7.4 数学建模活动：周期现象的描述-【创新教程】2025-2026学年高中数学必修第三册五维课堂教师用书word（人教B版）

7．4　数学建模活动：周期现象的描述 课程标准 素养解读 1.会用三角函数解决简单的实际问题 2．体会利用三角函数构建事物周期变化的数学模型 通过实际问题，构建三角函数数学模型，重点提升学生的数学抽象、数学运算和数学建模素养 对应学生用书P49 [情境引入] 温州市区著名景点——江心屿，江心屿上面有座寺庙——江心寺，在江心寺中题了一副非常知名的对联．上联是：云朝朝 朝朝朝 朝朝朝散；下联是：潮长长　长长长　长长长消．该对联巧妙地运用了叠字诗展现了瓯江潮水涨落的壮阔画面．下面是瓯江江心屿码头在某年某个季节每天的时间与水深的关系表： 时间 0 1 3 6 8 9 12 15 18 21 24 水深 6 6.25 7.5 5 2.84 2.5 5 7.5 5 2.5 5 [问题]　仔细观察表中的数据，你能从中得到一些什么信息？ 提示　水深随时间的变化呈周期性变化． [知识梳理] [知识点一]　三角函数的应用　 1．三角函数模型的作用 三角函数作为描述现实世界中周期现象的一种数学模型，可以用来研究很多问题，在刻画周期变化规律、预测未来等方面发挥重要作用． 2．用函数模型解决实际问题的一般步骤 收集数据→画散点图→选择函数模型→求解函数模型→检验． [知识点二]　函数y＝Asin(ωx＋φ)，A>0，ω>0中参数的物理意义　 在建模过程中，散点图的作用是什么？ 提示：利用散点图可以较为直观地分析两个变量之间的某种关系，然后利用这种关系选择一种合适的函数去拟合这些散点，从而避免因盲目选择函数模型而造成的不必要的失误． [知识点三]　四类周期现象模型　 (1)潮汐现象模型 潮汐现象可以用函数y＝Asin(ωx＋φ)(x∈[0，＋∞)，A>0，ω>0)，来表示． (2)单摆弹簧等简谐振动模型 单摆、弹簧等简谐振动可以用三角函数表达为y＝Asin(ωx＋φ)，其中x表示时间，y表示位移，A表示振幅，表示频率，φ表示初相位． (3)音叉发出的纯音振动模型 音叉发出的纯音振动可以用三角函数表达为y＝Asin ωx，其中x表示时间，y表示纯音振动时音叉的位移，表示纯音振动的频率(对应音高)，A表示纯音振动的振幅(对应音强)． (4)交变电流模型 交变电流可以用三角函数表达为y＝Asin(ωx＋φ)，其中x表示时间，y表示电流，A表示最大电流，表示频率，φ表示初相位． [预习自测] 1．弹簧振子的振幅为2 cm，在6 s内振子通过路程是32 cm，由此可知该振子振动的(　　) A．频率为1.5 Hz　　　　 B．周期为1.5 s C．周期为6 s D．频率为6 Hz 解析：B　[振幅为2 cm，振子在一个周期内通过的路程为8cm，易知在6 s内振动了4个周期，所以T＝1.5 s．] 2.如图是一向右传播的绳波在某一时刻绳子上各点的位置图，经过周期后，乙的位置将移至(　　) A．x轴上 B．最低点 C．最高点 D．不确定 解析：C　[相邻的最大值与最小值之间间隔半个周期，故乙移至最高点．] 3．函数y＝3sin(x－)的初相为　________　. 答案：－ 对应学生用书P50 由模型图像解决问题 [例1]　已知电流I与时间t的关系为I＝Asin(ωt＋φ)． (1)如图所示的是I＝Asin(ωt＋φ)在一个周期内的图像，根据图中数据求I＝Asin(ωt＋φ)的解析式； (2)如果t在任意一段的时间内，电流I＝Asin(ωt＋φ)都能取得最大值和最小值，那么ω的最小正整数值是多少？ [思路点拨]　根据图像写出解析式，然后求最值． [解]　(1)由题图可知A＝300，设t1＝－，t2＝， 则周期T＝2(t2－t1)＝2＝. ∴ω＝＝150 π. 又当t＝时，I＝0， 即sin(150π·＋φ)＝0， 而|φ|<，∴φ＝. 故所求的解析式为I＝300sin(150πt＋)． (2)依题意知，周期T≤，即≤(ω>0)， ∴ω≥300π>942，又ω∈N＋， 故所求最小正整数ω＝943. 1．已知三角函数图像解决应用问题，首先由图像确定三角函数的解析式，其关键是确定参数A，ω，φ，同时在解题中注意各个参数的取值范围． 2．处理物理学问题的策略 (1)常涉及的物理学问题有单摆、光波、电流、机械波等，其共同的特点是具有周期性． (2)明确物理概念的意义，此类问题往往涉及诸如频率、振幅等概念，因此要熟知其意义并与对应的三角函数知识结合解题． [变式训练] 1．如图所示，某地一天6～14时的温度变化曲线可以近似看作函数y＝Asin(ωt＋φ)＋b的部分图像，其中A>0,0<φ<π. (1)求这一天的最大温度差； (2)写出这段曲线的函数解析式． 解析：(1)由题图可知，这段时间的最大温度差是20℃. (2)从题图中可看出，6～14时的图像是函数的半个周期的图像． 由y＝Asin(ωt＋φ)＋b， 得A＝＝10，b＝＝20. ∵·＝14－6， ∴ω＝. 将t＝6，y＝10代入 y＝10sin(t＋φ)＋20， 解得φ＝. 综上，这段曲线的函数解析式为 y＝10sin(t＋)＋20，t∈[6,14]． 由模型解析式解决问题 [例2]　一根细线的一端固定，另一端悬挂一个小球，当小球来回摆动时，离开平衡位置的位移s(单位：cm)与时间t(单位：s)的函数关系是s＝6sin. (1)画出它的图像； (2)回答以下问题： ①小球开始摆动(即t＝0)时，离开平衡位置是多少？ ②小球摆动时，离开平衡位置的最大距离是多少？ ③小球来回摆一次需要多少时间？ [思路点拨]　根据图像研究物体的变化规律． [解]　(1)周期T＝＝1(s)． 列表. t 0 1 2πt＋ π 2π 2π＋ 6sin 3 6 0 －6 0 3 作图，如图所示． (2)①小球开始摆动(即t＝0)时，离开平衡位置为3 cm. ②小球摆动时离开平衡位置的最大距离是6 cm. ③小球来回摆动一次需要1 s(即周期)． 在物理学中，当物体做简谐运动时，可以用正弦型函数y＝Asin(ωx＋φ)(ω>0)来表示运动的位移y随时间x的变化规律，其中： (1)A称为简谐运动的振幅，它表示物体运动时离开平衡位置的最大位移； (2)T＝称为简谐运动的周期，它表示物体往复运动一次所需的时间； (3)f＝＝称为简谐运动的频率，它表示单位时间内物体往复运动的次数． [变式训练] 2．交流电的电压E(单位：伏)与时间t(单位：秒)的关系可用E＝220sin(100πt＋)来表示，求： (1)开始时的电压； (2)电压的最大值和第一次获得这个最大值的时间． 解：(1)当t＝0时，E＝220sin＝110(伏)， 即开始时的电压为110伏． (2)电压的最大值为220伏， 当100πt＋＝，即t＝秒时第一次获得这个最大值． 　 确定模型解决问题 [例3]　下表是某地某年月平均气温(华氏)： 月份 1 2 3 4 5 6 平均气温 21.4 26.0 36.0 48.8 59.1 68.6 月份 7 8 9 10 11 12 平均气温 73.0 71.9 64.7 53.5 39.8 27.7 以月份为x轴(x＝月份－1)，以平均气温为y轴． (1)描点作图，用正弦曲线去拟合这些数据； (2)估计这个正弦曲线的周期T和振幅A； (3)下面三个函数模型中。哪一个最适合这些数据？ ①＝cos；②＝cos； ③＝cos. [思路点拨]　画出散点图，进行函数拟合，选择正确的模型求解． [解]　(1)如图． (2)最低气温为1月份21.4，最高气温为7月份73.0， 故＝7－1＝6，所以T＝12. 因为2A的值等于最高气温与最低气温的差，即2A＝73.0－21.4＝51.6，所以A＝25.8. (3)因为x＝月份－1， 所以不妨取x＝2－1＝1，y＝26.0. 代入①得＝>1≠cos，故①不适合． 代入②得＝<0≠cos，故②不适合． 所以应选③. 1．根据收集的数据，先画出相应的“散点图”，观察散点图，然后进行函数拟合获得具体的函数模型，然后利用这个模型解决实际问题． 2．解三角函数应用问题的基本步骤 [变式训练] 3．某港口相邻两次高潮发生的时间间隔为12 h 20 min，低潮时入口处水的深度为2.8 m，高潮时为8.4 m，已知一次高潮发生在10月3日2：00. (1)若从10月3日0：00开始计算时间，选用一个三角函数模型来近似描述这个港口入口处的水深d(m)和时间t(h)之间的函数关系； (2)求出10月4日15：00入口处水的深度． 解析：(1)设此三角函数模型是d＝Asin(ωt＋φ)＋b(t≥0)，根据题意可知周期T＝(h)． 所以ω＝＝，A＝＝＝2.8，b＝＝＝5.6. 所以d＝2.8sin(t＋φ)＋5.6(t≥0)，又因为当t＝2时， d取得最大值，所以2.8sin(＋φ)＋5.6＝8.4， 所以可取φ＝， 所以d＝2.8sin(t＋)＋5.6(t≥o)． (2)10月4日15：00相当于t＝39，此时入口处水的深度d＝2.8sin(×39＋)＋5.6＝8.4(米)． 对应学生用书P52 1．如图，某港口一天6时到18时的水深变化曲线近似满足函数y＝3sin(x＋φ)＋k.据此函数可知，这段时间水深(单位：m)的最大值为(　　) A．5　 B．6　　C．8　　D．10 解析：C　[根据图像得函数的最小值为2， 有－3＋k＝2，k＝5，最大值为3＋k＝8.] 2．弹簧上挂的小球做上下振动，它在时间t(s)时离开平衡位置的位移s(cm)满足函数关系式s＝2sin(t＋)，给出下列三种说法：①小球开始时在平衡位置上方cm处；②小球下降到最低点时在平衡位置下方2 cm处；③经过2π s小球重复振动一次，其中正确的说法是(　　) A．①②　　　　　　 B．②③ C．①③ D．①②③ 解析：D　[当t＝0时，s＝2sin(0＋)＝，故①正确；smin＝－2，故②正确：函数的最小正周期T＝2π，故③正确．] 3．如图是一半径为3 m的水轮，水轮圆心O距离水面2 m，已知水轮1 min旋转4圈，水轮上的点P到水面距离y(m)与时间x(s)满足的函数关系y＝Asin(ωx＋φ)＋2，则有(　　) A．ω＝，A＝3 B．ω＝，A＝3 C．ω＝，A＝5 D．ω＝，A＝5 解析：A　[由题目可知y的最大值为5，所以5＝A×1＋2，得A＝3，由于T＝15，所以ω＝.] 4．已知一弹簧振子的位移y与时间t的函数关系式为y＝Asin(ωt＋φ)(A>0，ω>0)，若已知此振子的振幅为3，周期为，初相为，则这个函数的解析式为　________　. 解析：依题意，A＝3，ω＝＝7，φ＝，∴函数解析式为y＝3sin(7t＋)，t∈[0，＋∞)． 答案：y＝3sin(7t＋)，t∈[0，＋∞) 5．通常情况下，同一地区一天的温度随时间变化的曲线接近函数y＝Asin(ωx＋φ)＋b的图像．某年2月下旬某地区连续几天最高温度都出现在14时，最高温度为14℃；最低温度出现在凌晨2时，最低温度为零下2℃. (1)求出该地区该时段的温度函数y＝Asin(ωx＋φ)＋b(A>0，ω>0，|φ|<π，x∈[0,24))的表达式； (2)29日上午9时某高中将举行期未考试，如果温度低于10℃，教室就要开空调，请问届时学校后勤应该开空调吗？ 解：(1)由题意知解得 易知＝14－2，所以T＝24，所以ω＝， 易知8sin(×2＋φ)＋6＝－2， 即sin(×2＋φ)＝－1， 故×2＋φ＝－＋2kπ，k∈Z， 又|φ|<π，得φ＝－， 所以y＝8sin＋6(x∈[0,24))． (2)当x＝9时，y＝8sin＋6 ＝8sin＋6<8sin＋6＝10. 所以届时学校后勤应该开空调． 学科网（北京）股份有限公司 $