8.1.3 第2课时 用向量的坐标表示两个向量垂直的条件-【创新教程】2025-2026学年高中数学必修第三册五维课堂教师用书word（人教B版）

本高中数学讲义聚焦用向量坐标表示两向量垂直的条件这一核心知识点，衔接向量坐标表示与数量积运算，通过对比向量平行的坐标条件，构建“数量积为零⇨坐标乘积和为零”的推理链条，为平面几何垂直证明提供代数工具。 资料以情境问题引入激发探究欲，通过对比辨析深化概念理解，例题分情况讨论培养逻辑推理，坐标法证明几何问题提升数学运算与抽象能力。课中助力教师分层教学，课后练习题与变式训练帮助学生查漏补缺，强化知识应用。

第2课时　用向量的坐标表示两个向量垂直的条件 课程标准 素养解读 1.能根据向量的坐标判定两个向量垂直 2．能根据向量的垂直证明平面几何中的直线垂直 通过学习向量的数量积表示两向量的垂直，重点培养学生数学运算及逻辑推理素养 对应学生用书P66 [情境引入] 平面向量的表示方法有几何法和坐标法，向量的表示形式不同，对其运算的表示方式也不同．向量的坐标表示为我们解决有关向量的线性运算带来了极大方便． [问题]　设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)．如何用向量的坐标来表示a⊥b? 提示：a⊥b⇔a·b＝0⇔x1x2＋y1y2＝0 [知识梳理] [知识点]　两个向量垂直的坐标表示　 设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a⊥b⇔　x1x2＋y1y2＝0　. 已知非零向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)．a∥b与a⊥b坐标表示有何区别？ 提示：若a∥b⇔x1y2＝x2y1，即x1y2－x2y1＝0.若a⊥b⇔x1x2＝－y1y2，即x1x2＋y1y2＝0.两个命题不能混淆，可以对比学习，分别简记为：纵横交错积相等，横横纵纵积相反． [预习自测] 1．已知a＝(－3,2)，b＝(－1,0)，向量λa＋b与a－2b垂直，则实数λ的值为(　　) A．－　 B.　　C．－　　D. 解析：A　[由a＝(－3,2)，b＝(－1,0)， 知λa＋b＝(－3λ－1,2λ)，a－2b＝(－1,2)． 又(λa＋b)·(a－2b)＝0， ∴3λ＋1＋4λ＝0， ∴λ＝－.] 2．已知向量b与向量a＝(1，－2)的夹角是180°，且|b|＝3，则b＝(　　) A．(－3,6)　　　　　　 B．(3，－6) C．(6，－3) D．(－6,3) 解析：A　[由题意，设b＝λa＝(λ，－2λ)(λ<0)，由于|b|＝3. ∴|b|＝＝＝3，∴λ＝－3，即b＝(－3,6)．] 3．在四边形ABCD中，＝(1,2)，＝(－4,2)，则四边形ABCD的面积为　________　. 解析：因为在四边形ABCD中，＝(1,2)，＝(－4,2)，·＝0， 所以四边形ABCD的对角线互相垂直， 又因为||＝＝，||＝＝2， 所以该四边形的面积||·||＝××2＝5. 答案：5 对应学生用书P66 向量垂直的坐标表示及应用 [例1] 在△ABC中，已知＝(2,3)，＝(1，k)，且△ABC的一个内角为直角，求实数k的值． [思路点拨]　利用向量垂直列k的方程，再求k. [解]　根据直角的位置不同，可分为3种情形： (1)若∠A＝90°，则·＝0， 即2＋3k＝0，得k＝－； (2)若∠B＝90°，则·＝0， 因为＝－＝(－1，k－3)， 所以－2＋3(k－3)＝0，得k＝； (3)若∠C＝90°，则·＝0， 所以－1＋k(k－3)＝0，得k＝. 综上可知，k＝－或k＝或k＝. 由于未指定哪个角是直角，故应分三种情形讨论，利用向量垂直刻画内角为直角，列出k的方程，再求出k. [变式训练] 1．已知a＝(1,2)，b＝(－3,2)，若ka＋b与a－3b垂直，求k的值． 解：ka＋b＝k(1,2)＋(－3,2)＝(k－3,2k＋2)， a－3b＝(1,2)－3(－3,2)＝(10，－4)． 又ka＋b与a－3b垂直，故(ka＋b)·(a－3b)＝0. 即(k－3)·10＋(2k＋2)·(－4)＝0，得k＝19. 向量数量积的坐标运算在平面几何中应用 [例2]　已知正方形ABCD中，E，F分别是CD，AD的中点，BE，CF交于点P.求证： (1)BE⊥CF； (2)AP＝AB. [思路点拨]　画出图形，根据图像寻找边与边之间的关系，在平面直角坐标系中求解． [证明]　建立如图所示的平面直角坐标系，设AB＝2， 则A(0,0)，B(2,0)． (1)＝(－1,2)，＝(－2，－1)． ∴·＝(－1)×(－2)＋2×(－1)＝0， ∴⊥，即BE⊥CF. (2)设点P坐标为(x，y)，则＝(x，y－1)， ＝(2,1)， ∵∥， ∴x＝2(y－1)，即x＝2y－2， 同理，由∥得y＝－2x＋4， 由得 ∴点P的坐标为. ∴||＝＝2＝||，即AP＝AB. 用向量数量积的坐标运算可以解决平面几何中的问题： ①垂直问题，如证明四边形是矩形，常用向量垂直的等价条件：a⊥b⇔a·b＝x1x2＋y1y2＝0. ②求夹角问题：cos θ＝ ＝. ③求线段长度或证明相等：|a|＝. [变式训练] 2．已知在△ABC中，C是直角，CA＝CB，D是CB的中点，E是AB上一点，且AE＝2EB，求证：AD⊥CE. 证明：建立如图所示的直角坐标系， 设A(a,0)，则B(0，a)，E(x，y)． ∵D是BC的中点，∴D. 又＝2， ∴(x－a，y)＝2(－x，a－y)， 即 解得 ∴E. ∵＝－(a,0)＝， ＝＝， ∴·＝－a×＋×a ＝－a2＋a2＝0， ∴⊥，即AD⊥CE. 数量积的综合运用 [例3]　已知a＝(cos α，sin α)，b＝(cos β，sin β)， 且|ka＋b|＝|a－kb|(k>0)． (1)用k表示数量积a·b； (2)求a·b的最小值，并求出此时a与b的夹角θ的大小． [思路点拨]　利用向量的数量积列k的方程，然后求解． [解]　(1)由|ka＋b|＝|a－kb|，得(ka＋b)2＝3(a－kb)2， ∴k2a2＋2ka·b＋b2＝3a2－6ka·b＋3k2b2， ∴(k2－3)a2＋8ka·b＋(1－3k2)b2＝0. ∵|a|＝＝1，|b|＝＝1， ∴k2－3＋8ka·b＋1－3k2＝0， ∴a·b＝＝. (2)a·b＝＝(k＋)． 由函数的单调性容易得出，f(k)＝(k＋)在(0,1]上单调递减，在[1，＋∞)上单调递增． ∴当k＝1时，f(k)min＝f(1)＝×(1＋1)＝，即a·b的最小值为， 此时a与b的夹角θ的余弦值cos θ＝＝. ∴θ＝60°. 坐标由三角函数表示的向量要注意与单位圆的关系，模长具有特殊性，比如可以利用cos2α＋sin2α＝1等．由三角函数表示的数量积通常可以应用三角函数的有界性，同时要注意，sin α，cos α的取值范围是[－1,1]． [变式训练] 3．已知点A(1,0)，B(0,1)，C(2sin θ，cos θ)． (1)若|A|＝|B|，求tan θ的值． (2)若(O＋2)·O＝1，其中O为坐标原点，求sin θ＋cos θ的值． 解：(1)A＝(2sin θ－1，cos θ) B＝(2sin θ，cos θ－1) ∵|A|＝|B| ∴ ＝ ， 化简得2sin θ＝cos θ，∴tan θ＝. (2)∵O＋2＝(1,2)， O＝(2sin θ，cos θ)， ∴(O＋2)·O＝2sin θ＋2cos θ＝1， ∴sin θ＋cos θ＝. 对应学生用书P67 1．设向量a＝(x,1)，b＝(4，x)，且a⊥b，则x的值是(　　 ) A．±2　　　　　　　　　 B．0 C．－2 D．2 解析：B　[由a⊥b，得a·b＝0，即4x＋x＝0，解得x＝0，故选B.] 2．已知向量m＝(λ＋1,1)，n＝(λ＋2,2)，若(m＋n)⊥(m－n)，则λ＝(　　) A．－4　 B．－3　　C．－2　　D．－1 解析：B　[因为m＝(λ＋1,1)，n＝(λ＋2,2)． 所以m＋n＝(2λ＋3,3)，m－n＝(－1，－1)． 因为(m＋n)⊥(m－n)，所以(m＋n)·(m－n)＝0， 所以－(2λ＋3)－3＝0，解得λ＝－3.故选B.] 3．已知向量a＝(2,4)，b＝(－1,1)，c＝a－tb，若b⊥c，则实数t＝　________　. 解析：由题意得c＝a－tb＝(2,4)－t(－1,1)＝(2＋t,4－t)． ∵b⊥c，∴b·c＝(－1,1)·(2＋t,4－t)＝－(2＋t)＋(4－t)＝2－2t＝0，解得t＝1. 答案：1 4．已知⊥，||＝3，则·＝　________　. 解析：因为⊥，所以·＝0， 所以·＝·(＋)＝||2＋·＝||2＝32＝9. 答案：9 5．已知平面向量a＝(3，－4)，b＝(2，x)，c＝(2，y)，a∥b，a⊥c，求： ①向量b，c的坐标； ②向量a－2c与－3b的夹角． 解：①∵a＝(3，－4)，b＝(2，x)，a∥b， ∴3x＋8＝0，∴x＝－. ∵c＝(2，y)，a⊥c，∴6－4y＝0，∴y＝. ∴b＝，c＝. ②设a－2c与－3b的夹角为θ，∵a－2c＝(3，－4)－(4,3)＝(－1，－7)，－3b＝(－6,8)， ∴cos θ＝＝＝－. ∵0≤θ≤π，∴θ＝. 故a－2c与－3b的夹角为. 对应学生课时P39 1．已知平面向量a＝(3,1)，b＝(x，－3)，且a⊥b，则x＝(　　) A．3　　　　　　　 B．1 C．－1 D．－3 解析：B　[∵a⊥b，∴a·b＝0，∴3x－3＝0，∴x＝1.] 2．已知a＝(2，－3)，b＝(1，－2)，且c⊥a，b·c＝1，则c的坐标为(　　) A．(3，－2) B．(3,2) C．(－3，－2) D．(－3,2) 解析：C　[设c＝(x，y)，c⊥a，∴2x－3y＝0. 又b·c＝1，∴x－2y＝1， 综合①②知x＝－3，y＝－2.] 3．已知点A(－2，－3)，B(19,4)，C(－1，－6)，则△ABC是(　　) A．等腰三角形 B．等边三角形 C．直角三角形 D．等腰直角三角形 解析：C　[＝(19,4)－(－2，－3)＝(21,7)， ＝(－1，－6)－(－2，－3)＝(1，－3)， ·＝21－21＝0， ∴⊥. 则∠A＝90°， 又||≠||， ∴△ABC为直角三角形．] 4．点O是三角形ABC所在平面内的一点，满足·＝·＝·，则点O是△ABC的(　　) A．三个内角的角平分线的交点 B．三条边的垂直平分线的交点 C．三条中线的交点 D．三条高的交点 解析：D　[∵·＝·， ∴(－)·＝0. ∴·＝0. ∴OB⊥AC.同理OA⊥BC，OC⊥AB， ∴O为三条高的交点．] 5．若角α顶点在坐标原点O，始边与x轴的正半轴重合，点P在α的终边上，点Q(－3，－4)，且tan α＝－2，则与夹角的余弦值为(　　) A．－ B. C.或－ D.或 解析：C　[∵tan α＝－2， ∴可设P(x，－2x)， cos〈，〉＝＝， 当x＞0时，cos〈，〉＝， 当x＜0时，cos〈，〉＝－.] 6．(多选题)设a，b，c是任意的非零向量，且它们相互不共线，给出的下列结论正确的是(　　) A．a·c－b·c＝(a－b)·c B．(b·c)·a－(c·a)·b不与c垂直 C．|a|－|b|＜|a－b| D．(3a＋2b)·(3a－2b)＝9|a|2－4|b|2 解析：ACD　[根据向量数量积的分配律知A正确； ∵[(b·c)·a－(c·a)·b]·c ＝(b·c)·(a·c)－(c·a)·(b·c)＝0， ∴(b·c)·a－(c·a)·b与c垂直，B错误；∵a，b不共线，∴|a|、|b|、|a－b|组成三角形三边， ∴|a|－|b|＜|a－b|成立，C正确；D正确．故正确命题的序号是A、C、D.] 7．已知a＝(2,5)，b＝(λ，－3)，且a⊥b，则λ＝　________　. 解析：∵a⊥b，∴a·b＝0，即2λ－15＝0，λ＝. 答案： 8．设向量a＝(1,0)，b＝(－1，m)．若a⊥(ma－b)，则m＝　________　. 解析：由题意得ma－b＝(m＋1，－m)，根据向量垂直的充要条件可得1×(m＋1)＋0×(－m)＝0，所以m＝－1. 答案：－1 9．(多空题)已知向量a＝(1,2)，b＝(2，－3)．若向量c＝(x，y)满足(c＋a)∥b，c⊥(a＋b)，则x＝　________　，y＝　________　. 解析：∵c＝(x，y)，则c＋a＝(x＋1，y＋2)， 又(c＋a)∥b，∴2(y＋2)＋3(x＋1)＝0.① 又c⊥(a＋b)，∴(x，y)·(3，－1)＝3x－y＝0.② 由①②解得x＝－，y＝－. 答案：－　－ 10．已知a＝(4,3)，b＝(－1,2)． (1)求a与b的夹角的余弦值； (2)若(a－λb)⊥(2a＋b)，求实数λ的值． 解：(1)∵a·b＝4×(－1)＋3×2＝2， |a|＝＝5，|b|＝＝， ∴cos〈a，b〉＝＝＝. (2)∵a－λb＝(4＋λ，3－2λ)，2a＋b＝(7,8)， 又(a－λb)⊥(2a＋b)， ∴(a－λb)·(2a＋b)＝7(4＋λ)＋8(3－2λ)＝0， ∴λ＝. 11．已知a＝(1，－1)，b＝(λ，1)．若a与b的夹角α为钝角，求实数λ的取值范围． 解：∵a＝(1，－1)，b＝(λ，1)， ∴|a|＝，|b|＝，a·b＝λ－1. ∵a，b的夹角α为钝角． ∴即 ∴λ＜1且λ≠－1. ∴λ的取值范围是(－∞，－1)∪(－1,1)． 12．已知a＝，＝a－b，＝a＋b，若△AOB是以O为直角顶点的等腰直角三角形，求向量b. 解：设向量b＝(x，y)． 根据题意得·＝0，||＝||. ∴(a－b)·(a＋b)＝0，|a－b|＝|a＋b|， ∴|a|＝|b|，a·b＝0. 又∵a＝，即 解得或 ∴b＝或b＝. 13．已知正方形ABCD中，E，F分别是CD，AD的中点，BE，CF交于点P.求证： (1)BE⊥CF； (2)AP＝AB.解：建立如图所示的平面直角坐标系，设AB＝2， 则A(0,0)，B(2,0)． (1)＝(－1,2)，＝(－2，－1)． ∴·＝(－1)×(－2)＋2×(－1)＝0， ∴⊥，即BE⊥CF. (2)设点P坐标为(x，y)，则＝(x，y－1)， ＝(2,1)，∵∥， ∴x＝2(y－1)，即x＝2y－2， 同理，由∥得y＝－2x＋4， 由，得 ∴点P的坐标为. ∴||＝＝2＝||，即AP＝AB. 学科网（北京）股份有限公司 $