精品解析：山东济南市历下区2025-2026学年上学期九年级数学期末学情调研试题

九年级数学学情调研（2026.1） 考试时间120分钟 满分150分 第Ⅰ卷（选择题 共40分） 一、选择题（本大题共10个小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．） 1. “月壤砖”是我国科学家模拟月壤成分烧制而成的，拟用于未来建造月球基地．如图是一种“月壤砖”的示意图，它的主视图是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了判断几何体的三视图（判断简单组合体的三视图）．主视图是从正面看到的视图，据此即可得出答案． 【详解】解：根据题中“月壤砖”的示意图，可知其主视图为 故选：． 2. 抛物线的顶点坐标是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数的图象和性质，利用二次函数的顶点式直接求解． 【详解】解：∵， ∴顶点坐标为， 故选D． 3. 如图，在边长为1的小正方形组成的网格中，的三个顶点均在格点上，则（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了解直角三角形．由三角函数定义即可得出答案． 【详解】解：由图可得：， ∴． 故选：D． 4. 如图，点A、B、C都在上，且点C在弦所对的优弧上，如果，那么的度数是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查圆周角定理，熟知同弧所对的圆周角等于它所对圆心角的一半是解答的关键． 【详解】解：∵，， ∴， 故选：C． 5. 已知反比例函数的图象具有下列特征：在所在象限内，的值随值的增大而增大．那么的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了反比例函数的性质，对于反比例函数，当时，反比例函数图象两支位于第一、三象限，在每个象限内y随x增大而减小，当时，反比例函数图象两支位于第二、四象限，在每个象限内y随x增大而增大，据此求解即可． 反比例函数的性质：当比例系数小于0时，函数图象在第二、四象限，y随x的增大而增大． 【详解】∵函数 在所在象限内y随x的增大而增大， ∴比例系数 ， ∴ ． 故k的取值范围是 ， 故选：C． 6. 如图，五边形是的内接正五边形，连接，则的度数是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了正多边形与圆，等腰三角形的性质，由正多边形的性质可得，，进而根据等腰三角形的性质即可求解，熟练掌握知识点是解题的关键． 【详解】解：连接, ∵是的内接正五边形， ∴，， ∴， 故选：． 7. 已知二次函数的图象如图所示，则下列说法正确的是（ ） A. ＜0 B. ＜0 C. ＜0 D. ＜0 【答案】B 【解析】 【分析】根据抛物线的开口方向确定a，根据抛物线与y轴的交点确定c，根据对称轴确定b，根据抛物线与x轴的交点确定b2-4ac，根据x=1时，y＞0，确定a+b+c的符号． 【详解】解：∵抛物线开口向上， ∴a＞0， ∵抛物线交于y轴的正半轴， ∴c＞0， ∴ac＞0，A错误； ∵-＞0，a＞0， ∴b＜0，∴B正确； ∵抛物线与x轴有两个交点， ∴b2-4ac＞0，C错误； 当x=1时，y＞0， ∴a+b+c＞0，D错误； 故选B． 【点睛】本题考查的是二次函数图象与系数的关系，二次函数y=ax2+bx+c系数符号由抛物线开口方向、对称轴、抛物线与y轴的交点抛物线与x轴交点的个数确定． 8. 如图，在扇形中，，，若以点为圆心，为半径画弧，交于点，连接，则图中阴影部分的面积是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了等边三角形的判定和性质，扇形的面积，连接，由题意可得是等边三角形，即得，再根据解答即可求解，熟练掌握知识点是解题的关键． 【详解】解：如图，连接， 由题意得，， ∴是等边三角形， ∴， ∵，， ∴， 故选：． 9. 如图，在边长为4的等边三角形中，动点从点开始沿边向点运动（点不与点重合），点在边上，连接，，且，设，，则的最小值为（ ） A. 1.5 B. C. 2 D. 3 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查等边三角形的性质，相似三角形的判定与性质，二次函数的性质，先证明得，求出，，可得，化简得，根据二次函数的性质可得结论． 【详解】解：在等边中，， ∵， ∴， 又∵， ∴　， ∴， ∴， ∵，，， ∴，， ∴ 整理得， 这是一个开口向上的二次函数，其对称轴为， 将代入函数解析式得：， 因此，的最小值为3， 故选：D． 10. 已知当时，二次函数的图象与正比例函数的图象有交点，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查两个函数有交点的问题，利用判别式判断根的情况，求根公式，解不等式；两个函数有交点即方程 在 内有实数解，整理得 ，需满足判别式非负且至少一个根在范围内，结合根的位置条件可得的范围． 【详解】解：∵ 两函数有交点， ∴ 方程 在内有解， 整理得 ， 设 ， 判别式 ， ∴ ， 根为 ，， 若 ，则 ，即，解得； 若 ，则 ，即，解得； ∴ ， 故选：A． 第Ⅱ卷（非选择题 共110分） 二、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分．） 11. 已知的半径为，点在外，则的长度可以是_____．（写出一个即可） 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了点与圆的位置关系，根据题意可以求得的取值范围，从而可以解答本题，熟练掌握点与圆的位置关系是解题的关键． 【详解】解：∵的半径为，点在外， ∴， ∴的长可以是， 故答案为：． 12. 在中，已知为锐角，，则的度数是______． 【答案】60 【解析】 【分析】本题考查了特殊角的三角函数值．根据特殊角的三角函数值，，且角A为锐角，因此角A等于． 【详解】解：∵，且在中，是锐角，， ∴． 故答案为：60． 13. 已知四边形为的内接四边形，，则的度数为______． 【答案】80° 【解析】 【分析】由圆的内接四边形内对角互补解题． 【详解】∵四边形为的内接四边形，， ，． 故答案为：80°． 【点睛】本题考查圆内接四边形的性质，是重要考点，难度较易，掌握相关知识是解题关键． 14. 如图，二次函数（）的部分图象与轴的一个交点的坐标为，则该二次函数的图象与轴的另一个交点的坐标为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查二次函数的性质，根据对称轴写出与ｘ轴的交点坐标是解题的关键． 首先把一般式解析式化成顶点式，得到对称轴，再根据二次函数与ｘ轴的两个交点关于对称轴对称，写出与ｘ轴的另一个交点即可． 【详解】解：∵二次函数（）的 对称轴为，部分图象与轴的一个交点的坐标为， ∴, , ∴该二次函数的图象与轴的另一个交点的坐标为． 故答案为：． 15. 如图，在等腰三角形纸片中，，，是上一点，将纸片沿过点的直线折叠，使点落在边上的点处，折痕交于点．若已知，则______． 【答案】 【解析】 【分析】先利用等腰三角形性质求出的长度；再通过作辅助线构造直角三角形，结合的条件和角的性质，用含的代数式表示相关边长；接着根据折叠性质得到，从而建立关于的方程并求解；最后通过计算出结果． 【详解】解：作于H，作于G， ∵为等腰三角形，，， ∴，且． 在中：，， 在中：， 设， 则， 解得：， 由勾股定理得， 在中，， 则， ∴， 由折叠性质，， 则， 又， ∴， 解得：， ∵， ∴， ， ， ． 故答案为：． 【点睛】本题考查了等腰三角形性质、折叠性质、三角函数与勾股定理的综合应用，解题的关键是通过作辅助线构造直角三角形，将角的正弦条件转化为边长关系，再利用折叠性质建立方程求解． 三、解答题（本大题共10个小题，共90分．请写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 16. 计算：． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查特殊的三角函数值的混合运算，熟练记忆所有特殊三角函数值是解题的关键．根据特殊的三角函数值，代入求解即可． 【详解】解： ． 17. 如图，点，分别是的边，上的点，连接，，的角平分线交于点． （1）求证：； （2）若，，求的长． 【答案】（1） 证明：， ，， （2） 【解析】 【分析】本题考查三角形相似的判定和性质，平行线的性质； （1）由得，，即可得结论； （2）由得，求得，再根据计算即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：，的角平分线交于点， ， ，， ， ， ． 18. 如图，在等腰三角形中，，，，垂足为点． （1）求的长； （2）求的值． 【答案】（1）4 （2） 【解析】 【分析】此题考查了解直角三角形，勾股定理，解题的关键是掌握以上知识点． （1）首先得到，然后代数求出，然后利用勾股定理求解即可； （2）利用线段和差关系求出，利用勾股定理求出，然后得到即可解答． 【小问1详解】 解： ， ， 在中， ，， ， ， ． 【小问2详解】 解：，， ， 在中， ， ． 19. 年月日上午，军事航天部队、网络空间部队、信息支援部队、联勤保障部队是4支战略兵种首次集中亮相阅兵场，接受党和人民检阅．为增强同学们对战略兵种的认识，某班级计划举办手抄报展览，确定了A：军事航天部队；B：网络空间部队；C：信息支援部队；D：联勤保障部队个主题． （1）若小华随机选择其中一个主题，则选到A：军事航天部队的概率是______； （2）若小明和小亮每人随机选择其中一个主题，请用列表或画树状图的方法，求至少一人选到C：信息支援部队的概率． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了概率公式求概率，列表法求概率，熟练掌握求概率的方法是解题的关键． (1)一共有个主题，每个主题被选到的可能性相同，小华随机选择其中一个主题，则选到A：军事航天部队的概率是； (2)列表把所有可能出现的情况表示出来，共有种等可能的结果出现，其中至少一人选到C的有种情况，所以至少一人选到C：信息支援部队的概率为． 【小问1详解】 解：一共有个主题，每个主题被选到的可能性相同， 小华随机选择其中一个主题，则选到A：军事航天部队的概率是， 故答案为：； 【小问2详解】 解：列表如下： 小明 小亮 A B C D A B C D 由表可知总共有种等可能性的结果，其中至少一人选到C的结果有种， ． 20. 为方便乘客进出，地铁公司计划将某出入口的楼梯通道改造成无障碍通道．如图，在地铁出入口处，原楼梯通道的长度为，倾斜角为，调整后的无障碍通道的倾斜角为． （1）求地铁出入口处距离水平地面的高度； （2）求调整后的无障碍通道在水平方向上延伸的距离． （结果精确到．参考数据：，，，，，） 【答案】（1）地铁出入口处到水平地面的高度为0.684米 （2）调整后的无障碍通道在水平方向上延伸的距离为6.778米 【解析】 【分析】本题主要考查了解直角三角形的实际应用，熟练掌握锐角三角函数的定义是解题的关键． （1）过点作于点，在中，利用即可求解； （2）在中，利用可得的长，再在中，利用可得的长，由即可求解． 【小问1详解】 解：过点作于点， ， 在中，， ， 地铁出入口处到水平地面的高度为0.684米． 【小问2详解】 解：在中，， ∴． 在中，， ∴， ∴， ∴调整后的无障碍通道在水平方向上延伸的距离为6.778米． 21. 如图，在中，，是斜边上的一点，以为直径的与边相切于点． （1）求证：平分； （2）若，，求半径的长． 【答案】（1） 证明：连接， 与相切于点， ， ， ， ， ， ， ， ，即平分． （2） 【解析】 【分析】本题考查了圆的切线的性质、等腰三角形的性质、平行线的判定与性质、角平分线的定义、圆周角定理、相似三角形的判定与性质，解题的关键是熟练运用圆的相关性质结合相似三角形的判定与性质解决问题． （1）连接，利用切线的性质得，结合证，得，再由得，从而证； （2）连接，由直径所对的圆周角是直角得，结合和平分证，利用相似三角形的对应边成比例求出的长，进而求出的半径． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：连接， 是的直径， ， ， ， 又， ， ， ， ， ． 22. 在某次消防实战演练中，从水枪喷水口处喷出的水流呈抛物线形状，落到高楼外墙上的点处，已知喷出水流的高度与水流到喷水口的水平距离之间的关系如图所示，当水流到喷水口的水平距离为时，达到最高点，此时喷出水流的高度为． （1）求关于的函数表达式； （2）已知水枪喷水口处到高楼外墙的水平距离为，高楼外墙上的点处距离地面的高度是，假设将水枪喷水口平移，喷出的水流所在抛物线的形状保持不变． ①若将水枪喷水口沿竖直方向向上平移，使喷出的水流恰好落到高楼外墙上的点处，求平移的距离； ②若将水枪喷水口沿水平方向平移，使喷出的水流恰好落到高楼外墙上的点处，直接写出平移的方向和距离． 【答案】（1） （2）①平移的距离为；②向右平移或 【解析】 【分析】（）设抛物线的解析式为，利用待定系数法解答即可； （）①设水枪喷水口沿竖直方向向上平移，则平移后的抛物线解析式为，把代入求出的值即可求解； ②分将水枪喷水口沿水平方向向右平移和向左平移两种情况，利用待定系数法求出平移的距离即可求解； 本题考查了二次函数的应用，理解题意是解题的关键． 【小问1详解】 解：由题意可得，抛物线的顶点坐标为， 设抛物线的解析式为， ∵抛物线经过点， ∴， 解得， ∴抛物线的解析式为； 【小问2详解】 解：①设水枪喷水口沿竖直方向向上平移，则平移后的抛物线解析式为， ∵， ∴， 解得， ∴水枪喷水口沿竖直方向向上平移； ②若将水枪喷水口沿水平方向向右平移，设平移，则平移后的抛物线解析式为， ∵， ∴， 解得或， ∴水枪喷水口沿水平方向向右平移或； 若将水枪喷水口沿水平方向向左平移，设平移，则平移后的抛物线解析式为， ∵， ∴， 解得或，不合题意； ∴水枪喷水口沿水平方向向右平移或，能使喷出的水流恰好落到高楼外墙上的点处． 23. 如图1，在平面直角坐标系中，正方形的边长为3，其顶点，均在轴上、顶点在反比例函数（）的图象上，． （1）求反比例函数的表达式； （2）将正方形向右平移个单位长度得到正方形（），其边，分别与反比例函数的图象交于点，． ①如图2，当点与点重合时，连接，，，求的面积； ②如图3，当时，求的值． 【答案】（1） （2）①；② 【解析】 【分析】（1）利用待定系数法即可求解； （2）①先求出点，的坐标，再利用割补法求面积，计算即可； ②利用平移的性质，用含m的式子表示点、和的坐标，计算出、，根据正切函数列方程，解方程即可． 【小问1详解】 解：正方形的边长为3，， ， ， 正方形的边长为3， ， 将代入反比例函数， 得， 解得， 反比例函数的表达式为； 【小问2详解】 ①由题可得：，，， 将代入，得，解得， ， 当时，， ， ； ②将正方形向右平移个单位长度得到正方形，，， ，，， ， ， 四边形为正方形， ， 在中， ， ，解得． 【点睛】本题考查反比例函数图象，函数和方程，正方形的性质，平移的性质，锐角三角函数等知识，正确掌握相关知识是解题的关键． 24. 二次函数的图象经过，两点，与轴交于点，连结． （1）求二次函数的表达式和直线的表达式； （2）如图，点是该二次函数在第一象限内图象上的一点，过点作轴的垂线，交于点，． ①求点的坐标； ②点是该二次函数图象上的一点，点为点关于直线的对称点，当点落在直线上时，求点的纵坐标． 【答案】（1）； （2）①；②或 【解析】 【分析】（1）利用待定系数法即可求解； （2）①垂线交x轴于点，设点，则，，用含的式子表示、，根据，列出方程，求解即可； ②连接，根据轴对称和对称点落在直线上，可得到轴，则点的纵坐标为2，从而求出点的横坐标，最后根据线段之间的关系求出，计算即可． 【小问1详解】 解：二次函数的图象经过，， ，解得， 二次函数的表达式为， 当时，，则点的坐标是， 设直线的表达式是， 经过点，， ，解得， 直线的表达式为； 【小问2详解】 解：①如图，垂线交x轴于点， 设点，则，， ． ，， ， ， ，解得，（舍）， 点的坐标是； ②如图，连接， 、， ， ， ， 当时，，则， 直线是轴的垂线， ， 点关于直线的对称点落在直线上， ，则， ， ，则轴， 由①可知，， 当，，解得，， 如备用图1，当时，， ， 如备用图2，当时，， ． 综上可得点的纵坐标是或． 【点睛】本题考查二次函数、一次函数的图象和性质，轴对称的性质，函数与方程的关系，待定系数法求函数解析式等知识，熟练掌握相关知识的应用和数形结合是解题的关键． 25. 如图1，在矩形中，，点在边的延长线上（点不与点重合），连接，点在线段上，且，与边交于点． （1）求证：； （2）如图2，连接，点为的中点，连接，若，求的最小值； （3）如图3，点为边的中点，连接交于点，若，，求的长（用含和的式子表示）． 【答案】（1） 证明：四边形是矩形， ， ， ， 又， ， ， ． （2） （3） 【解析】 【分析】本题主要考查了矩形的性质，相似三角形判定与性质，一元二次方程的求解，直角三角形的性质，准确计算是解题的关键． （1）证明，即可得证； （2）设，则，，证明，可得到，再根据勾股定理得到，即可得解； （3）根据矩形的性质得到，证明，得到，求出，根据即可得解； 【小问1详解】 略 【小问2详解】 ，， ， 设，则，， 点在线段上， 当点与点重合时，，， ， ，即， 解得，（舍）， ， 在中，， 当时，有最小值为． 即的最小值为， 在中，点为斜边的中点， ， 的最小值为． 【小问3详解】 四边形是矩形， ，， 点为边的中点， ， ， ， ， 又，，， ， ， ，， ， ，即， ， ． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 九年级数学学情调研（2026.1） 考试时间120分钟 满分150分 第Ⅰ卷（选择题 共40分） 一、选择题（本大题共10个小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．） 1. “月壤砖”是我国科学家模拟月壤成分烧制而成的，拟用于未来建造月球基地．如图是一种“月壤砖”的示意图，它的主视图是（ ） A. B. C. D. 2. 抛物线的顶点坐标是（ ） A. B. C. D. 3. 如图，在边长为1的小正方形组成的网格中，的三个顶点均在格点上，则（　　） A. B. C. D. 4. 如图，点A、B、C都在上，且点C在弦所对的优弧上，如果，那么的度数是（ ） A. B. C. D. 5. 已知反比例函数的图象具有下列特征：在所在象限内，的值随值的增大而增大．那么的取值范围是（ ） A. B. C. D. 6. 如图，五边形是的内接正五边形，连接，则的度数是（ ） A. B. C. D. 7. 已知二次函数的图象如图所示，则下列说法正确的是（ ） A. ＜0 B. ＜0 C. ＜0 D. ＜0 8. 如图，在扇形中，，，若以点为圆心，为半径画弧，交于点，连接，则图中阴影部分的面积是（ ） A. B. C. D. 9. 如图，在边长为4的等边三角形中，动点从点开始沿边向点运动（点不与点重合），点在边上，连接，，且，设，，则的最小值为（ ） A. 1.5 B. C. 2 D. 3 10. 已知当时，二次函数的图象与正比例函数的图象有交点，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 第Ⅱ卷（非选择题 共110分） 二、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分．） 11. 已知的半径为，点在外，则的长度可以是_____．（写出一个即可） 12. 在中，已知为锐角，，则的度数是______． 13. 已知四边形为的内接四边形，，则的度数为______． 14. 如图，二次函数（）的部分图象与轴的一个交点的坐标为，则该二次函数的图象与轴的另一个交点的坐标为______． 15. 如图，在等腰三角形纸片中，，，是上一点，将纸片沿过点的直线折叠，使点落在边上的点处，折痕交于点．若已知，则______． 三、解答题（本大题共10个小题，共90分．请写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 16. 计算：． 17. 如图，点，分别是的边，上的点，连接，，的角平分线交于点． （1）求证：； （2）若，，求的长． 18. 如图，在等腰三角形中，，，，垂足为点． （1）求的长； （2）求的值． 19. 年月日上午，军事航天部队、网络空间部队、信息支援部队、联勤保障部队是4支战略兵种首次集中亮相阅兵场，接受党和人民检阅．为增强同学们对战略兵种的认识，某班级计划举办手抄报展览，确定了A：军事航天部队；B：网络空间部队；C：信息支援部队；D：联勤保障部队个主题． （1）若小华随机选择其中一个主题，则选到A：军事航天部队的概率是______； （2）若小明和小亮每人随机选择其中一个主题，请用列表或画树状图的方法，求至少一人选到C：信息支援部队的概率． 20. 为方便乘客进出，地铁公司计划将某出入口的楼梯通道改造成无障碍通道．如图，在地铁出入口处，原楼梯通道的长度为，倾斜角为，调整后的无障碍通道的倾斜角为． （1）求地铁出入口处距离水平地面的高度； （2）求调整后的无障碍通道在水平方向上延伸的距离． （结果精确到．参考数据：，，，，，） 21. 如图，在中，，是斜边上的一点，以为直径的与边相切于点． （1）求证：平分； （2）若，，求半径的长． 22. 在某次消防实战演练中，从水枪喷水口处喷出的水流呈抛物线形状，落到高楼外墙上的点处，已知喷出水流的高度与水流到喷水口的水平距离之间的关系如图所示，当水流到喷水口的水平距离为时，达到最高点，此时喷出水流的高度为． （1）求关于的函数表达式； （2）已知水枪喷水口处到高楼外墙的水平距离为，高楼外墙上的点处距离地面的高度是，假设将水枪喷水口平移，喷出的水流所在抛物线的形状保持不变． ①若将水枪喷水口沿竖直方向向上平移，使喷出的水流恰好落到高楼外墙上的点处，求平移的距离； ②若将水枪喷水口沿水平方向平移，使喷出的水流恰好落到高楼外墙上的点处，直接写出平移的方向和距离． 23. 如图1，在平面直角坐标系中，正方形的边长为3，其顶点，均在轴上、顶点在反比例函数（）的图象上，． （1）求反比例函数的表达式； （2）将正方形向右平移个单位长度得到正方形（），其边，分别与反比例函数的图象交于点，． ①如图2，当点与点重合时，连接，，，求的面积； ②如图3，当时，求的值． 24. 二次函数的图象经过，两点，与轴交于点，连结． （1）求二次函数的表达式和直线的表达式； （2）如图，点是该二次函数在第一象限内图象上的一点，过点作轴的垂线，交于点，． ①求点的坐标； ②点是该二次函数图象上的一点，点为点关于直线的对称点，当点落在直线上时，求点的纵坐标． 25. 如图1，在矩形中，，点在边的延长线上（点不与点重合），连接，点在线段上，且，与边交于点． （1）求证：； （2）如图2，连接，点为的中点，连接，若，求的最小值； （3）如图3，点为边的中点，连接交于点，若，，求的长（用含和的式子表示）． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $