精品解析：广东惠州市2025-2026学年秋季学期期末教学质量诊断 九年级数学试卷

2025-2026学年秋季学期期末教学质量诊断九年级数学试卷 说明：全卷共6页，考试时间为120分钟，满分120分 一、选择题：本大题共10小题，每小题3分，共30分，在每小题给出的4个选项中只有一个是正确的，请将所选选项的字母填在题目后面的括号内． 1. 下列图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 下列方程中，是一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 3. 汉语是中华民族智慧的结晶，成语又是汉语中的精华，是中华文化的一大瑰宝，具有极强的表现力．下列成语描述的事件属于随机事件的是（ ） A. 旭日东升 B. 画饼充饥 C. 守株待兔 D. 竹篮打水 4. 下列各点中与点关于原点对称的是（ ） A. B. C. D. 5. 把抛物线向左平移2个单位，再向上平移3个单位，得到的抛物线是（ ） A. B. C. D. 6. 如图，已知四边形是的内接四边形，若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 7. 如图，在平行四边形中，点E在边上，连接交对角线于点F，若，则（ ）． A. B. C. D. 8. 蜂巢结构精巧，其巢房横截面的形状均为正六边形．如图是其中一个正六边形，将其放在平面直角坐标系中，点B，C，D均为正六边形的顶点且在坐标轴上，若正六边形的边长是2，则点A的坐标为（ ） A. B. C. D. 9. 在认识圆锥主题活动课上，芳芳用半径，圆心角的扇形纸板，做了一个圆锥形的生日帽，如图所示．在不考虑接缝的情况下，这个圆锥形生日帽的高是（ ） A. B. C. D. 10. 如图，在平面直角坐标系中，为坐标原点，点A，B在函数的图象上，过点作轴于点，过点作轴于点，连接，若，且四边形的面积为20，则的值为（ ） A. 10 B. 12 C. 16 D. 20 二、填空题：本大题共5小题，每小题3分，共15分．请将下列各题的正确答案填写在横线上． 11. 抛物线的顶点坐标是______． 12. 深中通道是一条连接深圳市和中山市的跨海通道，全长约24千米，集“桥、岛、隧、水下互通”于一体，是连接粤港澳大湾区的重要交通枢纽．汽车沿深中通道从深圳驶往中山，汽车行驶完全程所需的时间与行驶的平均速度之间的函数关系式是___________． 13. 已知关于x的方程有两个不相等的实数根，则k的取值范围是_______． 14. 如图，，为与的交点，点在上，若，，则_____． 15. 杭州西湖十景是杭州市西湖上的十处特色风景，一游客在去西湖游玩时买了一把印有西湖十景的折扇，打开后，如图，小扇形的半径为，弧长为，大扇形的半径为，扇面的宽度为，则扇面的面积（阴影部分）是______（结果保留 π）． 三、解答题（一）：本大题共3小题，每题7分，共21分． 16. 解方程： 17. 如图，在平面直角坐标系中，三个顶点的坐标分别为，，． （1）画出绕坐标原点顺时针旋转的； （2）在（1）的条件下，求点旋转到所经过的路径长． 18. 如图，为的直径，为上一点，与过点的直线互相垂直，垂足为，平分． （1）求证：为的切线． （2）连接，若，，求的半径． 四、解答题（二）：本大题共3小题，每小题9分，共27分． 19. 为落实国家“双减”政策，某中学开展了“音乐社团、体育社团、文学社团、美术社团”活动．该校从全校3000名学生中随机抽取了部分学生进行“你最喜欢哪一种社团活动（每人必选且只选一种）”的问卷调查，根据调查结果，绘制了如图所示的两幅不完整的统计． 根据图中信息，解答下列问题 （1）参加问卷调查的学生共有_______人； （2）条形统计图中m的值为________，扇形统计图中a的度数为_______； （3）根据调查结果，可估计该校3000名学生中最喜欢“音乐社团”的约有________人； （4）现从“文学社团”里表现优秀甲、乙、丙、丁四名同学中随机选取两名参加演讲比赛，请用列表或画树状图的方法求出恰好选中甲和乙两名同学的概率． 20. 某社区为了解决停车难的问题，利用一块矩形空地建了一个小型停车场，其布局如图所示．已知，阴影部分设计为停车位，要铺花砖，其余部分均为宽度为x米的道路．已知铺花砖的面积为． （1）求道路的宽是多少米? （2）该停车场共有车位45个，据调查分析，当每个车位的月租金为300元时，可全部租出．若每个车位的月租金每上涨10元，就会少租出1个车位．政府规定月租车位租金最高限价为350元，请你帮忙确定月租金为多少元时，停车场月租收益最大，并求出最大收益． 21. 综合与实践 【知识背景】（杠杆原理：动力×动力臂=阻力×阻力臂，如图1，即有言道：“杆秤一头称起人间生计，一头称起天地良心．”小明利用杠杆原理制作了一个称量物体质量的简易“秤”（如图2）． 【方案设计】 第一步：在一根长度为50cm的匀质细木杆上标上均匀的刻度（单位长度1cm），在左侧末端处固定一个金属吊钩，作为秤钩，在离左侧末端10cm处确定支点，并用细麻绳固定； 第二步：取一个质量为1kg的金属物体作为秤砣．（备注：秤钩与秤砣绳长的重量忽略不计） 任务一：在图2中，把重物挂在秤钩上，秤砣挂在支点右侧的处，秤杆平衡，就能称得重物的质量．当重物的质量变化时，的长度随之变化．设重物的质量为的长为． （1）关于的函数解析式是___________； （2）若，则的取值范围是___________． 任务二：调换秤砣与重物的位置，把秤砣挂在秤钩上，重物挂在支点右侧的处，使秤杆平衡，如图3，设重物的质量为的长为，完成下列问题： （3）求关于的函数解析式； 任务三：如图4，在离左侧末端5cm处确定第二个支点，现有两个秤砣分别为、可用，现有重物约，小明该如何选用支点、支点和秤砣来称量重物是否正好为． 五、解答题（三）：本大题共2小题，第22题13分，第23每小题14分，共27分． 22. 如图1，点A，B，C都在上，且平分，交于点． （1）求证：是等腰三角形． （2）如图2，是的直径，与AD相交于点． ①若，，求的半径． ②若于点H，求证：． 23. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线与直线交于点，． （1）求该抛物线的函数解析式； （2）如图①，若点H是抛物线的顶点，在x轴上存在一点G，使的周长最小，求此时点G的坐标． （3）如图②，点P为直线下方抛物线上的一动点，过点P作交于点M，过点P作y轴的平行线交x轴于点N，求的最大值及此时点P的坐标． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年秋季学期期末教学质量诊断九年级数学试卷 说明：全卷共6页，考试时间为120分钟，满分120分 一、选择题：本大题共10小题，每小题3分，共30分，在每小题给出的4个选项中只有一个是正确的，请将所选选项的字母填在题目后面的括号内． 1. 下列图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了中心对称图形和轴对称图形的定义，如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形；中心对称图形的定义：把一个图形绕着某一个点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点就是它的对称中心．根据轴对称图形和中心对称图形的定义进行逐一判断即可． 【详解】解：A、该图形是轴对称图形，不是中心对称图形，故不符合题意； B、该图形不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故不符合题意； C、该图形既是轴对称图形，也是中心对称图形，故符合题意； D、该图形不是轴对称图形，是中心对称图形，故不符合题意． 故选：C． 2. 下列方程中，是一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】此题主要考查一元二次方程的识别，解题的关键是熟知一元二次方程的定义； 根据只含有一个未知数，且含未知数的最高项的次数为2的整式方程是一元二次方程进行判断即可． 【详解】解：A、是二元一次方程，故本选项不符合题意； B、是分式方程，故本选项不符合题意； C、含有两个元，故本选项不符合题意； D、是一元二次方程，故本选项符合题意； 故选：D． 3. 汉语是中华民族智慧的结晶，成语又是汉语中的精华，是中华文化的一大瑰宝，具有极强的表现力．下列成语描述的事件属于随机事件的是（ ） A. 旭日东升 B. 画饼充饥 C. 守株待兔 D. 竹篮打水 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了事件的分类，一定会发生的事件是必然事件，一定不会发生的事件是不可能事件，可能会发生的事件是随机事件，据此判定即可求解，理解以上定义是解题的关键． 【详解】解：A. 旭日东升是必然事件； B. 画饼充饥是不可能事件； C. 守株待兔是随机事件； D. 竹篮打水是不可能事件； 故选：C． 4. 下列各点中与点关于原点对称的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】直接利用关于原点对称点的性质：关于原点对称的点的坐标为得出答案． 【详解】解：与点关于原点对称的点的坐标是：． 故选：B． 【点睛】本题主要考查了关于点对称点的性质，正确记忆横纵坐标的符号是解题关键． 5. 把抛物线向左平移2个单位，再向上平移3个单位，得到的抛物线是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据抛物线平移规则“左加右减，上加下减”进行变换．本题考查抛物线平移的规律，掌握“左加右减，上加下减”是关键． 【详解】解：原抛物线为． ∵向左平移2个单位， ∴，得． ∵向上平移3个单位， ∴整体加3，得． ∴得到的抛物线是． 故选：C． 6. 如图，已知四边形是的内接四边形，若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查的是圆内接四边形的性质、圆周角定理，掌握圆内接四边形的对角互补是解题的关键． 根据圆周角定理求出，根据圆内接四边形的性质计算，得到答案． 【详解】解：由圆周角定理得，， 四边形是的内接四边形， ， 故选：B． 7. 如图，在平行四边形中，点E在边上，连接交对角线于点F，若，则（ ）． A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查的是平行四边形的性质和相似三角形相似比与面积比的关系，能够知道相似三角形的面积比等于相似比的平方是解题的关键． 根据平行四边形的性质得到，，根据相似三角形的面积比等于相似比的平方计算，得到答案． 【详解】解：∵， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴，， ∴， ∴， 故选：D． 8. 蜂巢结构精巧，其巢房横截面的形状均为正六边形．如图是其中一个正六边形，将其放在平面直角坐标系中，点B，C，D均为正六边形的顶点且在坐标轴上，若正六边形的边长是2，则点A的坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】此题主要考查了正多边形和圆，同时也利用了坐标与位置的关系，解题的关键是利用正多边形的知识求出线段长度．如图，过作轴于，利用正六边形的性质可以得到，，，由此即可求解． 【详解】解：如图，过作轴于， 巢房横截面的形状均为正六边形，在轴上， ，，， 而正六边形的边长是2， ，，， 则点的坐标为． 故选：C． 9. 在认识圆锥主题活动课上，芳芳用半径，圆心角的扇形纸板，做了一个圆锥形的生日帽，如图所示．在不考虑接缝的情况下，这个圆锥形生日帽的高是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先利用弧长公式得到圆心角为，半径为的扇形的弧长为(cm)，根据圆锥的侧面展开图为扇形，扇形的弧长等于圆锥的底面圆的周长，则可计算出圆锥的底面圆的半径为，然后根据勾股定理可计算出圆锥的高．本题考查了圆锥的计算：圆锥的侧面展开图为扇形，扇形的弧长等于圆锥的底面圆的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长．也考查了弧长公式和勾股定理． 【详解】∵半径，圆心角的扇形纸板， ∴扇形的弧长为(cm)， 设圆锥的底面圆半径为r， ∴， 解得， 故圆锥的高为：， 故选B． 10. 如图，在平面直角坐标系中，为坐标原点，点A，B在函数的图象上，过点作轴于点，过点作轴于点，连接，若，且四边形的面积为20，则的值为（ ） A. 10 B. 12 C. 16 D. 20 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了反比例函数系数k的几何意义及反比例函数图象上点的坐标特点，设，则，进而求出，再根据四边形的面积为20得到，解方程即可得到答案． 【详解】解：设， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵四边形的面积为20， ∴， ∴， ∴， ∴． 故选：C． 二、填空题：本大题共5小题，每小题3分，共15分．请将下列各题的正确答案填写在横线上． 11. 抛物线的顶点坐标是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的顶点式，根据二次函数的顶点式的顶点坐标为，即可求解，掌握二次函数的顶点式是解题的关键． 【详解】解：抛物线的顶点坐标是， 故答案为：． 12. 深中通道是一条连接深圳市和中山市的跨海通道，全长约24千米，集“桥、岛、隧、水下互通”于一体，是连接粤港澳大湾区的重要交通枢纽．汽车沿深中通道从深圳驶往中山，汽车行驶完全程所需的时间与行驶的平均速度之间的函数关系式是___________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了列反比例函数关系式． 根据路程、速度和时间的关系，时间等于路程除以速度． 【详解】解：由题意，路程，速度，时间， 根据公式，得． 故答案为：． 13. 已知关于x的方程有两个不相等的实数根，则k的取值范围是_______． 【答案】#### 【解析】 【分析】利用判别式的意义得到Δ＝（﹣3）2﹣4•k＞0，然后解不等式即可． 【详解】解：根据题意得Δ＝（﹣3）2﹣4•k＞0， 解得． 故答案为：． 【点睛】本题考查了根的判别式，解题的关键是掌握一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根与Δ＝b2﹣4ac有如下关系：当Δ＞0时，方程有两个不相等的实数根；当Δ＝0时，方程有两个相等的实数根；当Δ＜0时，方程无实数根． 14. 如图，，为与的交点，点在上，若，，则_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的判定和性质，比例的性质，由得，由得，即得，据此即可求解，掌握以上知识点是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴ ∴， ∴， 故答案为：． 15. 杭州西湖十景是杭州市西湖上的十处特色风景，一游客在去西湖游玩时买了一把印有西湖十景的折扇，打开后，如图，小扇形的半径为，弧长为，大扇形的半径为，扇面的宽度为，则扇面的面积（阴影部分）是______（结果保留 π）． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了求扇形面积，先根据小扇形的半径为，弧长为，求出D的度数，根据列式代入数值进行计算，即可作答． 【详解】解：设 ∵小扇形的半径为，弧长为， ∴， 则， 则， ∵大扇形的半径为，扇面的宽度为， ∴， 则 故答案为： 三、解答题（一）：本大题共3小题，每题7分，共21分． 16. 解方程： 【答案】， 【解析】 【分析】本题主要考查因式分解法解一元二次方程，熟练掌握该知识点是解题关键． 利用因式分解法解一元二次方程即可． 【详解】解： ， 17. 如图，在平面直角坐标系中，三个顶点的坐标分别为，，． （1）画出绕坐标原点顺时针旋转的； （2）在（1）的条件下，求点旋转到所经过的路径长． 【答案】（1） 如图，即为所求； （2）． 【解析】 【分析】本题考查了求弧长，用勾股定理解直角三角形，画旋转图形等知识点，解题关键是掌握上述知识点并能运用求解． （1）根据旋转方向与角度，画出图形即可； （2）先求得，再利用弧长公式求解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵， ∴， ∴所经过的路径长的长． 18. 如图，为的直径，为上一点，与过点的直线互相垂直，垂足为，平分． （1）求证：为的切线． （2）连接，若，，求的半径． 【答案】（1） 证明：如图，连接， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴为的切线； （2） 【解析】 【分析】（1）连接，利用角平分线的性质及同圆半径相等的性质求出，得到，即可得到得到结论； （2）利用直径定理得出，然后利用含30度的直角三角形性质求解即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：如图所示， ∵在中，，， ∴， ∵为圆的直径， ∴， 又∵， ∴，， ∴， ∴， ∴的半径为． 【点睛】此题考查角平分线的性质定理，圆的切线的判定定理，含角的直角三角形，正确连接辅助线解题是此题的关键． 四、解答题（二）：本大题共3小题，每小题9分，共27分． 19. 为落实国家“双减”政策，某中学开展了“音乐社团、体育社团、文学社团、美术社团”活动．该校从全校3000名学生中随机抽取了部分学生进行“你最喜欢哪一种社团活动（每人必选且只选一种）”的问卷调查，根据调查结果，绘制了如图所示的两幅不完整的统计． 根据图中信息，解答下列问题 （1）参加问卷调查的学生共有_______人； （2）条形统计图中m的值为________，扇形统计图中a的度数为_______； （3）根据调查结果，可估计该校3000名学生中最喜欢“音乐社团”的约有________人； （4）现从“文学社团”里表现优秀甲、乙、丙、丁四名同学中随机选取两名参加演讲比赛，请用列表或画树状图的方法求出恰好选中甲和乙两名同学的概率． 【答案】（1）300 （2）55， （3）500 （4） 【解析】 【分析】本题考查条形图和扇形图的综合应用，利用样本估计总体，树状图法求概率： （1）的人数除以所占的比例求出总人数； （2）总数减去其他组的人数求出的值，360度乘以组人数所占的比例求出圆心角的度数； （3）利用样本估计总体的思想进行求解即可； （4）画出树状图，利用概率公式进行求解即可． 【小问1详解】 解：（人）， 参加问卷调查的学生共有300人． 【小问2详解】 由题意得：，． 【小问3详解】 （人）， 估计该校3000名学生中最喜欢“音乐社团”的约有500人． 【小问4详解】 设甲、乙、丙、丁四名同学分别用A，B，C，D表示，根据题意可画树状图或列表如下： 由上图或上表可知，共有12种等可能的结果，符合条件的结果有2种， 故恰好选中甲、乙两名同学的概率为． 20. 某社区为了解决停车难的问题，利用一块矩形空地建了一个小型停车场，其布局如图所示．已知，阴影部分设计为停车位，要铺花砖，其余部分均为宽度为x米的道路．已知铺花砖的面积为． （1）求道路的宽是多少米? （2）该停车场共有车位45个，据调查分析，当每个车位的月租金为300元时，可全部租出．若每个车位的月租金每上涨10元，就会少租出1个车位．政府规定月租车位租金最高限价为350元，请你帮忙确定月租金为多少元时，停车场月租收益最大，并求出最大收益． 【答案】（1）道路的宽是米 （2）月租金定为元，停车场的月租金收入最大为元 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程和二次函数的应用，读懂题目的意思，根据题目给出的条件，列出方程和函数是解题关键． （1）设道路的宽为米，根据题意列出方程并解答即可； （2）设车位的月租金为元，根据：月租金每个车位的月租金车位数，列出二次函数解析式并根据二次函数的性质解答即可． 【小问1详解】 解：设道路的宽为米， 根据题意得：， 整理，得：， 解得：(舍去)，， 答：道路的宽是米； 【小问2详解】 解：设月租金为元，停车场的月租金收入为元， 根据题意得：， ∵政府规定月租车位租金最高限价为350元， ∴当时，最大为元， 答：月租金定为元，停车场的月租金收入最大为元． 21. 综合与实践 【知识背景】（杠杆原理：动力×动力臂=阻力×阻力臂，如图1，即有言道：“杆秤一头称起人间生计，一头称起天地良心．”小明利用杠杆原理制作了一个称量物体质量的简易“秤”（如图2）． 【方案设计】 第一步：在一根长度为50cm的匀质细木杆上标上均匀的刻度（单位长度1cm），在左侧末端处固定一个金属吊钩，作为秤钩，在离左侧末端10cm处确定支点，并用细麻绳固定； 第二步：取一个质量为1kg的金属物体作为秤砣．（备注：秤钩与秤砣绳长的重量忽略不计） 任务一：在图2中，把重物挂在秤钩上，秤砣挂在支点右侧的处，秤杆平衡，就能称得重物的质量．当重物的质量变化时，的长度随之变化．设重物的质量为的长为． （1）关于的函数解析式是___________； （2）若，则的取值范围是___________． 任务二：调换秤砣与重物的位置，把秤砣挂在秤钩上，重物挂在支点右侧的处，使秤杆平衡，如图3，设重物的质量为的长为，完成下列问题： （3）求关于的函数解析式； 任务三：如图4，在离左侧末端5cm处确定第二个支点，现有两个秤砣分别为、可用，现有重物约，小明该如何选用支点、支点和秤砣来称量重物是否正好为． 【答案】任务一：（1）；（2）；任务二：（3）；任务三：选择支点Q和秤砣来秤重物，当秤砣移动到离支点Q的距离为处时，秤杆平衡说明重物正好为，如果不平衡说明重物不是 【解析】 【分析】（1）设重物的质量为的长为．由题意可得，，即可得到答案； （2）根据y的范围即可求得x的范围； （3）由题意可得，，即可求出关系式； 任务三：根据题意分别选择支点O和Q计算，然后求解即可． 【详解】（1）设重物的质量为的长为． 由题意可得，， 则 ∴； （2）∵ ∴ ∴； （3）由题意可得，， 则 ∴ ∴； 任务三：如图所示， ∵在离左侧末端5cm处确定第二个支点， ∴ ∵， ∴， ∵现有重物约 ∴如果用支点O，则 如果用支点Q，则 ∴可以向左移动点B， ∴ ∴ ∴选择支点Q和秤砣来称重物，当秤砣移动到离支点Q的距离为处时，秤杆平衡说明重物正好为，如果不平衡说明重物不是． 五、解答题（三）：本大题共2小题，第22题13分，第23每小题14分，共27分． 22. 如图1，点A，B，C都在上，且平分，交于点． （1）求证：是等腰三角形． （2）如图2，是的直径，与AD相交于点． ①若，，求的半径． ②若于点H，求证：． 【答案】（1） 证明：平分， ， ∵， ，， ， ， 是等腰三角形． （2）①8； ②证明：如图：过点B作于点E， ， ， ， 是的直径， ， ，， ， 四边形为矩形， 是的直径， ， ， ， ， 在和中， ， ， ， ， 【解析】 【分析】（1）利用角平分线的定义，圆周角定理和等腰三角形的判定定理解答即可； （2）①如图：连接，设的半径为r，则，，利用圆周角定理，角平分线的定义得到，利用勾股定理列出方程解答即可；②如图：过点B作于点E，利用矩形的判定与性质得到；再利用圆周角定理，全等三角形的判定与性质得到，再利用等量代换的性质解答即可证明结论． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：①如图∶连接OD， 设的半径为r，则， ， 平分， ， ， ， 是的直径， ， 为等腰直角三角形， ， ， ， ，解得：不合题意，舍去或． 的半径为8； ②略 【点睛】本题主要考查了圆的有关性质、圆周角定理、角分线的定义、等腰三角形的判定与性质、直角三角形的性质、勾股定理、全等三角形的判定与性质、矩形的判定与性质等知识点，正确添加的辅助线构造等腰三角形和全等三角形是解题的关键． 23. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线与直线交于点，． （1）求该抛物线的函数解析式； （2）如图①，若点H是抛物线的顶点，在x轴上存在一点G，使的周长最小，求此时点G的坐标． （3）如图②，点P为直线下方抛物线上的一动点，过点P作交于点M，过点P作y轴的平行线交x轴于点N，求的最大值及此时点P的坐标． 【答案】（1） （2） （3）最大值为， 【解析】 【分析】利用待定系数法求解即可； 作点A关于x轴的对称点，连接交x轴于点G，结合轴对称的性质得此时的周长最小，得点，结合抛物线解析式求得点H，利用待定系数法求得的解析式为，令即可求得点G； 结合题意可得是等腰直角三角形，利用待定系数法求得直线的解析式为，设与交于点C，则和是等腰直角三角形，则有，设，则，即可求得和，利用二次函数的性质即可求得的最大值，即此时的点P． 【小问1详解】 解：根据题得，，解得， 则抛物线的解析式为； 【小问2详解】 作点A关于x轴的对称点，连接交x轴于点G，此时的周长最小，如下图： 则， ∵抛物线的解析式为， ∴， ∵， 设的直线解析式为，则，解得 则的解析式为， 当时，，解得， ∴； 【小问3详解】 ∵，， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， 设直线的解析式为， ，解得， 则直线的解析式为， 设与交于点C，如图， ∵轴于点N， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴， ∵， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴， 设，则， ∴，， ∴ ∵， ∴当时，的最大值为，此时． 【点睛】本题主要考查二次函数和一次函数的结合，轴对称的性质以及二次函数的性质，解题的关键是熟悉二次函数的性质及其上对应点的几何意义． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $