8.2 特殊的平行四边形（5）----正方形 课件 2025-2026学年苏科版八年级数学下册

执教： 张二平 苏科版八年级数学下册 8.2 特殊的平行四边形（5）----正方形 学习目标 1、掌握正方形的定义、性质、判定方法： 2、经历正方形的性质与判定的探索过程，发展学生主动探究的 习惯和合情推理的能力. 3、在正方形的特殊性质的探索中，理解特殊与一般的关系， 提高学生对知识的整合的能力。 学习重点：正方形的性质、判定方法及其应用 学习难点：矩形、菱形、正方形及平行四边形之间的关系 一、情境引入： 那么正方形有哪些性质？ 如何判定一个四边形是正方形呢？ 在下面的图片中，我们可以找到熟悉的正方形。 四条边相等，四个角都是直角的四边形叫作正方形(square)。 3 二、新知探索： 尝试： 正方形与之前所学的各种四边形之间有怎样的关系? 在图的括号中分别填写恰当的条件. 4 小结： 1、正方形的判定定理： 有一组邻边相等的矩形是正方形。 有一个角是直角的菱形是正方形。 2、平行四边形、矩形、菱形、正方形的关系如图。 正方形具有矩形的性质，同时又具有菱形的性质. 正方形的四条边相等，四个角都是直角。 正方形的对角线相等且互相垂直平分。 几何语言： 如图，如果四边形ABCD是正方形，那么AB=BC=CD=DA， ∠ABC=∠BCD=∠CDA=∠DAB=90°，AC=BD.AC⊥BD，OA=0B=0C=0D。 3、正方形的性质定理： 5 试一试： 根据图形所具有的性质，在下表相应的空格中打“√”. 6 二、例题讲解 例1、已知：如图，在正方形ABCD中，点A′、B′、C′、D′ 分别在AB、BC、CD、DA上，且AA′＝BB′＝CC′＝DD′， 求证：四边形A′B′C′D′是正方形。 例2、如图,正方形ABCD对角线AC与BD相交于点0,E为BC上任意点 (不与B,C重合),作OF⊥OE交CD于点F. (1)在图①中,求证:BE=CF. (2)如图②,当点P为线段OC上任意点时(P不与0,C重合),E,F分别为边BC,CD上的点,且FE⊥PF.问：EC,CF,CP之间有何数量关系?并说明理由. (1)证明：∵正方形ABCD,∴OB=0C, ∠B0C=90°, ∠0BC=∠0CF=45°，∵OF⊥OE,∴∠EOF=90°=∠B0C, ∴∠BOE= ∠COF，在△BOE和△COF中， ∠BOE=∠COF，OB=0C，∠OBC= ∠OCF ∴△BOE≌△COF(ASA),∴BE=CF。 (2)解:CE+CF= CP，理由如下： 如图2，过点P作PH⊥BC，PG⊥CD，则∠PHE=∠PGF=90° ∵正方形ABCD，∴∠BCD = 90°, AC平分∠BCD，∴PH=PG， 四边形PHCG为正方形,∴CG =CH, ∠HPG =90°, CH =CG，易证△PHE≌△PFG,∴HE=GF,CE+CF=EH+CH+CG-GF=2CH=2×CP. 8 三、基础强化： 1、正方形具有而菱形不一定具有的性质是 (　　) A.四边相等 B.对角线相等 C.对角相等 D.对角线互相垂直 B 2.如果要证明平行四边形ABCD为正方形,那么我们需要在 四边形ABCD是平行四边形的基础上,进一步证明 (　　) A.AC与BD互相垂直平分 B.∠A=∠B且AC=BD C.AB=AD且AC=BD D.AB=AD且AC⊥BD C 9 3、如图,等边三角形AEF的顶点E,F在矩形ABCD的边BC,CD上, 且∠CEF=45°.求证:矩形ABCD是正方形. 证明:∵四边形ABCD是矩形, ∴∠B=∠D=∠C=90°. ∵△AEF是等边三角形, ∴AE=AF,∠AEF=∠AFE=60°. ∵∠CEF=45°,∴∠CFE=∠CEF=45°, ∴∠AFD=∠AEB=180°-45°-60°=75°, ∴△AEB≌△AFD, ∴AB=AD, ∴矩形ABCD是正方形. 10 4、已知：如图，在△ABC中，∠ABC=90°，BD平分∠ABC交AC于点D， DE⊥AB于点E，DF⊥BC于点F.求证：四边形BEDF是正方形. 证明：∵DE⊥AB,DF⊥BC,∴∠DEB=∠DFB=90°. 又∵∠ABC=90°,∴四边形BEDF为矩形. ∵BD平分∠ABC,DE⊥AB,DF⊥BC,∴DE=DF, ∴矩形BEDF为正方形 (有一组邻边相等的矩形是正方形). 11 5、如图,在正方形ABCD中,G是对角线BD上的一点(与点B,D不重合), GE⊥CD,GF⊥BC，E,F为垂足.连接EF,AG,延长AG交EF于点H。 (1)求证：∠DAG=∠EGH； (2)判断AH与EF是否垂直,并说明理由。 证明：（1）在正方形ABCD中，AD⊥CD，GE⊥CD, ∴∠ADE=∠GEC=90°,∴AD∥GE，∴∠DAG=∠EGH； （2）AH⊥EF，理由如下：连接GC，交EF于点O,如图。 ∵BD为正方形ABCD的对角线， ∴∠ADG=∠CDG=45°.又∵DG=DG,AD=CD, ∴△ADG≌△CDG (SAS)， ∴∠DAG=∠DCG. 在正方形ABCD中, ∠ECF=90°，∵GE⊥CD,GF⊥BC, ∴四边形FCEG为矩形，OE=OC，∴∠OEC=∠OCE，∠DAG=∠OEC. 由(1)得∠DAG=∠EGH，∠EGH=∠OEC， ∴∠EGH+∠GEH=∠OEC+∠GEH=∠GEC=90°,∴∠GHE=90,即 AH⊥EF。 12 四、拓展提高： 如图,Rt△CEF中,∠C=90°,△CEF的两外角的平分线交于点A,过点A分别作直线 CE,CF的垂线,垂足为B,D. (1)求证:四边形ABCD是正方形; (2)已知AB的长为6, 求(BE+6)(DF+6)的值; (3)借助于上面问题的解题思路,解决下列问题: 若锐角三角形PQR中,∠QPR=45°, 一条高是PH,长度为6,QH=2, 则HR=　　 . 解：(1)证明：过点A作AG⊥EF于点G,如图所示. 则∠AGE=∠AGF=90°，∵AB⊥CE, AD⊥CF, ∴∠B=∠D=90°=∠C, ∴四边形ABCD是矩形. ∵△CEF的两外角的平分线交于点A，∴AB=AG, AD=AG, ∴AB=AD,∴四边形ABCD是正方形. ∴CE=BC-BE=6-x, CF=CD-DF=6-y, 在Rt△CEF中,由勾股定理,得 (6-x)2+(6-y)2=(x+y)2, 整理,得 xy+6(x+y)=36, ∴(BE+6)(DF+6)=(x+6)(y+6) =xy+6(x+y)+36=36+36=72. Rt△ABE≌Rt△AGE(HL),∴BE=EG. 同理可知：DF=GF,∴BE+DF=GE+GF=EF. 设BE=x, DF=y,则 EF=x+y. 3 13 1、正方形的判定定理： 有一组邻边相等的矩形是正方形。 有一个角是直角的菱形是正方形。 2、平行四边形、矩形、菱形、正方形的关系如图。 正方形具有矩形的性质，同时又具有菱形的性质. 正方形的四条边相等，四个角都是直角。 正方形的对角线相等且互相垂直平分。 几何语言： 如图，如果四边形ABCD是正方形，那么AB=BC=CD=DA， ∠ABC=∠BCD=∠CDA=∠DAB=90°，AC=BD.AC⊥BD，OA=0B=0C=0D。 3、正方形的性质定理： 五、总结反思： 14 六、达标检测： 1、下列关于平行四边形、矩形、菱形、正方形的说法，正确的是 (　　) A.如果一个四边形是菱形，那么它一定是正方形 B.正方形既是平行四边形，又是矩形和菱形 C.如果一个四边形是平行四边形，那么它就不可能是正方形 D.如果一个四边形是矩形，那么它就一定是正方形 B 2、如图，在平面直角坐标系中，正方形ABCD的边长为2, ∠DAO=60°,则点C的坐标为 。 （ (　　 ) 3、如图,正方形OABC的边长为4,点A,C分别在x轴, y轴的正半轴上，点D在OA上，且点D的坐标(1,0), P是OB上的一个动点，则PD+PA的最小值是 。 15 4、已知,如图①,正方形ABCD和正方形 BEFG,三点A,B,E在同一直线上, 连接AG和CE. (1)判定线段AG和线段CE的数量有什么关系?请说明理由. (2)将正方形BEFG绕点B顺时针旋转到图②的位置时，(1)中的结论 是否成立?请说明理由. (3)若在图2中连接AE和CG,且AE=2CG=4,则正方形ABCD和正方形BEFG 的面积之和为 . $