第2章 一元二次方程（高效培优讲义）数学新教材浙教版八年级下册

第2章 一元二次方程 教学目标 1.理解一元二次方程概念及一般形式 2.掌握四种解法，能灵活选择合适方法 3.会用判别式判断根的情况，了解韦达定理 4.能列一元二次方程解决实际问题 教学重难点 1. 重点 （1）一元二次方程的四种解法 （2）根的判别式 （3）列一元二次方程解应用题 2. 难点 （1）配方法的理解与运用 （2）灵活选择最优解法 （3）从实际问题中建立方程模型 考点01 一元二次方程的相关概念 1.定义：等号两边都是整式，只含有一个未知数，并 且未知数的最高次数是 2 的方程，叫做一元二次方程。 2.一元二次方程的一般形式 一元二次方程经过整理都可化成一般形式：ax²+bx+c=0（a≠0），其中ax²叫作二次项，a是二次项系数；bx叫作一次项，b是一次项系数；c叫作常数项。 3.元二次方程的解 能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值称为一元二 次方程的解，解决此类问题，通常是将方程的根或解反代回去再进行求解. 4. 一元二次方程的重要结论 （1）若a+b+c=0,则一元二次方程ax²+bx+c=0（a≠0）必有一根为x=1;若x=1是一元二次方程ax²+bx+c=0（a≠0）的一个根，则a+b+c=0。 （2）若a-b+c=0,则一元二次方程ax²+bx+c=0（a≠0）必有一根为x=-1;若x=11是一元二次方程ax²+bx+c=0（a≠0）的一个根，则a-b+c=0。 【题型1】下列各方程中一定是关于的一元二次方程的是（ ） A． B． C． D． 【题型2】若方程是关于x的一元二次方程，则m应满足的条件是（　） A． B． C． D． 【题型3】一元二次方程的一次项系数和常数项分别是（    ） A．，1 B．2，1 C． D． 【题型4】已知是关于的方程的解，则的值是（   ） A．3 B．4 C．5 D．7 【题型5】若是方程的一个实数根，则的值为（   ） A． B．0 C．1 D．2 考点02 解一元二次方程 解一元二次方程 1.直接开方 2.配方法 用配方法解一元二次方程：ax2＋bx+c=0(k≠0）的一般步骤是： ①化为一般形式； ②移项，将常数项移到方程的右边； ③化二次项系数为1，即方程两边同除以二次项系数； ④配方，即方程两边都加上一次项系数的一半的平方；化原方程为(x+a）2=b的形式；⑤如果b≥0就可以用两边开平方来求出方程的解；如果b≤0，则原方程无解． 总结： 3.公式法 用公式法求一元二次方程的一般步骤： （1）把方程化成一般形式， （2）求出判别式 根的判别式： ① 时，方程有两个不相等的实数根； ② 时，方程有两个相等的实数根； ③时，方程无实数根，反之亦成立 4.因式分解 因式分解法解一元二次方程的一般步骤如下： （1）移项，使方程的右边化为零； （2）将方程的左边转化为两个一元一次多项式的乘积； （3）令每个因式分别为零； （4）两个因式分别为零的解就都是原方程的解。 【题型1】方程的解是（    ） A． B． C． D． 【题型2】如果用配方法解一元二次方程，那么方程可变形为（　　） A． B． C． D． 【题型3】一元二次方程的根的情况是（   ） A．有两个不相等的实数根 B．没有实数根 C．有两个相等的实数根 D．无法确定 【题型4】如果关于x一元二次方程有两个不相等的实数根，那么实数m的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【题型5】用适当的方法解下列方程． (1) (2) 【题型6】解方程： (1) (2) 【题型7】用适当的方法解下列方程： (1)； (2)； (3)． 【题型8】已知关于的一元二次方程． (1)证明：不论为何值时，方程总有实数根； (2)若该方程有一个根为，求的值． 考点03 一元二次方程的根与系数 根与系数的关系：即的两根为，则，。利用韦达定理可以求一些代数式的值（式子变形），如 【题型1】已知一元二次方程的两个根为，则（   ） A． B． C． D． 【题型2】已知一元二次方程的两根分别为m，n，则的值为（   ） A． B．9 C． D．21 【题型3】一元二次方程的两个实数根为和，则代数式的值为（    ） A．17 B．6 C．33 D．26 【题型4】设，是方程的两个实数根，则的值为（   ） A．2 B．1 C． D． 【题型5】已知关于的一元二次方程． (1)求证：方程总有两个不相等的实数根； (2)若、是方程的两根，且，求的值． 考点04 一元二次方程的实际应用 一元二次方程的实际应用 1. 变化率问题 设基准数为a ，两次增长（或下降）后为 b；增长率（下降率）为 x，第一次增长（或下降）后 为 ；第二次增长（或下降）后为 ²．可列方程为 ²=b 2. 传染、枝干问题 有一人患了流感,经过两轮传染后共有121人患了流感,每轮传染中平均一个人传染了几个人? 设每轮传染中平均一个人传染了x个人： 3. 握手、比赛问题 握手问题：n个人见面，任意两个人都要握一次手，问总共握次手。赠卡问题：n个人相互之间送卡片，总共要送张卡片。 4. 销售利润问题 （1）常用公式：利润=售价-成本；总利润=每件利润×销售量； 5. 几何面积问题 （1）如图①，设空白部分的宽为x,则； （2）如图②，设阴影道路的宽为x,则 （3）如图③，栏杆总长为a，BC的长为b,则 6. 动点与几何问题 关键是将点的运动关系表示出来，找出未知量与已知量的内在联系，根据面积或体积公式列出方程. （2） 每每问题中，单价每涨a元，少买b件。若涨价y元，则少买的数量 【题型1】为丰富全县职工文体生活，增强各单位凝聚力、向心力，进一步推动全县全民健身运动的开展，由上蔡县总工会主办的县直机关职工篮球赛，在蔡明园公园开赛，规定每两个球队之间都要进行一场比赛，共要比赛240场．设参加比赛的球队有x支，根据题意，下面列出的方程正确的是（　　） A． B． C． D． 【题型2】天府国际会议中心坐落于四川天府新区，它有中国最长连续瓦屋面——“天府之檐”，是目前亚洲最大单体木结构建筑．某活动方计划在会议中心前方一块长20米，宽10米的矩形空地上布置一个矩形的表演区，表演区四周铺设宽度相等的草坪带（如图阴影部分）．若要求表演区的面积为144平方米，设草坪带的宽度为米，则下列方程正确的是（   ） A． B． C． D． 【题型3】为执行国家药品降价政策，给群众带来实惠，某药品经过两次降价，每盒零售价由元降为元，设平均每次降价的百分率是，则可列出的方程是（   ） A． B． C． D． 【题型4】党的二十大报告指出：从2020年到2035年基本实现社会主义现代化，从2035年到本世纪中叶把我国建成富强民主文明和谐美丽的社会主义现代化强国．2022年我国GDP约为121万亿元，如果每年按相同的增长率增长，2024年我国GDP约为140万亿元，若设每年增长率为x，则方程可列为（    ）． A． B． C． D． 【题型5】方程术是我国传统数学著作《九章算术》中的重要数学成就，其中有记载：“今有户高多于广六尺八寸，两隅相去适一丈．问户高、广各几何．”大意为：有一扇门的形状是矩形，其长比宽多6尺8寸，对角线长1丈，问门的长与宽各是多少？（1丈10尺，1尺10寸）．设门的宽为x尺，根据题意，可列方程为（   ） A． B． C． D． 【题型6】宁波镇海某金橘合作社深耕本土特色果品种植，2023年镇海金橘平均亩产量为．近年来引入镇海农林部门研发的矮化密植栽培技术，改良土壤墑情与果实套袋管理模式，2025年平均亩产量提升至． (1)若2023年到2025年金橘平均亩产量年增长率相同，求其平均亩产量年增长率； (2)已知该合作社目前镇海金橘种植面积为12亩，每亩的种植成本为2.5万元．为满足本地商超及文旅采摘市场需求，合作社计划2026年增加种植面积．经测算，若种植面积每增加一亩，每亩的种植成本将减少0.05万元，在保持种植总成本不变的前提下，则2026年该合作社应增加种植面积多少亩？ 【题型7】某水果店购进了火龙果，其成本为每千克元，若按每千克元销售，每周的销售量为千克，经市场调研发现，当每千克这种火龙果的销售单价每上涨元，周销售量就会减少千克．设每千克火龙果涨价元． (1)这种火龙果的周销售量为___________千克，涨价后每千克的利润为___________元；（用含的式子表示） (2)在保证薄利多销的前提下，要使销售这种火龙果的周销售利润达到元，销售单价应定为多少元/千克？ 【题型8】如图，学校生态园有一道长的墙，生物小组用总长的围栏，借助这道墙围一个中间隔有一道围栏（平行于）的长方形种植区．为了方便进出，计划在垂直于墙的两边上各开一个宽的小门（门的位置用铰链，不计入围栏总长度）． (1)设种植区的一边的长为，则的长可用含的代数式表示为_____． (2)当的长是多少时，围成的种植区面积为？ 【题型9】如图，，，为矩形的四个顶点，，，动点，分别从点，同时出发，点以的速度向点移动，一直到达点为止，点以的速度向点移动，当点到达点时点随之停止运动，设运动时间为． (1)为多少时，四边形的面积为； (2)为多少时，点和点的距离为． (3)，同时出发，直接写出为何值时，以，，为顶点的三角形为等腰三角形． 【题型10】如图，一个边长为的正方形花坛由4块全等的小正方形组成．在小正方形中，点分别在上，且，在、五边形三个区域上种植不同的花卉，每平方米的种植成本分别是20元、20元、10元． (1)当时，求小正方形种植花卉所需的费用； (2)试用含有的代数式表示五边形的面积； (3)当为何值时，大正方形花坛种植花卉所需的总费用是715元？ 【题型11】随着电池技术的创新和国家政策的支持，新能源汽车行业正迎来前所未有的发展机遇．由于新能源汽车销量的逐年上升，仅有的2个工厂无法满足市场需求，故该企业决定加建工厂．经调研发现，受各方资源因素影响，一个工厂的最大产能是每季度6万辆，若每增加1个工厂，每个工厂的最大产能每季度将减少万辆，设增加了个工厂． (1)一个工厂每季度的最大产能为____________万辆（用含的代数式表达）； (2)现该企业要保证每季度生产汽车27万辆，在增加产能同时又节省投入成本的条件下，应该再增加几个工厂？ 【题型12】某酒店有、两种客房、其中种间，种间．若全部入住，一天营业额为元；若、两种客房均有间入住，一天营业额为元． (1)求、两种客房每间定价分别是多少元? (2)酒店对种客房调研发现：如果客房不调价，房间可全部住满；如果每个房间定价每增加元，就会有一个房间空闲；当种客房每间定价为多少元时，种客房一天的营业额元? 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 $ 第2章 一元二次方程 教学目标 1.理解一元二次方程概念及一般形式 2.掌握四种解法，能灵活选择合适方法 3.会用判别式判断根的情况，了解韦达定理 4.能列一元二次方程解决实际问题 教学重难点 1. 重点 （1）一元二次方程的四种解法 （2）根的判别式 （3）列一元二次方程解应用题 2. 难点 （1）配方法的理解与运用 （2）灵活选择最优解法 （3）从实际问题中建立方程模型 考点01 一元二次方程的相关概念 1.定义：等号两边都是整式，只含有一个未知数，并 且未知数的最高次数是 2 的方程，叫做一元二次方程。 2.一元二次方程的一般形式 一元二次方程经过整理都可化成一般形式：ax²+bx+c=0（a≠0），其中ax²叫作二次项，a是二次项系数；bx叫作一次项，b是一次项系数；c叫作常数项。 3.元二次方程的解 能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值称为一元二 次方程的解，解决此类问题，通常是将方程的根或解反代回去再进行求解. 4. 一元二次方程的重要结论 （1）若a+b+c=0,则一元二次方程ax²+bx+c=0（a≠0）必有一根为x=1;若x=1是一元二次方程ax²+bx+c=0（a≠0）的一个根，则a+b+c=0。 （2）若a-b+c=0,则一元二次方程ax²+bx+c=0（a≠0）必有一根为x=-1;若x=11是一元二次方程ax²+bx+c=0（a≠0）的一个根，则a-b+c=0。 【题型1】下列各方程中一定是关于的一元二次方程的是（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】一元二次方程的定义为只含有一个未知数，且未知数最高次数为2的整式方程，据此逐一分析选项即可． 【详解】解：A选项只含有一个未知数，最高次数为2，且是整式方程，符合一元二次方程的定义； B选项中，未说明，当时，方程不是一元二次方程； C选项中含有和两个未知数，不符合一元二次方程定义； D选项整理得，含有两个未知数，不符合定义． 【题型2】若方程是关于x的一元二次方程，则m应满足的条件是（　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了一元二次方程的定义，一元二次方程要求二次项系数不为零，由此计算即可得出结果，熟练掌握一元二次方程的定义是解此题的关键． 【详解】解：∵方程是关于x的一元二次方程， ∴， ∴， 故选：C． 【题型3】一元二次方程的一次项系数和常数项分别是（    ） A．，1 B．2，1 C． D． 【答案】A 【分析】一元二次方程的一般形式为（），其中为一次项系数，为常数项． 【详解】解：在方程中，一次项系数是，常数项是． 【题型4】已知是关于的方程的解，则的值是（   ） A．3 B．4 C．5 D．7 【答案】D 【分析】根据方程解的定义，方程的解能使方程左右两边相等，将已知解代入原方程，即可求出m的值． 【详解】解：∵是方程的解， ∴将代入原方程得 ， 整理得 ， 解得 ． 【题型5】若是方程的一个实数根，则的值为（   ） A． B．0 C．1 D．2 【答案】D 【分析】本题考查了一元二次方程的根、代数式求值，熟练掌握一元二次方程的根的定义是解题关键．先根据一元二次方程的根的定义可得，再代入计算即可得． 【详解】解：∵是方程的一个实数根， ∴，即， ∴ ． 故选：D． 考点02 解一元二次方程 解一元二次方程 1.直接开方 2.配方法 用配方法解一元二次方程：ax2＋bx+c=0(k≠0）的一般步骤是： ①化为一般形式； ②移项，将常数项移到方程的右边； ③化二次项系数为1，即方程两边同除以二次项系数； ④配方，即方程两边都加上一次项系数的一半的平方；化原方程为(x+a）2=b的形式；⑤如果b≥0就可以用两边开平方来求出方程的解；如果b≤0，则原方程无解． 总结： 3.公式法 用公式法求一元二次方程的一般步骤： （1）把方程化成一般形式， （2）求出判别式 根的判别式： ① 时，方程有两个不相等的实数根； ② 时，方程有两个相等的实数根； ③时，方程无实数根，反之亦成立 4.因式分解 因式分解法解一元二次方程的一般步骤如下： （1）移项，使方程的右边化为零； （2）将方程的左边转化为两个一元一次多项式的乘积； （3）令每个因式分别为零； （4）两个因式分别为零的解就都是原方程的解。 【题型1】方程的解是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了解一元二次方程，使用移项、直接开平方的方法即可得到结果． 【详解】∵， ∴， 故． 【题型2】如果用配方法解一元二次方程，那么方程可变形为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】按照配方法的步骤，先移项，再在方程两边加上一次项系数一半的平方，将方程左边整理为完全平方式即可得到结果． 【详解】解： ∵原方程为， ∴移项得， ∴， ∴整理得 ． 【题型3】一元二次方程的根的情况是（   ） A．有两个不相等的实数根 B．没有实数根 C．有两个相等的实数根 D．无法确定 【答案】B 【详解】解：一元二次方程 其中，，， ， 此一元二次方程没有实数根. 【题型4】如果关于x一元二次方程有两个不相等的实数根，那么实数m的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】，据此求解即可． 【详解】解：∵关于的一元二次方程有两个不相等的实数根， ∴， 整理得， 解得． 【题型5】用适当的方法解下列方程． (1) (2) 【答案】(1) ， (2) ， 【分析】（1）因式分解法解一元二次方程即可； （2）配方法解一元二次方程即可. 【详解】（1）解：， ， ， ， 或， 解得，； （2）解：， ， ， ， ， 解得. 【题型6】解方程： (1) (2) 【答案】(1)， (2)， 【分析】本题主要考查解一元二次方程： （1）用直接开平方法解一元二次方程； （2）用公式法解一元二次方程． 【详解】（1） 所以， （2）解：将方程化为一般形式，得 ∵，， ∴， ∴ 解得：， 【题型7】用适当的方法解下列方程： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1)， (2)， (3)， 【分析】利用配方法，因式分解法分别解方程即可． 【详解】（1）解：， ， ， ， ，； （2）解：， ， ， ， 或， 解得，； （3）解：， ， 或， 解得，． 【题型8】已知关于的一元二次方程． (1)证明：不论为何值时，方程总有实数根； (2)若该方程有一个根为，求的值． 【答案】(1)见解析 (2)． 【分析】本题主要考查了一元二次方程的根的定义以及根的判别式，熟练掌握相关公式是解题关键． ()根据根的判别式即可求出答案； ()把代入方程中即可求出答案． 【小问1】 证明： ， ， 不论为何值时，方程总有实数根； 【小问2】 解：该方程有一个根为， ， 解得：； 的值为． 考点03 一元二次方程的根与系数 根与系数的关系：即的两根为，则，。利用韦达定理可以求一些代数式的值（式子变形），如 【题型1】已知一元二次方程的两个根为，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】对于一元二次方程，若方程的两个根为，，则，，直接利用公式计算即可得到结果． 【详解】解：∵方程的两个根为， ∴． 【题型2】已知一元二次方程的两根分别为m，n，则的值为（   ） A． B．9 C． D．21 【答案】A 【分析】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，若，为方程的两个根，则，与系数的关系式：，． 利用一元二次方程根与系数的关系，求出两根之和与两根之积，再代入计算即可． 【详解】解：∵方程的两根为， ∴，， ∴． 故选：A． 【题型3】一元二次方程的两个实数根为和，则代数式的值为（    ） A．17 B．6 C．33 D．26 【答案】C 【分析】此题考查了一元二次方程根与系数的关系，利用完全平方公式的变形求值，解题的关键是掌握以上知识点． 利用根与系数的关系求出两根之和与两根之积，再通过完全平方公式的变形计算代数式的值． 【详解】解：∵m和n是方程的实数根， ∴由根与系数的关系，得，， 又∵， ∴． 故选：C． 【题型4】设，是方程的两个实数根，则的值为（   ） A．2 B．1 C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，以及分式的化简求值． 利用一元二次方程根与系数的关系，先求出两根之和与两根之积，再把分式进行通分化简，最后代入求值即可． 【详解】 ，是方程的两个实数根， ，， ． 故选D． 【题型5】已知关于的一元二次方程． (1)求证：方程总有两个不相等的实数根； (2)若、是方程的两根，且，求的值． 【答案】(1)见解析 (2)k的值为 【分析】本题考查一元二次方程相关问题，涉及一元二次方程判别式与根的情况，一元二次方程根与系数的关系，解一元二次方程等知识，熟练掌握一元二次方程相关知识是解决问题的关键． （1）根据一元二次方程判别式与根的情况，证明即可得到答案； （2）由一元二次方程根与系数的关系得，根据题意，代入，解方程即可得到答案． 【详解】（1）证明：关于的一元二次方程， ， 方程总有两个不相等的实数根； （2）解：由一元二次方程根与系数的关系得， ， ， 解得：． 考点04 一元二次方程的实际应用 一元二次方程的实际应用 1. 变化率问题 设基准数为a ，两次增长（或下降）后为 b；增长率（下降率）为 x，第一次增长（或下降）后 为 ；第二次增长（或下降）后为 ²．可列方程为 ²=b 2. 传染、枝干问题 有一人患了流感,经过两轮传染后共有121人患了流感,每轮传染中平均一个人传染了几个人? 设每轮传染中平均一个人传染了x个人： 3. 握手、比赛问题 握手问题：n个人见面，任意两个人都要握一次手，问总共握次手。赠卡问题：n个人相互之间送卡片，总共要送张卡片。 4. 销售利润问题 （1）常用公式：利润=售价-成本；总利润=每件利润×销售量； 5. 几何面积问题 （1）如图①，设空白部分的宽为x,则； （2）如图②，设阴影道路的宽为x,则 （3）如图③，栏杆总长为a，BC的长为b,则 6. 动点与几何问题 关键是将点的运动关系表示出来，找出未知量与已知量的内在联系，根据面积或体积公式列出方程. （2） 每每问题中，单价每涨a元，少买b件。若涨价y元，则少买的数量 【题型1】为丰富全县职工文体生活，增强各单位凝聚力、向心力，进一步推动全县全民健身运动的开展，由上蔡县总工会主办的县直机关职工篮球赛，在蔡明园公园开赛，规定每两个球队之间都要进行一场比赛，共要比赛240场．设参加比赛的球队有x支，根据题意，下面列出的方程正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据单循环赛制计算总比赛场次，推出正确一元二次方程即可． 【详解】解：设参加比赛的球队有支， ∵每支球队要和除自身外的支球队各赛一场，且每两队之间只进行一场比赛，上述计算会重复计算一次， ∴总比赛场次为， ∵已知总比赛场次为240场， ∴列方程得， 故选D． 【题型2】天府国际会议中心坐落于四川天府新区，它有中国最长连续瓦屋面——“天府之檐”，是目前亚洲最大单体木结构建筑．某活动方计划在会议中心前方一块长20米，宽10米的矩形空地上布置一个矩形的表演区，表演区四周铺设宽度相等的草坪带（如图阴影部分）．若要求表演区的面积为144平方米，设草坪带的宽度为米，则下列方程正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】设草坪带的宽度为米，则表演区的长和宽分别为和，再根据长方形面积公式建立方程． 【详解】解：设草坪带的宽度为米， 由题意得， 故选：C． 【题型3】为执行国家药品降价政策，给群众带来实惠，某药品经过两次降价，每盒零售价由元降为元，设平均每次降价的百分率是，则可列出的方程是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查由实际问题抽象出一元二次方程，关键是找到列方程的相等关系；根据增长率的等量关系列方程． 【详解】解：∵原价为元，平均每次降价的百分率是， ∴第一次降价后的价格为：元 ∴第二次降价后的价格为：元 又∵两次降价后零售价为：元 ∴可列方程为：， 故选：A． 【题型4】党的二十大报告指出：从2020年到2035年基本实现社会主义现代化，从2035年到本世纪中叶把我国建成富强民主文明和谐美丽的社会主义现代化强国．2022年我国GDP约为121万亿元，如果每年按相同的增长率增长，2024年我国GDP约为140万亿元，若设每年增长率为x，则方程可列为（    ）． A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查关于一元二次方程增长率的实际应用，设每年增长率为x，根据2022年我国约为121万亿元， 2024年我国约为140万亿元，列出方程即可． 【详解】解：设每年增长率为x，根据题意可列方程为：． 故选：C． 【题型5】方程术是我国传统数学著作《九章算术》中的重要数学成就，其中有记载：“今有户高多于广六尺八寸，两隅相去适一丈．问户高、广各几何．”大意为：有一扇门的形状是矩形，其长比宽多6尺8寸，对角线长1丈，问门的长与宽各是多少？（1丈10尺，1尺10寸）．设门的宽为x尺，根据题意，可列方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了勾股定理的应用，列一元二次方程． 根据勾股定理，矩形的宽、高和对角线满足关系式宽高对角线．设宽为x尺，则高为尺，对角线为10尺，代入即可得方程． 【详解】解：由题意得，6尺8寸尺，1丈尺 ∵门宽为x尺，高比宽多尺， ∴高为尺． ∵对角线长10尺， ∴根据勾股定理可得． 故选：A． 【题型6】宁波镇海某金橘合作社深耕本土特色果品种植，2023年镇海金橘平均亩产量为．近年来引入镇海农林部门研发的矮化密植栽培技术，改良土壤墑情与果实套袋管理模式，2025年平均亩产量提升至． (1)若2023年到2025年金橘平均亩产量年增长率相同，求其平均亩产量年增长率； (2)已知该合作社目前镇海金橘种植面积为12亩，每亩的种植成本为2.5万元．为满足本地商超及文旅采摘市场需求，合作社计划2026年增加种植面积．经测算，若种植面积每增加一亩，每亩的种植成本将减少0.05万元，在保持种植总成本不变的前提下，则2026年该合作社应增加种植面积多少亩？ 【答案】(1) (2)38亩 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，解题的关键是根据题目中的等量关系，合理设未知数并列出一元二次方程，进而求解得到符合实际意义的答案． （1）设年增长率为x，表示出 2025年亩产量，列方程求解． （2）设2026年该合作社应增加种植面积m亩，表示出增加后的面积和每亩成本，列方程求解． 【详解】（1）解：设平均亩产量的年增长率为，由题意得： ， 解得：（舍去）， 答：平均亩产量的年增长率为． （2）解：设2026年该合作社应增加种植面积亩， 由题意得：， 解得：（舍去）， 答：2026年该合作社应增加种植面积38亩． 【题型7】某水果店购进了火龙果，其成本为每千克元，若按每千克元销售，每周的销售量为千克，经市场调研发现，当每千克这种火龙果的销售单价每上涨元，周销售量就会减少千克．设每千克火龙果涨价元． (1)这种火龙果的周销售量为___________千克，涨价后每千克的利润为___________元；（用含的式子表示） (2)在保证薄利多销的前提下，要使销售这种火龙果的周销售利润达到元，销售单价应定为多少元/千克？ 【答案】(1)， (2)销售单价应定为元/千克 【分析】本题主要考查了列代数式、一元二次方程的应用． (1)根据题意列出代数式即可； (2)根据销售这种火龙果的周销售利润达到元，可列方程，解方程可得，，根据保证薄利多销可知每千克火龙果涨价元． 【详解】（1）解：设每千克火龙果涨价元， 则这种火龙果的周销售量为千克， 涨价后每千克的利润为元； 故答案为：，； （2）解：根据题意得， 整理得：， 解得：，， 又要保证薄利多销， ， ， 答：销售单价应定为元/千克． 【题型8】如图，学校生态园有一道长的墙，生物小组用总长的围栏，借助这道墙围一个中间隔有一道围栏（平行于）的长方形种植区．为了方便进出，计划在垂直于墙的两边上各开一个宽的小门（门的位置用铰链，不计入围栏总长度）． (1)设种植区的一边的长为，则的长可用含的代数式表示为_____． (2)当的长是多少时，围成的种植区面积为？ 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了列代数式，一元二次方程的几何应用，解题的关键是正确理解题意列出方程求解． （1）根据即可列出代数式； （2）由题意得，，再解方程，并且检验是否符合题意即可． 【详解】（1）解：由题意得， ∴， 故答案为： （2）解：由题意得，， 整理得， 解得或， 由题意得，， ∴， 解得， 故舍去， ∴符合题意， 答：当的长是时，围成的种植区面积为． 【题型9】如图，，，为矩形的四个顶点，，，动点，分别从点，同时出发，点以的速度向点移动，一直到达点为止，点以的速度向点移动，当点到达点时点随之停止运动，设运动时间为． (1)为多少时，四边形的面积为； (2)为多少时，点和点的距离为． (3)，同时出发，直接写出为何值时，以，，为顶点的三角形为等腰三角形． 【答案】(1)； (2)为或； (3)或或或． 【分析】（1）利用梯形的面积计算公式，即可得出关于的一元一次方程，解之即可得出的值； （2）过点作于点，则，利用勾股定理，即可得出关于的一元二次方程，解之即可得出结论． （3）分、、三种情况讨论，根据勾股定理列方程求解即可． 【详解】（1）解：，，动点，分别从点，同时出发，点以的速度向点移动，点以的速度向点移动，设运动时间为． ，，，， 四边形的面积为， ， 解得：， 当为5时，四边形的面积为； （2）解：如图1，，，，为矩形的四个顶点，过点作于点， ， ， 四边形是矩形， ，， ， 在中，由勾股定理得：， ， 解得：，， 当为或时，点和点的距离为； （3）解：当时，过作，如图2， 四边形是矩形， ， ，， ，， 四边形是矩形， ， ， 解得：； 当时，过作于，如图3， 同理可证：四边形是矩形， ，，， ， 在中，由勾股定理得：， ， 解得：或； 当时，如图4， 在中，由勾股定理得：， ， 解得：或（不合题意，舍去）， 综上所述，或或或时，以，，为顶点的三角形为等腰三角形． 【点睛】本题属于四边形综合题，主要考查了一元二次方程的应用、一元一次方程的应用、矩形的性质以及勾股定理，解题的关键是根据题意正确列出方程． 【题型10】如图，一个边长为的正方形花坛由4块全等的小正方形组成．在小正方形中，点分别在上，且，在、五边形三个区域上种植不同的花卉，每平方米的种植成本分别是20元、20元、10元． (1)当时，求小正方形种植花卉所需的费用； (2)试用含有的代数式表示五边形的面积； (3)当为何值时，大正方形花坛种植花卉所需的总费用是715元？ 【答案】(1)小正方形种植花卉所需的费用为190元 (2) (3) 【分析】本题考查正方形的性质，列代数式，一元二次方程的实际应用，正确的识图，准确的列出代数式和方程，是解题的关键． （1）先由题意得，再求出，然后算出小正方形面积、面积和面积，进而求解即可； （2）利用分割法求面积，列出代数式即可； （3）根据题意，列出一元二次方程进行求解即可． 【详解】（1）解：由题意得，， ∴当时，， ∴小正方形面积为； 面积：，则费用：元； 面积：，则费用：元， ∴五边形面积：，则费用：元 ∴总费用：元； （2）解：由（1）可知：小正方形的边长为， ，， ， 五边形的面积 ； （3）解：由题意，得： 解得：； 当时，大正方形花坛种植花卉所需的总费用是715元． 【题型11】随着电池技术的创新和国家政策的支持，新能源汽车行业正迎来前所未有的发展机遇．由于新能源汽车销量的逐年上升，仅有的2个工厂无法满足市场需求，故该企业决定加建工厂．经调研发现，受各方资源因素影响，一个工厂的最大产能是每季度6万辆，若每增加1个工厂，每个工厂的最大产能每季度将减少万辆，设增加了个工厂． (1)一个工厂每季度的最大产能为____________万辆（用含的代数式表达）； (2)现该企业要保证每季度生产汽车27万辆，在增加产能同时又节省投入成本的条件下，应该再增加几个工厂？ 【答案】(1) (2)3 【分析】本题主要考查列代数式、一元二次方程的实际应用，根据题意列出正确的一元二次方程是解题的关键． （1）根据题意列出代数式即可； （2）根据题意列出一元二次方程并进行求解，再结合增加产能同时又节省投入成本的条件选择合适的解即可． 【详解】（1）解：∵一个工厂的最大产能是每季度6万辆，若每增加1个工厂，每个工厂的最大产能每季度将减少万辆， ∴一个工厂每季度的最大产能为万辆， 故答案为：； （2）解：由题意得：， 解得：，， ∵增加产能同时又节省投入成本， ∴， ∴应该再增加3个工厂． 【题型12】某酒店有、两种客房、其中种间，种间．若全部入住，一天营业额为元；若、两种客房均有间入住，一天营业额为元． (1)求、两种客房每间定价分别是多少元? (2)酒店对种客房调研发现：如果客房不调价，房间可全部住满；如果每个房间定价每增加元，就会有一个房间空闲；当种客房每间定价为多少元时，种客房一天的营业额元? 【答案】(1)种客房每间定价是元，种客房每间定价是元 (2)当种客房每间定价为元时，种客房一天的营业额元 【分析】本题考查了二元一次方程和一元二次方程的应用，解题的关键是理解题意，正确找出等量关系． （1）设种客房每间定价是元，种客房每间定价是元，根据题意列方程组即可求解； （2）当种客房每间定价为元时，种客房一天的营业额元，根据题意列方程即可求解． 【详解】（1）解：设种客房每间定价是元，种客房每间定价是元， 根据题意得：， 解得：， 种客房每间定价是元，种客房每间定价是元； （2）当种客房每间定价为元时，种客房一天的营业额元， 根据题意得：， 解得：， 当种客房每间定价为元时，种客房一天的营业额元． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 $