8.2.1 两角和与差的余弦-【创新教程】2025-2026学年高中数学必修第三册五维课堂同步课件PPT（人教B版）

该高中数学课件聚焦“两角和与差的余弦”，通过回顾诱导公式（如cos(π−α)与cosπ−cosα的辨析）建立新旧知识联系，以问题链搭建学习支架，引导学生从已有认知过渡到公式推导与应用。 其亮点在于以核心素养为导向，通过情境辨析、题型分层（正逆用、给值求值、给值求角）及规律总结（拆角凑角策略），培养逻辑推理与数学运算能力。例如给值求值中通过β=(α+β)-α拆分角，强化推理，助力学生掌握公式应用，教师可直接用于课堂互动与分层练习。

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(2)本质：两角差的余弦转化成减数角、被减数角的正余弦计算． (3)应用：①化简，②求值． 1.公式的结构特征是怎样的？ 提示：差角的余弦简记：余余正正，符号反． 2．如何利用该公式推导诱导公式cos(eq \f(π,2)－α)＝sin α？ 提示：cos(eq \f(π,2)－α)＝cos eq \f(π,2)cos α＋sin eq \f(π,2)sin α＝0＋sin α＝sin α. 3．cos (α－β)与cos α－cos β相等吗？ 提示：一般情况下不相等．但在特殊情况下也有相等的时候．例如：当α＝0°，β＝60°时，cos (0°－60°)＝cos 0°－cos 60°. [知识点二]　两角和的余弦公式　 在两角差的余弦公式中，以－β替代β就得到两角和的余弦公式．即Cα＋β： cos(α＋β)＝cos[α－(－β)]＝　cos αcos(－β)＋sin αsin(－β)　＝　cos αcos β－sin αsin β　. [预习自测] 1．化简cos 65°cos 35°＋sin 65°sin 35°的结果是(　　) A．cos 100°　　　　　　　 B．sin 100° C.eq \f(\r(3),2) D.eq \f(1,2) 答案：C 2．下列式子中，正确的个数为(　　) (1)cos (α－β)＝cos α－cos β； (2)cos eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)－α))＝－sin α； (3)cos (α－β)＝cos αcos β－sin αsin β A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 答案：A 3．cos 65°·cos 125°＋cos 25°·sin 125°＝　________　. 答案：eq \f(1,2) 公式的正、逆用 [例1] 求下列各式的值： (1)cos 75°cos 15°－sin 75°sin 195°. (2)eq \f(1,2)cos 15°＋eq \f(\r(3),2)sin 15°； (3)cos 105°. [思路点拨]　(1)sin 195°＝sin(180°＋15°)＝－sin 15°；(2)eq \f(1,2)＝cos 60°，eq \f(\r(3),2)＝sin 60°. [解]　(1)原式＝cos 75°cos 15°＋sin 75°sin 15°＝cos(75°－15°)＝cos 60°＝eq \f(1,2). (2)原式＝cos 60°cos 15°＋sin 60°sin 15°＝cos 45°＝eq \f(\r(2),2). (3)原式＝cos (60°＋45°) ＝cos 60°cos 45°－sin 60°sin 45° ＝eq \f(1,2)×eq \f(\r(2),2)－eq \f(\r(3),2) ×eq \f(\r(2),2)＝eq \f(\r(2)－\r(6),4). (1)把非特殊角转化为特殊角的和或差，然后用公式直接求值． (2)在转化过程中，充分利用诱导公式，构造两角差的余弦公式的结构形式，然后逆用公式求值． (3)公式C(α－β)的结构特点 ①同名函数相乘，即两角余弦乘余弦，正弦乘正弦． ②把所得的积相加． [变式训练] 1．求cos 105°＋sin 195°的值． 解：原式＝cos 105°＋sin (90°＋105°) ＝cos 105°＋cos 105° ＝2cos 105°＝2cos (135°－30°) ＝2(cos 135°cos 30°＋sin 135°sin 30°) ＝2eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(\r(2),2)×\f(\r(3),2)＋\f(\r(2),2)×\f(1,2)))＝eq \f(\r(2)－\r(6),2). 给值求值问题 [例2] (1)若sin(π＋θ)＝－eq \f(3,5)，θ是第二象限角，sin(eq \f(π,2)＋φ)＝－eq \f(2\r(5),5)，φ是第三象限角，求cos(θ－φ)的值； (2)已知sin α＝eq \f(1,2)，cos(α＋β)＝－eq \f(3,5)，α，β均为锐角，求cos β的值． [思路点拨]　寻找要求角与已知角之间的关系． [解]　(1)∵sin(π＋θ)＝－sin θ＝－eq \f(3,5)，∴sin θ＝eq \f(3,5)， 又θ是第二象限角，∴cos θ＝－eq \f(4,5). ∵sin(eq \f(π,2)＋φ)＝cos φ＝－eq \f(2\r(5),5)，且φ为第三象限角， ∴sin φ＝－eq \f(\r(5),5)， ∴cos(θ－φ)＝cos θcos φ＋sin θsin φ ＝(－eq \f(4,5))×(－eq \f(2\r(5),5))＋eq \f(3,5)×(－eq \f(\r(5),5))＝eq \f(\r(5),5). (2)由sin α＝eq \f(1,2)和α为锐角可得cos α＝eq \r(1－sin2α)＝eq \f(\r(3),2). 由cos(α＋β)＝－eq \f(3,5)和0<α＋β<180°可得sin(α＋β)＝eq \r(1－cos2α＋β)＝eq \f(4,5).于是cos β ＝cos[(α＋β)－α] ＝cos(α＋β)cos α＋sin (α＋β)sin α ＝－eq \f(3,5)×eq \f(\r(3),2)＋eq \f(4,5)×eq \f(1,2)＝eq \f(4－3\r(3),10). 给值求值的解题策略 (1)已知某些角的三角函数值，求另外一些角的三角函数值，要注意观察已知角与所求表达式中角的关系，即拆角与凑角． (2)由于和、差角与单角是相对的，因此解题过程中根据需要灵活地进行拆角或凑角的变换．常见角的变换有： ①α＝(α－β)＋β； ②α＝eq \f(α＋β,2)＋eq \f(α－β,2)； ③2α＝(α＋β)＋(α－β)； ④2β＝(α＋β)－(α－β)． [变式训练] 2．设cos eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α－\f(β,2)))＝－eq \f(1,9)，sin eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(α,2)－β))＝eq \f(2,3)，其中α∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)，π))，β∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))，求cos eq \f(α＋β,2). 解：∵α∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)，π))，β∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))， ∴α－eq \f(β,2)∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)，π))，eq \f(α,2)－β∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(π,4)，\f(π,2)))， ∴sin eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α－\f(β,2)))＝ eq \r(1－cos 2\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α－\f(β,2))))＝ eq \r(1－\f(1,81))＝eq \f(4\r(5),9). cos eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(α,2)－β))＝ eq \r(1－sin 2\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(α,2)－β)))＝ eq \r(1－\f(4,9))＝eq \f(\r(5),3). ∴cos eq \f(α＋β,2)＝cos eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α－\f(β,2)))－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(α,2)－β)))) ＝cos eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α－\f(β,2)))cos eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(α,2)－β))＋sin eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α－\f(β,2)))sin eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(α,2)－β)) ＝－eq \f(1,9)×eq \f(\r(5),3)＋eq \f(4\r(5),9)×eq \f(2,3)＝eq \f(7\r(5),27). 给值求角问题 [例3] 已知sin α＝eq \f(\r(5),5)，sin β＝eq \f(\r(10),10)，且α和β均为钝角，求α＋β的值． [思路点拨]　根据已知条件，确定角α＋β的范围，求角α＋β的某个三角函数值，进而得α＋β的大小． [解]　因为α和β均为钝角， 所以cos α＝－eq \r(1－sin2α)＝－eq \f(2\r(5),5)， cos β＝－eq \r(1－sin2β)＝－eq \f(3\r(10),10). 由α和β均为钝角，得π<α＋β<2π， 所以cos(α＋β)＝cos αcos β－sin αsin β ＝(－eq \f(2\r(5),5))×(－eq \f(3\r(10),10))－eq \f(\r(5),5)×eq \f(\r(10),10)＝eq \f(\r(2),2)， 所以α＋β＝eq \f(7π,4). 已知三角函数值求角的解题步骤 (1)界定角的范围，根据条件确定所求角的范围． (2)求所求角的某种三角函数值．为防止增解最好选取在上述范围内单调的三角函数． (3)结合三角函数值及角的范围求角． [变式训练] 3．(1)已知α，β均为锐角，且sin α＝eq \f(2\r(5),5)，sin β＝eq \f(\r(10),10)，则α－β＝　________　. (2)已知cos α＝eq \f(1,7)，cos(α＋β)＝－eq \f(11,14)，α，β∈(0，eq \f(π,2))，则β＝　________　. 解析：(1)∵α，β均为锐角， ∴cos α＝eq \f(\r(5),5)，cos β＝eq \f(3\r(10),10). ∴cos(α－β)＝cos αcos β＋sin αsin β ＝eq \f(\r(5),5)×eq \f(3\r(10),10)＋eq \f(2\r(5),5)×eq \f(\r(10),10)＝eq \f(\r(2),2). 又∵sin α>sin β，∴0<β<α<eq \f(π,2)， ∴0<α－β<eq \f(π,2). 故α－β＝eq \f(π,4). (2)∵α，β∈(0，eq \f(π,2))，∴α＋β∈(0，π)． ∵cos α＝eq \f(1,7)，cos(α＋β)＝－eq \f(11,14)， ∴sin α＝eq \f(4\r(3),7)，sin (α＋β)＝eq \f(5\r(3),14)， ∴cos β＝cos [(α＋β)－α] ＝cos(α＋β)cos α＋sin (α＋β)sin α ＝(－eq \f(11,14))×eq \f(1,7)＋eq \f(5\r(3),14)×eq \f(4\r(3),7)＝eq \f(1,2). ∵0<β<eq \f(π,2)，∴β＝eq \f(π,3). [答案]　(1)eq \f(π,4)　(2)eq \f(π,3) 1．计算sin 53°cos 23°－sin 37°cos 67°的值为(　　) A．－eq \f(1,2)　 B.eq \f(1,2)　　C.eq \f(\r(3),2)　　D．－eq \f(\r(3),2) 解析：B　[sin 53°cos 23°－sin 37°cos 67° ＝cos 37°cos 23°－sin 37°sin 23° ＝cos(37°＋23°) ＝cos 60°＝eq \f(1,2).] 2．已知sin α＝eq \f(3,5)，α∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)，π))，则cos eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)－α))的值为(　　) A．－eq \f(\r(2),5)　　　　　　　 B．－eq \f(\r(2),10) C．－eq \f(7\r(2),10) D．－eq \f(7\r(2),5) 解析：B　[∵α∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)，π))，sin α＝eq \f(3,5)， ∴cos α＝－eq \f(4,5). ∴cos eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)－α))＝cos eq \f(π,4)cos α＋sin eq \f(π,4)sin α ＝eq \f(\r(2),2)×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(4,5)))＋eq \f(\r(2),2)×eq \f(3,5)＝－eq \f(\r(2),10).] 3．求值：cos 105°cos 15°＋sin 105°sin 15°＝　________　. 解析：原式＝cos (105°－15°)＝cos 90°＝0. 答案：0 4．若sin eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)＋α))＝－eq \f(4,5)，α∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)，π))，则cos eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,3)－α))＝　________　. 解析：由诱导公式得sin eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)＋α))＝cos α＝－eq \f(4,5). 又α∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)，π))，所以sin α＝eq \f(3,5). 所以cos eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,3)－α))＝cos eq \f(π,3)cos α＋sin eq \f(π,3)sin α ＝eq \f(1,2)×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(4,5)))＋eq \f(\r(3),2)×eq \f(3,5)＝eq \f(3\r(3)－4,10). 答案：eq \f(3\r(3)－4,10) 5．已知sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,3)＋α))＝eq \f(12,13)，α∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,6)，\f(2π,3)))，求cos α的值． 解：∵α∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,6)，\f(2π,3)))，∴eq \f(π,3)＋α∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)，π)). 又sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,3)＋α))＝eq \f(12,13)， ∴coseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,3)＋α))＝－ eq \r(1－sin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,3)＋α)))＝－eq \f(5,13). ∴cos α＝coseq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,3)＋α))－\f(π,3))) ＝cos eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,3)＋α))cos eq \f(π,3)＋sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,3)＋α))sin eq \f(π,3) ＝－eq \f(5,13)×eq \f(1,2)＋eq \f(12,13)×eq \f(\r(3),2)＝eq \f(12\r(3)－5,26). $