第2章 一元二次方程 单元测试卷2025-2026学年浙教版数学八年级下册

浙教版2025-2026学年八年级下数学第2章 一元二次方程 尖子生测试卷 解析版 一、选择题（本大题有10小题，每小题4分，共40分） 下面每小题给出的四个选项中，只有一个是正确的. 1．设a、b是整数，方程x2+ax+b=0的一根是，则的值为（　　） A．2 B．0 C．-2 D．-1 【答案】C 【解析】==1． ∵方程x2+ax+b=0的一根是，∴++b=0． ∴．∴． ∵、是整数，∴解得：∴==． 故选：C． 2．对于一元二次方程a+bx+c=0（a≠0），有下列说法： ①若ac＜0，则方程有两个不相等的实数根； ②若a﹣b+c=0，则方程一定有一个根为﹣1； ③若方程a+bx+c=0（a≠0）没有实数根，则方程必有两个不相等的实数根； ④若方程有两实数根为1，-2，则a+bx+c 分解因式得a(x+1)(x-2)； 其中正确的是（　　） A．①②③ B．②③④ C．①③④ D．①②③④ 【答案】A 【解析】①当ac<0时，则-4ac>0， ∴b2-4ac>0， ∴方程有两个不相等的实数根， 故说法①正确； ②当x=-1时， 方程的左边=a+bx+c=a·（-1）2+b·(-1)+c=a-b+c=0=方程的右边， ∴x=-1是方程的根， 故说法②正确； ③∵方程a+bx+c=0（a≠0）没有实数根， ∴b2-4ac<0， 即0≤b2<4ac， ∴b2+4ac>0， 而方程根的判别式是b2+4ac ∴该方程必有两个不相等的实数根， 故说法③正确； ④若方程有两个实数根为1，-2，则a+bx+c 分解因式得a(x-1）（x+2）， 故说法④错误. 综上，说法①②③正确， 故选：A. 3．若满足，，则的值是（　　） A．5 B．6 C．7 D．8 【答案】B 【解析】将，， 三个式子相加可得， 对式子进行配方可得， 由平方的非负性可得， 解得：， ∴． 故选B． 4．已知方程有两个相等实根，则的值为（　　） A．0 B． C． D．2 【答案】B 【解析】∵方程有两个相等实根， ∴，， 化简可得：， ∴， ∴， ∴， ∴，化简可得， 对式子两边同时除以ab可得 ，即，即， 则， 故选：B． 5．关于的一元二次方程的两个根为，且．下列说法正确是（　　） ①；②；③④关于x的一元二次方程的两个相头． A．①②③ B．①②④ C．③④ D．①③④ 【答案】B 【解析】 一元二次方程的两个根为 、 所以 ① 、 ② 都正确； 即 所以 ③ 错误； 整理关于x的一元二次方程得： 方程的两个根分别为： 、 所以 ④ 正确. 故答案为：B. 6．对于方程，如果方程实根的个数为3个，则m的值等于（　　） A．l B．3 C． D．2.5 【答案】B 【解析】移项得， 可化为 整理得为， 解得， 若，则方程有四个实数根， 方程必有一个根等于0， ， ， 解得． 故答案为：B． 7．已知 有四个非零实数根，且在数轴上对应的四个点等距排列，则 的值为 (　　) A． B． C． D． 【答案】C 【解析】设 则原方程可变形为 ， 设该方程的两个实数根α、 则原方程的四个实数根为 ∵它们在数轴上对应的四个点等距排列， 又·. ； ∴ 故答案为： C. 8．定义：已知是关于的一元二次方程的两个实数根，若，且，则称这个方程为“友好方程”．如：一元二次方程的两根为，且，所以一元二次方程为“友好方程”．关于的一元二次方程，有下列两个结论：①当时，该方程是“友好方程”；②若该方程是“友好方程”，则有且仅有个整数满足要求．对于这两个结论判断正确的是（　　） A．①②都正确 B．①②都错误 C．①正确，②错误 D．①错误，②正确 【答案】A 【解析】①当时，方程为， 解得， ∴， ∵符合，且， ∴该方程是“友好方程”，故①正确； ②， ∴， 解得或， ∵该方程是“友好方程”， ∴方程有两个不相等的实数根， ， ∴， 当时，，且， ，且， ∵为整数， 此时的值不存在； 当时，，且， ，且， ∴， 是整数， ∴或，故②正确； 综上，①②都正确， 故选：． 9．设方程的两根为，则的值为（　　） A．-10 B．22 C．24 D．30 【答案】B 【解析】 方程 去分母，得x2-2x-4=0， 方程的两根为， ∴，，， ∴， ∴， ∴. 故答案为：B. 10．甲、乙两个同时从圆形跑道同一点出发，沿顺时针方向跑步，甲的速度比乙快，过一段时间，甲第一次从背后追上乙，这时甲立即转身以同样的速度反向跑去，当两个再次相遇时，乙恰好跑了4圈，则甲的速度是乙的（　　） A．倍 B．倍 C．倍 D．倍 【答案】C 【解析】设环形跑道周长为a，甲的速度为x，乙的速度为y，则a＞0， y＞0 根据题意可得： ∴ 整理得：2x2-xy-2y2=0 同时除以y2得∴ ∴或（不合题意，舍去） 则甲的速度是乙的倍. 故答案为：C. 二、填空题（本大题有6小题，每小题5分，共30分） 要注意认真看清题目的条件和要填写的内容，尽量完整地填写答案. 11．将1，2，3，4，5，6，7，8，9，10十个数划分成两组，使得两组数中没有重复的数，将这两组数分别按照从小到大排列，这样的操作称为这十个数的一种分割，例如和就是这十个数的一种分割，并且规定和这样交换顺序和前一种分割是同种分割．若某次分割成的两组数满足其中一组数的积等于另一组数的和，那么我们就称这样的分割为完美分割，例如和为这十个数的一种完美分割，则在这十个数的所有分割中，完美分割共有　 　种． 【答案】3 【解析】， 一组数的积要小于， 若最小的五个数相乘，即， ∵120>55， ∴相乘的这组数不能为5个数或更多数， 若最小的四个数相乘，即， 相乘的这一组数最多只能有个， ， 相乘的这一组数最少有2个， ①若这一组数有2个， 当两个数连续时，设较小的数为，则另一个为， 则， ∴， ∴或（舍去）， 符合条件的完美分割为和， 当两个数不连续时， ， 两个数的乘积≥， ∴、、、、、、这7组都符合两数之积≥，但是不满足积等于另一组数的和， 当两个数不连续时，没有符合条件的完美分割， ②若这一组数有3个， 当三个数连续时，设中间的数为，则另两个为，， ， ∴， ∴， 在1到10之间没有符合条件的， 当三个数不连续时，设其中最大的数为，分别讨论、、）， 其中始终大于组合内第二个数、以及、、、、是否满足其中一组数的积等于另一组数的和， ∵1×4×10=40，2+3+5+6+7+8+9=40， ∴符合条件的完美分割有和， ③若这一组数有4个， 当四个数连续时， 1×2×3×4=24，5+6+7+8+9+10=31，不符合题意； 2×3×4×5=120，1+6+7+8+9+10=41，不符合题意； 后面的皆不符合， 当四个数不连续时，设其中最大的数为，， ， ∴， 1×2×4×5=120，3+6+7+8+9+10=43，不符合题意； 1×2×4×6=48，3+5+7+8+9+10=42，不符合题意； 后面的皆不符合； 综上所述完美分割共有3种. 故答案为：3． 12．已知关于x的方程至少有一个整数解．则整数k的值为　 　． 【答案】2或10 【解析】1. 当时，方程 可化为， 解得，不是整数，舍去； 2.当时，方程为一元二次方程 ， ∵方程至少有一个整数解， ∴，解得， 由求根公式可得，， 由题意可得，x至少有一个为整数， 则至少有一个为整数，设为整数， 化简可得：，两边平方再化简可得，，时，式子不成立， 即， 由题意可得，为整数， ∴， 解得：， 又∵为整数，且 ∴n的值为 当时，，符合题意； 当时，，符合题意； 当时，，不符合题意； 当时，，符合题意； 当时，，不符合题意； 当时，，不符合题意； 综上，整数的值为2或10． 故答案为：2 或10． 13．已知，，且，则=　 　. 【答案】-5 【解析】显然，将转化为， 故s与是方程的两个根，， . 故答案为：-5. 14． 已知关于x的方程有且仅有两个不相等的实根．则实数a的取值范围为　 　 【答案】或 【解析】可化为，令t=|x-3|，则原方程可化为， 当△=0时，即(a-2)2+8a=0得a=-2，此时方程的根t=2，即|x-3|=2得x=5或x=1，符合题意； 当△>0时，方程有且仅存在1个正根时，原方程有两不相等的实根，即-2a<0，得a>0； 综上所述，a的范围是或 故答案为：或. 15．如图，在中，，E是中点，F是上一点，沿着折叠，若，则　 　． 【答案】 【解析】如图所示，取中点为D、连接，作中点G，连接交，交于O， 在中 为中点， ， 由折叠可知：， 点G是中点，在中有，且， 在中，， 在中，E为中点，G为中点， ， 取中点为，则， ， ， 共线，即O与重合， ， 在中，， 为的中点，D为的中点， ， ， ， 在中，设，则， ， ， 在中，，即， 整理得：， 解得：， ， 故答案为：． 16．阅读理解：对于 这类特殊的代数式可以按下面的方法分解因式： 理解运用：如果 ，那么 ， 即有 或 ， 因此，方程 和 的所有解就是方程 的解. 解决问题：求方程 的解为　 　. 【答案】x=2或 或 【解析】∵ ， ∴方程 可化为 =0， ∴x－2=0或 ， 解得： 或 或 ， ∴方程 的解为 或 或 ， 故答案为： 或 或 . 三、解答题（本题有8小题，每题10分，共80分） 解答应写出文字说明，证明过程或推演步骤. 17．已知方程组 (x，y为未知数)，有两个不同的实数解 （1）求实数k 的取值范围. （2）如果 求实数k 的值. 【答案】（1）解：把y=k(2x-1)代入， 可得， ∵方程组(x、y为未知数)有两个不同的实数解， ∴k≠0，且Δ>0， 即k≠0，且， ∴k≠0，且2k+1>0， 解得，且k≠0， 即实数k的取值范围是，且k≠0 （2）解： 得k=1 18．已知关于 的方程 ， （1）当 时，求出方程的解. （2）若方程有两个正实根 ，且 ，求 的取值范围. 【答案】（1）解：当时，有， ①当时，则， 解得：（舍去），； ②当时，则， 解得：（舍去），（舍去）； ③当时，则， 解得：； 综上所述，方程的解为或 （2）解：∵， ∴分以下两种情况讨论： ①当时，则， 解得：， ∴， ∴； ②当时，则， 解得：， ∵， ∴， 解得：； 综上所述，的取值范围是 19．已知关于的一元二次方程有两个实数根． （1）试求的取值范围； （2）若，求的值； （3）若此方程的两个实数根为，，且满足，试求的值． 【答案】（1）解：∵关于x的一元二次方程有两个实数根， ∴， 解得：； （2）解：∵方程的两个实数根为，， ∴，， ∵， ∴， ∴， 整理得：， 解得：或者， ∵根据（1）有， 即； （3）解：由（2）可知：，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵根据（1）有， 即． 20．若m，n为正实数，，t是关于x的方程的一正实根． （1）求证：． （2）若，求的值． （3）用含k的代数式表示． 【答案】（1）证明：∵t是关于x的方程的一正实根 ， ∴，∴，∴， （2）解： ， 当时，，代入得， ∴，∴∴； （3）解m=kn x2+2knx=n2， t2+2knt=n2. ， ， 或（舍去） . 21．若关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0（a ≠0）的根均为整数，则称方程为“快乐方程”，通过计算发现，任何一个“快乐方程”的判别式b2－4ac一定为完全平方数，现规定F（a，b，c）＝为该“快乐方程”的“快乐数”，例如“快乐方程”x2-3x-4=0，的两根均为整数，其“快乐数F（1，-3，-4）=，若有另一个“快乐方程px2+qx+r=0（p≠0）的“快乐数"F（p，q，r）， 且满足r·F（a，b，c） =c·F（p，q，r），则称F（a，b，c）与F（p，q，r）互为“开心数”. （1）“快乐方程”x2-2x-3=0的“快乐数”为　 　. （2）若关于x的一元二次方程x2-（2m-1）x+m2-2m-3=0（m为整数，且1<6）是“快乐方程”，求m的值，并求该方程的“快乐数”； （3）若关于x的一元二次方程x2-mx+m+1=0与x2-（n+2）x+2n=0（m、n均为整数）都是“快乐方程”，且其“快乐数”互为“开心数”，求n的值. 【答案】（1）-4 （2）解：方程 ∴ ∵1＜m＜6 ∴17＜4m+13＜37 又方程是“快乐方程”， ∴4m+13 是完全平方数， ∴4m+13=25或36 ∴m=3，m=（舍去） ∴方程为可化为：x2-5x=0 ∴F（1，-5，0）= 故其“快乐数”数是 （3）解：∵x2-mx+1=0为“快乐方程”， ∴是完全平方数， 设 ，a 为整数， 则（m-2+a）（m-2-a）=8 ∴或或或或 或或或 解得m=5或-1或 （舍）或 (舍)， ∴方程为：x2-5x+6=0或x2+x=0； ∵ x2-（n+2）x+2n=0为“快乐方程”， ∴是完全平方数 当m=5时， ∵两方程的“快乐数”互为“开心数”， ∴ 解得：n=3或（舍）， 当m=-1时， ∵两方程的“快乐数”互为“开心数”， ∴ 解得：n=0， 综上，n 的值为 0 或 3 【解析】(1)方程：x2-2x-3=0的快乐数； 故答案为：-4. 22． 阅读下列材料： 已知实数x，y满足，试求的值． 解：设，则原方程变为，整理得，，根据平方根意义可得，由于，所以可以求得．这种方法称为“换元法”，用一个字母去代替比较复杂的单项式､多项式，可以达到化繁为简的目的． 根据阅读材料内容，解决下列问题： （1）已知实数x，y满足，求的值． （2）已知a，b满足方程组；求的值； （3）填空： 已知关于x，y的方程组的解是，则关于x，y的方程组的解是　 　． 【答案】（1）解：设，则原方程变为， 整理，得：，即， 解得：， 则， ； （2）解：令，， 则原方程变为：， 解之得：， ∴，， ∴， ∴， ∴； （3）或 【解析】（3）由方程组，得， 整理，得：， 方程组的解是， 方程组的解是：， ，且， 解得：或． 23．若我们规定：在平面直角坐标系中，点的坐标为，点的坐标为，和的差构成一个新函数，即．称是的“数天数函数”，为“天数点”，为“天数点”．（亲爱的同学们：愿你们在“数天数”中不负韶华，一次次交上自己满意的答卷．） （1）已知“天数点”为点，，“天数点”为点，．点，在“数天数函数”图像上，求的解析式； （2）已知“天数点”为点，，“天数点”为点，，是“数天数函数，求的最小值． （3）关于的方程的两个实数根、，“数天数函数”．若，，且，求的值． 【答案】（1）解：∵“天数点”为点，，“天数点”为点，， ∴，， ∴， ∵点，在“数天数函数”图像上， ∴，解得， ∴； （2）解：∵“天数点”为点，，“天数点”为点，， ∴数天数函数， ∴， ∵， ∴，即的最小值为； （3）解：∵关于的方程的两个实数根、， ∴，， ∵，，， ∴ ∵， ∴， ∴， ∴， 化简得， 解得或． 24． 小华在学完了八下教材《一元二次方程根与系数的关系（韦达定理）》一节内容后，对一元三次方程根与系数的关系产生了浓厚兴趣，决定一探究竟．下面是他收集的素材，汇总如下，请根据素材帮助他完成相应任务： 探究一元三次方程根与系数的关系 素材1 一元三次方程的定义 我们把两边都是整式，只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是3次的方程叫做一元三次方程，它的一般形式为（为常数，且）． 素材2 一元三次方程的解法 若一元三次方程的左边在实数范围内可因式分解为（为实数），即原方程化为：，则得方程的根为． 素材3 一元二次方程根与系数的关系的探究过程 设一元二次方程有两个根，则方程可化为，即，与原方程系数进行比较，可得根与系数的等量关系为：． 问题解决 任务1 感受新知 若关于x的三次方程（为常数）的左边可分解为，则方程的三个根分别为 ▲ ， ▲ ， ▲ ． 任务2 探索新知 若关于x的三次方程的三个根为，请探究与系数之间的等量关系． 任务3 应用新知 利用上一任务的结论解决：若方程的三个根为，求的值． 【答案】解：任务1：． 任务2：由题意可知，原方程可化为：， 展开整理得：， 与原方程比较可得： ⑤任务3：利用上题结论可知：，……2分 ∴ www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页） 学科网（北京）股份有限公司 $ 浙教版2025-2026学年八年级下数学第2章 一元二次方程 尖子生测试卷 考试时间：150分钟 满分：150分 一、选择题（本大题有10小题，每小题4分，共40分） 下面每小题给出的四个选项中，只有一个是正确的. 1．设a、b是整数，方程x2+ax+b=0的一根是，则的值为（　　） A．2 B．0 C．-2 D．-1 2．对于一元二次方程a+bx+c=0（a≠0），有下列说法： ①若ac＜0，则方程有两个不相等的实数根； ②若a﹣b+c=0，则方程一定有一个根为﹣1； ③若方程a+bx+c=0（a≠0）没有实数根，则方程必有两个不相等的实数根； ④若方程有两实数根为1，-2，则a+bx+c 分解因式得a(x+1)(x-2)； 其中正确的是（　　） A．①②③ B．②③④ C．①③④ D．①②③④ 3．若满足，，则的值是（　　） A．5 B．6 C．7 D．8 4．已知方程有两个相等实根，则的值为（　　） A．0 B． C． D．2 5．关于的一元二次方程的两个根为，且．下列说法正确是（　　） ①；②；③④关于x的一元二次方程的两个相头． A．①②③ B．①②④ C．③④ D．①③④ 6．对于方程，如果方程实根的个数为3个，则m的值等于（　　） A．l B．3 C． D．2.5 7．已知 有四个非零实数根，且在数轴上对应的四个点等距排列，则 的值为 (　　) A． B． C． D． 8．定义：已知是关于的一元二次方程的两个实数根，若，且，则称这个方程为“友好方程”．如：一元二次方程的两根为，且，所以一元二次方程为“友好方程”．关于的一元二次方程，有下列两个结论：①当时，该方程是“友好方程”；②若该方程是“友好方程”，则有且仅有个整数满足要求．对于这两个结论判断正确的是（　　） A．①②都正确 B．①②都错误 C．①正确，②错误 D．①错误，②正确 9．设方程的两根为，则的值为（　　） A．-10 B．22 C．24 D．30 10．甲、乙两个同时从圆形跑道同一点出发，沿顺时针方向跑步，甲的速度比乙快，过一段时间，甲第一次从背后追上乙，这时甲立即转身以同样的速度反向跑去，当两个再次相遇时，乙恰好跑了4圈，则甲的速度是乙的（　　） A．倍 B．倍 C．倍 D．倍 二、填空题（本大题有6小题，每小题5分，共30分） 要注意认真看清题目的条件和要填写的内容，尽量完整地填写答案. 11． 将1，2，3，4，5，6，7，8，9，10十个数划分成两组，使得两组数中没有重复的数，将这两组数分别按照从小到大排列，这样的操作称为这十个数的一种分割，例如和就是这十个数的一种分割，并且规定和这样交换顺序和前一种分割是同种分割．若某次分割成的两组数满足其中一组数的积等于另一组数的和，那么我们就称这样的分割为完美分割，例如和为这十个数的一种完美分割，则在这十个数的所有分割中，完美分割共 有　 　种． 12．已知关于x的方程至少有一个整数解．则整数k的值为　 　． 13．已知，，且，则=　 　. 14． 已知关于x的方程有且仅有两个不相等的实根．则实数a的取值范围为　 　 15．如图，在中，，E是中点，F是上一点，沿着折叠，若，则　 　． 16．阅读理解：对于 这类特殊的代数式可以按下面的方法分解因式： 理解运用：如果 ，那么 ， 即有 或 ， 因此，方程 和 的所有解就是方程 的解. 解决问题：求方程 的解为　 　. 三、解答题（本题有8小题，每题10分，共80分） 解答应写出文字说明，证明过程或推演步骤. 17．已知方程组 (x，y为未知数)，有两个不同的实数解 （1）求实数k 的取值范围. （2）如果 求实数k 的值. 18．已知关于 的方程 ， （1）当 时，求出方程的解. （2）若方程有两个正实根 ，且 ，求 的取值范围. 19．已知关于的一元二次方程有两个实数根． （1）试求的取值范围； （2）若，求的值； （3）若此方程的两个实数根为，，且满足，试求的值． 20．若m，n为正实数，，t是关于x的方程的一正实根． （1）求证：． （2）若，求的值． （3）用含k的代数式表示． 21．若关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0（a ≠0）的根均为整数，则称方程为“快乐方程”，通过计算发现，任何一个“快乐方程”的判别式b2－4ac一定为完全平方数，现规定F（a，b，c）＝为该“快乐方程”的“快乐数”，例如“快乐方程”x2-3x-4=0，的两根均为整数，其“快乐数F（1，-3，-4）=，若有另一个“快乐方程px2+qx+r=0（p≠0）的“快乐数"F（p，q，r）， 且满足r·F（a，b，c） =c·F（p，q，r），则称F（a，b，c）与F（p，q，r）互为“开心数”. （1）“快乐方程”x2-2x-3=0的“快乐数”为　 　. （2）若关于x的一元二次方程x2-（2m-1）x+m2-2m-3=0（m为整数，且1<6）是“快乐方程”，求m的值，并求该方程的“快乐数”； （3）若关于x的一元二次方程x2-mx+m+1=0与x2-（n+2）x+2n=0（m、n均为整数）都是“快乐方程”，且其“快乐数”互为“开心数”，求n的值. 22． 阅读下列材料： 已知实数x，y满足，试求的值． 解：设，则原方程变为，整理得，，根据平方根意义可得，由于，所以可以求得．这种方法称为“换元法”，用一个字母去代替比较复杂的单项式､多项式，可以达到化繁为简的目的． 根据阅读材料内容，解决下列问题： （1）已知实数x，y满足，求的值． （2）已知a，b满足方程组；求的值； （3）填空： 已知关于x，y的方程组的解是，则关于x，y的方程组的解是　 　． 23．若我们规定：在平面直角坐标系中，点的坐标为，点的坐标为，和的差构成一个新函数，即．称是的“数天数函数”，为“天数点”，为“天数点”．（亲爱的同学们：愿你们在“数天数”中不负韶华，一次次交上自己满意的答卷．） （1）已知“天数点”为点，，“天数点”为点，．点，在“数天数函数”图像上，求的解析式； （2）已知“天数点”为点，，“天数点”为点，，是“数天数函数，求的最小值． （3）关于的方程的两个实数根、，“数天数函数”．若，，且，求的值． 24． 小华在学完了八下教材《一元二次方程根与系数的关系（韦达定理）》一节内容后，对一元三次方程根与系数的关系产生了浓厚兴趣，决定一探究竟．下面是他收集的素材，汇总如下，请根据素材帮助他完成相应任务： 探究一元三次方程根与系数的关系 素材1 一元三次方程的定义 我们把两边都是整式，只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是3次的方程叫做一元三次方程，它的一般形式为（为常数，且）． 素材2 一元三次方程的解法 若一元三次方程的左边在实数范围内可因式分解为（为实数），即原方程化为：，则得方程的根为． 素材3 一元二次方程根与系数的关系的探究过程 设一元二次方程有两个根，则方程可化为，即，与原方程系数进行比较，可得根与系数的等量关系为：． 问题解决 任务1 感受新知 若关于x的三次方程（为常数）的左边可分解为，则方程的三个根分别为 ▲ ， ▲ ， ▲ ． 任务2 探索新知 若关于x的三次方程的三个根为，请探究与系数之间的等量关系． 任务3 应用新知 利用上一任务的结论解决：若方程的三个根为，求的值． www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页） 学科网（北京）股份有限公司 $