直线的倾斜角为. 因，故倾斜角最大的直线为. 故选：D. 5. 已知的斜边为，且，则直角顶点的轨迹方程为（   ） A. B. 且 C. 且 D. 且 【答案】D 【解析】 【分析】设点，利用的斜边为推得，借助于向量数量积的坐标运算由即得轨迹方程，去除不合题意的点即可. 【详解】设点，由题意，， 由，整理得， 因当时，，此时两点恰分别与点重合，故不合题意，应舍去. 即直角顶点的轨迹方程为且 故选：D. 6. 已知椭圆的左、右焦点分别为、，点是椭圆上一点（与点、不共线），则的周长为（   ） A. 20 B. 18 C. 16 D. 14 【答案】B 【解析】 【分析】根据椭圆的定义可计算周长. 【详解】由题意可得，，则，， 故的周长为. 故选：B 7. 甲袋中有8个白球、4个红球，乙袋中有6个白球、6个红球，这些小球除颜色外完全相同，从甲、乙两袋中各任取1个球，则取得同色球的概率为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】设从甲袋中任取1个球，事件A为“取得白球”，则事件为“取得红球”；从乙袋中任取1个球，事件为“取得白球”，则事件B为“取得红球”．因为事件A与B相互独立，所以事件与相互独立．所以从甲、乙两袋中各任取1个球，取得同色球的概率为． 8. 如图，已知双曲线 的左、右焦点分别为 ，过 作渐近线 的垂线交 于点 ，连接 交 于点 ，若 ，则 的离心率为（ ） A. B. C. 2 D. 【答案】A 【解析】 【分析】由点到直线的距离公式和勾股定理可得，再由正弦定理和双曲线的定义可得然后由余弦定理结合离心率的定义可得结果. 【详解】设 ，则 ， 从而 ， 由正弦定理，得 ，所以 ， 由余弦定理，得 ，化简得 ， 所以 . 故选 ：A. 【点睛】关键点点睛：本题的关键在于能利用正弦定理和双曲线的定义求出再结合余弦定理求出间关系. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求；全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知直线与抛物线有且只有一个公共点，则k的值可以是（    ） A. B. C. D. 【答案】ACD 【解析】 【分析】先判断直线经过定点，结合图象可得时直线与抛物线相交于一点，再由直线与抛物线方程联立，利用根的判别式等于0即可求得. 【详解】由直线方程可知直线经过定点， 而该点恰在抛物线的对称轴上，故时， 两者有且仅有一个公共点； 联立，消去，可得， 由，可得. 此时直线方程为与，恰与抛物线相切，两者有且仅有一个公共点. 故k的值可以是0，. 故选：ACD. 10. 若数据，，…，的平均数为2，方差为3，则（ ） A. 数据，，…，的平均数为20 B. C. 数据，，…，的方差为27 D. 【答案】BCD 【解析】 【分析】代入平均数，方差公式，即可求解. 【详解】A.由平均数公式可知数据，，…，的平均数为，故A错误； B. ,故B正确； C.由方差公式，可知数据，，…，的方差为，故C正确； D.， 得， ，解得， 即，故D正确. 故选：BCD 11. 已知，，点P满足．则（ ） A. 点P的轨迹为双曲线 B. 直线上存在满足题意的点P C. 满足的点P共有0个 D. 的周长的取值范围是 【答案】BCD 【解析】 【分析】由，，则再根据双曲线的定义可得点的轨迹方程是双曲线的右支判断A,联立方程组计算判断B,根据点到渐近线的距离判断C，转化的周长为，再结合三点共线判断D. 【详解】因为，， 所以点的轨迹是以为焦点，实轴长为的双曲线的右支， 所以，故， 所以的轨迹方程为，双曲线的右支，故A错误； 联立，解得（舍去）， 所以直线上存在满足题意的点，故B正确； 双曲线的渐近线方程为， 则点到渐近线的距离， 所以满足的点共有0个，故C正确； 因为即左焦点， 而， 因为，所以， 所以的周长为 ， 当且仅当三点共线时，等号成立， 所以的周长的取值范围是，故D正确. 故选：BCD. 【点睛】关键点点睛：解题的关键点是转化的周长为，再结合当三点共线时取得最小值. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知A,B为抛物线y2＝2x上两点,且A与B的纵坐标之和为4，则直线AB的斜率为________． 【答案】## 【解析】 【分析】设，运用点差法即可求得答案. 【详解】设，则（*）. 联立，两式相减，可得， 将（*）代入可得，变形即得直线AB的斜率为. 故答案为：. 13. 某校高二年级选择“理化生”，“理化地”，“史政地”和“史政生”组合的学生人数分别为480，40，120和80，现采用分层抽样的方法从这些学生中选出72人参加一项活动，则“史政生”组合中选出的学生人数为____________. 【答案】8 【解析】 【分析】由按比例分配的分层抽样方法中抽样比相等，解方程即可. 【详解】由题意，， 设在“史政生”组合中应选出的学生人数为， 则根据按比例分配分层抽样可得，解得. 故“史政生”组合中选出的学生人数为. 故答案为：. 14. 已知，是椭圆和双曲线的公共焦点，是它们的一个公共点，且，若和的离心率分别为，，则的取值范围是_______. 【答案】 【解析】 【分析】根据题意，不妨令焦点在轴，设出椭圆和双曲线的方程，根据垂直关系得到，然后结合三角函数，利用换元法表示出，结合辅助角公式即可求出最终结果. 【详解】由题意不妨设双曲线方程为， 椭圆方程为，， 则，，， 则，， 又，则， 化简可得，即， 设，，则， 设，，， 因为，， 所以， 即，解得， 则， 又，则， 所以，， 即的取值范围是. 故答案为： 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知圆C过点和点，且圆心C在直线上． （1）求圆C的方程； （2）已知直线与圆C相交于两点，求的值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）依题意，设，利用圆的弦的性质建立方程，化简计算即得圆C的方程； （2）利用（1）中求得的圆的方程，结合弦长公式计算即得. 【小问1详解】 由于圆C的圆心在直线上， 所以设， 因为圆C过点和点， 所以， 即，解得， 即圆心坐标为，所以半径， 所以圆C的方程为. 【小问2详解】 依题意，圆心到直线的距离， 因为直线与圆C相交于两点， 所以弦长. 16. 已知抛物线上一点与焦点的距离为4，点到轴的距离为. （1）求的方程； （2）点为的准线上一动点，直线（为坐标原点）与交于另一点，过点作轴的垂线与交于点.若，求的面积. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）设点，利用抛物线的焦半径公式结合题设条件列出方程求出的值，即得抛物线的方程； （2）设，，利用题设条件求出与，利用向量数量积的定义与坐标公式计算求得，根据三角形面积公式计算即可. 【小问1详解】 设点，由，得， 由点到轴的距离为，得， 又，则，解得， 所以抛物线的方程为. 【小问2详解】 不妨设点在第二象限，可设，，则， 将其与联立，解得，代入，可得，即得， 又轴，且点在抛物线上，故，代入，可得，即得， 则，由， 又，可得， 故的面积为. 17. 某学校为了了解同学们现阶段的视力情况，对全校高三学生的视力情况进行了调查，从中随机抽取了100名学生的体检表，对视力情况绘制了如下频率分布直方图．如图所示．从左至右五个小组的频率之比依次是． （1）求x的值； （2）估计该校学生视力的平均值； （3）用频率估计概率，若从样本中视力属于第3组至第5组的所有学生中随机抽取六名学生，求抽出的学生中有两名视力不低于的概率． 【答案】（1）；（2）0.66；（3）. 【解析】 【分析】 （1）从左至右五个小组的频率之比依次是，得出每组的频率，然后用第一组的频率比组距即可得到的值； （2）在频率分布直方图中，用每个区间的中点值乘以该组的频率求和便可得到平均值； （3）先计算出随机抽取六名学生时，第3组至第5组的学生人数，然后根据古典概型的计算方法求解抽出的学生中有两名视力不低于的概率. 【详解】解：（1）因为从左至右五个小组的频率之比依次是，故直方图中从左到右各组频率依次为，， ，， ，而组距为 故 （2）设该校学生视力平均值为，则 （3）由第3组至第5组的频率比为得，从第3组抽取的人数为3人，记为；从第4组抽取的人数为2人，记为；从第5组抽取的人数为1人，记为， 则从这6人中随机抽取两名学生的情况有： 共15种， 其中视力不低于0.8的有共3种， 故从样本中视力属于第3组至第5组的所有学生中随机抽取六名学生，抽出的学生中有两名视力不低于0.8的概率为. 【点睛】本题考查频率分布直方图的运用及古典概型概率的计算，解答的思路如下： （1）利用频率分布直方图估计样本的平均数时，只需利用每个区间的中点值乘以本组的频率一个求和即可； （2）计算古典概型时，可采用列举法、列表法或树状图法，得出基本事件的总个数及某事件成立时所包含的基本事件个数是关键. 18. 如图，在四棱锥中，平面平面，为棱的中点． （1）证明：平面； （2）若， （i）求平面PDM与平面BDM夹角的余弦值； （ii）在线段上是否存在点Q，使得点Q到平面的距离是？若存在，求出的值；若不存在，说明理由． 【答案】（1）证明：取的中点N，连接， 如图所示：为棱的中点，， ， ∴四边形是平行四边形，， 又平面平面平面． （2）（i）；（ii）存在， 【解析】 【分析】（1）取的中点，连接，，先证四边形是平行四边形，可知，再由线面平行的判定定理，即可得证； （2）先利用面面垂直的性质定理证明平面，再证，，两两垂直，然后以为坐标原点建立空间直角坐标系，（ⅰ）利用向量法求平面与平面的夹角即可；（ⅱ）设，利用向量法表示出点到平面的距离，可得关于的方程，解之即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 ， ∵平面平面，平面平面平面， 平面， 又平面，而，  ∴以点D为坐标原点，所在直线分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系， 如图：则， 为棱的中点，                      （i）， 设平面的一个法向量为， 则，令，则， 平面的一个法向量为，           ， ∴平面PDM与平面BDM的余弦值为； （ii）假设在线段上存在点Q，使得点Q到平面的距离是， 设，则，       由（2）知平面的一个法向量为，， ∴点Q到平面的距离是，  ． 19. 已知双曲线的左、右焦点分别为，，是的左顶点，的离心率为2．设过的直线交的右支于、两点，其中在第一象限． （1）求的标准方程； （2）若直线、分别交直线于、两点，证明：为定值； （3）是否存在常数，使得恒成立？若存在，求出的值；否则，说明理由． 【答案】（1）； （2） 由（1）中所求可得点，的坐标分别为， 又双曲线渐近线为，显然直线的斜率不为零， 故设其方程为，， 联立双曲线方程可得：， 设点的坐标分别为， 则， ， ； 又直线方程为：，令，则， 故点的坐标为； 直线方程为：，令，则， 故点的坐标为； 则 故为定值. （3）存在， 【解析】 【分析】（1）根据离心率，以及，结合，即可求得曲线方程； （2）设出直线的方程，联立双曲线方程，得到关于点坐标的韦达定理；再分别求得的方程，以及点的坐标，利用数量积的坐标运算，即可证明； （3）求得直线不存在斜率时满足的，当斜率存在时，将所求问题，转化为直线斜率之间的关系，结合点的坐标满足曲线方程，求解即可. 【小问1详解】 由题可得，故可得，则， 故的标准方程为. 【小问2详解】 略 【小问3详解】 当直线斜率不存在时， 对曲线，令，解得， 故点的坐标为，此时， 在三角形中，，故可得， 则存在常数，使得成立； 当直线斜率存在时， 不妨设点的坐标为，，直线的倾斜角为，直线的倾斜角为， 则，， 假设存在常数，使得成立，即， 则一定有：，也即； 又；； 又点的坐标满足，则， 故 ； 故假设成立，存在实数常数，使得成立； 综上所述，存在常数，使得恒成立. 【点睛】关键点点睛：本题考察双曲线中定值以及存在常数满足条件的问题；其中第二问证明的关键是能够快速，准确的进行计算；第三问处理的关键是要投石问路，找到特殊情况下的参数值，再验证非特殊情况下依旧成立，同时还要注意本小题中把角度关系，转化为斜率关系；属综合困难题. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 润德英才学校2024级高二上期期末考试 数 学试题 考试时间120分钟，满分150分 命题人：王开学 注意事项： 1.答题前，考生务必在答题卡上将自己的姓名、座位号、准考证号用0.5毫米的黑色签字笔填写清楚. 2.选择题使用2B铅笔填涂在答题卡上对应题目标号的位置上，如需改动，用橡皮擦擦干净后再填涂其它答案：非选择题用0.5毫米的黑色签字笔在答题卡的对应区域内作答，超出答题区域答题的答案无效；在草稿纸上、试卷上答题无效. 3.考试结束后由监考老师将答题卡收回. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 复数(其中为虚数单位)的虚部为（    ） A. B. C. D. 2. 从小到大排列的一组数据:80，86，90，96，110，120，126，134，则这组数据的下四分位数为（    ） A. 86 B. 88 C. 123 D. 126 3. 已知空间向量的夹角为60°，且，则（    ） A. B. 2 C. D. 7 4. 下列直线中，倾斜角最大的是（    ） A. B. C. D. 5. 已知的斜边为，且，则直角顶点的轨迹方程为（   ） A. B. 且 C. 且 D. 且 6. 已知椭圆的左、右焦点分别为、，点是椭圆上一点（与点、不共线），则的周长为（   ） A. 20 B. 18 C. 16 D. 14 7. 甲袋中有8个白球、4个红球，乙袋中有6个白球、6个红球，这些小球除颜色外完全相同，从甲、乙两袋中各任取1个球，则取得同色球的概率为（ ） A. B. C. D. 8. 如图，已知双曲线 的左、右焦点分别为 ，过 作渐近线 的垂线交 于点 ，连接 交 于点 ，若 ，则 的离心率为（ ） A. B. C. 2 D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求；全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知直线与抛物线有且只有一个公共点，则k的值可以是（    ） A. B. C. D. 10. 若数据，，…，的平均数为2，方差为3，则（ ） A. 数据，，…，的平均数为20 B. C. 数据，，…，的方差为27 D. 11. 已知，，点P满足．则（ ） A. 点P的轨迹为双曲线 B. 直线上存在满足题意的点P C. 满足的点P共有0个 D. 的周长的取值范围是 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知A,B为抛物线y2＝2x上两点,且A与B的纵坐标之和为4，则直线AB的斜率为________． 13. 某校高二年级选择“理化生”，“理化地”，“史政地”和“史政生”组合的学生人数分别为480，40，120和80，现采用分层抽样的方法从这些学生中选出72人参加一项活动，则“史政生”组合中选出的学生人数为____________. 14. 已知，是椭圆和双曲线的公共焦点，是它们的一个公共点，且，若和的离心率分别为，，则的取值范围是_______. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知圆C过点和点，且圆心C在直线上． （1）求圆C的方程； （2）已知直线与圆C相交于两点，求的值． 16. 已知抛物线上一点与焦点的距离为4，点到轴的距离为. （1）求的方程； （2）点为的准线上一动点，直线（为坐标原点）与交于另一点，过点作轴的垂线与交于点.若，求的面积. 17. 某学校为了了解同学们现阶段的视力情况，对全校高三学生的视力情况进行了调查，从中随机抽取了100名学生的体检表，对视力情况绘制了如下频率分布直方图．如图所示．从左至右五个小组的频率之比依次是． （1）求x的值； （2）估计该校学生视力的平均值； （3）用频率估计概率，若从样本中视力属于第3组至第5组的所有学生中随机抽取六名学生，求抽出的学生中有两名视力不低于的概率． 18. 如图，在四棱锥中，平面平面，为棱的中点． （1）证明：平面； （2）若， （i）求平面PDM与平面BDM夹角的余弦值； （ii）在线段上是否存在点Q，使得点Q到平面的距离是？若存在，求出的值；若不存在，说明理由． 19. 已知双曲线的左、右焦点分别为，，是的左顶点，的离心率为2．设过的直线交的右支于、两点，其中在第一象限． （1）求的标准方程； （2）若直线、分别交直线于、两点，证明：为定值； （3）是否存在常数，使得恒成立？若存在，求出的值；否则，说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $