第3章 整式的乘除 单元测试卷 2025-2026学年浙教版七年级下册数学

浙教版2025-2026学年七年级下数学第3章 整式的乘除 尖子生测试卷 考试时间：150分钟 满分：150分 一、选择题（本大题有10小题，每小题4分，共40分） 下面每小题给出的四个选项中，只有一个是正确的. 1．已知三个实数a，b，c满足，，则（　　） A．， B．， C．， D．， 2．若A＝(2＋1)(22＋1)(24＋1)(28＋1)＋1，则A的末位数字是（　　） A．2 B．4 C．6 D．8 3．设，若，则（　　） A．27 B．24 C．22 D．20 4． 若整数x，y，z满足，则x-y-z的值为（　　） A．-2 B．-1 C．0 D．1 5． 已知，，，都是正数，设 ， ，那么 M 与 N 的大小关系是（　　） A． B． C． D．不确定 6． 设 x， y， s， t 为互不相等的实数，且，，则 的值为（　　） A．-1 B．1 C．0 D．0.5 7．如图，长为，宽为的大长方形被分割为7小块，除阴影A，B外其余5块是形状、大小完全相同的小长方形，其较短的边长为，下列说法中正确的有（　　） ①小长方形的较长边为； ②阴影A的一条较短边和阴影B的一条较短边之和为； ③若x为定值，则阴影A和阴影B的周长和为定值； ④当时，阴影A和阴影B的面积和为定值． A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 8． 如图，有两个正方形A，B．现将B放在A的内部得图甲，将A，B并列放置后，构造新的正方形得图乙．已知图甲和图乙中阴影部分的面积分别为1和12，若三个正方形A和两个正方形B如图丙摆放，则图丙中阴影部分的面积为（　　） A．28 B．29 C．30 D．31 9．如果一个正整数能表示为两个连续偶数的平方差，那么称这个正整数为“完美数”，如，，因此12，52这两个数都是“完美数”，则下列结论中错误的是（　　） A．20是“完美数” B．最小的“完美数”是4 C．“完美数”一定是4的奇数倍 D．小于30的所有“完美数”之和是60 10．如图，有三张正方形纸片A，B，C，它们的边长分别为a，b，c，将三张纸片按图1，图2两种不同方式放置于同一长方形中，记图1中阴影部分周长为11，面积为S1，图2中阴影部分周长为l2，面积为S2．若，则c：b的值为（　　） A． B． C． D． 二、填空题（本大题有6小题，每小题5分，共30分） 要注意认真看清题目的条件和要填写的内容，尽量完整地填写答案. 11．一个多项式与的积为，则　 　. 12．若，则　 　． 13． 若 ， 则 的值为　 　 14．通过以下方法可将转化为方程，我们规定：方程称为的还原方程． 去分母， 移项， 两边平方， 整理， （1）的还原方程是　 　． （2）若，则代数式　 　． 15．现定义一种新运算：.若，则，所以. （1）若，则　 　； （2）若，n为正整数，则　 　（用含n，t的代数式表示）. 16．如图，在长方形ABCD中，AB<BC，点P为长方形内部一点，过点P分别作PE⊥BC于点E、PF⊥CD于点F，分别以PF、CF为边作正方形PMNF，正方形GHCF，若两个正方形的面积之和为42，长方形PECF的面积为11，BE=DF=2，则长方形ABCD的面积为　 　. 三、解答题（本题有8小题，每题10分，共80分） 解答应写出文字说明，证明过程或推演步骤. 17．计算： ① ② 18.（1）已知(2 020-a)2+(a-2 019)2=5，求(2020-a)(a-2 019)的值。 （2）已知(a-2019)2+(a-2021)2=8，求(a-2020)2的值。 19．探索规律，回答下列问题. （1）； ； ……… （2）根据规律，若 ；求 的值. （3）拓展：若 ；求 的值. 20．规定两数a，b之间的一种运算，记作：：如果，那么 例如：因为，所以． （1）根据上述规定，填空：______； （2）若，，且，求的值； （3）①若，请你尝试证明：； ②进一步探究这种运算时发现一个结论：，结合①，②探索的结论，计算：_____． 21．若a满足（2022－a）2+（a－2023）2=5 （1）①设2022－a=x，a－2023=y，则x2+y2= ▲ ，x+y= ▲ ； ②利用①中的信息，求出（2022－a）（a－2023）的值； （2）如图，点A，K分别是正方形BGHC的边BG、BC上的点，满足CK=k，AG=k+1（为常数，且k>0），长方形ABKE的面积是6，分别以AB、AE为边作正方形ABID和正方形AEJF，求正方形ABID与正方形AEJF的面积之和． 22．利用我们学过的知识，可以导出下面这个形式优美的等式： a2 +b2+c2-ab-bc-ac= [（a- b）2+（b-c）2+（c-a）2]． （1）请你验证这个等式． （2）当a=2 020，b=2 021，c=2 022时，求a2+b2+c2-ab-bc-ac的值． （3）若a-b= ，b-c= ，a2+b2+c2=1，求ab+bc+ac的值． 23．完全平方公式：，是多项式乘法中的重要公式之一，它经过适当变形可以解决很多数学问题 例如：若a＋b＝2，ab＝1，求的值． 解：． 根据以上信息回答下列问题： （1）若m＋n＝4，，求mn的值； （2）若，ab＝﹣5，求a﹣2b的值； （3）如图，长方形ABCD的面积为6，BC>2AB．在长方形ABCD外分别以BC，AD为边作正方形BCQP和正方形ADNM，在长方形ABCD内以AB，CD为边分别作正方形CDEF和正方形ABGH．若阴影部分的周长为38，求阴影部分的面积． 24．我们定义：一个整数能表示成（、是整数）的形式，则称这个数为“完美数”，例如，5是“完美数”，理由：因为，所以5是“完美数”． 【解决问题】 （1）已知29是“完美数”，请将它写成（、是整数）的形式__________； （2）若可配方成（、为常数），则__________； 【探究问题】 （3）已知，则__________； （4）已知（、是整数，是常数），要使为“完美数”，试求出符合条件的一个值，并说明理由． 【拓展结论】 （5）已知实数、满足，求的最小值． www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页） 学科网（北京）股份有限公司 $ 浙教版2025-2026学年七年级下数学第3章 整式的乘除 尖子生测试卷 解析版 一、选择题（本大题有10小题，每小题4分，共40分） 下面每小题给出的四个选项中，只有一个是正确的. 1．已知三个实数a，b，c满足，，则（　　） A．， B．， C．， D．， 【答案】B 【解析】∵，∴，∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 故答案为：B 2．若A＝(2＋1)(22＋1)(24＋1)(28＋1)＋1，则A的末位数字是（　　） A．2 B．4 C．6 D．8 【答案】C 【解析】∵A=(2＋1)(22＋1)(24＋1)(28＋1)＋1， ∴A＝(2－1)(2＋1)(22＋1)(24＋1)(28＋1)＋1＝(22－1)(22＋1)(24＋1)(28＋1)＋1， ＝(24－1)(24＋1)(28＋1)＋1＝(28－1)(28＋1)＋1，＝216－1＋1，＝216. ∵21=2，22=4，23=8，24=16，25=32， ∴末位数字以4为周期， ∴16=4×4， ∴216的末位数字是6， ∴原式末位数字是6. 故答案为：C. 3．设，若，则（　　） A．27 B．24 C．22 D．20 【答案】A 【解析】，， ，， ， ， ， . 故答案为：A. 4． 若整数x，y，z满足，则x-y-z的值为（　　） A．-2 B．-1 C．0 D．1 【答案】A 【解析】将方程分解为质因数幂 分解质因数： 化简为： ∴ 由第二式得，代入第一式： 代入第三式： 则， 解得： 计算代入得：， 故答案为：Ａ. 5． 已知，，，都是正数，设 ， ，那么 M 与 N 的大小关系是（　　） A． B． C． D．不确定 【答案】C 【解析】 设 a= a2 + aa3 + ⋯ +a2024， 则有：M= ( a+ a1) ( a + a2025) ， N= ( a+ a1+a2025 ) · a， 计算M和N的差： M − N= ( a+ a1) ( a + a2025) −( a+ a1+a2025 ) · a = a2+ a a1 + aa2025+a1a2025 − a2− aa1− aa2025 = a1a2025 ∵，，，都是正数 ，因此 a1a20250> 0 ∴M − N > 0 ，即 M > N 故答案为：C. 6． 设 x， y， s， t 为互不相等的实数，且，，则 的值为（　　） A．-1 B．1 C．0 D．0.5 【答案】A 【解析】∵， ∴x4-s2x2-t2x2+s2t2-1=0， 设x2=A，A2-（s2+t2）A+s2t2-1=0， ∵， ∴y4-s2y2-t2y2+s2t2-1=0， ∴x2与y2都是关于A的方程A2-（s2+t2）A+s2t2-1=0的根， ∴， ∴=-1. 故答案为：A. 7．如图，长为，宽为的大长方形被分割为7小块，除阴影A，B外其余5块是形状、大小完全相同的小长方形，其较短的边长为，下列说法中正确的有（　　） ①小长方形的较长边为； ②阴影A的一条较短边和阴影B的一条较短边之和为； ③若x为定值，则阴影A和阴影B的周长和为定值； ④当时，阴影A和阴影B的面积和为定值． A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 【答案】B 【解析】∵大长方形的长为ycm，小长方形的宽为4cm， ∴小长方形的长为，说法①符合题意； ∵大长方形的宽为xcm，小长方形的长为，小长方形的宽为4cm， ∴阴影A的较短边为， 阴影B的较短边为， ∴阴影A的较短边和阴影B的较短边之和为，说法②不符合题意； ∵阴影A的较长边为，较短边为， 阴影B的较长边为，较短边为， ∴阴影A的周长为， 阴影B的周长为， ∴阴影A和阴影B的周长之和为， ∴若x为定值，则阴影A和阴影B的周长之和为定值，说法③符合题意； ∵阴影A的较长边为，较短边为， 阴影B的较长边为，较短边为， ∴阴影A的面积为， 阴影B的面积为， ∴阴影A和阴影B的面积之和为 ， 当时，，说法④符合题意， 综上所述，正确的说法有①③④，共3个， 故答案为：B． 8． 如图，有两个正方形A，B．现将B放在A的内部得图甲，将A，B并列放置后，构造新的正方形得图乙．已知图甲和图乙中阴影部分的面积分别为1和12，若三个正方形A和两个正方形B如图丙摆放，则图丙中阴影部分的面积为（　　） A．28 B．29 C．30 D．31 【答案】B 【解析】设正方形A，B的边长各为a、b(a>b) 得图甲阴影部分的面积为：(a-b)2=a2-2ab+b2=1， 解得：a-b=1或a-b=-1(舍去)， 图乙阴影部分的面积为：(a+b)2-(a2+b2)=2ab=12， 可得(a+b)2=a2 + 2ab+ b2=a2-2ab + b2 + 4ab=(a-b)2+4ab=1+2×12=25， 解得：a+b=5或a+b=-5(舍去)， ∴图丙中阴影部分的面积为 (2a+b)2-(3a2+2b2) =a2 + 4ab-b2 =(a+b)(a-b)+2×2ab =5×1+2×12 =5 +24 =29； 故答案为：B. 9．如果一个正整数能表示为两个连续偶数的平方差，那么称这个正整数为“完美数”，如，，因此12，52这两个数都是“完美数”，则下列结论中错误的是（　　） A．20是“完美数” B．最小的“完美数”是4 C．“完美数”一定是4的奇数倍 D．小于30的所有“完美数”之和是60 【答案】D 【解析】A、∵62-42=20，∴ 20是“完美数”，故此项不符合题意； B、∵ 两个连续偶数的平方差最小值为4，∴ 最小的“完美数”是4 ，故此项不符合题意； C、设两个连续偶数为2n，2n+2， ∴（2n+2）2-（2n）2=4（2n+1）， ∴“完美数”一定是4的奇数倍 ，故此项不符合题意； D、小于30的“完美数”有4、12、20、28， ∴4+12+20+28=64，故此项符合题意； 故答案为：D. 10．如图，有三张正方形纸片A，B，C，它们的边长分别为a，b，c，将三张纸片按图1，图2两种不同方式放置于同一长方形中，记图1中阴影部分周长为11，面积为S1，图2中阴影部分周长为l2，面积为S2．若，则c：b的值为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】设大长方形的宽为d， ∴由图2知，d＝b﹣c+a， ∴l1＝2（a+b+c）+（d﹣a）+（d﹣c）+（a﹣b）+（b﹣c）＝2a+2b+2d， S1＝d（a+b+c）﹣a2﹣b2﹣c2， l2＝a+b+c+d+a+c+（a﹣b）+（b﹣c）＝3a+b+c+d， S2＝d（a+b+c）﹣a2﹣b2+bc， ∴S2﹣S1＝bc+c2， l1﹣l2＝b﹣c﹣a+d， ∴bc+c2＝（）2， ∴bc+c2＝（b﹣c）2， ∴3bc＝b2， ∴b＝3c， ∴c：b的值为． 故答案为：B． 二、填空题（本大题有6小题，每小题5分，共30分） 要注意认真看清题目的条件和要填写的内容，尽量完整地填写答案. 11．一个多项式与的积为，则　 　. 【答案】0 【解析】∵积中x的三次项的系数为1， ∴另一个多项式的一次项系数也是1， ∵积中有常数项为2， ∴另一个多项式为， ∴ ∴，， ∴， 故答案为：0. 12．若，则　 　． 【答案】2或3或-1 【解析】本题要分三种情况讨论： ①∵1的任何次幂都等于1∴5-2x=1 解得：x=2 ②∵-1的偶数次幂都等于1∴5-2x=-1 解得：x=3 此时x+1=4是偶数，符合题意； ③∵任何不等于零的数的零次幂都等于1∴x+1=0∴x=-1 此时5-2x=5+2=7≠0，符合题意； 综上所述：x=2或3或-1. 故答案为：2或3或-1. 13． 若 ， 则 的值为　 　 【答案】39 【解析】设， 【分析】将（x+2）视为一个整体，将（x-3）视为另一个整体，运用换元法、完全平方公式求解. 14．通过以下方法可将转化为方程，我们规定：方程称为的还原方程． 去分母， 移项， 两边平方， 整理， （1）的还原方程是　 　． （2）若，则代数式　 　． 【答案】；5 【解析】（1）， 去分母，， 移项，， 两边平方，， 整理，； 故答案为：； （2）∵， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∴； 故答案为：5． 15．现定义一种新运算：.若，则，所以. （1）若，则　 　； （2）若，n为正整数，则　 　（用含n，t的代数式表示）. 【答案】（1）25 （2） 【解析】（1）由题意得：， ， ∴ 故答案为： 25. （2）∵， ， ， ， ... ... ∴，， . 故答案为：. 16．如图，在长方形ABCD中，AB<BC，点P为长方形内部一点，过点P分别作PE⊥BC于点E、PF⊥CD于点F，分别以PF、CF为边作正方形PMNF，正方形GHCF，若两个正方形的面积之和为42，长方形PECF的面积为11，BE=DF=2，则长方形ABCD的面积为　 　. 【答案】31 【解析】∵四边形PMNF和四边形GHCF都是正方形， ∴S正方形PMNF=PF2，S正方形GFCH=CF2， ∴PF2+CF2=42， ∵长方形PECF的面积为11， ∴CF•PF=11， ∴（PF+CF）2=PF2+CF2+2CF•PF=64， ∴PF+CF=8， ∵长方形ABCD的面积=BC•CD=（BE+PF）•（CF+DF）， ∴长方形ABCD的面积=（2+PF）（2+CF）=4+PF•CF+2（PF+CF）=31， 故答案为：31. 三、解答题（本题有8小题，每题10分，共80分） 解答应写出文字说明，证明过程或推演步骤. 17．计算： ① ② 【答案】解：① = = = = = = = = ． ② = = = = = = = = = ． 18.（1）已知(2 020-a)2+(a-2 019)2=5，求(2020-a)(a-2 019)的值。 （2）已知(a-2019)2+(a-2021)2=8，求(a-2020)2的值。 【答案】（1）解：设2 020-a=x，a-2 019=y，则 x+y=1，∵ = -2，即(2020-a)(a-2019)=xy=-2. （2）解：设a-2019=x，a-2 021=y， 则 ∴（x-y）2=x²-2xy+y2 ， ∴+1) . 19．探索规律，回答下列问题. （1）;;; ……… （2）根据规律，若 ；求 的值. （3）拓展：若 ；求 的值. 【答案】（1）解： ; ; … 由上式可得规律：两个数和的平方，等于这两个数分别平方的和再加2与这两个数的乘积， ； （2）解：∵ ， ∴ ， 又∵ ， ∴ ＝4， ∴ ； （3）解：∵由(1)得： ， ∴ ＝14， ∴（ ）2＝ +2+＝16， ∴（ ）2＝16， 又∵x>0， ∴ = 4 . 20．规定两数a，b之间的一种运算，记作：：如果，那么 例如：因为，所以． （1）根据上述规定，填空：______； （2）若，，且，求的值； （3）①若，请你尝试证明：； ②进一步探究这种运算时发现一个结论：，结合①，②探索的结论，计算：_____． 【答案】（1） （2）解：，， ，， ， ； （3）解：①，，， ，，， ， ， ， ； ②2 【解析】（1）解：， ， 故答案为：； （3）②，， ， ，， ， 设， 则， 故， 故答案为： 21．若a满足（2022－a）2+（a－2023）2=5 （1）①设2022－a=x，a－2023=y，则x2+y2= ▲ ，x+y= ▲ ； ②利用①中的信息，求出（2022－a）（a－2023）的值； （2）如图，点A，K分别是正方形BGHC的边BG、BC上的点，满足CK=k，AG=k+1（为常数，且k>0），长方形ABKE的面积是6，分别以AB、AE为边作正方形ABID和正方形AEJF，求正方形ABID与正方形AEJF的面积之和． 【答案】（1）解：①5；-1； ②由①可得：，，∴，即， ∴，即，∴； （2）解：正方形边长为m， 则，，∴， ∵长方形的面积是6，∴， ∵，∴， 即正方形ABID与正方形AEJF的面积之和是13． 【解析】（1） ①设2022－a=x，a－2023=y，则x2+y2= 5，x+y= 2022-a+a-2023=-1； 22．利用我们学过的知识，可以导出下面这个形式优美的等式： a2 +b2+c2-ab-bc-ac= [（a- b）2+（b-c）2+（c-a）2]． （1）请你验证这个等式． （2）当a=2 020，b=2 021，c=2 022时，求a2+b2+c2-ab-bc-ac的值． （3）若a-b= ，b-c= ，a2+b2+c2=1，求ab+bc+ac的值． 【答案】（1）解： = 等式得证. （2）解：当 时， a-b=-1，b-c=-1，c-a=2， ∴ （3）解：∵ a-b= ，b-c= ， ∴a-c=a-b+b-c=. ∵ a2+b2+c2=1， ∴ = 23．完全平方公式：，是多项式乘法中的重要公式之一，它经过适当变形可以解决很多数学问题 例如：若a＋b＝2，ab＝1，求的值． 解：． 根据以上信息回答下列问题： （1）若m＋n＝4，，求mn的值； （2）若，ab＝﹣5，求a﹣2b的值； （3）如图，长方形ABCD的面积为6，BC>2AB．在长方形ABCD外分别以BC，AD为边作正方形BCQP和正方形ADNM，在长方形ABCD内以AB，CD为边分别作正方形CDEF和正方形ABGH．若阴影部分的周长为38，求阴影部分的面积． 【答案】（1）解： ∵ ∴ 42-2mn=25 ∴ mn= （2）解：∵ ∴ (a-2b)2+4×（-5）=11 ∴ (a-2b)2=31 ∴ a-2b= （3）解：如图 设长方形ABCD的长AD=BC为a，宽AB=DC为b，则ab=6 ∵ 正方形ABHG，正方形DEFC，正方形AMND，正方形BPQC， ∴ S正ABHG= S正DEFC=b2， S正AMND= S正BPQC=a2 ∴ S阴影=S正ABHG+ S正DEFC+S正AMND+ S正BPQC=2（b2+a2） ∵ 阴影部分的周长为38 ∴ 8a+4b=38 即4a+2b=19 ∴ （4a+2b）2=192 ∴ （4a-2b）2=（4a+2b）2-32ab=192-32×6=169 ∴ （4a-2b）2=169 ∵ BC＞2AB ∴ a＞2b ∴ 4a＞2b即4a-2b＞0 ∴ 4a-2b=13 联立解得a=4，b= 则S阴影=2（b2+a2）=2（16+）= 24．我们定义：一个整数能表示成（、是整数）的形式，则称这个数为“完美数”，例如，5是“完美数”，理由：因为，所以5是“完美数”． 【解决问题】 （1）已知29是“完美数”，请将它写成（、是整数）的形式__________； （2）若可配方成（、为常数），则__________； 【探究问题】 （3）已知，则__________； （4）已知（、是整数，是常数），要使为“完美数”，试求出符合条件的一个值，并说明理由． 【拓展结论】 （5）已知实数、满足，求的最小值． 【答案】解：（1）；（2）-12；（3）-1； （4）当时，为“完美数”，理由如下： ， 当时，，则，为完美数； （5）∵， ∴， ∵，∴，∴当时，有最小值，最小值为1 【解析】（1）， 故答案为：； （2）； ∴，，∴； 故答案为：-12. （3）∵， ∴，∴，∴，， 解得：，， ∴； 故答案为：-1. www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页） 学科网（北京）股份有限公司 $