专题3.3 乘法公式（压轴题专项讲练）-2024-2025学年七年级数学下册压轴题专项讲练系列（浙教版2024）

专题3.3 乘法公式 · 典例分析 【典例1】阅读材料：若满足，求的值． 解：设，，则，， ∴ 请仿照上面的方法求解下列问题： （1）若满足，求的值． （2），求． （3）已知正方形的边长为，，分别是、上的点，且，，长方形的面积是15，分别以，为边长作正方形，求阴影部分的面积． 【思路点拨】 （1）设，，则可得出，根据代入计算即可得出答案； （2）设，，则可得出，由，可计算出的值，则代入计算即可得出答案； （3）根据题意可得，，，由已知条件可得，阴影部分的面积为大正方形面积减去小正方形的面积，可得，设，，则可得出，由，即可算出的值，由代入计算即可得出答案． 【解题过程】 （1）解：（1）设，， 则， ； （2）解：设，， 则， ， ， ， ； （3）解：根据题意可得，，， ， ， 设，， 则， ， ， ． · 学霸必刷 1．（24-25八年级上·河南驻马店·期中）如果是一个完全平方式，那么的值是（   ） A．5 B． C．7 D．5或 2．（2024八年级·全国·竞赛）若与互为相反数，则的值为（    ） A．2 B．6 C．8 D．64 3．（24-25八年级上·江苏南通·阶段练习）已知，则代数式的值可能是（    ） A． B． C． D． 4．（24-25六年级上·上海·期中）设，，，若，则的值是（   ）． A．16 B．12 C．8 D．4 5．（2024八年级上·全国·专题练习）已知，，那么的值是（　　） A．6 B．8 C．20 D．34 6．（24-25八年级上·北京·期中）已知实数a，b满足，则的值是（   ） A．65 B．105 C．115 D．2025 7．（24-25八年级上·江苏南通·阶段练习）已知实数满足，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 8．（23-24七年级下·重庆北碚·期中）的个位数字为（    ） A．1 B．3 C．7 D．9 9．（24-25八年级上·广东广州·期中）观察下列几个算式：①；②；③；④，……，结合你观察到的规律判断的计算结果的末位数字为（   ） A．1 B．3 C．5 D．7 10．（23-24八年级上·四川眉山·期中）观察下列各式： ； ； ； … 根据规律计算： 的值是（   ） A． B． C． 11．（23-24八年级上·河北石家庄·期末）有个依次排列的整式：第1个整式是，第2个整式是，用第2个整式减去第1个整式，所得之差记为，记；将第2个整式与相加作为第3个整式，记，将第3个整式与相加记为第4个整式，以此类推，某数学兴趣小组对此展开研究，将得到四个结论：①；②当时，第3个整式的值为25；③若第5个整式与第4个整式之差为15，则；④第2024个整式为；⑤当时，；以上正确的结论有（　　）个． A．1 B．2 C．3 D．4 12．（23-24八年级上·江苏南通·阶段练习）已知、、、均为常数，、均为非零常数，若有两个整式 ，．下列结论中，正确的有（    ） ①当为关于x的三次三项式时，则； ②当多项式乘积不含时，则； ③； ④当能被整除时，； ⑤若或时，无论和取何值，值总相等，则． A．①③⑤ B．①③④ C．③④⑤ D．①③④⑤ 13．（23-24七年级下·重庆北碚·期中）关于的整式与，令，，下列说法正确的有（    ）个． ①若是关于的二次整式，则的值共有3种不同的可能； ②若，，为整式，则中除常数项外其余各项系数和为； ③若，，，，，，则的最小值为； ④若，，，，令，，且，，则共有项． A．1 B．2 C．3 D．4 14．（23-24七年级下·重庆·期末）在整式，，前添加“”或“”，先求和，再求和的绝对值的操作，称为“优绝对值”操作，将操作后的化简结果记为M．例如： ，则，当时，M的化简求值结果为：．下列说法正确的个数为（    ） ①至少存在一种“优绝对值”操作，使得操作后的化简结果为常数； ②把所有可能的“优绝对值”操作后的式子化简，共有8种不同的结果； ③在所有可能的“优绝对值”操作中，若操作后的化简求值的结果为17，则满足条件的a有且只有一个，此时． A．0 B．1 C．2 D．3 15．（2024七年级·全国·竞赛）若，，且，则 ． 16．（23-24七年级下·重庆北碚·期末）已知，满足，则 ． 17．（2025七年级下·全国·专题练习）已知，则的值为 ． 18．（24-25八年级上·江苏南通·期中）若，则的值为 ． 19．（24-25七年级上·上海·阶段练习）已知，那么 ． 20．（23-24七年级下·四川成都·期中）已知实数x，y满足，则的最大值与最小值的和为 ． 21．（24-25七年级上·上海·期中）请同学运用计算，解决问题：已知x、y、z满足，求的最大值是 ． 22．（23-24七年级下·四川成都·期中）设被除的余数等于，而被除的余数等于，则 ． 23．（2024七年级下·全国·专题练习）如果一个正整数能表示为两个正整数的平方差，那么称这个正整数为“智慧数”．例如，，16就是一个智慧数．在正整数中，从1开始，第2021个智慧数是 ． 24．（23-24八年级上·湖北武汉·期末）已知，下列结论：①；②；③；④，其中正确的有 ．（请填写序号） 25．（23-24八年级下·浙江杭州·期中）有三张正方形纸片A，B，C，它们的边长分别为a，b，c，将三张纸片按图1，图2两种不同方式放置于同一长方形中，记图1中阴影部分周长为，面积为，图2中阴影部分周长为，面积为，若，则的值为 ． 26．（23-24七年级下·浙江金华·阶段练习）“幻方”最早记载于春秋时期的《大戴礼记》中，现将不重复的数字填入如图所示的“幻方”中，使得每个圆圈上的四个数字的和都等于，若每个圆圈上的四个数字的平方和分别记、、，且．如果将交点处的三个圆圈填入的数字分别记作为、、，则 ； ． 27．（23-24八年级上·新疆乌鲁木齐·期末）从边长为的正方形减掉一个边长为的正方形（如图1），然后将剩余部分拼成一个长方形（如图2）． （1）上述过程能验证的等式是_________； （2）若，求的值； （3）． 28．（24-25八年级上·广东广州·期末）如图，从边长为的正方形中剪去一个边长为的正方形． （1）若，，求的值； （2）请根据图中阴影部分面积验证平方差公式； （3）计算：． 29．（24-25八年级上·广东韶关·期末）【背景阅读】在数学的学习中，我们经常可以利用图形的面积关系理解代数公式，使抽象的数量关系直观化． 【问题解决】 （1）填空：根据图1所示图形的面积关系，可以写出的一个乘法公式是_____________； （2）如果图2中阴影部分的面积为25，一个小长方形的面积为14，求的值； 【拓展应用】 （3）如图3，有两个正方形A，B，现将放在的内部得到图甲，将A，B并列放置后构造新的正方形得到图乙．设正方形的边长为，正方形的边长为，且图甲和图乙中阴影部分的面积分别为4和30．现将三个正方形和两个正方形如图丙摆放，求图丙中阴影部分的面积． 30．（23-24八年级上·河南南阳·阶段练习）对于任意四个有理数，可以组成两个有理数对与，我们规定：．例如：．    （1）若是一个完全平方式，求常数的值； （2）若，且，求的值； （3）在（2）的条件下，将长方形及长方形按照如图方式放置，其中点分别在边上，连接，若，，，，求图中阴影部分的面积． 31．（23-24八年级上·江苏淮安·开学考试）【知识生成】 【知识生成】我们已经知道，通过计算几何图形的面积可以表示一些代数恒等式．例如图1可以得到，基于此，请解答下列问题： 【直接应用】（1）若，，求的值； 【类比应用】（2）填空：①若，则　 　； ②若，则　 　； 【知识迁移】（3）两块全等的特制直角三角板如图2所示放置，其中，，在一直线上，连接，．若，，求一块直角三角板的面积．    32．（24-25八年级上·北京·期中）如图1是一个长为、宽为的长方形，沿图中虚线用剪刀均匀分成四块小长方形，然后按图2形状拼成一个正方形． （1）请分别用两种不同的方法表示图2中阴影部分的面积：方法一：______；方法二：______； （2）观察图2，直接写出代数式，，之间的关系：_______ （3）利用（2）的结论，尝试解决以下问题： ①已知，，则的值为______； ②已知：，求的值； （4）两个正方形如图3摆放，边长分别为x，y，若，，求图中阴影部分面积和． 33．（23-24七年级下·河北石家庄·期中）数学活动课上，老师准备了图1中三种不同大小的正方形与长方形卡片如图1依次记、、三类，拼成了一个如图2所示的正方形.    （1）请用两种不同的方法表示图2中阴影部分的面积和. 方法1： ； 方法2： . （2）请直接写出三个代数式：, ,之间的一个等量关系 . （3）若要拼出一个面积为的矩形，则需要类卡片 张，类卡片 张，类卡片 张. （4）根据（2）题中的等量关系，解决如下问题： ①已知,，求和的值. ②已知，求. 34．（23-24七年级下·重庆·期中）我国南宋时期有一位杰出的数学家杨辉，如图所示的图表是他在《详解九章算术》中记载的“杨辉三角”． 第一行 第二行       各项系数和为 第三行            各项系数和为 第四行              各项系数和为 …… …… …… …… 此图揭示了（n为非负整数）的展开式的项数及各项系数的有关规律，请根据上述规律，解决以下问题： （1）多项式展开式共有______项，第二项的系数为______，各项系数和为______； （2）如图，在“杨辉三角”中，选取部分数1，3，6，……，记，，……请完成下列问题：    ①计算； ②计算； ③请直接写出的值． 35．（23-24八年级上·湖南长沙·期末）我们定义：如果两个多项式M与N的和为常数，则称M与N互为“对消多项式”，这个常数称为它们的“对消值”．如与互为“对消多项式”，它们的“对消值”为5．已知关于x的多项式与互为“对消多项式”，“对消值”为t．若，求代数式的最小值． 36．（24-25八年级上·云南昭通·期末）先阅读下面的材料，再解决问题： 已知，在求关于的代数式的值时，可将变形为，就可将表示为的一次多项式，从而达到“降次”的目的，我们称为“降次代换法”．例如：已知，求代数式的值． 解：∵， ∴， ∴原式，∴． 请用“降次代换法”完成下列各小题： （1）若，则代数式的值为______； （2）若，求代数式的值； （3）若，求证：． 37．（2024七年级下·浙江·专题练习）阅读理解学习； 【阅读材料】一个含有多个字母的代数式中，如果任意交换两个字母的位置，代数式的值都不变，这样的代数式叫做对称式．例如：代数式中任意两个字母交换位置，可得到代数，，，因为，所以是对称式：而代数式中字母，交换位置，得到代数式，因为与不一定相等，所以不是对称式． 【理解判断】下列四个代数式中，是对称式的是 （填序号即可）； ①②③④ 【能力提升】 已知． ①若，，求对称式的值； ②若，求对称式的最小值． 38．（23-24八年级上·广东广州·期末）阅读理解： 条件①：无论代数式A中的字母取什么值，A都不小于常数M； 条件②：代数式A中的字母存在某个取值，使得A等于常数M； 我们把同时满足上述两个条件的常数M叫做代数式A的下确界． 例如： ， ， （满足条件①） 当时，（满足条件②） 是的下确界． 又例如： ， 由于，所以，（不满足条件②） 故4不是的下确界． 请根据上述材料，解答下列问题： （1）求的下确界． （2）若代数式的下确界是1，求m的值． （3）求代数式的下确界． 39．（23-24七年级下·江苏扬州·期末）阅读理解并解答：在学完乘法公式后，王老师向同学们提出了这样一个问题：你能求代数式的最大值吗？ 【初步思考】 同学们经过交流、讨论，总结出如下方法： 解： 因为， 所以． 所以当时，的值最大，最大值是0. 所以当时，的值最大，最大值是4. 所以的最大值是4 【尝试应用】 （1）求代数式的最大值，并写出相应的的值． （2）已知，，请比较与的大小，并说明理由． 【拓展提高】 （3）将一根长的铁丝剪成两段，并以每一段铁丝的长度为周长各做成一个正方形，则这两个正方形面积之和有无最小（或最大）值？若有，求此时这根铁丝剪成两段后的长度；若没有，请说明理由． 40．（24-25八年级上·福建福州·期末）定义：将二次三项式变形为的形式，我们称为配方，然后由平方具有非负性，即就可以解决很多问题，例如：把多项式配方为：． （1）把多项式配方成的形式，则______，______； （2）若多项式，． ①证明：无论取任何实数，多项式的值一定恒为正数； ②求多项式的最小值． （3）已知正整数，，满足不等式，直接写出的值． 第 1 页 共 45 页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题3.3 乘法公式 · 典例分析 【典例1】阅读材料：若满足，求的值． 解：设，，则，， ∴ 请仿照上面的方法求解下列问题： （1）若满足，求的值． （2），求． （3）已知正方形的边长为，，分别是、上的点，且，，长方形的面积是15，分别以，为边长作正方形，求阴影部分的面积． 【思路点拨】 （1）设，，则可得出，根据代入计算即可得出答案； （2）设，，则可得出，由，可计算出的值，则代入计算即可得出答案； （3）根据题意可得，，，由已知条件可得，阴影部分的面积为大正方形面积减去小正方形的面积，可得，设，，则可得出，由，即可算出的值，由代入计算即可得出答案． 【解题过程】 （1）解：（1）设，， 则， ； （2）解：设，， 则， ， ， ， ； （3）解：根据题意可得，，， ， ， 设，， 则， ， ， ． · 学霸必刷 1．（24-25八年级上·河南驻马店·期中）如果是一个完全平方式，那么的值是（   ） A．5 B． C．7 D．5或 【思路点拨】 根据完全平方式得出，再求出即可．本题考查了完全平方式，能熟记完全平方式是解此题的关键，注意：完全平方式有和两个． 【解题过程】 解：∵是一个完全平方式， ∴， ∴， 整理得， 解得的值是5或， 故选：D． 2．（2024八年级·全国·竞赛）若与互为相反数，则的值为（    ） A．2 B．6 C．8 D．64 【思路点拨】 根据互为相反数的两个数的和为0列方程，分解因式，结合绝对值和平方数的非负性，根据几个非负数的和为0，得到它们同时为0，求出，的值，根据完全平方公式变形即得． 此题主要考查了相反数，绝对值，完全平方公式．熟练掌握相反数性质，完全平方公式分解因式，绝对值与平方数的非负性，完全平方公式变形，是解决问题的关键． 【解题过程】 解：∵若与互为相反数， ∴， ∴， ∴，， ∴，， ∴， ∴． 故选：C． 3．（24-25八年级上·江苏南通·阶段练习）已知，则代数式的值可能是（    ） A． B． C． D． 【思路点拨】 本题考查了通过对完全平方公式变形求值，先由，，得出，然后通过，求出即可，熟练掌握知识点的应用是解题的关键． 【解题过程】 解：∵， ∴，， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴选项符合题意， 故选：． 4．（24-25六年级上·上海·期中）设，，，若，则的值是（   ）． A．16 B．12 C．8 D．4 【思路点拨】 本题考查了完全平方公式，对所给条件灵活变形以及正确应用整体思想是解答本题的关键．先将，，代入，得到，再变形为，然后将作为一个整体即可解答． 【解题过程】 解：∵，，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴． 故选：A． 5．（2024八年级上·全国·专题练习）已知，，那么的值是（　　） A．6 B．8 C．20 D．34 【思路点拨】 本题主要考查完全平方公式的变形，熟记公式结构是解题的关键． 把，根据，得到，然后再通过变形求出即可． 【解题过程】 解：，，， ， ， ． 故选：B． 6．（24-25八年级上·北京·期中）已知实数a，b满足，则的值是（   ） A．65 B．105 C．115 D．2025 【思路点拨】 本题考查了完全平方公式，非负数的性质，代数式求值，熟练掌握完全平方公式是解题的关键． 先将已知条件变形为，然后根据非负数的性质求出a、b的值，最后代入要求的代数式计算即可． 【解题过程】 解：， ， ， ， ， ， ，， ∴ ， 故选：A． 7．（24-25八年级上·江苏南通·阶段练习）已知实数满足，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【思路点拨】 先利用整式的混合运算，结合实数满足，将化简为，再由配方法及平方非负性确定，最后由不等式的性质即可得到，从而确定答案． 【解题过程】 解： ， 实数满足， ， ， ， ， ， 综上所述，， 则 ， 的最小值为， 故选：C． 8．（23-24七年级下·重庆北碚·期中）的个位数字为（    ） A．1 B．3 C．7 D．9 【思路点拨】 本题考查了平方差公式，有理数的乘方．熟练掌握平方差公式进行运算是解题的关键． 由题意知， ，由，可知每4个3相乘为1个循环，由，可知的个位数字为9，然后作答即可． 【解题过程】 解：由题意知， …… ， ∵， ∴每4个3相乘为1个循环， ∵， ∴的个位数字为9， 故选：D． 9．（24-25八年级上·广东广州·期中）观察下列几个算式：①；②；③；④，……，结合你观察到的规律判断的计算结果的末位数字为（   ） A．1 B．3 C．5 D．7 【思路点拨】 本题考查了多项式的乘法运算.根据已知式子的特点得出规律，求出式子的结果，再求出的个位数字，最后即可得出答案. 【解题过程】 解：∵①； ②； ③； ④， ……， ∴，，． ∴ ， 因为，，，，，， 所以2的乘方运算，其末位数字分别为2，4，8，6，每4个为一组，依次循环． 因为，所以的末位数字为2，所以的末位数字为1， 即的计算结果的末位数字为1． 故选：A． 10．（23-24八年级上·四川眉山·期中）观察下列各式： ； ； ； … 根据规律计算： 的值是（   ） A． B． C． 【思路点拨】 根据题中规律每一个式子的结果等于两项的差，被减数的指数比第二个因式中第一项大1，减数都为1，即可得到规律为，利用规律，当，时，代入其中即可求解． 本题考查了平方差公式、及数字类的规律题，解题的关键是认真阅读，总结规律，并利用规律解决问题． 【解题过程】 解：由； ； ； … 观察发现： ， 当，时，得 ， ∴， ∴． 故选：A． 11．（23-24八年级上·河北石家庄·期末）有个依次排列的整式：第1个整式是，第2个整式是，用第2个整式减去第1个整式，所得之差记为，记；将第2个整式与相加作为第3个整式，记，将第3个整式与相加记为第4个整式，以此类推，某数学兴趣小组对此展开研究，将得到四个结论：①；②当时，第3个整式的值为25；③若第5个整式与第4个整式之差为15，则；④第2024个整式为；⑤当时，；以上正确的结论有（　　）个． A．1 B．2 C．3 D．4 【思路点拨】 本题主要考查数据的规律类问题．根据题意可以得出规律，第n项为，，根据规律逐项求解判断即可． 【解题过程】 解：由题意可知，第1个整式为，第2个整式为， ∴， ∴， ∴， ∴， ....． ∴，故①正确； ∵将第2个整式与相加作为第3个整式， ∴第3个整式为， 当时，，故②错误； ∵将第3个整式与相加作为第4个整式， ∴第4个整式为， 以此类推，第n个整式为， ∴第4个整式为， ∵第5个整式与第4个整式之差为15， ∴， 解得，故③正确； ∵第n个整式为， ∴第个整式为，故④正确； ∵， ∴ ，故⑤正确． 综上，正确的有①③④⑤，共4个． 故选：D． 12．（23-24八年级上·江苏南通·阶段练习）已知、、、均为常数，、均为非零常数，若有两个整式 ，．下列结论中，正确的有（    ） ①当为关于x的三次三项式时，则； ②当多项式乘积不含时，则； ③； ④当能被整除时，； ⑤若或时，无论和取何值，值总相等，则． A．①③⑤ B．①③④ C．③④⑤ D．①③④⑤ 【思路点拨】 本题考查了整式的加减与乘法，求出，为关于的三次三项式，此时，故说法①错误；求出，再由多项式乘积不含，可得，解得：，故说法②错误；当时，可得，当时，可得，故③说法正确；设，可得，从而得到，故④说法正确；根据当或时，无论和取何值，值总相等，可得且，故⑤说法正确，即可． 【解题过程】 解：∵，， ∴， ∵为关于x的三次三项式，且e为非零常数，为关于的三次三项式，此时，故说法①正确； ∵多项式乘积不含， ∴，解得：，故说法②错误； 当时，， 即， 当时，， 即， ∴，故③说法正确； ∵能被整除， ∴可设， ∵ ∴， 即， ∴， ∴，故④说法正确； 当时，， 当时，， ∵当或时，无论和取何值，值总相等， ∴且， 解得：，故⑤说法正确； 故选：D． 13．（23-24七年级下·重庆北碚·期中）关于的整式与，令，，下列说法正确的有（    ）个． ①若是关于的二次整式，则的值共有3种不同的可能； ②若，，为整式，则中除常数项外其余各项系数和为； ③若，，，，，，则的最小值为； ④若，，，，令，，且，，则共有项． A．1 B．2 C．3 D．4 【思路点拨】 本题考查了多项式乘以多项式，多项式的项与系数等知识．熟练掌握多项式乘以多项式，多项式的项与系数是解题的关键． （1）由是关于的二次整式，可知至少有一个为2，然后分情况求解；进而可判定①的正误；由，可得，则，可求，即，由，可判断②的正误；由，，，，，，可得，，则，由，可得，进而可判断③的正误；由，，，，可得，，然后根据题意，推导规律并作答即可． 【解题过程】 解：∵是关于的二次整式， ∴至少有一个为2， 当时，；此时的值为； 当时，；此时的值为； 综上，的值共有3种不同的可能；①正确，故符合要求； ∵， ∴， ∴， 解得，， ∴， ∵， ∴中除常数项外其余各项系数和为，②正确，故符合要求； ∵，，，，，， ∴，， ∴， ∵， ∴，③正确，故符合要求； ∵，，，， ∴，， ∴，， ∴，共3项； ∴，， ∴，共项； ∴，， ∴，共项； …… ∴可推导，，共项； ，共项； ，共项； ，共项； ∴，共项．④正确，故符合要求； 故选：D． 14．（23-24七年级下·重庆·期末）在整式，，前添加“”或“”，先求和，再求和的绝对值的操作，称为“优绝对值”操作，将操作后的化简结果记为M．例如： ，则，当时，M的化简求值结果为：．下列说法正确的个数为（    ） ①至少存在一种“优绝对值”操作，使得操作后的化简结果为常数； ②把所有可能的“优绝对值”操作后的式子化简，共有8种不同的结果； ③在所有可能的“优绝对值”操作中，若操作后的化简求值的结果为17，则满足条件的a有且只有一个，此时． A．0 B．1 C．2 D．3 【思路点拨】 本题以新定义阅读题为背景考查了绝对值化简和相反数定义，考核了学生对绝对值和相反数定义的理解及灵活运用，弄清定义，读懂题目按照规律列举出所有可能结果解题事半功倍．根据题意，找出一种“优绝对值”操作使操作后化简结果为常数，即为正确，可判定①正确；写出所有可能的结果数，然后可判定②错误，③正确． 【解题过程】 解：使操作后化简的结果为常数，即使a的系数为0， 有，故①正确． ， ， 当时， ∵， ∴不可能等于17； 当 ， 当时，， ∴； 当 ， ∵， ∴不可能等于17； 当时， ∵， ∴不可能等于17； 当 ， 当时，， ∴； 当 ， ∵， ∴不可能等于17； ∴把所有可能的“优绝对值”操作后的式子化简，共有4种不同的结果，故②错误； ∴在所有可能的“优绝对值”操作中，若操作后的化简求值的结果为17，则满足条件的a有且只有一个，此时，故③正确； 综上分析可知：正确的有2个． 故选：C． 15．（2024七年级·全国·竞赛）若，，且，则 ． 【思路点拨】 根据绝对值意义得到，，根据，得到，得到，， 把分解因式，分，与，两种情况求值即得． 本题主要考查了绝对值，代数式求值．熟练掌握绝对值意义，完全平方公式分解因式，分类讨论，是解决问题的关键． 【解题过程】 解：∵，， ∴，， ∵， ∴， ∴，， ∴当，时，， 当，时，． 故答案为：1或81． 16．（23-24七年级下·重庆北碚·期末）已知，满足，则 ． 【思路点拨】 此题考查了完全平方公式，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键．由，，，得，，代入求解即可． 【解题过程】 解：∵，， ∴，，当及时，等号成立， ∴，当及时，等号成立， ∵， ∴，， ∴． 故答案为：． 17．（2025七年级下·全国·专题练习）已知，则的值为 ． 【思路点拨】 本题考查了完全平方公式的应用，根据题意可得，，，结合已知可得，代入计算即可． 【解题过程】 解：由题意得，， ， ， 所以原式 ． 18．（24-25八年级上·江苏南通·期中）若，则的值为 ． 【思路点拨】 可以先运用完全平方和公式及多项式乘以多项式运算法则展开，再由多项式相等求出，代入代数式由有理数加减运算求解即可得到答案．也可以根据所求代数式与条件的特征，取特殊值得到答案． 【解题过程】 解：方法一：利用乘法公式展开 ， ， ， ； 方法二：取特殊值法 ， 求的值，可以取得到， 即； 故答案为：． 19．（24-25七年级上·上海·阶段练习）已知，那么 ． 【思路点拨】 本题考查了完全平方公式，非负数的性质，熟练掌握完全平方公式是解题关键．先根据去括号法则和完全平方公式展开，再变形为，根据平方的非负性，得出，，即可求解． 【解题过程】 解：， ， ， ， ， ， ， ，，， ，， ， 故答案为：． 20．（23-24七年级下·四川成都·期中）已知实数x，y满足，则的最大值与最小值的和为 ． 【思路点拨】 本题主要考查了配方法的应用．先求得，再求得，根据二次函数的最值求解即可． 【解题过程】 解：∵， ∴， 即， ∴， 设， ∴， ∵x，y为实数， ∴， 即， ∵， ∴， ∴， 又∵， 即， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴对于，当时，S有最大值， 当时，S有最小值， ∴的最大值与最小值的和为． 故答案为：． 21．（24-25七年级上·上海·期中）请同学运用计算，解决问题：已知x、y、z满足，求的最大值是 ． 【思路点拨】 本题考查运用已知公式，及平方的非负性，掌握灵活运用题中给的公式是解题的关键．根据已知条件化简，根据完全平方公式的非负性求得原式的最大值，进而即可求解． 【解题过程】 解：∵， ∴ ； ∵， ∴ ∴ ， ， ∴原式． 故原式的最大值是15； 故答案为：15． 22．（23-24七年级下·四川成都·期中）设被除的余数等于，而被除的余数等于，则 ． 【思路点拨】 本题考查了完全平方公式，根据题意得出被除的余数等于，，的个数，进而求得的值，根据连续5个数的平方的和被除的余数等于，进而求得后4个数字的个位数分别为，，，，即可求解． 【解题过程】 解： ∴至中被3除余数为的数有个，至中被3除余数为的数有个，至中被3除余数为的数有个， ∵被除的余数等于，则被除的余数等于， 被除的余数等于，则被除的余数等于， 被除的余数等于，则被除的余数等于， ∵ ∴被除的余数等于，，即 又∵被除的余数等于 即连续5个数的平方的和被除的余数等于 ∴ （为正整数） 后4个数字的个位数分别为，，， ∴ ∴ ∴， 故答案为：． 23．（2024七年级下·全国·专题练习）如果一个正整数能表示为两个正整数的平方差，那么称这个正整数为“智慧数”．例如，，16就是一个智慧数．在正整数中，从1开始，第2021个智慧数是 ． 【思路点拨】 本题考查了平方差公式，利用平方差公式探究出规律是解题的关键． 从1开始的正整数依次每4个分成一组，除第一组有1个智慧数外，其余各组都有3个智慧数，而且每组中第二个不是智慧数． 【解题过程】 解：设是正整数， 由于， 所以，除1外，所有奇数都是智慧数； 又因为， 所以，除4外，所有能被4整除的偶数都是智慧数； 被4除余2的正整数都不是智慧数． 从1开始的正整数依次每4个分成一组，除第一组有1个智慧数外，其余各组都有3个智慧数，而且每组中第二个不是智慧数． ， 是第675组的第一个数， 即：． 故答案为：2697． 24．（23-24八年级上·湖北武汉·期末）已知，下列结论：①；②；③；④，其中正确的有 ．（请填写序号） 【思路点拨】 本题主要考查了代数式的恒等变形及整体代入法求代数式的值，熟练掌握整体代入法是解题的关键．将两边同时除以x可得，由此可得①正确；将①式两边平方再化简可得②正确；由，将①代入其中可得③正确；给①式两边同乘以得，再将①式变形得，然后代入上式即可判断④错误． 【解题过程】 解：由，得 ， ∴， 故①正确； ∵， ， ， ， 故②正确； ∵， ∴， 故③正确； 由，得， 两边同乘以，得， 又由，得， ， ， ， ， 故④错误． 综上，正确的有①②③， 故答案为：①②③． 25．（23-24八年级下·浙江杭州·期中）有三张正方形纸片A，B，C，它们的边长分别为a，b，c，将三张纸片按图1，图2两种不同方式放置于同一长方形中，记图1中阴影部分周长为，面积为，图2中阴影部分周长为，面积为，若，则的值为 ． 【思路点拨】 本题主要考查整式的混合运算，根据题目中的数据，设大长方形的短边长为d，用含a，b，c，d的式子表示出，，，，代入即可求解． 【解题过程】 解：设大长方形的短边长为d， ∴由图2知，， ∴， ， ， ， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴的值为． 故答案为：． 26．（23-24七年级下·浙江金华·阶段练习）“幻方”最早记载于春秋时期的《大戴礼记》中，现将不重复的数字填入如图所示的“幻方”中，使得每个圆圈上的四个数字的和都等于，若每个圆圈上的四个数字的平方和分别记、、，且．如果将交点处的三个圆圈填入的数字分别记作为、、，则 ； ． 【思路点拨】 根据、、的位置可知这三个数每个都加了两次，三个圆圈上的数字之和是，但是这个数字之和是，所以可得，从而求出的值；因为，，可以得到，配方得，把代入即可求出的值． 【解题过程】 解：每个圆圈上的四个数字的和都等于， 三个圆上的数字之和应为， 其中的、、这三个数每个都加了两次， ， ， 则有， 解得：； 每个圆圈上的四个数字的平方和分别记、、，且， ， ， ， ， 整理得：， ， ； ， ， ， 解得：． 故答案为：；． 27．（23-24八年级上·新疆乌鲁木齐·期末）从边长为的正方形减掉一个边长为的正方形（如图1），然后将剩余部分拼成一个长方形（如图2）． （1）上述过程能验证的等式是_________； （2）若，求的值； （3）． 【思路点拨】 本题考查了平方差公式与几何图形面积． （1）根据图形面积相等即可求解； （2）根据平方差公式进行计算即可求解； （3）根据平方差公式进行计算即可求解． 【解题过程】 （1）解：上述过程能验证的等式是， 故答案为：； （2）解：， ， ， ， ∴； （3）解： ． 28．（24-25八年级上·广东广州·期末）如图，从边长为的正方形中剪去一个边长为的正方形． （1）若，，求的值； （2）请根据图中阴影部分面积验证平方差公式； （3）计算：． 【思路点拨】 本题考查了平方差公式的几何应用以及列代数式求值，正确表示出阴影部分的面积是解题关键． （1）根据，，利用平方差公式即可求解； （2）用两种方法分别表示出图中阴影部分的面积，即可解答； （3）将式子变形为，再利用平方差公式计算即可． 【解题过程】 （1）解：∵，， ∴； （2）解：如图，过点E作于点， ∵图中阴影部分面积为或， ∴； （3）解：原式 ． 29．（24-25八年级上·广东韶关·期末）【背景阅读】在数学的学习中，我们经常可以利用图形的面积关系理解代数公式，使抽象的数量关系直观化． 【问题解决】 （1）填空：根据图1所示图形的面积关系，可以写出的一个乘法公式是_____________； （2）如果图2中阴影部分的面积为25，一个小长方形的面积为14，求的值； 【拓展应用】 （3）如图3，有两个正方形A，B，现将放在的内部得到图甲，将A，B并列放置后构造新的正方形得到图乙．设正方形的边长为，正方形的边长为，且图甲和图乙中阴影部分的面积分别为4和30．现将三个正方形和两个正方形如图丙摆放，求图丙中阴影部分的面积． 【思路点拨】 本题考查完全平方公式的几何背景，掌握完全平方公式的结构特征是正确解答的关键． （1）从“整体”和“部分”两个方面分别用代数式表示图1的面积即可； （2）根据图2可得，再将，代入计算即可； （3）由图甲和乙中阴影部分的面积分别为4和30得到，，求得，，再根据代入计算即可． 【解题过程】 解：（1）图1中大正方形的边长为，因此面积为， 拼成图1的四个部分的面积和为， 所以有， 故答案为：； （2）图2中，大正方形的边长为，因此面积为， 阴影部分是边长为的正方形，因此面积为，四个空白长方形的面积和为， 所以有， ∵图2中阴影部分的面积为25，一个小长方形的面积为14， ∴，， ∴， ∵， ∴； （3）∵图甲和图乙中阴影部分的面积分别为4和30，即，， ∴，， ∵， ∴，； ∴ ． 30．（23-24八年级上·河南南阳·阶段练习）对于任意四个有理数，可以组成两个有理数对与，我们规定：．例如：．    （1）若是一个完全平方式，求常数的值； （2）若，且，求的值； （3）在（2）的条件下，将长方形及长方形按照如图方式放置，其中点分别在边上，连接，若，，，，求图中阴影部分的面积． 【思路点拨】 （1）由题目中的规定可知，根据完全平方公式的特征确定答案即可； （2）根据题目中的规定求出等号左边部分，可得，再借助完全平方公式，将代入求解即可； （3）根据三角形面积公式将阴影部分的面积表示出来，得到含，的整式，再代入求值即可． 【解题过程】 （1）解：根据题意，可得， ∵是一个完全平方式， ∴， 解得； （2）根据题意，可得 ， ∵， ∴， ∴， ∴； （3）由（2）可知，，， ∵四边形和四边形均为长方形， ∴，，，， ∴，， ∴阴影部分的面积为 ． 31．（23-24八年级上·江苏淮安·开学考试）【知识生成】 【知识生成】我们已经知道，通过计算几何图形的面积可以表示一些代数恒等式．例如图1可以得到，基于此，请解答下列问题： 【直接应用】（1）若，，求的值； 【类比应用】（2）填空：①若，则　 　； ②若，则　 　； 【知识迁移】（3）两块全等的特制直角三角板如图2所示放置，其中，，在一直线上，连接，．若，，求一块直角三角板的面积．    【思路点拨】 （1）根据完全平方公式的变形可得答案； （2）①设，，则，，由进行计算即可； ②设，，则，，由进行计算即可； （3）设，，由题意可得，，，由求出的值即可． 【解题过程】 解：（1）， ∴， ∴， ∵， ， 答：； （2）①设，，则，， ， 故答案为：7； ②设，，则，， ， 故答案为：3； （3）设，， ，， ，， 即，， ， 即， ， 答：一块直角三角板的面积为30． 32．（24-25八年级上·北京·期中）如图1是一个长为、宽为的长方形，沿图中虚线用剪刀均匀分成四块小长方形，然后按图2形状拼成一个正方形． （1）请分别用两种不同的方法表示图2中阴影部分的面积：方法一：______；方法二：______； （2）观察图2，直接写出代数式，，之间的关系：_______ （3）利用（2）的结论，尝试解决以下问题： ①已知，，则的值为______； ②已知：，求的值； （4）两个正方形如图3摆放，边长分别为x，y，若，，求图中阴影部分面积和． 【思路点拨】 本题考查完全平方公式的变形求值，完全平方公式在几何图形中的应用，利用数形结合的思想是解题关键． （1）方法一：直接求小正方形面积即可；方法二：利用大正方形的面积减4个长方形的面积计算即可； （2）根据大正方形的面积减4个长方形的面积等于阴影部分的面积解答即可； （3）①根据（2）所求关系解答即可；②将（2）所求关系变形为，再求解即可； （4）由题意可知，，，即可求出．结合，可求出，最后根据求解即可． 【解题过程】 （1）解：方法一：直接计算阴影部分的面积为； 方法二：利用大正方形的面积减4个长方形的面积计算为； （2）解：由图2可知； （3）解：①由（2）可知； ②∵， ∴． ∵， ∴ ； （4）解：∵， ∴． 由图可知的底为x，高为2， ∴． 的底为2，高为， ∴， ∴． ∵，即， ∴， ∴， ∴（舍去负值）， ∴阴影部分面积和为8． 33．（23-24七年级下·河北石家庄·期中）数学活动课上，老师准备了图1中三种不同大小的正方形与长方形卡片如图1依次记、、三类，拼成了一个如图2所示的正方形.    （1）请用两种不同的方法表示图2中阴影部分的面积和. 方法1： ； 方法2： . （2）请直接写出三个代数式：, ,之间的一个等量关系 . （3）若要拼出一个面积为的矩形，则需要类卡片 张，类卡片 张，类卡片 张. （4）根据（2）题中的等量关系，解决如下问题： ①已知,，求和的值. ②已知，求. 【思路点拨】 本题考查拼图与整式的乘法，数形结合是解题的关键. （1）阴影部分是两个正方形的和，也可看作外围的大正方形的面积减去2个长方形的面积，据此求解即可； （2）（1）中两种方法计算的面积是相等的，即可得出答案； （3）先画长方形，长为，宽为，观察图形可得答案； （4）①利用和计算即可； ②设，，利用求出，再利用求出，最后把还原后求解即可. 【解题过程】 （1）方法一：阴影部分是两个正方形，面积和为：， 方法二：阴影部分的面积等于外围的大正方形的面积减去2个长方形的面积，即， 故答案为：，； （2）∵（1）中两种方法计算的面积是相等的， ∴， 故答案为： （3）拼图如下：    观察图形可得：需要类卡片1张，类卡片3张，类卡片2张. 故答案为：1，3，2； （4）①根据（2）题可得， ∵,， ∴ ∴， ； ②设，， ∵， ∴， 又∵， ∵ ∴， ∴， 由，得 ∴， 即， 整理，得，即 ∴. 34．（23-24七年级下·重庆·期中）我国南宋时期有一位杰出的数学家杨辉，如图所示的图表是他在《详解九章算术》中记载的“杨辉三角”． 第一行 第二行       各项系数和为 第三行            各项系数和为 第四行              各项系数和为 …… …… …… …… 此图揭示了（n为非负整数）的展开式的项数及各项系数的有关规律，请根据上述规律，解决以下问题： （1）多项式展开式共有______项，第二项的系数为______，各项系数和为______； （2）如图，在“杨辉三角”中，选取部分数1，3，6，……，记，，……请完成下列问题：    ①计算； ②计算； ③请直接写出的值． 【思路点拨】 本题考查数字变化类，多项式的乘法； （1）根据“杨辉三角”中第三行中的数据，将展开后，各项的系数和所呈现的规律进行计算即可． （2）①根据规律得出，进而将代入进行计算即可求解； ②将已知式子裂项为，即可求解； ③根据进行计算即可求解． 【解题过程】 （1）根据“杨辉三角”可知， 第2行，展开后，各项的系数和为， 第3行，展开后，各项的系数和为， 第4行，展开后，各项的系数和为， 第5行，展开后，各项的系数和为， 第6行，展开后，各项的系数和为， 第7行，展开后，各项的系数依次为、、、、、、，各项的系数和为 第8行， 展开后，各项的系数依次为、、、、、、、 各项的系数和为 展开后，各项的系数和为， ∴多项式展开式共有项，第二项的系数为，各项系数和为128； 故答案为：8，7，128． （2）①由题意得：、、 ∴ ∴ ②由题意得：、、 ∴ ∴ ③ 35．（23-24八年级上·湖南长沙·期末）我们定义：如果两个多项式M与N的和为常数，则称M与N互为“对消多项式”，这个常数称为它们的“对消值”．如与互为“对消多项式”，它们的“对消值”为5．已知关于x的多项式与互为“对消多项式”，“对消值”为t．若，求代数式的最小值． 【思路点拨】 本题主要考查了多项式乘多项式、求代数式值等知识点，准确理解新定义是解题的关键． 先根据“对消多项式”和“对消值”的概念求得、，，进然后再对所求代数式进行配方变形求解即可． 【解题过程】 解∵和， ∴， ∵C与D互为“对消多项式”且“对消值”为t， ∴，， ∴， ∵, ∴， ∴ ． 答：代数式的最小值是43． 36．（24-25八年级上·云南昭通·期末）先阅读下面的材料，再解决问题： 已知，在求关于的代数式的值时，可将变形为，就可将表示为的一次多项式，从而达到“降次”的目的，我们称为“降次代换法”．例如：已知，求代数式的值． 解：∵， ∴， ∴原式，∴． 请用“降次代换法”完成下列各小题： （1）若，则代数式的值为______； （2）若，求代数式的值； （3）若，求证：． 【思路点拨】 本题主要考查整式的化简求值，熟练掌握运算法则是解题的关键． （1）根据题目中所给的例子进行计算即可； （2）根据题目中所给的例子进行计算即可； （3）根据题目中所给的例子进行计算，即可求证． 【解题过程】 （1）解：∵， ∴， ∴ ， 故答案为：； （2）解：∵， ∴， ∴， ∴； （3）证明：∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴原式得证． 37．（2024七年级下·浙江·专题练习）阅读理解学习； 【阅读材料】一个含有多个字母的代数式中，如果任意交换两个字母的位置，代数式的值都不变，这样的代数式叫做对称式．例如：代数式中任意两个字母交换位置，可得到代数，，，因为，所以是对称式：而代数式中字母，交换位置，得到代数式，因为与不一定相等，所以不是对称式． 【理解判断】下列四个代数式中，是对称式的是 （填序号即可）； ①②③④ 【能力提升】 已知． ①若，，求对称式的值； ②若，求对称式的最小值． 【思路点拨】 本题主要考查的是整式的乘法，同时考查了完全平方公式． （理解判断）对称式的新定义，进行计算确定是否相等即可； （能力提升）①得到和的式子，把，代入求值即可； ②把值代入，然后转化成二次函数求出最值即可． 【解题过程】 解：（理解判断）①，是对称式； ②，是对称式； ③，不是对称式； ④，是对称式； 故答案是：①②④； （能力提升）①， ，． ①∵，， ； ② ， ∴， ∴ ∴当时，对称式的最小值是． 故答案是：①②④，18，． 38．（23-24八年级上·广东广州·期末）阅读理解： 条件①：无论代数式A中的字母取什么值，A都不小于常数M； 条件②：代数式A中的字母存在某个取值，使得A等于常数M； 我们把同时满足上述两个条件的常数M叫做代数式A的下确界． 例如： ， ， （满足条件①） 当时，（满足条件②） 是的下确界． 又例如： ， 由于，所以，（不满足条件②） 故4不是的下确界． 请根据上述材料，解答下列问题： （1）求的下确界． （2）若代数式的下确界是1，求m的值． （3）求代数式的下确界． 【思路点拨】 本题主要考查了根据完全平方公式进行多项式变型、运算， （1）根据题干示例的方法计算即可作答； （2）根据题意设，根据可得，解方程即可求解； （3）将x看作常数进行配方，可将变型为，问题随之得解． 【解题过程】 解：（1）， ， （满足条件①） 当时，（满足条件②） 是的下确界． （2）∵代数式的下确界是1， ∴设， ∵， ∴， ∴， 解得：， 即：； （3） ， ，， （满足条件①） 当，，即，时，（满足条件②） 是的下确界． 39．（23-24七年级下·江苏扬州·期末）阅读理解并解答：在学完乘法公式后，王老师向同学们提出了这样一个问题：你能求代数式的最大值吗？ 【初步思考】 同学们经过交流、讨论，总结出如下方法： 解： 因为， 所以． 所以当时，的值最大，最大值是0. 所以当时，的值最大，最大值是4. 所以的最大值是4 【尝试应用】 （1）求代数式的最大值，并写出相应的的值． （2）已知，，请比较与的大小，并说明理由． 【拓展提高】 （3）将一根长的铁丝剪成两段，并以每一段铁丝的长度为周长各做成一个正方形，则这两个正方形面积之和有无最小（或最大）值？若有，求此时这根铁丝剪成两段后的长度；若没有，请说明理由． 【思路点拨】 （1）仿照题中例子配出完全平方公式进行求解； （2）计算，仿照题中例子配出完全平方公式进行求解，即可得到结论； （3）设一段铁丝的长度为，则另一段铁丝的长度为，可分别求出两个正方形的边长为和，根据正方形的面积公式，列出代数式，仿照题中例子配出完全平方公式进行求解． 【解题过程】 （1）解： ， ， ， 当时，有最大值，最大值为， 解得：， 的最大值为14，此时的值为2． （2）解：，理由如下： ，， ， 当时，有最小值2， （3）解：设一段铁丝的长度为，则另一段铁丝的长度为， 根据题意得： ， ， 时，有最小值， 解得：，则， 这两个正方形面积之和有最小值，此时两段铁丝的长度均为，面积之和为． 40．（24-25八年级上·福建福州·期末）定义：将二次三项式变形为的形式，我们称为配方，然后由平方具有非负性，即就可以解决很多问题，例如：把多项式配方为：． （1）把多项式配方成的形式，则______，______； （2）若多项式，． ①证明：无论取任何实数，多项式的值一定恒为正数； ②求多项式的最小值． （3）已知正整数，，满足不等式，直接写出的值． 【思路点拨】 本题考查了配方法的应用． （1）将配方成即可得出答案； （2）①由，结合可得答案； ②，据此可得答案； （3）将已知式配方后可得，结合a，b，c是正整数可得；分类讨论当时，当时，当时三种情况即可． 【解题过程】 （1）解：， ∴，， 故答案为：2、2； （2）①证明：， ∵， ∴， 即无论x取任何实数，多项式A的值一定恒为正数； ②解： ， 所以多项式的最小值为11； （3）解：∵， ∴， ∴， ∵a，b，c为正整数， 所以，即，或1或，即或5或3， 当时，或1或，则或2.5或1.5且a，b，c为正整数， ∴，，， ∴； 当时，，即，与题意不符，舍去； 当时，，即，与题意不符，舍去． 综上所述，． 第 1 页 共 45 页 学科网（北京）股份有限公司 $$