8.1.3 第1课时 向量的坐标与向量的数量积-【创新教程】2025-2026学年高中数学必修第三册五维课堂教师用书word（人教B版）

本讲义聚焦向量数量积的坐标运算核心知识点，通过单位向量i、j推导数量积坐标公式a·b=x1x2+y1y2，延伸至向量模、两点间距离及夹角公式，搭建从几何定义到代数运算的学习支架。 资料以情境引入激发兴趣，问题链引导逻辑推理，例题变式强化数学运算。通过坐标运算实现几何问题代数化，培养数学眼光与思维，课中辅助教师教学，课后助力学生查漏补缺。

8．1.3　向量数量积的坐标运算 第1课时　向量的坐标与向量的数量积 课程标准 素养解读 1.掌握平面向量数量积的坐标表示，会进行平面向量数量积的坐标运算 2．能运用数量积进行两个向量夹角和模的计算，并能推导平面内两点间的距离公式 通过推导数量积的坐标运算及通过求夹角和模，体会逻辑推理素养及数学运算素养 对应学生用书P63 [情境引入] “我知道我一直有双隐形的翅膀，带我飞，飞过绝望，不去想他们拥有美丽的太阳，我看见每天的夕阳也会有变化，我知道我一直有双隐形的翅膀，带我飞，给我希望……”，如果能为平面向量的数量积插上“翅膀”，它又能飞多远呢？本节讲解平面向量数量积的“翅膀”——坐标表示，它使平面向量的数量积同时具有几何形式和代数形式的“双重身份”，从而可以使几何问题数量化，把“定性”研究推向“定量”研究． [问题]　在平面直角坐标系中，设i，j分别是x轴和y轴方向上的单位向量，a＝(3,2)，b＝(2,1)，则a·b的值为多少？a·b的值与a，b的坐标有怎样的关系？若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a·b为多少？ 提示：a·b＝x1x2＋y1y2 [知识梳理] [知识点一]　平面向量数量积的坐标表示　 设向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a·b＝　x1x2＋y1y2　，即两个向量的数量积等于它们对应坐标的　乘积的和　. 若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2), θ是a与b的夹角，则 (1)a·b＝|a||b|cos θ＝x1x2＋y1y2； 特别地a·a＝a2＝|a|2＝x＋y， 即|a|＝ . (2)当a，b同向时， a·b＝|a||b|＝ · ； 当a，b反向时， a·b＝－|a||b|＝－· ； 当a，b垂直时， a·b＝|a||b|cos 90°＝x1x2＋y1y2＝0. (3)|a·b|≤|a||b|， 即|a·b|＝|x1x2＋y1y2|≤ ·. [知识点二]　向量模的计算公式　 1．若a＝(x，y)，则|a|＝　　. 2．如果向量a的起点坐标和终点坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)，那么|a|＝　　. 3．两点间的距离公式：若A(x1，y1)，B(x2，y2)，则||＝　　. 1.已知a＝(1,1)，b＝(2,3)，如何求|a＋b|? 提示：方法一：a＋b＝(1,1)＋(2,3)＝(3,4)， ∴|a＋b|＝＝5. 方法二：|a|2＝12＋12＝2，|b|2＝22＋32＝13， a·b＝1×2＋1×3＝5. ∴|a＋b|＝＝＝5. [知识点三]　向量的夹角公式　 cos θ＝＝　　. 2.a·b<0，能说明向量a·b的夹角θ是钝角吗？ 提示：不能．因为a·b<0还包括a、b反向，即a、b夹角是180°. [预习自测] 1．已知a＝(0,1)，b＝(2，－1)，则a·b等于(　　) A．1　　　　　　　　 B．－1 C．2 D．－2 答案：B 2．已知a＝(3,4)，b＝(5,12)，则a与b夹角的余弦值为(　　) A. B. C．－ D．－ 答案：A 3．已知向量a＝(1,2)，b＝(x,4)，若|b|＝2|a|，则x的值为(　　) A．4 B．2 C．±4 D．±2 解析：D　[|b|＝，|a|＝＝， ∴＝2，解得x＝±2.] 对应学生用书P64 向量数量积的坐标表示 [例1]　已知向量a＝(1,2)，b＝(3,4)，求a·b，(a－b)·(2a＋3b)． [思路点拨]　利用数量积的坐标表示可直接求a·b；(a－b)·(2a＋3b)可以先展开再求值，也可先分别求a－b及2a＋3b的坐标，再求值． [解]　(方法一)∵a＝(1,2)，b＝(3,4)， ∴a·b＝(1,2)·(3,4)＝1×3＋2×4＝11， (a－b)·(2a＋3b)＝2a2＋a·b－3b2＝2|a|2＋a·b－3|b|2＝2×(12＋22)＋11－3×(32＋42)＝－54. (方法二)∵a＝(1,2)，b＝(3,4)，∴a·b＝11. ∵a－b＝(1,2)－(3,4)＝(－2，－2)， 2a＋3b＝2(1,2)＋3(3,4)＝(2×1＋3×3,2×2＋3×4)＝(11,16)， ∴(a－b)·(2a＋3b)＝(－2，－2)·(11,16)＝－2×11＋(－2)×16＝－54. (1)涉及向量数量积的坐标表示一般利用公式a·b ＝x1x2＋y1y2求解，其关键是求出a，b的坐标．(2)若题中涉及图形，则要充分利用向量终点坐标与起点坐标之差求出向量的坐标，再由向量坐标求得数量积． [变式训练] 1．已知向量a与b同向，b＝(1,2)，a·b＝20. (1)求向量a的坐标； (2)若c＝(2,1)，求(b·c)·a. 解：(1)∵a与b同向，且b＝(1,2)， ∴可设a＝λb＝λ(1,2)＝(λ，2λ)，且λ>0. 又由a·b＝20，可得1×λ＋2×2λ＝20， 解得λ＝4>0.∴a＝(4,8)． (2)∵b·c＝(1,2)·(2,1)＝1×2＋2×1＝4， ∴(b·c)·a＝4(4,8)＝(16,32)． 平面向量的模 [例2]　已知平面向量a＝(3,5)，b＝(－2,1)． (1)求a－2b及其模的大小； (2)若c＝a－(a·b)b，求|c|. [思路点拨]　利用求模公式求解． [解]　(1)∵a＝(3,5)，b＝(－2,1)， ∴a－2b＝(3,5)－2(－2,1)＝(3＋4,5－2)＝(7,3)， ∴|a－2b|＝＝. (2)∵a·b＝－6＋5＝－1， ∴c＝a＋b＝(1,6)， ∴|c|＝＝. 求向量a＝(x，y)的模的常见思路及方法 (1)求模问题一般转化为求模的平方，要灵活应用公式a2＝|a|2＝x2＋y2，求模时，勿忘记开方． (2)a·a＝a2＝|a|2或|a|＝＝，此性质可用来求向量的模，可以实现实数运算与向量运算的相互转化． [变式训练] 2．(1)已知向量a＝(2,1)，a·b＝10，|a＋b|＝5，则|b|＝(　　) A.　 B.　　C．5　　D．25 (2)已知向量a＝(x，y)，b＝(－1,2)，且a＋b＝(1,3)，则|a－2b|＝　________　. 解析：(1)∵a＝(2,1)，∴a2＝5， 又|a＋b|＝5，∴(a＋b)2＝50，即a2＋2a·b＋b2＝50， ∴5＋2×10＋b2＝50，∴b2＝25，∴|b|＝5. (2)由a＋b＝(1,3)，得a＝(2,1)，∴a－2b＝(4，－3)， ∴|a－2b|＝＝5. 答案：(1)C　(2)5 两向量的夹角 [例3]　已知＝(2,1)，＝(1,7)，＝(5,1)，设C是直线OP上的一点(其中O为坐标原点)． (1)求使·取得最小值时的； (2)对(1)中求出的点C，求cos∠ACB. [思路点拨]　利用夹角公式直接求解． [解]　(1)∵点C是直线OP上的一点， ∴向量与共线， 设＝t (t∈R)，则＝t(2,1)＝(2t，t)， ∴＝－＝(1－2t,7－t)， ＝－＝(5－2t,1－t)， ∴·＝(1－2t)(5－2t)＋(7－t)(1－t)＝5t2－20t＋12＝5(t－2)2－8. ∴当t＝2时，·取得最小值，此时＝(4,2)． (2)由(1)知＝(4,2)， ∴＝(－3,5)，＝(1，－1)， ∴||＝，||＝，·＝－3－5＝－8. ∴cos∠ACB＝＝－. 应用向量的夹角公式求夹角时，应先分别求出两个向量的模，再求出它们的数量积，最后代入公式求出夹角的余弦值，进而求出夹角． [变式训练] 3．已知向量a＝e1－e2，b＝4e1＋3e2，其中e1＝(1,0)，e2＝(0,1)． (1)试计算a·b及|a＋b|的值； (2)求向量a与b夹角的余弦值． 解：(1)a＝e1－e2＝(1,0)－(0,1)＝(1，－1) b＝4e1＋3e2＝4(1,0)＋3(0,1)＝(4,3)， ∴a·b＝4×1＋3×(－1)＝1， |a＋b|＝＝＝. (2)设〈a，b〉＝θ，由a·b＝|a||b|cos θ， ∴cos θ＝＝＝. 对应学生用书P65 1．若向量a＝(x,2)，b＝(－1,3)，a·b＝3，则x＝(　　) A．3　 B．－3　　C.　　D．－ 解析：A　[a·b＝－x＋6＝3，故x＝3.] 2．已知a＝(－，－1)，b＝(1，)，那么a，b的夹角θ＝(　　) A.　 B.　　C.　　D. 解析：D　[cos θ＝＝－，又因为θ∈[0，π]，所以θ＝.] 3．已知向量a＝(1，)，b＝(3，m)．若向量a，b的夹角为，则实数m＝(　　) A．2　 B.　　C．0　　D．－ 解析：B　[∵a·b＝(1，)·(3，m)＝3＋m， |a|＝2，|b|＝. ∴cos ＝＝，解得m＝.] 4．设向量a＝(m,1)，b＝(1,2)，且|a＋b|2＝|a|2＋|b|2，则m＝　________　. 解析：法一　a＋b＝(m＋1,3)， 又|a＋b|2＝|a|2＋|b|2. ∴(m＋1)2＋32＝m2＋1＋5， 解得m＝－2. 法二　由|a＋b|2＝|a|2＋|b|2， 得a·b＝0，即m＋2＝0，解得m＝－2. 答案：－2 5．已知点A，B，则与向量同方向的单位向量是(　　) A.　　　 B. C. D. 解析：C　[与向量＝同方向的单位向量是＝＝＝.] 对应学生课时P37 1．已知a＝(2，－1)，b＝(1，－1)，则(a＋2b)·(a－3b)＝(　　) A．10　　　　　　　 B．－10 C．3 D．－3 解析：B　[a＋2b＝(4，－3)，a－3b＝(－1,2)，所以(a＋2b)·(a－3b)＝4×(－1)＋(－3)×2＝－10.] 2．已知向量a＝(2,1)，b＝(－1，k)，a·(2a－b)＝0，则k等于(　　) A．－12 B．－6 C．6 D．12 解析：D　[由已知得a·(2a－b)＝2a2－a·b ＝2(4＋1)－(－2＋k)＝0，∴k＝12.] 3．若平面向量a＝(1，－2)与b的夹角是180°，且|b|＝3，则b等于(　　) A．(－3,6) B．(3，－6) C．(6，－3) D．(－6,3) 解析：A　[由题意，设b＝λa＝(λ，－2λ)(λ<0)， 则|b|＝＝|λ|＝3， 又λ<0，∴λ＝－3，故b＝(－3,6)．] 4．已知向量a＝(0，－2)，b＝(1，)，则向量a在b方向上的投影数量为(　　) A. B．3 C．－ D．－3 解析：D　[向量a在b方向上的投影数量为＝＝－3.故选D.] 5．设a＝(1,2)，b＝(1，m)．若a与b的夹角为钝角，则m的取值范围是(　　) A. B. C. D. 解析：D　[∵a与b的夹角为钝角，且a与b不反向， ∴cos θ＝＜0，∴a·b＜0， ∴1×1＋2×m＜0，∴m＜－.] 6．(多选题)已知向量b与向量a＝(1，－2)共线，且|b|＝3，则b＝(　　) A．(－3,6) B．(3，－6) C．(6，－3) D．(－6,3) 解析：AB　[由题意，设b＝λa＝(λ，－2λ)(λ≠0)，由于|b|＝3. ∴|b|＝＝＝3，∴λ＝±3，即b＝(－3,6)或(3，－6)．] 7．已知a＝(－1,1)，b＝(1,2)，则a·(a＋2b)＝　________　. 解析：a＋2b＝(1,5)，a·(a＋2b)＝1×(－1)＋5×1＝4. 答案：4 8．(新定义问题)设m＝(a，b)，n＝(c，d)，规定两向量m，n之间的一个运算“⊗”为m⊗n＝(ac－bd，ad＋bc)，若已知p＝(1,2)，p⊗q＝(－4，－3)，则q的坐标为　________　. 解析：设q＝(x，y)，则p⊗q＝(x－2y，y＋2x) ＝(－4，－3)． ∴∴∴q＝(－2,1)． 答案：(－2,1) 9．(多空题)已知向量a＝(3,3)，b＝(－2,5)，则cos〈a·b〉＝　________　，a在b上的投影的数量为　________　. 解析：cos〈a，b〉＝ ＝ ＝＝， a在b上的投影数量： |a|·cos〈a，b〉＝＝ ＝＝. 答案：　 10．已知向量a与b同向，b＝(1,2)，a·b＝10，求： (1)向量a的坐标； 4(2)若c＝(2，－1)，求(a·c)·b. 解：(1)∵a与b同向，且b＝(1,2)， ∴a＝λb＝(λ，2λ)(λ＞0)． 又∵a·b＝10，∴λ＋4λ＝10， ∴λ＝2，∴a＝(2,4)． (2)∵a·c＝2×2＋(－1)×4＝0， ∴(a·c)·b＝0·b＝0. 11．已知a＝(4，－3)，b＝(－1,2)． (1)求a＋b与a－b夹角的余弦值； (2)若(a－λb)⊥(2a＋b)，求实数λ的值． 解：(1)a＋b＝(3，－1)，a－b＝(5，－5)， 设a＋b与a－b的夹角为θ， 则cos θ＝＝＝. ∴a＋b与a－b夹角的余弦值为. (2)∵(a－λb)⊥(2a＋b)， ∴(a－λb)·(2a＋b)＝0， ∴2a2＋(1－2λ)a·b－λb2＝0， ∵a2＝25，b2＝5，a·b＝－4－6＝－10. ∴50－10(1－2λ)－5λ＝0，解得λ＝－. 12．设a＝(1,2)，b＝(－2，－3)，又c＝2a＋b，d＝a＋mb，若c与d夹角为45°，求实数m的值． 解：∵a＝(1,2)，b＝(－2，－3)， ∴c＝2a＋b＝2(1,2)＋(－2，－3)＝(0,1)， d＝a＋mb＝(1,2)＋m(－2，－3)＝(1－2m,2－3m)， ∴c·d＝0×(1－2m)＋1×(2－3m)＝2－3m. 又∵|c|＝1，|d|＝， ∴cos 45°＝＝＝. 化简得5m2－8m＋3＝0，解得m＝1或m＝. 13．已知平面直角坐标系中，A(0,4)，B(2,0)，P(3，t)． (1)若A，B，P三点共线，求实数t的值． (2)若⊥，求实数t的值． (3)若∠BAP是锐角，求实数t的取值范围． 解：(1)∵A，B，P三点共线，∴∥. ∵＝(2，－4)，＝(1，t)，∴2t＋4＝0，∴t＝－2. (2)∵⊥，∴·＝2－4t＝0，∴t＝. (3)若∠BAP是锐角，则·>0，且，不共线． ∵＝(2，－4)，＝(3，t－4)，∴6－4(t－4)>0， 且t≠－2，解得t<，且t≠－2. 学科网（北京）股份有限公司 $