第七章 三角函数 章末归纳提升-【创新教程】2025-2026学年高中数学必修第三册五维课堂教师用书word（人教B版）

[网络构建] [归纳提升] 任意角的三角函数的定义及三角函数线 1．利用三角函数的定义，求三角函数值，以及利用三角函数定义判断三角函数值的符号是常见考查题型，含参时要注意检验是否出现增根或分类讨论． 2．掌握三角函数的定义，重点提升逻辑推理和数学运算素养． 3．掌握任意角的正弦、余弦、正切的三角函数线，能够利用三角函数线判断三角函数值的符号，借助三角函数线求三角函数的定义域． [例1]　(1)已知角θ的终边经过点P(－，m)(m≠0)且sin θ＝m，试判断角θ所在的象限，并求cos θ和tan θ的值． (2)求函数y＝＋的定义域． [解]　(1)由题意得，得r＝， 所以sin θ＝＝m. 因为m≠0，所以m＝±，故角θ是第二或第三象限角． 当m＝时，r＝2，点P的坐标为(－，)，角θ是第二象限角， 所以cos θ＝＝＝－， tan θ＝＝＝－， 当m＝－时，r＝2，点P的坐标为(－，－)，角θ是第三象限角，所以cos θ＝＝＝－， tan θ＝＝＝. (2)由题意知 即 如图，结合三角函数线知： 解得2kπ≤x≤2kπ＋(k∈Z)， ∴函数的定义域为 . [变式训练] 1．(1)若角α的终边在直线y＝3x上，求sin α，cos α，tan α. (2)设f(x)＝. ①求f(x)的定义域； ②求f(x)的值域及取最大值时x的值． 解：(1)当α终边在第一象限时，取α终边上点P(1,3)． ∴|OP|＝，∴sin α＝＝，cos α＝，tan α＝3， 当sin α终边在第三象限时，取α终边上一点P(－1，－3) ∴|OP|＝，∴sin α＝－，cos α＝－，tan α＝3. (2)①由1－2sin x≥0，根据正弦函数图像知：定义域为 . ②∵－1≤sin x≤， ∴0≤1－2sin x≤3， ∴f(x)的值域为[0，]， 当x＝2kπ＋，k∈Z时，f(x)取得最大值． 同角三角函数的关系式及诱导公式 1．牢记两个基本关系式sin2α＋cos2α＝1及＝tan α，并能应用两个关系式进行三角函数的求值、化简、证明．在应用中，要注意掌握解题的技巧，同时要体会数学思想方法如数形结合思想、分类讨论思想、转化与化归思想及函数与方程思想的应用． 2．诱导公式可概括为k·±α(k∈Z)的各三角函数值的化简公式．记忆规律是：奇变偶不变，符号看象限．其中的奇、偶是指的奇数倍或偶数倍，变与不变是指函数名称的变化．若是奇数倍，则函数名称变为相应的异名函数(即正余互变)；若是偶数倍，则函数名称不变．符号看象限是指把α看成锐角时原函数值的符号作为结果的符号． [例2]　已知α为锐角，且2tan(π－α)－3cos＋5＝0，tan(π＋α)＋6sin(π＋β)－1＝0，则sin α的值是(　　) A.　 B.　　C.　　D. 解析：C　[由已知得 消去sin β，得tan α＝3， ∴sin α＝3cos α，代入sin2α＋cos2α＝1， 化简得sin2α＝，则sin α＝(α为锐角)．] 1．利用同角三角函数的基本关系式．sin α，cos α，tan α三者知一可求二，但应注意角的范围、三角函数值的正负． 2．利用诱导公式化简三角函数式，必须熟记公式规律：奇变偶不变，符号看象限． 3．掌握正弦、余弦、正切值之间的基本关系，会知一求二，重点提升逻辑推理和数学运算素养． [变式训练] 2．已知sin α是方程5x2－7x－6＝0的根，α是第三象限角，求·tan2(π－α)的值． 解：方程5x2－7x－6＝0的两根为x1＝－，x2＝2， 由α是第三象限角，得sin α＝－，则cos α＝－， ∴·tan2(π－α) ＝·tan2α ＝·tan2α＝－tan2α＝－＝－. 　 　　三角函数的图像与性质 三角函数的性质包括定义域、值域、单调性、奇偶性、对称性等，在研究性质时，将ωx＋φ看成一个整体，利用整体代换思想解题是常见的技巧． “五点法”作函数y＝Asin(ωx＋φ)的图像． 掌握三角函数的图像和性质，重点培养直观想象和数学运算素养． [例3]　函数f(x)＝3sin(2x＋)的部分图像如图所示． (1)写出f(x)的最小正周期及图中x0，y0的值； (2)求f(x)的单调递减区间； (3)求f(x)在区间上的最大值和最小值． [解]　(1)f(x)的最小正周期为π，令2x＋＝＋kπ，k∈Z，则x＝＋，k∈Z，当k＝2时，x0＝，y0＝3. (2)令＋2kπ≤2x＋≤＋2kπ，k∈Z. 解得＋kπ≤x≤＋kπ，k∈Z， ∴f(x)的单调递减区间为，k∈Z. (3)因为x∈，所以2x＋∈，于是当2x＋＝0，即x＝－时，f(x)取得最大值0；当2x＋＝－，即x＝－时，f(x)取得最小值－3. 三角函数的三条性质 (1)单调性：求形如y＝Asin(ωx＋φ)或y＝Acos(ωx＋φ)(A>0，ω>0)的函数的单调区间可以通过解不等式方法去解答，即把ωx＋φ视为一个“整体”，分别与正弦函数y＝sin x，余弦函数y＝cos x的单调递增(减)区间对应解出x，即得所求的单调递增(减)区间． (2)周期性：函数y＝Asin(ωx＋φ)和y＝Acos(ωx＋φ)的最小正周期为，y＝tan(ωx＋φ)的最小正周期为. (3)奇偶性：三角函数中奇函数一般可化为y＝Asin ωx或y＝Atan ωx，而偶函数一般可化为y＝Acos ωx＋B的形式． [变式训练] 3．(1)函数f(x)＝tan(2x－)的单调递增区间是(　　) A.(k∈Z) B.(k∈Z) C.(k∈Z) D.(k∈Z) (2)函数y＝sin(2x－)的图像的对称中心和对称轴方程分别为　________　. 解析：(1)令－＋kπ<2x－<＋kπ，k∈Z. 解得－＋<x<＋，k∈Z. ∴f(x)的单调递增区间为，k∈Z，故选B. (2)令2x－＝kπ，k∈Z， 则x＝＋，k∈Z， ∴f(x)的对称中心为(k∈Z)． 令2x－＝＋kπ，k∈Z，∴x＝＋，k∈Z. ∴f(x)的对称轴方程为x＝＋，k∈Z. 三角函数的图像变换 1．重点考查三角函数的平移变换，伸缩变换和解析式的确定，通过对图像的描述、观察来讨论函数的有关性质． 2．掌握平移和伸缩变换，以及由图像求解析式，重点提升直观想象和逻辑推理素养． [例4]　如图是函数y＝Asin(ωx＋φ)＋k(A>0，ω>0，|φ|<)的部分图像． (1)求此函数的解析式； (2)分析该函数的图像是由y＝sin x的图像如何变换得来的？ [解]　(1)由题干图像知A＝＝， k＝＝－1，T＝2×＝π， ∴ω＝＝2， ∴y＝sin(2x＋φ)－1. 当x＝时，sin(2×＋φ)－1＝－，即sin(＋φ)＝1， ＋φ＝2×＋φ＝＋2nπ，n∈Z， ∴φ＝＋2nπ，n∈Z，又|φ|<， ∴φ＝， 故所求函数的解析式为y＝sin－1. (2)把y＝sin x的图像向左平移个单位，得到y＝sin(x＋)的图像，然后将得到的图像上点的纵坐标保持不变，横坐标缩短为原来的，得到y＝sin(2x＋)的图像；再将得到的图像上点的横坐标保持不变，纵坐标变为原来的，得到y＝sin(2x＋)的图像，最后把函数y＝sin(2x＋)的图像向下平移1个单位，得到y＝sin(2x＋)－1的图像 (1)由图像求解析式一般采用待定系数法求A，ω，φ.求φ时一般代入函数图像上的最高点或最低点． (2)先平移后伸缩与先伸缩后平移，两者平移的量是不同的．左右平移只是把x变成x±φ，其它不变，左右伸缩只是把x变成x，其它不变． [变式训练] 4．若把函数y＝sin(ωx－)的图像向左平移个单位长度，所得到的图像与函数y＝cos ωx的图像重合，则ω的一个可能取值是(　　) A．2　 B.　　C.　　D. 解析：A　[y＝sin和函数y＝cos ωx的图像重合，可得π－＝＋2kπ，k∈Z，则ω＝6k＋2，k∈Z. ∴2是ω的一个可能值．] 学科网（北京）股份有限公司 $