7.2.4 第2课时 诱导公式(二)-【创新教程】2025-2026学年高中数学必修第三册五维课堂教师用书word（人教B版）

第2课时　诱导公式(二) 课程标准 素养解读 1.掌握诱导公式五、六的推导，并能应用于解决简单的求值、化简与证明问题 2．对诱导公式一至六，能作综合归纳，体会出六组公式的共性与个性，培养由特殊到一般的数学推理意识和能力 3．继续体会知识的“发生”“发现”过程，培养研究问题、发现问题、解决问题的能力 通过诱导公式的应用提升数学抽象和逻辑推理素养 对应学生用书P20 [情境引入] 留恋于湖光山色，观山赏水，看山在水中倒映，山的巍峨、水的柔媚在那一刻融合……如果你的手中拿着一个度数为α的角的模型，你观察一下湖中的这个角的模型与你手中的这个角的模型有什么关系？你当然会准确地回答出来：对称，角α关于水平面对称的角的度数是多少？这两个角的三角函数值有什么关系呢？ 观察如图单位圆及角α与－α的终边． (1)角α的终边与－α的终边有何关系？ 提示　它们的终边关于y＝x对称． (2)若设任意角α的终边与单位圆的交点P1的坐标为(x，y)，那么角－α的终边与单位圆的交点P2的坐标是什么？ 提示　由于角α的终边与角－α的终边关于y＝x对称，所以P2与P1关于y＝x对称，所以P2点的坐标为(y，x)． [知识梳理] [知识点]　诱导公式五、六　 1．诱导公式五、六 公式五 公式六 终边 关系 角－α与角α的终边关于直线y＝x对称. 角＋α与角α的终边垂直． 图形 公式 sin(－α)＝　cos_α　， cos(－α)＝　sin_α　. sin(＋α)＝　cos_α　， cos(＋α)＝ 　－sin_α　. 2.诱导公式五、六可用语言概括 (1)函数值：±α的正弦(余弦)值，分别等于α的　余弦(正弦)　函数值． (2)符号：函数值前面加上一个把α看成锐角时原函数值的符号． (3)本质：单位圆中，终边关于y＝x对称，互相垂直的角的三角函数之间的关系． (4)应用：与诱导公式一～四结合用于三角函数式求值、化简、证明． 1.如何由公式四及公式五推导公式六？ 提示：sin(＋α)＝sin[π－(－α)] ＝sin(－α)＝cos α. cos(＋α)＝cos[π－(－α)] ＝－cos(－α)＝－sin α. 2．从函数名称、符号两个方面观察诱导公式五、六，有什么变化规律？ 提示：函数名称改变，符号随象限变化而变化，即：函数名改变，符号看象限． [预习自测] 1．若sin(＋θ)<0，且cos(－θ)>0，则θ是(　　) A．第一象限角　　　　　 B．第二象限角 C．第三象限角 D．第四象限角 解析：B　[由于sin(＋θ)＝cos θ<0，cos(－θ)＝sin θ>0，所以角θ的终边落在第二象限，故选B.] 2．已知sin α＝，则cos(－α)＝　________　. 答案： 3．已知cos(－α)＝，则sin(＋α)＝　________　. 解析：sin(＋α)＝sin ＝cos(－α)＝. 答案： 对应学生用书P21 利用诱导公式求值 [例1] (1)已知tan α＝3，求的值． (2)已知sin(－α)＝，求cos(＋α)·sin(＋α)的值． [思路点拨]　先化简，再求值． [解]　(1) ＝＝ ＝＝2. (2)cos(＋α)·sin(＋α) ＝cos·sin ＝sin(－α)·sin(－α) ＝×＝. 已知三角函数值，求其他三角函数值的解题思路 (1)观察：①观察已知的角和所求角的差异，寻求角之间的关系； ②观察已知的三角函数名与所求的三角函数名的差异． (2)转化：运用诱导公式将不同的角转化为相同的角；将不同名的三角函数化为同名的三角函数． (3)注意：如－α与＋α，＋α与－α，－α与＋α等互余，＋θ与－θ，＋θ与－θ等互补，遇到此类问题，不妨考虑两个角的和，要善于利用角的变换来解决问题． [变式训练] 1．(1)已知cos(＋φ)＝，且|φ|<，则tan φ＝(　　) A．－　　　　　　 B. C．－ D. (2)cos(－θ)＝，则sin(＋θ)＝(　　) A. B. C．－ D．－ 解析：(1)由cos(＋φ)＝－sin φ＝， 得sin φ＝－. 又|φ|<，∴φ＝－，∴tan φ＝－tan＝－. (2)∵cos(－θ)＝， ∴sin(＋θ)＝sin＝cos(－θ)＝，故选A. 答案：(1)C　(2)A 　 利用诱导公式化简三角函数式 [例2] 化简： (1)·sin(α－)cos(＋α)； (2). [思路点拨]　→→ [解析]　(1)原式＝·sin[－(－α)](－sin α) ＝·[－sin(－α)](－sin α) ＝·(－cos α)(－sin α) ＝－cos2α. (2)原式＝ ＝ ＝ ＝－ ＝－1. 用诱导公式进行化简时的注意点 (1)化简后项数尽可能的少． (2)函数的种类尽可能的少． (3)分母不含三角函数的符号． (4)能求值的一定要求值． (5)含有较高次数的三角函数式，多用因式分解、约分等． [变式训练] 2．化简： －. 解析：因为sin(4π－α)＝sin(－α)＝－sin α， cos(＋α)＝cos[4π＋(＋α)]＝cos(＋α) ＝－sin α， sin(＋α)＝sin[4π＋(＋α)]＝sin(＋α)＝ sin[π＋(＋α)]＝－sin(＋α)＝－cos α， tan (5π－α)＝tan(π－α)＝－tan α，sin(3π－α)＝sin(π－α)＝sin α，所以原式＝－ ＝－＋＝＝＝1. 利用诱导公式证明恒等式 [例3] 求证： ＝. [思路点拨]　先化简，再证明． 证明：右边＝ ＝ ＝ ＝ ＝＝ ＝左边，所以原等式成立． 三角恒等式的证明的策略 (1)遵循的原则：在证明时一般从左边到右边，或从右边到左边，或左右归一，应遵循化繁为简的原则． (2)常用的方法：定义法、化弦法、拆项拆角法、公式变形法、“1”的代换法． [变式训练] 3．求证：＝－tan θ 证明：左边＝ ＝＝－tan θ＝右边． 所以原等式成立． 诱导公式的综合应用 [例4] 在△ABC中，若sin(2π－A)＝－sin(π－B)， cos A＝－cos(π－B)，求△ABC的三个内角． [思路点拨]　先利用诱导公式化简已知的两个等式，然后结合sin2A＋cos2A＝1，求出cos A的值，再利用A＋B＋C＝π进行求解． 解析　由已知得 由①2＋②2，得2cos2A＝1，∴cos A＝±. 当cos A＝时，cos B＝. 又A，B是三角形的内角，∴A＝，B＝. ∴C＝π－(A＋B)＝π. 当cos A＝－时，cos B＝－. 又A，B是三角形的内角，∴A＝π，B＝π. ∵A＋B>π， ∴cos A＝－不符合题意，舍去． 综上可知，A＝，B＝，C＝π. 1．诱导公式综合应用要“三看” 一看角：①化大为小；②看角与角间的联系，可通过相加、相减分析两角的关系． 二看函数名称：一般是弦切互化． 三看式子结构：通过分析式子，选择合适的方法，如分式可对分子、分母同乘一个式子变形． 2．利用诱导公式解决三角形中有关问题的基本方法 利用诱导公式解决三角形中有关问题时，既要注意综合运用诱导公式、同角三角函数的基本关系式，还要注意三角形的隐含条件——三角形内角和等于180°，以及下面的公式的灵活运用． 　在△ABC中，常用到以下结论： sin(A＋B)＝sin(π－C)＝sin C， cos(A＋B)＝cos(π－C)＝－cos C， tan(A＋B)＝tan(π－C)＝－tan C， sin(＋)＝sin(－)＝cos， cos(＋)＝cos(－)＝sin. [变式训练] 4．已知f(α)＝. (1)化简f(α)； (2)若角A是△ABC的内角，且f(A)＝，求tan A－sin A的值． 解：(1)f(α)＝＝cos α. (2)因为f(A)＝cos A＝， 又A为△ABC的内角： 所以由平方关系，得sin A＝＝， 所以tan A＝＝， 所以tan A－sin A＝－＝. 对应学生用书P23 1．已知cos(α－π)＝－，且α是第四象限角，则sin(－2π＋α)(　　) A．－　　　　　　　 B. C．± D. 解析：A　[由诱导公式可得cos(α－π)＝－cos α＝－，∴cos α＝，又α是第四象限角∴sin(－2π＋α)＝sin α＝－，故选：A] 2．若cos(α＋π)＝－，则sin(－α－)＝(　　) A. B．－ C. D．－ 解析：A　[因为cos(α＋π)＝－cos α＝－，所以cos α＝.所以sin(－α－)＝cos α＝.] 3．化简sin(α＋)·cos(α－)·tan(－α)的结果是(　　) A．1 B．sin2α C．－cos2α D．－1 解析：C　　[因为sin(α＋)＝cos α，cos(α－) ＝cos[π＋(－α)]＝－sin α，tan(－α)＝ ＝，所以原式＝cos α(－sin α)＝－cos2α，选C.] 4．sin 95°＋cos 175°的值为　________　. 解析：sin 95°＋cos 175°＝sin(90°＋5°)＋cos(180°－5°)＝cos 5°－cos 5°＝0. 答案：0 5．若sin＝，且α是第三象限角，则cos＝(　　) A. B．－ C. D．－ 解析：C　[sin＝－cos α＝，所以cos α＝－，因为α是第三象限角，所以sin α＝－，所以cos＝cos＝－sin α＝.] 对应学生课时P13 1．cos－sin的值是(　　) A.　　　　　　　 B．－ C．0 D. 解析：A　[cos－sin ＝cos－sin ＝cos－sin＝cos＋sin＝.] 2．设f(x)＝asin (πx＋α)＋bcos(πx＋β)，其中a，b，α，β∈R，若f(2 009)＝5，则f(2 020)等于(　　) A．4 B．3 C．－5 D．5 解析：C　[∵f(2 009)＝asin(2 009π＋α)＋bcos(2 009π＋β)＝－asin α－bcos α＝5， ∴f(2 020)＝asin(2 020π＋α)＋bcos(2 020π＋β)＝asin α＋bcos β＝－5.] 3.的值为(　　) A．1 B．－1 C．sin α D．tan α 解析：B　[原式＝＝ ＝－＝－1.] 4．若＝2，则sin(θ－5π)sin等于(　　) A. B．± C. D．－ 解析：C　[由＝2，可得tan θ＝3， ∴sin(θ－5π)sin＝(－sin θ)(－cos θ) ＝ ＝＝.] 5．已知cos＝，且|φ|＜，则tan φ等于(　　) A．－　 B.　　C．－　　D. 解析：C　[由cos(＋φ)＝－sin φ＝，得sin φ＝－.又|φ|＜，∴φ＝－，∴tan φ＝－.] 6．(多选题)定义：角θ与φ都是任意角，若满足θ＋φ＝90°，则称θ与φ“广义互余”．已知sin(π＋α)＝－，下列角β中，可能与角α“广义互余”的是　________　. A．sin β＝ B．cos(π＋β)＝ C．tan β＝ D．tan β＝ 解析：AC　[由sin(π＋α)＝－，得－sin α＝－， 所以sin α＝.故cos α＝±. 由题意，若α与β“广义互余”，则α＋β＝90°， 所以sin β＝cos α＝±，cos β＝sin α＝，tan β＝±.故AC满足，D不满足；对于B，由cos(π＋β)＝，得cos β＝－，不满足．] 7．已知sin＝，那么cos α＝　________　. 解析：sin＝sin＝cos α＝. 答案： 8．在△ABC中，已知sin＝，则cos＝　________　. 解析：∵A＋B＋C＝π，∴＝－， ∴cos＝cos＝sin＝. 答案： 9．(多空题)已知f(x)＝ 则f＝　________　，f＝　________　. 解析：f＝sin ＝sin＝sin＝， f＝f－1＝f－2＝sin－2 ＝－－2＝－. 答案：　－ 10．已知角α的终边经过点P(－4,3)，求的值． 解析：∵角α的终边经过点P(－4,3)， ∴tan α＝－，∴ ＝ ＝tan α ＝－. 11．已知α是第三象限角，f(α) ＝. (1)化简f(α)． (2)若cos(α－)＝，求f(α)的值． 解析：(1)f(α)＝ ＝＝－cos α. (2)∵cos＝，∴－sin α＝. 从而sin α＝－. 又α为第三象限角，∴cos α＝－＝－. 即f(α)的值为. 12．证明： ＝－tan α. 证明：左边＝ ＝＝－＝－tan α＝右边，所以原式成立． 13．是否存在角α，β，且α∈，β∈(0，π)，使等式同时成立． 若存在，求出α，β的值；若不存在，说明理由． 解：由条件，得 ①2＋②2，得sin2 α＋3cos2 α＝2，　　　　　③ 又因为sin2 α＋cos2 α＝1，　　　　　　　④ 由③④得sin2α＝，即sin α＝±， 因为α∈，所以α＝或α＝－. 当α＝时，代入②得cos β＝，又β∈(0，π)， 所以β＝，代入①可知符合． 当α＝－时，代入②得cos β＝，又β∈(0，π)， 所以β＝，代入①可知不符合． 综上所述，存在α＝，β＝满足条件． 学科网（北京）股份有限公司 $