精品解析：广东揭阳一中2025-2026学年高二上学期数学科期末试卷

2025-2026学年度揭阳一中105届高二级第一学期期末考 数学科试卷 一､单选题：共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先求出，再利用交集的定义求解即可. 【详解】令，解得，则， 因为，所以，故B正确. 故选：B 2. 已知复数，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用复数的运算法则求解即可. 【详解】因为，所以 ，故A正确. 故选：A 3. 直线经过定点，则点为(　　) A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】将直线方程整理为，由时，可得定点. 【详解】直线方程可整理为：， 则当时，，. 故选：D. 4. 已知，且是第二象限的角，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由的象限，求得和的值，然后利用二倍角公式化简代数式，即可求得答案. 【详解】因为，且是第二象限的角，则． 所以. 故选： B． 5. 已知是各项均为正数的等比数列，设其前n项和为，若成等差数列，则（ ） A. 9 B. 2 C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据题意得，化简得，解得，再由即可求解． 【详解】设正项等比数列的公比为，因为成等差数列， 所以，即， 解得 （舍去）或， 所以． 故选：A． 6. 若点是所在平面上一点，且是直线上一点，，则的最小值是（ ）． A. 2 B. 1 C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据向量的运算确定G的位置，可得B、H、D三点共线，利用三点共线得，再由不等式求最值即可. 【详解】设，， 因为，所以，， 所以点G是的重心， 设点D是AC的中点，则，B、G、D共线，如图， 又． 因为B、H、D三点共线，所以， 所以，当且仅当，即，时取等号，即的最小值是. 故选：C． 7. 已知分别是双曲线的左､右焦点，为双曲线右支上一点，的角平分线交轴于点，则双曲线的离心率为（ ） A. B. C. D. 3 【答案】B 【解析】 【分析】根据给定条件，利用角平分线性质及双曲线定义，结合余弦定理建立方程求出离心率. 【详解】由的角平分线交轴于点，得， 而，则，， 在中，，由余弦定理得， 整理得，即，则， 所以双曲线的离心率为. 故选：B 8. 设是定义在上的奇函数，对任意的满足且，则不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由题意可设，结合的奇偶性判断的奇偶性，再结合题设判断的单调情况，进而结合不等式，讨论的正负，结合的单调情况，分类求解，即可得答案. 【详解】由题意可设，因为是上的奇函数， 则，即是上的偶函数. 对任意，满足，即， ，即函数在上单调递减， 又是偶函数，故在上单调递增，且， 当时，，即，即，； 当时，，即，即，， 综上，不等式的解集为. 故选：C. 二､多选题：本题共3小题，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，有选错的得0分，若只有2个正确选项，每选对一个得3分；若只有3个正确选项，每选对一个得2分. 9. 关于空间向量，以下说法正确的是（ ） A. 空间中的三个向量，若有两个向量共线，则这三个向量一定共面 B. 若，则与的夹角是钝角 C. 若向量是共面的向量，则也是共面的向量 D. 若对空间中任意一点，有，则四点共面 【答案】ACD 【解析】 【分析】利用共线定理和共面定理可判断A；考虑共线反向可判断B；利用反证法判断C；利用空间向量共面的推论判断D即可. 【详解】对于A，因空间中任意两个向量是共面的， 故若有两个向量共线，则这三个向量一定共面，故A正确； 对于B，若，则与的夹角是钝角或者平角，故B错误； 对于C，若是共面的向量，则存在实数使得， 即，则向量是共面的向量，故C正确； 对于D，因为，， 所以由空间向量共面的推论可知四点共面，故D正确. 故选：ACD 10. 已知是等差数列的前项和，且，，则下列选项正确的是（ ） A. 数列为递减数列 B. C. 的最大值为 D. 使得时的最大值是13 【答案】AC 【解析】 【分析】由等差数列的性质得到，从而判断数列的增减性，再结合等差数列的前项和公式，判断各选项． 【详解】对于B，，∵，∴，B选项错误； 对于A，因为数列的公差，所以数列为递减数列，A选项正确； 对于C，设最大，则，，所以，，故， 所以的最大值为，C选项正确； 对于D，∵，， ∴使得时的最大值是14，D选项错误. 故选：AC. 11. “心形线”体现了数学之美，某研究小组用函数图象：，和抛物线的部分图象围成了一个封闭的“心形线”，过焦点的直线交（包含边界点）于A，B两点（点在第一象限），是或上的动点，下列说法正确的是（ ） A. 抛物线的方程为 B. 的最小值为5 C. 若，则直线的斜率为 D. 若在上，则的最小值为4 【答案】ABC 【解析】 【分析】利用半圆和抛物线的公共点可求抛物线的方程，利用抛物线的定义可求的最小值，联立方程利用两点坐标间的关系结合韦达定理可求斜率，结合反例可判断D选项. 【详解】对于A，，，； 由可得，当时，； 由图可知，抛物线过点，代入方程可得，所以抛物线的方程为，A正确； 对于B，抛物线的焦点，准线方程为，过向准线作垂线，垂足为， 因为点在第一象限，所以，所以在上； 由抛物线定义可知，所以， 当且仅当重合于点时，取到最小值，B正确； 对于C，设，易知直线的斜率存在，设直线的方程为， 联立，，，则； 因为，所以，则，代入上式， 得，消去可得，C正确； 对于D，当重合时，，显然D不正确. 故选：ABC 三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知函数，则__________. 【答案】 【解析】 【分析】利用导数的运算法则求出导数，再求出导数值即可. 【详解】因为，所以，则. 故答案为： 13. 设直线，与圆交于，且，则的值是______． 【答案】10或-30 【解析】 【分析】首先利用垂径定理求出圆心到直线的距离，再利用点到直线距离公式求出a即可． 【详解】解：因为 ，圆心为，半径为r=5， ，由垂径定理得 ，所以圆心到直线的距离为4． 故填：10或-30. 【点睛】本题考查直线与圆的位置关系，直线与圆相交的垂径定理以及点到直线距离公式的应用． 14. 点 在 所在的平面 外，且，，，当到平面 的距离最大时，的面积为_____________. 【答案】 【解析】 【分析】利用线面位置关系，表示出到平面的距离，由基本不等式求距离最大值时的条件，求的面积. 【详解】，，则有，， 由余弦定理， 得， ，，，则有，， ，则有， 为中点，连接，则有，，， 平面，，平面， 过作，交于点，平面，， 平面，则平面，是到平面 的距离， ，， 中，，， 当且仅当时，有最大值2， 此时，. 故答案为：. 四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 某校某次数学考试全体学生的成绩都在内.某个数学兴趣小组对成绩分布进行统计研究，随机抽取100位学生的成绩作为样本，并作出样本的频率分布直方图如下，其中成绩分组区间是：. （1）求图中的值；根据样本的频率分布直方图，估计该校该次考试全体学生成绩的分位数； （2）从成绩区间是的两组中用分层抽样的方法抽取5人，再从这5人中随机抽取2人，求在成绩区间是的这组中恰好抽到1人的概率. 【答案】（1）； （2） 【解析】 【分析】（1）根据所有矩形的面积和为1，求出，利用频率直方图结合百分位数的计算方法求得第80百分位数即可. （2）利用分层抽样的意义求得的两组中所抽取的人数，进而利用组合数的性质结合古典概型计算公式可求得成绩区间是的这组恰好抽到1人的概率即可. 【小问1详解】 由，解得. 因为， 所以第80百分位数在内，设第80百分位数为， 则，解得. 【小问2详解】 根据题意，成绩区间是的两组的人数如下， 分别为人，人， 按照分层抽样的方式抽取的人数分别为3人，2人. 故在成绩区间是的这组恰好抽到1人的概率. 16. 在中，角，，所对的边分别是，，，且. （1）求； （2）若是边的中点，，，求的面积； 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）借助正弦定理将边化为角后，结合两角和的正弦公式与同角三角函数基本关系计算即可得； （2）借助向量模长与数量积的关系计算可得，再利用面积公式计算即可得. 【小问1详解】 由，则， 又， 则有， 即，又，故， 则，即，又，则； 【小问2详解】 由是的中点，则， 则 即，则， 解得或（负值，舍去）， 则. 17. 如图所示，在三棱柱中，，且为等边三角形，是的中点，. （1）证明：； （2）求平面与平面所成角的正弦值. 【答案】（1） 因为为等边三角形，且是的中点， 所以，又，且，，面， 所以平面， 因为平面，所以， 因为，所以，所以， 又，平面，所以平面， 因为平面，所以. （2） 【解析】 【分析】（1）由线面垂直可得，再由线面垂直的判定定理可得平面，即可得证； （2）建立空间直角坐标系，利用向量法求平面与平面所成角正弦值. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 设，取的中点为，连接，得 由（1）知：平面，所以平面， 以为原点，分别以，，所在直线为轴、轴、轴，建立空间直角坐标系，如图所示， 得，，，，所以，，，， 设平面的法向量为，则， 取，可得，，所以， 设平面的法向量为，则 ， 取，可得，，所以， 则， 所以平面与平面所成角的正弦值为， 即平面与平面所成角的正弦值为. 18. 已知椭圆的离心率为，且过点，其左､右顶点分别为为椭圆上异于的两点. （1）求椭圆的方程. （2）已知直线过定点，设和的面积分别为，求的最大值； 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据椭圆的几何性质，利用待定系数法即可求出椭圆的方程； （2）设直线的方程为：并与椭圆C联立方程组，解得，分别表示面积，可得，再用换元法，令，构造新函数并利用函数的单调性以及基本不等式即可求解. 【小问1详解】 依题意知，解得， 故椭圆C的方程为 【小问2详解】 依题意由（1）知，直线的斜率不为0． 如图，设其方程为， 并与椭圆C联立方程组，得， 则， ，同理：， 所以． 令，则， 所以， 因为，则，所以， 结合对勾函数性质得在上单调递增． 所以，则. 故的最大值是. 19. 已知正项数列的前项和为满足，数列满足且. （1）证明：数列是等比数列，并求数列的通项公式； （2）若，数列的前项和为，证明：； （3）若对任意正整数恒成立，求的取值范围. 【答案】（1） 由，得 故是公比为2的等比数列， 因，令得，又得. 故，的首项为， 故，所以. （2） 因为 故 （3）. 【解析】 【分析】（1）由递推关系式得到是公比为2的等比数列，进而求出的通项公式. （2）利用裂项相消法求出的表达式，进而证明不等式即可. （3）先判断数列是公差为4的等差数列，然后求出的通项公式，然后化简不等式求出解集即可. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 因，故， 作差得 移项得 . 由于数列是正项数列，故 所以数列是公差为4的等差数列. 故. 由，得，设，只需求出的最大值即可. 可知，故 故. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年度揭阳一中105届高二级第一学期期末考 数学科试卷 一､单选题：共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 2. 已知复数，则（ ） A. B. C. D. 3. 直线经过定点，则点为(　　) A. B. C. D. 4. 已知，且是第二象限的角，则（ ） A. B. C. D. 5. 已知是各项均为正数的等比数列，设其前n项和为，若成等差数列，则（ ） A. 9 B. 2 C. D. 6. 若点是所在平面上一点，且是直线上一点，，则的最小值是（ ）． A. 2 B. 1 C. D. 7. 已知分别是双曲线的左､右焦点，为双曲线右支上一点，的角平分线交轴于点，则双曲线的离心率为（ ） A. B. C. D. 3 8. 设是定义在上的奇函数，对任意的满足且，则不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 二､多选题：本题共3小题，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，有选错的得0分，若只有2个正确选项，每选对一个得3分；若只有3个正确选项，每选对一个得2分. 9. 关于空间向量，以下说法正确的是（ ） A. 空间中的三个向量，若有两个向量共线，则这三个向量一定共面 B. 若，则与的夹角是钝角 C. 若向量是共面的向量，则也是共面的向量 D. 若对空间中任意一点，有，则四点共面 10. 已知是等差数列的前项和，且，，则下列选项正确的是（ ） A. 数列为递减数列 B. C. 的最大值为 D. 使得时的最大值是13 11. “心形线”体现了数学之美，某研究小组用函数图象：，和抛物线的部分图象围成了一个封闭的“心形线”，过焦点的直线交（包含边界点）于A，B两点（点在第一象限），是或上的动点，下列说法正确的是（ ） A. 抛物线的方程为 B. 的最小值为5 C. 若，则直线的斜率为 D. 若在上，则的最小值为4 三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知函数，则__________. 13. 设直线，与圆交于，且，则的值是______． 14. 点 在 所在的平面 外，且，，，当到平面 的距离最大时，的面积为_____________. 四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 某校某次数学考试全体学生的成绩都在内.某个数学兴趣小组对成绩分布进行统计研究，随机抽取100位学生的成绩作为样本，并作出样本的频率分布直方图如下，其中成绩分组区间是：. （1）求图中的值；根据样本的频率分布直方图，估计该校该次考试全体学生成绩的分位数； （2）从成绩区间是的两组中用分层抽样的方法抽取5人，再从这5人中随机抽取2人，求在成绩区间是的这组中恰好抽到1人的概率. 16. 在中，角，，所对的边分别是，，，且. （1）求； （2）若是边的中点，，，求的面积； 17. 如图所示，在三棱柱中，，且为等边三角形，是的中点，. （1）证明：； （2）求平面与平面所成角的正弦值. 18. 已知椭圆的离心率为，且过点，其左､右顶点分别为为椭圆上异于的两点. （1）求椭圆的方程. （2）已知直线过定点，设和的面积分别为，求的最大值； 19. 已知正项数列的前项和为满足，数列满足且. （1）证明：数列是等比数列，并求数列的通项公式； （2）若，数列的前项和为，证明：； （3）若对任意正整数恒成立，求的取值范围. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $