第七章 三角函数 章末归纳提升-【创新教程】2025-2026学年高中数学必修第三册五维课堂同步课件PPT（人教B版）

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(2)由题意知eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(sin x≥0，,cos x－\f(1,2)≥0，)) 即eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(sin x≥0，,cos x≥\f(1,2)，)) 如图，结合三角函数线知： eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(2kπ≤x≤2kπ＋πk∈Z，,2kπ－\f(π,3)≤x≤2kπ＋\f(π,3)k∈Z，)) 解得2kπ≤x≤2kπ＋eq \f(π,3)(k∈Z)， ∴函数的定义域为 eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x2kπ≤x≤2kπ＋\f(π,3)，k∈Z)). [变式训练] 1．(1)若角α的终边在直线y＝3x上，求sin α，cos α，tan α. (2)设f(x)＝eq \r(1－2sin x). ①求f(x)的定义域； ②求f(x)的值域及取最大值时x的值． 解：(1)当α终边在第一象限时，取α终边上点P(1,3)． ∴|OP|＝eq \r(10)，∴sin α＝eq \f(3,\r(10))＝eq \f(3\r(10),10)，cos α＝eq \f(\r(10),10)，tan α＝3， 当sin α终边在第三象限时，取α终边上一点P(－1，－3) ∴|OP|＝eq \r(10)，∴sin α＝－eq \f(3\r(10),10)，cos α＝－eq \f(\r(10),10)，tan α＝3. (2)①由1－2sin x≥0，根据正弦函数图像知：定义域为 eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x2kπ＋\f(5,6)π≤x≤2kπ＋\f(13π,6)，k∈Z)). ②∵－1≤sin x≤eq \f(1,2)， ∴0≤1－2sin x≤3， ∴f(x)的值域为[0，eq \r(3)]， 当x＝2kπ＋eq \f(3π,2)，k∈Z时，f(x)取得最大值． 同角三角函数的关系式及诱导公式 1．牢记两个基本关系式sin2α＋cos2α＝1及eq \f(sin α,cos α)＝tan α，并能应用两个关系式进行三角函数的求值、化简、证明．在应用中，要注意掌握解题的技巧，同时要体会数学思想方法如数形结合思想、分类讨论思想、转化与化归思想及函数与方程思想的应用． 2．诱导公式可概括为k·eq \f(π,2)±α(k∈Z)的各三角函数值的化简公式．记忆规律是：奇变偶不变，符号看象限．其中的奇、偶是指eq \f(π,2)的奇数倍或偶数倍，变与不变是指函数名称的变化．若是奇数倍，则函数名称变为相应的异名函数(即正余互变)；若是偶数倍，则函数名称不变．符号看象限是指把α看成锐角时原函数值的符号作为结果的符号． [例2]　已知α为锐角，且2tan(π－α)－3coseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)＋β))＋5＝0，tan(π＋α)＋6sin(π＋β)－1＝0，则sin α的值是(　　) A.eq \f(3\r(5),5)　 B.eq \f(3\r(7),7)　　C.eq \f(3\r(10),10)　　D.eq \f(1,3) 解析：C　[由已知得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(3sin β－2tan α＋5＝0，,tan α－6sin β－1＝0.)) 消去sin β，得tan α＝3， ∴sin α＝3cos α，代入sin2α＋cos2α＝1， 化简得sin2α＝eq \f(9,10)，则sin α＝eq \f(3\r(10),10)(α为锐角)．] 1．利用同角三角函数的基本关系式．sin α，cos α，tan α三者知一可求二，但应注意角的范围、三角函数值的正负． 2．利用诱导公式化简三角函数式，必须熟记公式规律：奇变偶不变，符号看象限． 3．掌握正弦、余弦、正切值之间的基本关系，会知一求二，重点提升逻辑推理和数学运算素养． [变式训练] 2．已知sin α是方程5x2－7x－6＝0的根，α是第三象限角，求eq \f(sin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－α－\f(3,2)π))cos\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,2)π－α)),cos\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)－α))sin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)＋α)))·tan2(π－α)的值． 解：方程5x2－7x－6＝0的两根为x1＝－eq \f(3,5)，x2＝2， 由α是第三象限角，得sin α＝－eq \f(3,5)，则cos α＝－eq \f(4,5)， ∴eq \f(sin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－α－\f(3,2)π))cos\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,2)π－α)),cos\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)－α))sin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)＋α)))·tan2(π－α) ＝eq \f(sin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)－α))cos\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)＋α)),sin αcos α)·tan2α ＝eq \f(cos α－sin α,sin αcos α)·tan2α＝－tan2α＝－eq \f(sin2α,cos2α)＝－eq \f(9,16). 　 　　三角函数的图像与性质 三角函数的性质包括定义域、值域、单调性、奇偶性、对称性等，在研究性质时，将ωx＋φ看成一个整体，利用整体代换思想解题是常见的技巧． “五点法”作函数y＝Asin(ωx＋φ)的图像． 掌握三角函数的图像和性质，重点培养直观想象和数学运算素养． [例3]　函数f(x)＝3sin(2x＋eq \f(π,6))的部分图像如图所示． (1)写出f(x)的最小正周期及图中x0，y0的值； (2)求f(x)的单调递减区间； (3)求f(x)在区间eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(π,2)，－\f(π,12)))上的最大值和最小值． [解]　(1)f(x)的最小正周期为π，令2x＋eq \f(π,6)＝eq \f(π,2)＋kπ，k∈Z，则x＝eq \f(π,6)＋eq \f(kπ,2)，k∈Z，当k＝2时，x0＝eq \f(7π,6)，y0＝3. (2)令eq \f(π,2)＋2kπ≤2x＋eq \f(π,6)≤eq \f(3π,2)＋2kπ，k∈Z. 解得eq \f(π,6)＋kπ≤x≤eq \f(2π,3)＋kπ，k∈Z， ∴f(x)的单调递减区间为eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(π,6)＋kπ，\f(2π,3)＋kπ))，k∈Z. (3)因为x∈eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(π,2)，－\f(π,12)))，所以2x＋eq \f(π,6)∈eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(5π,6)，0))，于是当2x＋eq \f(π,6)＝0，即x＝－eq \f(π,12)时，f(x)取得最大值0；当2x＋eq \f(π,6)＝－eq \f(π,2)，即x＝－eq \f(π,3)时，f(x)取得最小值－3. 三角函数的三条性质 (1)单调性：求形如y＝Asin(ωx＋φ)或y＝Acos(ωx＋φ)(A>0，ω>0)的函数的单调区间可以通过解不等式方法去解答，即把ωx＋φ视为一个“整体”，分别与正弦函数y＝sin x，余弦函数y＝cos x的单调递增(减)区间对应解出x，即得所求的单调递增(减)区间． (2)周期性：函数y＝Asin(ωx＋φ)和y＝Acos(ωx＋φ)的最小正周期为eq \f(2π,|ω|)，y＝tan(ωx＋φ)的最小正周期为eq \f(π,|ω|). (3)奇偶性：三角函数中奇函数一般可化为y＝Asin ωx或y＝Atan ωx，而偶函数一般可化为y＝Acos ωx＋B的形式． [变式训练] 3．(1)函数f(x)＝tan(2x－eq \f(π,3))的单调递增区间是(　　) A.eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(kπ,2)－\f(π,12)，\f(kπ,2)＋\f(5π,12)))(k∈Z) B.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(kπ,2)－\f(π,12)，\f(kπ,2)＋\f(5π,12)))(k∈Z) C.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(kπ＋\f(π,6)，kπ＋\f(2π,3)))(k∈Z) D.eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(kπ－\f(π,12)，kπ＋\f(5π,12)))(k∈Z) (2)函数y＝sin(2x－eq \f(π,6))的图像的对称中心和对称轴方程分别为　________　. 解析：(1)令－eq \f(π,2)＋kπ<2x－eq \f(π,3)<eq \f(π,2)＋kπ，k∈Z. 解得－eq \f(π,12)＋eq \f(kπ,2)<x<eq \f(5π,12)＋eq \f(kπ,2)，k∈Z. ∴f(x)的单调递增区间为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(π,12)＋\f(kπ,2)，\f(5π,12)＋\f(kπ,2)))，k∈Z，故选B. (2)令2x－eq \f(π,6)＝kπ，k∈Z， 则x＝eq \f(π,12)＋eq \f(kπ,2)，k∈Z， ∴f(x)的对称中心为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,12)＋\f(kπ,2)，0))(k∈Z)． 令2x－eq \f(π,6)＝eq \f(π,2)＋kπ，k∈Z，∴x＝eq \f(π,3)＋eq \f(kπ,2)，k∈Z. ∴f(x)的对称轴方程为x＝eq \f(π,3)＋eq \f(kπ,3)，k∈Z. 三角函数的图像变换 1．重点考查三角函数的平移变换，伸缩变换和解析式的确定，通过对图像的描述、观察来讨论函数的有关性质． 2．掌握平移和伸缩变换，以及由图像求解析式，重点提升直观想象和逻辑推理素养． [例4]　如图是函数y＝Asin(ωx＋φ)＋k(A>0，ω>0，|φ|<eq \f(π,2))的部分图像． (1)求此函数的解析式； (2)分析该函数的图像是由y＝sin x的图像如何变换得来的？ [解]　(1)由题干图像知A＝eq \f(－\f(1,2)－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(3,2))),2)＝eq \f(1,2)， k＝eq \f(－\f(1,2)＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(3,2))),2)＝－1，T＝2×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2π,3)－\f(π,6)))＝π， ∴ω＝eq \f(2π,T)＝2， ∴y＝eq \f(1,2)sin(2x＋φ)－1. 当x＝eq \f(π,6)时，eq \f(1,2)sin(2×eq \f(π,6)＋φ)－1＝－eq \f(1,2)，即sin(eq \f(π,3)＋φ)＝1， eq \f(π,3)＋φ＝2×eq \f(π,6)＋φ＝eq \f(π,2)＋2nπ，n∈Z， ∴φ＝eq \f(π,6)＋2nπ，n∈Z，又|φ|<eq \f(π,2)， ∴φ＝eq \f(π,6)， 故所求函数的解析式为y＝eq \f(1,2)sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x＋\f(π,6)))－1. (2)把y＝sin x的图像向左平移eq \f(π,6)个单位，得到y＝sin(x＋eq \f(π,6))的图像，然后将得到的图像上点的纵坐标保持不变，横坐标缩短为原来的eq \f(1,2)，得到y＝sin(2x＋eq \f(π,6))的图像；再将得到的图像上点的横坐标保持不变，纵坐标变为原来的eq \f(1,2)，得到y＝eq \f(1,2)sin(2x＋eq \f(π,6))的图像，最后把函数y＝eq \f(1,2)sin(2x＋eq \f(π,6))的图像向下平移1个单位，得到y＝eq \f(1,2)sin(2x＋eq \f(π,6))－1的图像 (1)由图像求解析式一般采用待定系数法求A，ω，φ.求φ时一般代入函数图像上的最高点或最低点． (2)先平移后伸缩与先伸缩后平移，两者平移的量是不同的．左右平移只是把x变成x±φ，其它不变，左右伸缩只是把x变成eq \f(1,ω)x，其它不变． [变式训练] 4．若把函数y＝sin(ωx－eq \f(π,6))的图像向左平移eq \f(π,3)个单位长度，所得到的图像与函数y＝cos ωx的图像重合，则ω的一个可能取值是(　　) A．2　 B.eq \f(3,2)　　C.eq \f(2,3)　　D.eq \f(1,2) 解析：A　[y＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(ωx＋\f(ω,3)π－\f(π,6)))和函数y＝cos ωx的图像重合，可得eq \f(ω,3)π－eq \f(π,6)＝eq \f(π,2)＋2kπ，k∈Z，则ω＝6k＋2，k∈Z. ∴2是ω的一个可能值．] $