8.1 向量的数量积 8.1.3 向量数量积的坐标运算 第2课时用向量的坐标表示两个向量垂直的条件-【创新教程】2024-2025学年高中数学必修第三册五维课堂（人教B版2019）

参考答案 变式训练 3.解析：因为在四边形ABCD中，AC=(1,2),BD=(-4, 3.解：(1)a=e1-e2=(1,0)-(0,1)=(1.-1) 2),AC.BD=0. b=4e1+3e2=4(1,0)+3(0,1)=(4,3), 所以四边形ABCD的对角线互相垂直， .a·b=4×1+3×(-1)=1, 又因为1AC1=√/12+22=N5,1BD1=√（-4)2+22= |a+b1=√/(4+1)2+(3-1)2=√/25+4=29. 25, (2)设(a,b)=0.由a·b=allblcos0, 1_② 所以该四边形的面积号1A·BD=号×，5×2后 ∴.cos0=ab2X516 =5. 随堂步步夯实 答案：5 1.A[a·b=-x+6=3,故x=3.] 课堂互动学案 [例1门[解]根据直角的位置不同，可分为3种情形： 2D[0g=-5-夏又周为0E[0,小，所以0 2×2 (1)若∠A=90°，则AB·AC=0, 即2+张=0，得=-号： 3.B[.a·b=(13)·(3,m)=3+3m, (2)若∠B=90°，则AB·BC=0, 1a=2,1b=√9+m2 因为BC=AC-AB=(-1,k-3), 无-5-3十3m,解得m=尽.] co86=22X/9+m 所以-2+3-3》=0，释一号 (3)若∠C=90,则AC.B元=0. 4.解析：法一a十b=(m十1,3)， 又|a+b12=|a2+|b2. 所以-1十k(k-3)=0,得k=3±区 2 .(m+1)2+32=m2+1+5, 解得m=一2. 综上可知，k= 号我6=号或63达国 3 2 法二由a+b12=a2+lb12, 变式训练 得a·b=0,即m十2=0，解得m=一2. 1.解：ka+b=k(1,2)十（一3,2）=(k一3,2k+2), 答案：-2 a-3b=(1,2)-3(-3,2)=(10,-4) 又ka+b与a-3b垂直，故(ka+b)·(a-3b)=0. 5.C[与向量花=（号2）同方向的单位向量是 即(k-3)·10十+(2k+2)·(-4)=0,得k=19. ABI [例2][证明]建立如图所示的平 y 面直角坐标系，设AB=2, D (22)()门 则A(0,0),B(2,0). (1)BE=(-1,2),CF=(-2.-1). 第2课时用向量的坐标表示两个向量垂直的条件 .BE.CF=(-1)×(-2)+2× 4(0 课前预习学案 (-1)=0. 情境引入 BE⊥CF,即BE⊥CF 提示：ab台a·b=0=x1x2十y1y2=0 (2)设点P坐标为(x,y),剩FP=(xy一1)， 知识梳理 FC=(2,1), 知识点x1x2十y1y2=0 :FP∥FC, [思考] .x=2(y-1),即x=2y-2. 提示：若a∥b=x1y2=x2y1,即1y2-x2y1=0.若a⊥b 同理，由BP∥BE得y=-2.x+4, 台x1x2=一y12,即21x2十y1y2=0.两个今题不能混淆， 6 可以对比学习，分别简记为：纵横交错积相等，横横纵纵 由=2得 x= 积相反. {y=-2x+4, 8 预习自测 y= 1.A[由a=(-3,2),b=(-1,0), 点P的生标为（停号） 知a+b=(-3x-1,2x),a-2b=(-1,2). 又(a十b)·(a-2b)=0, ()+() =2=AB1,即AP-=AB. .3λ十1+4λ=0， 变式训练 =-] 2.证明：建立如图所示的直角坐标系， 设A(a,0),则B(0,a),E(xy). 2.A[由题意，设b=a=(a,-2入)（入<0），由于1b|= 3√5. D是BC的中点D(0受） ∴|b1=√2-(-2)2=√5a2=35,.A=-3.即b= 又AE=2EB. (-3,6).] ∴.(x-t,y)=2(-x,a-y）, ·115· 必修第三册 数学B 即/-a=-2.r, 3.解析：由题意得c=a-b=(2,4)-t(-1,1)=(2+t,4-t). 1y=2a-2y. :b⊥c,.b·c=(-1,1)·(2+t,4-t)=-(2十t)+(4 -1)=2-21=0,解得1=1. 解得 答案：l 4.解析：因为OA⊥AB,所以OA·AB=0, 所以OA·OB=OA·(OA+AB)=OA2+OA.AB=1 (号 0A12=32=9. 答案：9 :ai=(0,号）-(a0)=(-a…受） 5.解：①a=(3,-4),b=(2,x),a∥b. o=成=（号 3+8=0=-号 ∴Ai.C弦=-a×号+号×号0 e-(2y)Le-0.y =-32+32=0 b=(.-)e=2) ②设a-2c与-3b的夹角为0.，a-2e=(3,-4)-(4, AD⊥CE,即AD⊥CE. 3)=(-1,-7),-3b=(-6,8), [例3][解](1)由a+b1=3a-b1,得(a+b)2 ∴.cos0= a=2c）.(-3h-6-56=-2 =3(a-kh)2, 1a-2c·1-3b52×10 2 .k2a2+2ka·b+b2=3a2-6ka·b+3k2b, ∴.(k2-3)a2+86a·b+(1-3k2)b2=0. 0≤0≤x.0=3= 4 :a=√cosa+sina=1,b=√cos2p+sin2B=1, 故a-2c与-3b的夹角为要 ∴.k2-3+8ka·b+1-3k2=0, a·6=2k2+2_2+1 8.2三角恒等变换 8.2.1两角和与差的余弦 2ab出-+. 课前预习学案 44 情境引入 由画数的单调性容易得出，)=子(+名)在(0门上 提示：(1)不成立.因为c0s(π一a)=一cosa,cosπ一osa= -1一cosa,若cos(x一a)=cosr-cosa,则-1=0矛盾.故 单调递减，在[1，十∞)上单调递增. 不成立 当k=1时，)m=1)=子×1+1D=号即a·b (2)因为cos(受-a）=sina,cos受cosa十sin受sina= 的最小值为宁 sin a. 所以cos(受-a）=cos受cosa十sin受ina成立. 此时a与b的夹角0的余弦值c0s0=a6=2 a·b1 知识梳理 ∴.0=60 知识点一、(1)cos acos B-+sin asin B任意角 变式训练 知识点二、cos acos(-B)+sin asin(-B)cos acos B--sin asin B 3.解：(1)AC=(2sin0-1,cos0) [思考] BC=(2sin 0,cos 0-1) 1提示：差角的余弦简记：余余正正，符号反 ACI=IBCI 2.提示：cos(受-Q）=cos受cosa十sin受ina=0十sina ∴.√(2sin0-1)2+cos20 sin a. =√(2sin8)2+(cos0-1)2, 3.提示：一般情况下不相等，但在特殊情况下也有相等的时 候，例如：当a=0°，3=60°时，co8(0°-60)=c0s0° 化简得2sin0=6os.an0= c0s60°. 预习自测 (2)OA+2OB=(1,2), 1.C2.A OC=(2sin 0.cos 0), 品司 ∴.(OA+2OB)·OC=2sin0+2cos0=1, 课堂互动学案 &sin0叶cos0=2 [例1][解](1)原式=cos75cos15+sin75sin15= 随堂步步夯实 c0s(75°-15)=c0s60°=2 1.B[由a⊥b,得a·b=0,即4x十x=0,解得x=0,故 选B.] ②)原式=os60cs15+n60m15产-os456-号 2.B[因为m=(a+1,1),n=(a+2,2). (3)原式=cos(60°+45) 所以m十n=(2x+3,3),m-n=(-1,-1). =cos60°cos45°-sin60°sin45 因为(m十n)⊥(m-n),所以(m+n)·(m一n)=0, 所以一(2A+3)一3=0，解得入=一3.故选B.] 4 ·116·第２课时　用向量的坐标表示两个向量垂直的条件 课程标准 素养解读 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 １．能根据向量的坐标判定两个向量垂直 ２．能根据向量的垂直证明平面几何中的直线垂直 通过学习向量的数量积表示两向量的垂直,重 点培养学生数学运算及逻辑推理素养 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 [情境引入] 　　平面向量的表示方法有几何法和坐标法,向量的 表示形式不同,对其运算的表示方式也不同．向量的 坐标表示为我们解决有关向量的线性运算带来了极 大方便． [问题]　设a＝(x１,y１),b＝(x２,y２)．如何用向量的 坐标来表示a⊥b? [知识梳理] [知识点]　两个向量垂直的坐标表示 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 设a＝(x１,y１),b＝(x２,y２),则a⊥b⇔ 　 　 　 　　． 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 已知非零向量a＝(x１,y１),b＝(x２,y２)．a∥ b与a⊥b坐标表示有何区别? [预习自测] １．已知a＝(－３,２),b＝(－１,０),向量λa＋b与a－ ２b垂直,则实数λ的值为 (　　) A．－１７　　B． １ ７　　C．－ １ ６　　D． １ ６ ２．已知向量b与向量a＝(１,－２)的夹角是１８０°,且|b|＝ ３ ５,则b＝ (　　) A．(－３,６)　　　　　　　B．(３,－６) C．(６,－３) D．(－６,３) ３．在四边形ABCD 中,AC→＝(１,２),BD→＝(－４,２),则 四边形ABCD 的面积为　　　　． 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 向量垂直的坐标表示及应用 [例１]在△ABC 中,已知AB → ＝(２,３),AC → ＝(１,k), 且△ABC的一个内角为直角,求实数k的值． 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋[思路点拨]　利用向量垂直列k的方程,再求k． 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 由于未指定哪个角是直角,故应分三种情形讨论, 利用向量垂直刻画内角为直角,列出k的方程,再 求出k． 􀳀[变式训练] １．已知a＝(１,２),b＝(－３,２),若ka＋b与a－３b垂 直,求k的值． 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀅰６６􀅰 必修第三册　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　数学B 　　　向量数量积的坐标运算在平面几何中应用 [例２]　已知正方形ABCD 中,E,F 分别是CD,AD 的中点,BE,CF 交于点P．求证: (１)BE⊥CF; (２)AP＝AB． 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋[思路点拨]　画出图形,根据图像寻找边与边之 间的关系,在平面直角坐标系中求解． 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 用向量数量积的坐标运算可以解决平面几何中的 问题: ①垂直问题,如证明四边形是矩形,常用向量垂直 的等价条件:a⊥b⇔a􀅰b＝x１x２＋y１y２＝０． ②求夹角问题:cosθ＝ a 􀅰b |a||b| ＝ x１x２＋y１y２ x２１＋y２１􀅰 x２２＋y２２ ． ③求线段长度或证明相等:|a|＝ x２＋y２． 􀳀[变式训练] ２．已知在△ABC中,C 是直角,CA＝CB,D 是CB 的 中点,E 是AB 上一点,且 AE＝２EB,求证:AD ⊥CE． 数量积的综合运用 [例３]　已知a＝(cosα,sinα),b＝(cosβ,sinβ), 且|ka＋b|＝ ３|a－kb|(k＞０)． (１)用k表示数量积a􀅰b; (２)求a􀅰b的最小值,并求出此时a与b 的夹角θ 的大小． 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋[思路点拨]　利用向量的数量积列k的方程,然 后求解． 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 坐标由三角函数表示的向量要注意与单位圆的关 系,模长具有特殊性,比如可以利用cos２α＋sin２α ＝１等．由三角函数表示的数量积通常可以应用 三角函数的有界性,同时要注意,sinα,cosα的取 值范围是[－１,１]． 􀳀[变式训练] ３．已知点A(１,０),B(０,１),C(２sinθ,cosθ)． (１)若|AC → |＝|BC → |,求tanθ的值． (２)若(OA → ＋２OB →)􀅰OC → ＝１,其中O 为坐标原点, 求sinθ＋cosθ的值． 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 １．设向量a＝(x,１),b＝(４,x),且a⊥b,则x的值是 (　　 ) A．±２　　　　　　　　　　B．０ C．－２ D．２ ２．已知向量m＝(λ＋１,１),n＝(λ＋２,２),若(m＋n) ⊥(m－n),则λ＝ (　　) A．－４　　B．－３　　C．－２　　D．－１ ３．已知向量a＝(２,４),b＝(－１,１),c＝a－tb,若b⊥ c,则实数t＝　　　　． ４．已知OA→⊥AB→,|OA→|＝３,则OA→􀅰OB→＝　　　　． ５．已知平面向量a＝(３,－４),b＝(２,x),c＝(２,y),a ∥b,a⊥c,求: ①向量b,c的坐标; ②向量a－２c与－３b的夹角． 学习至此,请完成配套训练 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀅰７６􀅰 第八章　向量的数量积与三角恒等变换