精品解析：山东淄博市2025～2026学年度第一学期期末学业水平测试七年级数学试题 (五四学制)

2025~2026学年度第一学期末学业水平测试 初二数学试题 本试卷共8页，23个小题，满分150分，考试时间120分钟． 一、选择题（本题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题所给出的四个选项中，只有一个是正确的，请把正确的选项填涂在答题纸的相应位置上） 1. 下列实数中，最小的数是（ ） A. B. 2 C. D. 5 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了实数的大小比较，掌握正数都大于零，负数都小于零，正数大于负数，两个正数比较大小，绝对值大的数大，两个负数比较大小，绝对值大的数反而小是解答本题的关键．利用实数大小的比较方法：在数轴上表示的两个数，右边的总比左边的数大；正数都大于零，负数都小于零，正数大于负数；两个正数比较大小，绝对值大的数大；两个负数比较大小，绝对值大的数反而小．按照从小到大的顺序排列找出结论即可． 【详解】解：， 最小的数是：． 故选：C． 2. 2025年11月9日是第34个全国消防日．认识并熟记常见的消防标识，既是个人安全素养的体现，也是应对火灾等紧急情况的“必备技能”．以下文字上方的消防标识是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了轴对称图形的概念，熟知如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴是解题的关键． 根据轴对称图形的概念逐项分析判断即可． 【详解】解：A、B、C不是轴对称图形，不符合题意； D是轴对称图形，符合题意， 故选：D． 3. 已知一个三角形的两边长分别为和，则第三边的长度可能是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查三角形三边关系，解题的关键是掌握两边之和大于第三边、两边之差小于第三边的原则．设第三边长为，根据三角形三边关系，第三边应大于两边之差且小于两边之和，可得，，求出的取值范围，逐项分析选项即可解答． 【详解】解：设第三边长为， 三角形两边之和大于第三边， ，即， 又三角形两边之差小于第三边， ，即， ， 选项中只有在此范围内， 故选：． 4. 下列各曲线表示的与的关系中，不是的函数的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查的是函数的定义，准确理解“的每一个确定值对应唯一的值”是解题的关键． 根据函数的定义，判断取一个值时是否有唯一值与之对应，进而确定不是的函数的选项． 【详解】解：函数的定义是：对于的每一个确定的值，都有唯一确定的值与之对应， 选项、、中，任意一条垂直于轴的直线与曲线都只有一个交点，满足“每取一个值，有唯一值对应”，因此是的函数． 故选：． 5. 如图，、为数轴上的两个点，点对应的数记为，点对应的数记为，则点位于（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了实数与数轴，点所在的象限，解题的关键是正确从数轴得到的正负． 由数轴可得，而每个象限内点的符号特点如下：第一象限，第二象限，第三象限，第四象限，据此即可求解． 【详解】解：由数轴可得， ∴则点位于第二象限， 故选：B． 6. 如图，用弹簧测力计拉着重为的木块分别沿倾斜程度不同的斜面向上做匀速直线运动．经测算，在弹性范围内，弹簧测力计的读数与装置高度满足我们学过的某种函数关系．如表，这是一组实验数据，根据表中的数据，当弹簧测力计读数为时，此时装置高度为（ ） 装置高度 0 弹簧测力计的读数 2 4 6 A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了一次函数的应用、求一次函数解析式，利用待定系数法求一次函数解析式是解题的关键． 设一次函数为，根据题意代入和，得出一次函数的解析式，再利用一次函数的性质即可求解． 【详解】解：设一次函数为， 代入和得，， 解得：， 一次函数为， 当时，， 解得：． 故选：A． 7. 如图，，是平分线上一点，交于,于，若，则值为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了角平分线上的点到角的两边距离相等的性质，平行线的性质，直角三角形角所对的直角边等于斜边的一半的性质，熟记各性质并作辅助线构造出含角的直角三角形是解题的关键．过点作于，根据角平分线上的点到角的两边距离相等可得，根据两直线平行，同位角相等可得，再根据直角三角形角所对的直角边等于斜边的一半可得，即可解决问题． 【详解】解：如图，过点作于， ∵是平分线上一点，， ∴ ∵， ∴， ∴． 故选：C． 8. 意大利著名画家达·芬奇用一张纸片剪拼出不一样的空洞，而两个空洞的面积是相等的，如图所示，证明了勾股定理，若设图1中空白部分的面积为，图2中空白部分的面积为，则下列对，所列等式不正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理的证明，直角三角形的性质，正方形的性质等知识，解题的关键是读懂图像信息．根据勾股定理、直角三角形以及正方形的面积公式计算，即可解决问题． 【详解】解：由勾股定理可得， 由题意，可得， ， 所以 故选项A符合题意，选项B、C、D不符合题意． 故选：A． 9. 如图，在中，，，，点D在边上，将沿直线翻折，点B恰好落在边上的点E处，若点P是直线上的动点，连接，则的周长的最小值为（ ） A. B. C. 1 D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据折叠和等腰三角形性质得出当P和D重合时，的值最小，即可此时的周长最小，最小值是，先求出和长，代入求出即可． 【详解】解：如图，连接，， ∵，，， ∴， ∵沿折叠B和E重合， ∴，，， ∴垂直平分，即B和E关于直线对称，，， ∵， 由， ∴， ∵， ∴， ∴当P和D重合时，的值最小，即此时的周长最小， 最小值是， ∴的周长的最小值是． 故选：B． 【点睛】本题考查了折叠性质，等腰三角形性质，轴对称-最短路线问题，勾股定理，含30度角的直角三角形性质的应用，关键是求出P点的位置． 10. 人工智能的发展使得智能机器人送餐成为时尚．如图，某餐厅的机器人小数和小文从厨房门口出发，准备给相距的客人送餐，小数比小文先出发，且速度保持不变，小文出发一段时间后将速度提高到原来的2倍．设小数行走的时间为，小数和小文行走的路程分别为，，与之间的函数图象如图所示，则下列说法正确的是（ ）． 小数比小文先出发15秒； 小文提速后的速度为； ； 从小数出发至送餐结束，小文和小数最远相距． A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】从函数图象获取信息．根据图象信息以及路程、速度和时间的关系即可求解． 本题考查了一次函数的应用，看懂图象是解题关键． 【详解】结合图像，小数比小文早出发15秒，故正确； 当时，，当时，， 则小文提速前的速度是， ∵小文出发一段时间后速度提高为原来的2倍， ∴小文提速后速度为，故正确； 故提速后小文行走所用时间为：， ， ， ∴小数的速度为， ，故错误； 当时，小文和小数的距离逐渐增大， 当时达到最大为：， 当时，小文和小数的距离先减小后增大， 当时达到最大为：， 当时，小文和小数的距离逐渐减小到0， ，故正确 则正确， 故选：． 二、填空题（本大题共5小题，每小题4分，共计20分．不需写出解答过程，请把最后结果直接填写在答题纸的相应位置上） 11. 有一个数值转换器原理如图．当输入时，输出的数是________． 【答案】 【解析】 【详解】由题意得：当时，输出的数为，是有理数， 当时，输出的数为，是有理数， 当时，输出的数为，是无理数； 所以最后输出的数是． 12. 已知，点与点关于轴对称，则值为________． 【答案】1 【解析】 【分析】此题主要考查了关于轴对称点的性质，利用横纵坐标关系得出是解题关键．利用关于轴对称点的性质得出，的值，进而求出即可． 【详解】解：点与点关于轴对称， ，， 解得：，， 则． 故答案为：1． 13. 一艘轮船从海面上A地出发，向南偏西的方向行驶40海里到达B地，再由B地向北偏西的方向行驶30海里到达C地，则A，C两地相距为______海里． 【答案】50 【解析】 【分析】本题考查了方向角，勾股定理，由题意可得，，海里，海里，，则，求出，再由勾股定理计算即可得出结果，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 【详解】解：如图：连接， ， 由题意可得：，，海里，海里，， ∴， ∴， ∴由勾股定理可得：海里， 故A，C两地相距为海里， 故答案为：． 14. 如图，中，,，,，则的度数为________ 【答案】##66度 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质、等腰三角形的性质，是基础知识要熟练掌握．根据题意得出，再证明，从而得出，则． 【详解】解：，， ， ，， ， ，， ， ， ． 故答案为：． 15. 如图，在平面直角坐标系中，点，点，若将直线向上平移c个单位长度后与线段有交点，则c的取值范围是________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了一次函数图象与几何变换、一次函数的平移等知识点，灵活运用极值法求解是解题的关键． 先求出平移后的解析式为，分别代入A、B的坐标，求得对应的c的值， 根据函数图象即可解答． 【详解】解：把直线向上平移c个单位长度后得到， 若直线过，则，解得：， 若直线过，则，解得， ∴将直线向上平移c个单位长度后与线段有交点，则． 故答案为：． 三、解答题（本题共8小题，共90分．请把解答过程写在答题纸上） 16. 计算： （1） （2） 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题主要考查整式的混合运算(幂的运算、合并同类项)和实数的混合运算(绝对值、平方根、立方根、乘方)，核心是遵循“先乘方与开方，再乘除，最后加减”的运算顺序． （）遵循整式的混合运算“先乘方，再乘除，最后加减”的顺序，先计算积的乘方与幂的乘方，再依次进行同底数幂的乘法和除法运算，最后合并同类项得到结果； （）按照实数的混合运算规则，先分别化简绝对值、算术平方根、有理数乘方和立方根，再将化简后的各项进行加减运算，最终得出结果． 【详解】（）解： ； （） ． 17. 如图，在中，，于点，平分， （1）求的度数； （2）求的度数． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了直角三角形的性质，三角形内角和定理，角平分线定义， 对于（1），根据直角三角形的两个锐角互余可得答案； 对于（2）， 先求出，再根据角平分线的定义可得，然后求出，最后根据邻补角的定义解答． 【小问1详解】 解：∵， ∴， ∴； 【小问2详解】 解：∵， ∴． ∵平分， ∴． 在中，， ∴． 18. 为了更好地提升居民的生活水平和居住满意度，某小区进行小范围绿化，要在一块如图所示的四边形空地内进行绿化改造，，，，，． （1）若要在，两点间铺一条鹅卵石路，铺设成本为；求花费多少元？ （2）如果种植草皮的费用是元，那么在整块空地上种植草皮共需投入多少元？ 【答案】（1）铺设这条鹅卵石路的最低花费为元 （2）整块空地上种植草皮共需投入元 【解析】 【分析】本题考查的是勾股定理及其逆定理的应用，根据题意作出辅助线，构造出直角三角形是解题的关键． （1）如图，连接，再利用勾股定理先求解，从而可得答案； （2）先利用勾股定理的逆定理证明，可得整块空地的面积为：，再计算总费用即可． 【小问1详解】 解：如图，连接， ∵，，， ∴， ∵铺设成本为， ∴铺设这条鹅卵石路的花费为（元）． 【小问2详解】 解：∵，，， ∴， ∴， ∴整块空地的面积为：， ∵种植草皮的费用是元， ∴整块空地上种植草皮共需投入（元）． 19. 如图，正方形网格中每个小正方形边长都是． （1）画出关于直线对称的图形；（画图过程用虚线表示，画图结果用实线表示．下同） （2）在直线上找一点，使周长最小； （3）连接、，计算四边形的面积． 【答案】（1） 解：如图，即为所求； （2） 解：如图，点P即为所求； （3） 【解析】 【分析】本题考查轴对称图形绘制、最短路径问题（轴对称性质）及图形面积计算，运用转化思想，关键是利用轴对称性质画图和找最短路径，易错点为对称点绘制不准确及面积计算时分割图形错误． （1）根据轴对称性质画对称点然后连接,得到对称图形； （2）利用轴对称性质找的对称点，连接其与交直线得； （3）分割四边形为三角形和梯形等计算面积． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：如图， 由图形可知四边形可以分成两个三角形； 即底是格，高是格，每格长度为， 则； 底是格, 高是格，每格长度为， ， 所以：． 20. 在平面直角坐标系中，已知直线与轴交于点与轴交于点 （1）求直线的解析式 （2）若轴上有一点，且，求点的坐标． 【答案】（1） （2）或 【解析】 【分析】本题主要考查了用待定系数法求一次函数的解析式，一次函数与三角形面积的应用，利用三角形面积公式建立等式求出的纵坐标是解题的关键． （1）设直线的解析式为：，把点与点代入解方程组即可得到结论； （2）根据三角形的面积公式即可得到点的坐标． 【小问1详解】 解：设直线的解析式为， 将，代入， 得， 解得：， 直线的解析式为； 【小问2详解】 解：， ， ， ， 或． 21. 已知，图、图中每个小正方形的边长均为．         （1）图中阴影正方形的边长为________，该边长介于两个相邻整数________和________之间； （2）请利用刻度尺和圆规在数轴上准确地表示出图中阴影正方形的边长所表示的数以及它的相反数； （3）请在图的的方格内作出边长为的正方形． 【答案】（1），，； （2）如图，点所表示的数是，点所表示的数是； （3） 如图，正方形即为所作： 【解析】 【分析】()用勾股定理来计算阴影正方形的边；根据算术平方根的定义估算无理数的大小即可； ()利用图的结论，作出，再以点为圆心，为半径画圆，交数轴于点、点即可； ()根据算术平方根的意义求出正方形面积，再由网格画出正方形即可． 【小问1详解】 解：阴影正方形的边长等于直角边为和的直角三角形的斜边， 边长， ∵，，， ∴， ∴， 故答案为：； 【小问2详解】 解：由()知：阴影正方形的边长为，它的相反数是， 如图，设原点为点，作长为，宽为的长方形，以点为圆心，为半径画圆，交数轴于点、点， ∴，点所表示的数是，点所表示的数是； 【小问3详解】 解：由()知：四边形为正方形， ∵每个小正方形的边长均为， ∴正方形的面积为：， ∴正方形的边长为， 则正方形即为所作． 【点睛】本题考查估算无理数的大小，实数与数轴，正方形的面积及等积变换等知识点，理解算术平方根的定义是解题的关键． 22. 在中，，，是边上一点，过点作射线，过点作于点，过点作于点． （1）证明：； （2）取中点，连接、，猜想线段、、的数量关系，并证明． 【答案】（1） 证明：如图，∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． （2） 结论：． 证明：如图，连接， ∵，，是中点， ∴，，， ∵， ∴，，， ∴， ∴， ∴，， ∵， ∴，即， ∴， ∵， ∴． 【解析】 【分析】（1）证明即可证得结论； （2）连接，先根据等腰直角三角形的判定与性质以及全等三角形的性质得到，进而证明求得，，利用勾股定理和线段和与差计算即可得出结论． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【点睛】本题主要考查全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形的判定与性质、勾股定理等知识，熟练掌握全等三角形的性质和等腰三角形的性质是解答的关键． 23. 加菲尔德利用图①验证了勾股定理，过等腰直角的直角顶点C作直线l，过点A作于点D，过点B作于点 E，研究图形，不难发现． （1）如图②，在平面直角坐标系中，是等腰直角三角形，，，已知点A 的坐标为，求点B 的坐标． （2）如图③，直线分别交x轴，y轴于点A，C，直线过点C交x轴于点B，且，求直线的表达式． （3）在(2)的条件下，若点Q 是直线上且位于第三象限的一个动点，点M 是y轴上的一个动点，当以点B，M，Q为顶点的三角形为等腰直角三角形时，请直接写出点 Q 的坐标． 【答案】（1）点B的坐标为 （2）直线的表达式为 （3）点Q的坐标为或 【解析】 【分析】本题主要考查了待定系数法求一次函数、全等三角形的判定和性质、等腰直角三角形性质和判定、坐标与图形性质等知识点，正确添加辅助线构造全等三角形是解题的关键． （1）如图∶过A作轴于E，过B作轴于F，则，进一步得到，即可证明可得，结合点A的坐标即可求得点B的坐标； （2）根据题意得点，结合等腰三角形的性质得，则点，然后利用待定系数法即可求得直线的表达式即可； （3）设点，点，再分、和三种情况，利用三垂线构造全等三角形分别求解即可． 【小问1详解】 解：如图，过A作轴于E，过B作轴于F， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵点A 的坐标为， ∴， ∴， ∴点B的坐标为． 【小问2详解】 解：∵直线分别交x轴，y轴于点A，C， ∴， ∵， ∴， ∴， 设直线的表达式为， 将，代入得： ，解得， ∴直线BC的表达式为． 【小问3详解】 解∶设点，点，存在以下3种情况： ①如图1，当时，点M在x轴上方，分别过点Q，B作y轴的平行线，过点 M 作x轴的平行线分别交 于点 G，H， 同（1）可得， ∴， ∴，解得 ； ②如图2，当时，作轴，轴， 同（1）可得：， ∴， ∴，解得， ∴； ③如图3，当时，作轴， 同理可得，解得：， ∴． 综上，点Q 的坐标为 或． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025~2026学年度第一学期末学业水平测试 初二数学试题 本试卷共8页，23个小题，满分150分，考试时间120分钟． 一、选择题（本题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题所给出的四个选项中，只有一个是正确的，请把正确的选项填涂在答题纸的相应位置上） 1. 下列实数中，最小的数是（ ） A. B. 2 C. D. 5 2. 2025年11月9日是第34个全国消防日．认识并熟记常见的消防标识，既是个人安全素养的体现，也是应对火灾等紧急情况的“必备技能”．以下文字上方的消防标识是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 3. 已知一个三角形的两边长分别为和，则第三边的长度可能是（ ） A. B. C. D. 4. 下列各曲线表示的与的关系中，不是的函数的是（ ） A. B. C. D. 5. 如图，、为数轴上的两个点，点对应的数记为，点对应的数记为，则点位于（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 6. 如图，用弹簧测力计拉着重为的木块分别沿倾斜程度不同的斜面向上做匀速直线运动．经测算，在弹性范围内，弹簧测力计的读数与装置高度满足我们学过的某种函数关系．如表，这是一组实验数据，根据表中的数据，当弹簧测力计读数为时，此时装置高度为（ ） 装置高度 0 弹簧测力计的读数 2 4 6 A. B. C. D. 7. 如图，，是平分线上一点，交于,于，若，则值为（ ） A. B. C. D. 8. 意大利著名画家达·芬奇用一张纸片剪拼出不一样的空洞，而两个空洞的面积是相等的，如图所示，证明了勾股定理，若设图1中空白部分的面积为，图2中空白部分的面积为，则下列对，所列等式不正确的是（ ） A. B. C. D. 9. 如图，在中，，，，点D在边上，将沿直线翻折，点B恰好落在边上的点E处，若点P是直线上的动点，连接，则的周长的最小值为（ ） A. B. C. 1 D. 10. 人工智能的发展使得智能机器人送餐成为时尚．如图，某餐厅的机器人小数和小文从厨房门口出发，准备给相距的客人送餐，小数比小文先出发，且速度保持不变，小文出发一段时间后将速度提高到原来的2倍．设小数行走的时间为，小数和小文行走的路程分别为，，与之间的函数图象如图所示，则下列说法正确的是（ ）． 小数比小文先出发15秒； 小文提速后的速度为； ； 从小数出发至送餐结束，小文和小数最远相距． A. B. C. D. 二、填空题（本大题共5小题，每小题4分，共计20分．不需写出解答过程，请把最后结果直接填写在答题纸的相应位置上） 11. 有一个数值转换器原理如图．当输入时，输出的数是________． 12. 已知，点与点关于轴对称，则值为________． 13. 一艘轮船从海面上A地出发，向南偏西的方向行驶40海里到达B地，再由B地向北偏西的方向行驶30海里到达C地，则A，C两地相距为______海里． 14. 如图，中，,，,，则的度数为________ 15. 如图，在平面直角坐标系中，点，点，若将直线向上平移c个单位长度后与线段有交点，则c的取值范围是________． 三、解答题（本题共8小题，共90分．请把解答过程写在答题纸上） 16. 计算： （1） （2） 17. 如图，在中，，于点，平分， （1）求的度数； （2）求的度数． 18. 为了更好地提升居民的生活水平和居住满意度，某小区进行小范围绿化，要在一块如图所示的四边形空地内进行绿化改造，，，，，． （1）若要在，两点间铺一条鹅卵石路，铺设成本为；求花费多少元？ （2）如果种植草皮的费用是元，那么在整块空地上种植草皮共需投入多少元？ 19. 如图，正方形网格中每个小正方形边长都是． （1）画出关于直线对称的图形；（画图过程用虚线表示，画图结果用实线表示．下同） （2）在直线上找一点，使周长最小； （3）连接、，计算四边形的面积． 20. 在平面直角坐标系中，已知直线与轴交于点与轴交于点 （1）求直线的解析式 （2）若轴上有一点，且，求点的坐标． 21. 已知，图、图中每个小正方形的边长均为．         （1）图中阴影正方形的边长为________，该边长介于两个相邻整数________和________之间； （2）请利用刻度尺和圆规在数轴上准确地表示出图中阴影正方形的边长所表示的数以及它的相反数； （3）请在图的的方格内作出边长为的正方形． 22. 在中，，，是边上一点，过点作射线，过点作于点，过点作于点． （1）证明：； （2）取中点，连接、，猜想线段、、的数量关系，并证明． 23. 加菲尔德利用图①验证了勾股定理，过等腰直角的直角顶点C作直线l，过点A作于点D，过点B作于点 E，研究图形，不难发现． （1）如图②，在平面直角坐标系中，是等腰直角三角形，，，已知点A 的坐标为，求点B 的坐标． （2）如图③，直线分别交x轴，y轴于点A，C，直线过点C交x轴于点B，且，求直线的表达式． （3）在(2)的条件下，若点Q 是直线上且位于第三象限的一个动点，点M 是y轴上的一个动点，当以点B，M，Q为顶点的三角形为等腰直角三角形时，请直接写出点 Q 的坐标． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $