精品解析：四川自贡市部分学校2025-2026学年高三上学期期末检测数学试题

高三数学检测 注意事项： 1.答题前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 4.本试卷主要考试内容：高考全部内容. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符题目要求的. 1. 若复数，，，则的（ ） A. 实部为 B. 虚部为 C. 实部为6 D. 虚部为 【答案】D 【解析】 【分析】先计算两个复数的和，再根据结果确定它的实部和虚部. 【详解】因为，所以的实部为，虚部为. 故选： 2. 某京剧团推出“云赏国潮”全息投影演出，引起了广泛关注.主办方为了调研不同观演模式的体验，现采用分层随机抽样的方法从线下现场观众人、VR全景云包厢观众500人线上直播观众1500人中抽取60人进行回访，则应从线下现场观众中抽取的人数为（ ） A. 10 B. 15 C. 20 D. 30 【答案】C 【解析】 【分析】根据分层抽样的性质进行求解即可. 【详解】因为进行分层抽样， 所以应从线下现场观众中抽取的人数为. 故选：C 3. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先求解出各个集合，再利用集合并集与补集的混合运算求解即可. 【详解】令，解得，则， 可得， 因为，所以，故B正确. 故选：B 4. 设为双曲线：的右支上一点，的左、右焦点分别为，，且，若为坐标原点，为线段的中点，则（ ） A. B. C. D. 1 【答案】C 【解析】 【分析】根据双曲线的定义和三角形中位线定理进行求解即可. 【详解】本题考查双曲线的定义与几何性质，考查直观想象与数学运算的核心素养. 依题意得. 因为， 所以，故. 故选：C 5. 在棱长为2的正方体中，棱，的中点分别为，，且点在侧面内，若平面，则点的轨迹长度为（ ） A. B. 2 C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先取的中点，证明线面平行得出面面平行即可得出平面，再根据轨迹应用勾股定理计算求解. 【详解】取的中点，连接， 因为，所以是平行四边形， 所以平面，不在平面内，所以平面， 同理可得平面， 平面， 所以平面平面， 则当点在线段上时，平面， 所以点的轨迹长度为. 故选：C. 6. 若函数有2个零点，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先分析函数在不同区间上的零点情况，根据函数有2个零点确定的取值范围，进而求出的取值范围. 【详解】设函数，因为函数有2个零点，所以有两解. 有两解，即的图象与的图象有2个公共点. 作出的大致图象，如图所示： 由图可知，当时，直线与的图象有2个公共点. 所以的取值范围是. 故选：D 7. 数列的前100项和为（ ） A. 15150 B. 10100 C. 16000 D. 11000 【答案】A 【解析】 【分析】运用平方差公式，结合等差数列前项和公式进行求解即可. 【详解】数列的前100项和为 . 故选：A 8. 已知函数的值域是，则（ ） A. 1 B. C. D. 2 【答案】A 【解析】 【分析】利用数形结合，把分式看成动点到定点的斜率，然后通过代数法来求切线斜率，即可得到函数值域. 【详解】因为，且，所以函数的定义域为． 设，，则是直线的斜率． 点是半圆上的动点．如图， 设点，则． 设切线的方程为，即． 由圆心到切线的距离，解得（舍去）或． 由图可知，即的值域为， 则． 故选：A. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 在平行四边形ABCD中，，为线段CD的中点，则（ ） A. B. 当时， C. 不可能大于 D. 当且时，的最小值为4 【答案】ABD 【解析】 【分析】对于选项A，根据向量加法运算判断；对于选项B，根据向量的数量积运算判断；对于选项C，根据三角形中大边对大角判断；对于选项D，先用表示出，再利用基本不等式判断. 【详解】因为为线段CD的中点，所以，A正确； 当时，，B正确； 因为，所以，所以当时，， 根据大边对大角，所以，而， 所以，C错误； ， 当时，，则， 当且仅当时，等号成立，D正确. 故选：ABD 10. 在正三棱锥中，，则（ ） A. PA的取值范围是 B. 当时，平面平面PAC C. 当时，二面角的正切值为2 D. 当时，正三棱锥外接球的表面积为 【答案】BC 【解析】 【分析】应用三棱锥的几何特征计算判断A，应用线面垂直判定定理得出平面PAC，进而得出面面垂直判断B，应用二面角定义得出角结合边长计算判断C，应用外接球表面积公式计算判定D. 【详解】如图，设点在底面的射影为点，则点为正三角形ABC的中心，连接AH，PH， 则，，A错误. 当时，，则，同理可得， 因为平面，所以平面， 又平面PAB，所以平面平面，B正确. 取AB的中点，连接CN，PN，则，， 所以是二面角的平面角，， 当时，， 则，C正确. 设正三棱锥外接球的球心为，外接球的半径为， 则在直线PH上，当时，，由， 解得，则球的表面积为，D错误. 故选：BC. 11. 已知曲线：，点，，，，，，为上关于轴对称的两点，则（ ） A. 由两个离心率相等的椭圆组成 B. 经过点的直线与有4个公共点 C. 存在四个点，使得 D. 当为正三角形时，点到直线MN的距离的最大值为 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据乘法的性质，结合椭圆的定义、离心率公式、一元二次方程根的判别式、数形结合思想逐一判断即可. 【详解】由，得或， 所以由椭圆与椭圆组成， ，是的两个焦点，，是的两个焦点， 由图可知，与有4个交点，所以存在四个点， 使得，且，故C正确； 与的离心率均为，故A正确； 当直线经过点时，即， 代入，得， 因为，所以直线与相切， 且切点不在上，易知直线与相交， 所以经过点的直线与有3个公共点，故B错误. 不妨设在的左边，当为正三角形时，直线DM的倾斜角为， 则直线DM的方程为，由图可知，当在的下半部分时，的周长最大， 将代入，得，解得， 所以点到直线MN的距离的最大值为，D正确. 故选：ACD 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 四川火锅以麻、辣、鲜、香著称，是四川的美食代表.某四川火锅店的一桌食客选择了麻辣汤底，食材需由食客自行挑选，这桌食客要从牛肉、鸭肠、羊肉、毛肚、黄喉、耗儿鱼、虾滑、鸭血、黄腊丁中选6种，从菠菜、娃娃菜、豆芽、土豆、藕片、莴笋、冬瓜、蘑菇、豆腐皮、山药中选8种，则这桌食客的食材选择共有______种. 【答案】3780 【解析】 【分析】根据实际问题中的组合计数计算直接求出结果即可. 【详解】依题意，得这桌食客的食材选择共有. 故答案为：3780 13. 在中，，，，则BC边上的高为______. 【答案】 【解析】 【分析】先用余弦定理算出边长，再利用等面积法求出边上的高. 【详解】由余弦定理得， 则. 设BC边上的高为，由等面积法可得， 则. 故答案为： 14. 若曲线与曲线有三条公切线，则的取值范围是______. 【答案】 【解析】 【分析】分别求出两条曲线的导数，设出公切线与两条曲线的切点，根据导数的几何意义写出切线方程，再根据两条切线方程相同列出等式，最后通过构造函数，利用函数的单调性和极值来确定的取值范围. 【详解】设，，则，. 设公切线与曲线切于点，与曲线切于点， 则公切线的斜率，消去，得. 因为，所以，即， 将其代入并分离参数，得. 令，则， 则在上单调递减，在上单调递增，在上单调递减， 则的极小值为，极大值为. 当时，，当时，. 因为曲线与曲线有三条公切线， 所以关于的方程恰有3个不同的实数解， 则，即. 故答案为： 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知函数. （1）求； （2）求的最小值； （3）求图象的对称中心的坐标. 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据题意，化简得到，代入即可求解； （2）由（1）中函数的解析式，结合三角函数的最值，即可求解； （3）由（1）中函数的解析式，结合三角函数的性质，即可求解. 【小问1详解】 因为 ， 所以. 【小问2详解】 . 当时，取得最小值，且最小值为. 【小问3详解】 令， 得， 所以图象的对称中心的坐标为. 16. 近年来，智能仓储机器人系统广泛应用于物流分拣领域.在某智能仓库中，两个机器人A和B需协同完成货物搬运任务.已知机器人A单独在单位时间内成功搬运货物的概率，机器人B单独在单位时间内成功搬运货物的概率.当这两个机器人同时工作时，系统会赋予一个“协同增益系数”，该系数体现了机器人协同工作的效率提升效果，在单位时间内至少有一个机器人成功搬运的概率. （1）若机器人A，B各自独立参与货物的搬运，设在单位时间内成功搬运货物的机器人个数为，求的均值； （2）在（1）的条件下，设，若是的倍，求的近似值（结果精确到整数）. 【答案】（1） （2）7 【解析】 【分析】（1）运用相互独立事件的概率公式和随机变量的均值公式进行求解即可； （2）根据题中定义，结合（1）的结论进行求解即可. 【小问1详解】 的所有可能取值为0，1，2， . ， ， 故. 【小问2详解】 由（1）知. 因为， 所以， 故的近似值为7. 17. 如图，在四棱锥中，AB，AD，AE两两垂直，，，且. （1）证明：平面平面ABCD. （2）设，三棱锥的体积为. （ⅰ）求的单调区间； （ⅱ）当取得最大值时，求直线BD与平面CDE所成角的正弦值. 【答案】（1） 因为AB，AD，AE两两垂直，且，平面ABCD， 所以平面ABCD， 又因为平面ACE，所以平面平面ABCD. （2）（ⅰ）单调递增区间为，单调递减区间为；（ⅱ） 【解析】 【分析】（1）利用线面垂直证明面面垂直即可； （2）（ⅰ）利用三棱锥体积公式，结合导数来确定单调区间； （ⅱ）利用空间向量的运算来求线面角正弦值即可. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 （ⅰ）因为，，所以. 因为，所以，. 由平面ABCD，得， 则， 当时，，当时，， 所以的单调递增区间为，单调递减区间为. （ⅱ）由（ⅰ）知，，此时，，，. 以为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系， 则，，，， 则，，. 设平面CDE的法向量为. 则，， 令，得. 设直线BD与平面CDE所成的角为， 则. 18. 已知抛物线：的准线方程为. （1）求的方程. （2）过点且斜率为的直线与交于，两个不同的点，为坐标原点. （ⅰ）求的取值范围； （ⅱ）若，求的取值范围； （ⅲ）过点作轴的垂线，交直线于点，证明：线段的中点在一条定直线上. 【答案】（1） （2）（ⅰ）； （ⅱ）； （ⅲ） 因为直线OB的方程为， 所以点的坐标为， 设线段AD的中点为，则，， 则 ， 所以点在直线上，故线段AD的中点在一条定直线上. 【解析】 【分析】（1）根据抛物线标准方程求解即可； （2）（ⅰ）直线与抛物线有两个交点，利用判别式求解即可；（ⅱ）表示，利用的取值范围求解即可；（ⅲ）利用设点和韦达定理，可求解的中点坐标的关系，即可证明. 【小问1详解】 根据题意可知准线方程为，即的准线方程为， 所以，即， 所以， 则抛物线的方程为：； 【小问2详解】 （ⅰ）依题意得直线的方程为， 当时，直线与抛物线只有一个交点，不符合题意， 当时，代入， 得， 则且，解得且， 所以的取值范围是； （ⅱ）设，，根据（ⅰ），利用韦达定理可得： ，， 所以， 代入可得：； 若，即，则， 所以 ， 即的取值范围是； （ⅲ）略 19. 已知等差数列的首项为1，正项等比数列的首项为2，且，. （1）求和的通项公式； （2）若，，求的取值范围； （3）设，证明：. 【答案】（1），； （2）； （3） 先证当时，． 设，令，得， 即，即,即. 当时，，所以当时，． 因为，且当时，， 所以． , 由（2）可知，当时，，即, 取，可得 ， 当时,, 所以 【解析】 【分析】（1）根据等差数列和等比数列通项公式得到方程组，解出即可； （2）设，求导后对分类讨论即可； （3）设，解不等式，从而得到结论当时，，再根据（2）中结论得，取，最后利用等比数列求和公式即可证明不等式. 【小问1详解】 设的公差为，的公比为， 则，解得或. 因为，所以，所以 故，. 【小问2详解】 设，则. ，等价于. 当时，单调递增，故； 若，则，， 所以单调递增，，符合题意. 若，则在上有唯一零点， 当时，，则单调递减，，不符合题意. 综上，的取值范围是. 【小问3详解】 略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 高三数学检测 注意事项： 1.答题前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 4.本试卷主要考试内容：高考全部内容. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符题目要求的. 1. 若复数，，，则的（ ） A. 实部为 B. 虚部为 C. 实部为6 D. 虚部为 2. 某京剧团推出“云赏国潮”全息投影演出，引起了广泛关注.主办方为了调研不同观演模式的体验，现采用分层随机抽样的方法从线下现场观众人、VR全景云包厢观众500人线上直播观众1500人中抽取60人进行回访，则应从线下现场观众中抽取的人数为（ ） A. 10 B. 15 C. 20 D. 30 3. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 4. 设为双曲线：的右支上一点，的左、右焦点分别为，，且，若为坐标原点，为线段的中点，则（ ） A. B. C. D. 1 5. 在棱长为2的正方体中，棱，的中点分别为，，且点在侧面内，若平面，则点的轨迹长度为（ ） A. B. 2 C. D. 6. 若函数有2个零点，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 7. 数列的前100项和为（ ） A. 15150 B. 10100 C. 16000 D. 11000 8. 已知函数的值域是，则（ ） A. 1 B. C. D. 2 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 在平行四边形ABCD中，，为线段CD的中点，则（ ） A. B. 当时， C. 不可能大于 D. 当且时，的最小值为4 10. 在正三棱锥中，，则（ ） A. PA的取值范围是 B. 当时，平面平面PAC C. 当时，二面角的正切值为2 D. 当时，正三棱锥外接球的表面积为 11. 已知曲线：，点，，，，，，为上关于轴对称的两点，则（ ） A. 由两个离心率相等的椭圆组成 B. 经过点的直线与有4个公共点 C. 存在四个点，使得 D. 当为正三角形时，点到直线MN的距离的最大值为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 四川火锅以麻、辣、鲜、香著称，是四川的美食代表.某四川火锅店的一桌食客选择了麻辣汤底，食材需由食客自行挑选，这桌食客要从牛肉、鸭肠、羊肉、毛肚、黄喉、耗儿鱼、虾滑、鸭血、黄腊丁中选6种，从菠菜、娃娃菜、豆芽、土豆、藕片、莴笋、冬瓜、蘑菇、豆腐皮、山药中选8种，则这桌食客的食材选择共有______种. 13. 在中，，，，则BC边上的高为______. 14. 若曲线与曲线有三条公切线，则的取值范围是______. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知函数. （1）求； （2）求的最小值； （3）求图象的对称中心的坐标. 16. 近年来，智能仓储机器人系统广泛应用于物流分拣领域.在某智能仓库中，两个机器人A和B需协同完成货物搬运任务.已知机器人A单独在单位时间内成功搬运货物的概率，机器人B单独在单位时间内成功搬运货物的概率.当这两个机器人同时工作时，系统会赋予一个“协同增益系数”，该系数体现了机器人协同工作的效率提升效果，在单位时间内至少有一个机器人成功搬运的概率. （1）若机器人A，B各自独立参与货物的搬运，设在单位时间内成功搬运货物的机器人个数为，求的均值； （2）在（1）的条件下，设，若是的倍，求的近似值（结果精确到整数）. 17. 如图，在四棱锥中，AB，AD，AE两两垂直，，，且. （1）证明：平面平面ABCD. （2）设，三棱锥的体积为. （ⅰ）求的单调区间； （ⅱ）当取得最大值时，求直线BD与平面CDE所成角的正弦值. 18. 已知抛物线：的准线方程为. （1）求的方程. （2）过点且斜率为的直线与交于，两个不同的点，为坐标原点. （ⅰ）求的取值范围； （ⅱ）若，求的取值范围； （ⅲ）过点作轴的垂线，交直线于点，证明：线段的中点在一条定直线上. 19. 已知等差数列的首项为1，正项等比数列的首项为2，且，. （1）求和的通项公式； （2）若，，求的取值范围； （3）设，证明：. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $