7.2.4 第1课时 诱导公式(一)-【创新教程】2025-2026学年高中数学必修第三册五维课堂教师用书word（人教B版）

7．2.4　诱导公式 第1课时　诱导公式(一) 课程标准 素养解读 1.借助单位圆推导诱导公式(二)(三)(四) 2．了解诱导公式的意义和作用 3．能运用有关诱导公式解决一些三角函数的求值、化简和证明问题 1.通过学习诱导公式的推导培养学生数学直观和数学抽象素养 2．根据诱导公式的应用提升逻辑推理和数学运算素养 对应学生用书P17 [情境引入] 如图，作P1关于原点的对称点P2，以OP2为终边的角β与角α有什么关系？角β，α的三角函数值之间有什么关系？ 提示　β＝π＋α，P1与P2横坐标，纵坐标都互为相反数． [知识梳理] [知识点一]　诱导公式一　 终边相同的角的同一三角函数的值　相等　，即 sin(α＋k·2π)＝　sin_α　； cos(α＋k·2π)＝　cos_α　； tan(α＋k·2π)＝　tan_α　 (其中k∈Z)． 注：诱导公式一的结构特点 (1)其结构特点是函数名相同，左边角为α＋2kπ，右边角为α. (2)由公式一可知，三角函数值有“周而复始”的变化规律，即角的终边每绕原点旋转一周，函数值将重复出现． (3)此公式也可以记为：sin(a＋k·360°)＝sin α，cos(α＋k·360°)＝cos α，tan(α＋k·360°)＝tan α.其中k∈Z. 1.诱导公式一反映了“终边相同的角同一三角函数的值相等”，反之，若两个角某一三角函数值相等，则这两个角终边相同吗？ 提示：这两个角的终边不一定相同，如sin α＝sin β＝，则有可能是α＝30°，β＝150°. [知识点二]　诱导公式二、三、四　 1．诱导公式 公式二 公式三 公式四 终 边 关 系 角π＋α与角α的终边关于原点对称. 角－α与角α的终边关于x轴对称. 角π－α与角α的终边关于y轴对称． 图 形 公 式 sin(π＋α)＝　－sin_α　，cos(π＋α)＝　－cos_α　，tan(π＋α)＝　tan_α　. sin(－α)＝　－sin_α　， cos(－α)＝　cos_α　， tan(－α)＝　－tan_α　. sin(π－α)＝　sin_α　， cos(π－α)＝　－cos_α　， tan(π－α)＝　－tan_α　. 2.本质：单位圆中，终边关于原点、x轴、y轴对称的角的三角函数之间的关系． 3．作用： 公式二 将0～2π的角转化为0～π的角求值． 公式三 将负角转化为正角求值． 公式四 将～π的角转化为0～的角求值. 4.应用：通过诱导公式，将任意角的三角函数转化为锐角三角函数，广泛应用于计算、化简、证明之中． 2.从函数名称和符号变化两个方面观察公式一至公式四，你能发现什么规律？ 提示；函数的名称都没有变化，符号随角的象限而变化．简记：函数名不变，符号看象限． 3．诱导公式中角α不能是锐角吗？ 提示：诱导公式中角α可以是任意角，要注意正切函数中要求α≠kπ＋，k∈Z. [预习自测] 1．sin 1 140°的值为(　　) A．－　　　　　 B. C．－ D. 解析：B　[∵1 140°＝3×360°＋60°，∴sin 1 140°＝sin(3×360°＋60°)＝sin 60°＝.] 2．已知tan α＝4，则tan (π－α)＝　________　. 答案：－4 3．cos(－30)°＝　________　，sin＝　________　. 答案：　 对应学生用书P18 诱导公式一及运用 [例1] 求下列各式的值： (1)sin＋tan； (2)sin 810°＋cos 360°－tan 1 125°. [思路点拨]　此类问题的解答应先将角改写为2kπ＋α或k·360°＋α(k∈Z)的形式，再运用诱导公式一求值． [解]　(1)sin＋tan ＝sin＋tan ＝sin＋tan＝＋1＝. (2)sin 810°＋cos 360°－tan 1 125° ＝sin(2×360°＋90°)＋cos(0°＋360°)－tan(3×360°＋45°) ＝sin 90°＋cos 0°－tan 45° ＝1＋1－1＝1. (1)诱导公式一的实质是终边相同的角的三角函数值相等，作用是把求任意角的三角函数值转化为0～2π角的三角函数值． (2)一些特殊角的三角函数值： 角α 0° 30° 45° 60° 90° 120° 150° 180° 270° 360° 角α的 弧度数 0 π 2π sin α 0 1 0 －1 0 cos α 1 0 － － －1 0 1 tan α 0 1 不存 在 － － 0 不存 在 0 [变式训练] 1．求下列各式的值． (1)cos＋tan(－)； (2)sin 420°cos 750°＋sin(－690°)cos(－660°)． 解：(1)因为cos＝cos(＋8π)＝cos＝， tan(－)＝tan(－4π＋)＝tan＝1， 所以cos＋tan(－)＝＋1＝. (2)因为sin 420°＝sin(360°＋60°)＝sin 60°＝， cos 750°＝cos(2×360°＋30°)＝cos 30°＝， sin(－690°)＝sin(－2×360°＋30°)＝sin 30°＝， cos(－660°)＝cos(－2×360°＋60°)＝cos 60°＝， 所以sin 420°cos 750°＋sin(－690°)cos(－660°) ＝×＋×＝1. 给角求值问题 [例2] 求下列各三角函数值： (1)cos；(2)tan(－855°)；(3)tan＋sin. [思路点拨]　(1)利用诱导公式化正角为负角，化大角为小角，化小角为锐角，再求值． (2)注意观察不同角之间的联系． [解](1)cos＝cos(2π＋)＝cos ＝cos(π－) ＝－cos＝－. (2)tan(－855°)＝－tan 855°＝－tan(2×360°＋135°)＝－tan 135＝－tan(180°－45°)＝tan 45°＝1. (3)原式＝tan(π－)＋sin(2π－) ＝－tan－sin＝－1－ ＝－. 利用诱导公式解决给角求值问题的步骤 [变式训练] 2．求下列各三角函数式的值： ①cos 210°； ②sin； ③sin(－)； ④cos(－1 920°)． 解：①cos 210°＝cos(180°＋30°)＝－cos 30° ＝－. ②sin＝sin(2π＋)＝sin＝sin(π－) ＝sin＝. ③sin(－)＝－sin(6π＋)＝－sin ＝－sin(π＋)＝sin＝. ④cos(－1 920°)＝cos 1 920°＝cos(5×360°＋120°) ＝cos 120°＝cos(180°－60°)＝－cos 60°＝－. 给值(式)求值问题 [例3] 已知cos(－α)＝，求cos(＋α)的值． [思路点拨]　＋α＝π－(－α)，利用诱导公式把要求角用已知角整体表示． [解]　cos(＋α)＝cos[π－(－α)] ＝－cos(－α)＝－. (1)解决条件求值问题时，首先要仔细观察条件与所求式之间的角、函数名称及有关运算之间的差异及联系． (2)可以将已知式进行变形向所求式转化，或将所求式进行变形向已知式转化． [变式训练] 3．(1)已知A＝＋(k∈Z)，则A构成的集合是(　　) A．{－1,1，－2,2}　　　 B．{1，－1} C．{2，－2} D．{－2，－1,0,1,2} (2)已知cos(α－55°)＝－，且α为第四象限角，则sin(α＋125°)＝　________　. 解析：(1)当k为偶数时，A＝2；当k为奇数时，A＝－2.故A构成的集合为{－2,2}． (2)因为cos(α－55°)＝－<0，且α为第四象限角，所以α－55°是第三象限角， 所以sin(α－55°)＝－＝－， 所以sin(α＋125°)＝sin[180°＋(α－55°)] ＝－sin(α－55°)＝. 答案：(1)C　(2) 化简求值问题 [例4] 已知α是第四象限角，且 f(α)＝. (1)化简f(α)； (2)若sin α＝－，求f(α)； (3)若α＝－，求f(α)． [思路点拨]　利用诱导公式将任意角的三角函数转化为锐角的三角函数． [解析]　(1)f(α)＝＝cos α. (2)因为sin α＝－，且α是第四象限角， 所以f(α)＝cos α＝＝＝. (3)f(－)＝cos(－)＝cos(－)＝cos＝. 1．利用诱导公式一～四化简应注意的问题 (1)利用诱导公式主要是进行角的转化，从而达到统一角的目的； (2)化简时函数名没有改变，但一定要注意函数的符号有没有改变； (3)同时有切(正切)与弦(正弦、余弦)的式子化简，一般采用切化弦，有时也将弦化切． 2．三角函数式的化简方法 (1)利用诱导公式将任意角的三角函数转化为锐角三角函数． (2)常用“切化弦”法，即通常将表达式中的切函数化为弦函数． (3)注意“1”的变形应用． [变式训练] 4．化简： (1)； (2). 解：(1)原式＝＝ ＝＝1. (2)原式＝ ＝＝＝－1. 对应学生用书P20 1．cos(－)tan的值为(　　) A．－　　　　　 B．－ C．－ D. 解析：C　[因为cos(－)＝cos＝cos(4π＋)＝cos＝，tan＝tan(3π－)＝－tan＝－，所以cos(－)·tan＝－，故选C.] 2．已知tan(－α)＝，则tan(＋α)＝(　　) A. B．－ C. D．－ 解析：B　[tan(＋α)＝tan[π－(－α)]＝ －tan(－α)＝－. 3．计算sin(－1 560°)cos(－930°)－cos(－1 380°)sin 1 410°等于　________　. 解析：sin(－1 560°)cos(－930°)－cos(－1 380°)·sin 1 410° ＝sin(－4×360°－120°)cos(－3×360°＋150°)－cos(－4×360°＋60°)sin(4×360°－30°) ＝sin(－120°)cos 150°－cos 60°sin(－30°) ＝－×(－)＋×＝＋＝1. 答案：1 4．已知sin(45°＋α)＝，则sin(225°＋α)＝　________　. 解析：sin(225°＋α)＝sin[(45°＋α)＋180°] ＝－sin(45°＋α)＝－. 答案：－ 5．已知f(α)＝. (1)化简f(α)； (2)若α是第三象限角，且sin(α－π)＝，求f(α)的值； (3)若α＝－，求f(α)的值． 解：(1)f(α)＝＝－cos α. (2)∵sin(α－π)＝－sin α＝， ∴sin α＝－.又α是第三象限角， ∴cos α＝－.∴f(α)＝. (3)∵－＝－6×2π＋， ∴f(－)＝－cos(－6×2π＋) ＝－cos＝－cos＝－. 对应学生课时P11 1．已知角α和β的终边关于x轴对称，则下列各式中正确的是(　　) A．sin α＝sin β B．sin(α－2π)＝sin β C．cos α＝cos β D．cos(2π－α)＝－cos β 解析：C　[由角α和β的终边关于x轴对称，可知β＝－α＋2kπ(k∈Z)，故cos α＝cos β.] 2．sin 315°＋sin(－480°)＋cos(－330°)的值为(　　) A.　　　　　　　　　 B．－ C．－ D. 解析：C　[原式＝sin(360°－45°)＋sin(－360°－120°)＋cos(－360°＋30°)＝－sin 45°－sin 60°＋cos 30°＝－－＋＝－.故选C.] 3．sin的值等于(　　) A. B．－ C. D．－ 解析：D　[sin ＝sin＝sin＝－.故选D.] 4．化简sin2(π＋α)－cos(π＋α)·cos(－α)＋1的值为(　　) A．1 B．2sin2α C．0 D．2 解析：D　[原式＝(－sin α)2－(－cos α)·cos α＋1＝sin2α＋cos2α＋1＝2.] 5．若sin(π＋α)＝－，则sin(4π－α)的值是(　　) A. B．－ C．－ D. 解析：B　[由题知，sin α＝，所以sin(4π－α)＝－sin ＝－.] 6．(多选题)若cos(π＋α)＝－，则sin(2π＋α)等于(　　) A. B．－ C. D．－ 解析：CD　[由cos(π＋α)＝－，得cos α＝，故sin(2π＋α)＝sin α＝±＝±.] 7.可化简为　________　. 解析：＝ ＝＝|1－sin θ|＝1－sin θ. 答案：1－sin θ 8．记cos(－80°)＝k，那么tan 100°等于　________　. 解析：∵cos(－80°)＝k，∴cos 80°＝k，∴sin 80°＝，∴tan 80°＝，∴tan 100°＝－tan 80°＝－. 答案：－ 9．(多空题)已知cos(π－α)＝，则sin(π＋α)＝　________　，tan(π＋α)＝　________　. 解析：∵cos(π－α)＝－cos α＝， ∴cos α＝－， ∵＜α＜π，∴sin α＝，tan α＝－. ∴sin(π＋α)＝－sin α＝－， tan(π＋α)＝tan α＝－. 答案：－　－ 10．求证：＝－tan α. 证明：左边＝＝ ＝－tan α＝右边，∴原式得证． 11．求下列各三角函数值． (1)sin；(2)cos； (3)tan(－855°)． 解析：(1)sin＝－sin ＝－sin＝－sin ＝－sin＝sin＝＝. (2)cos ＝cos＝cos ＝cos＝－cos＝－. (3)tan(－855°)＝－tan 855° ＝－tan(2×360°＋135°)＝－tan 135° ＝－tan (180°－45°)＝－tan(－45°) ＝tan 45°＝×＋×＝1. 12．化简下列各式． (1)sincosπ. (2)sin(－960°)cos 1 470°－cos(－240°)sin(－210°)． 解析：(1)sincos π ＝－sincos ＝sincos ＝. (2)sin(－960°)cos 1 470°－cos 240°sin(－210°) ＝－sin (180°＋60°＋2×360°)cos(30°＋4×360°)＋cos(180°＋60°)sin(180°＋30°)＝sin 60°cos 30°＋cos 60°sin 30°＝×＋×＝1. 13．在△ABC中，若sin(2π－A)＝－sin(π－B)，cos A＝－cos(π－B)，求△ABC的三个内角． 解析：由条件得sin A＝sin B，cos A＝cos B， 平方相加得2 cos2A＝1，cos A＝±， 又因为A∈(0，π)，所以A＝或π. 当A＝π时，cos B＝－＜0， 所以B∈， 所以A，B均为钝角，不合题意，舍去． 所以A＝，cos B＝， 所以B＝，所以C＝π. 综上所述，A＝，B＝，C＝π. 学科网（北京）股份有限公司 $