8.2.1 两角和与差的余弦-【创新教程】2025-2026学年高中数学必修第三册五维课堂教师用书word（人教B版）

本讲义聚焦两角差与和的余弦公式这一核心知识点，通过回顾诱导公式创设问题情境引发思考，系统梳理公式推导过程，结合正逆用、给值求值、给值求角等例题构建“问题引入—公式推导—应用拓展”的学习支架。 资料以情境问题激发探究，通过向量法推导公式培养逻辑推理素养，例题中拆角凑角训练提升数学运算能力。设计预习自测、分层练习，课中助力教师引导学生理解公式本质，课后帮助学生巩固应用，查漏补缺。

8．2　三角恒等变换 8．2.1　两角和与差的余弦 课程标准 素养解读 1.通过探索得到两角差的余弦公式、并能熟记公式，灵活应用 2．体会向量法在差角余弦公式推导过程中的作用 通过两角差的余弦公式的推导及应用，提升逻辑推理和数学运算素养 对应学生用书P68 [情境引入] 回顾三角函数的诱导公式： (1)cos(π－α)＝cos π－cos α能否成立？ (2)cos(－α)＝coscos α＋sin sin α成立吗？ 提示：(1)不成立．因为cos(π－α)＝－cos α，cos π－cos α＝－1－cos α，若cos(π－α)＝cos π－cos α，则－1＝0矛盾，故不成立． (2)因为cos(－α)＝sin α，cos cos α＋sin sin α＝sin α. 所以cos(－α)＝cos cos α＋sin sin α成立． [知识梳理] [知识点一]　两角差的余弦公式　 (1)公式：cos(α－β)＝　cos αcos β＋sin αsin β　. ①简记符号：Cα－β. ②适用条件：公式中的角α，β都是　任意角　. (2)本质：两角差的余弦转化成减数角、被减数角的正余弦计算． (3)应用：①化简，②求值． 1.公式的结构特征是怎样的？ 提示：差角的余弦简记：余余正正，符号反． 2．如何利用该公式推导诱导公式cos(－α)＝sin α？ 提示：cos(－α)＝cos cos α＋sin sin α＝0＋sin α＝sin α. 3．cos (α－β)与cos α－cos β相等吗？ 提示：一般情况下不相等．但在特殊情况下也有相等的时候．例如：当α＝0°，β＝60°时，cos (0°－60°)＝cos 0°－cos 60°. [知识点二]　两角和的余弦公式　 在两角差的余弦公式中，以－β替代β就得到两角和的余弦公式．即Cα＋β： cos(α＋β)＝cos[α－(－β)]＝　cos αcos(－β)＋ sin αsin(－β)　＝　cos αcos β－sin αsin β　. [预习自测] 1．化简cos 65°cos 35°＋sin 65°sin 35°的结果是(　　) A．cos 100°　　　　　　　 B．sin 100° C. D. 答案：C 2．下列式子中，正确的个数为(　　) (1)cos (α－β)＝cos α－cos β； (2)cos ＝－sin α； (3)cos (α－β)＝cos αcos β－sin αsin β A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 答案：A 3．cos 65°·cos 125°＋cos 25°·sin 125°＝　________　. 答案： 对应学生用书P68 公式的正、逆用 [例1] 求下列各式的值： (1)cos 75°cos 15°－sin 75°sin 195°. (2)cos 15°＋sin 15°； (3)cos 105°. [思路点拨]　(1)sin 195°＝sin(180°＋15°)＝－sin 15°；(2)＝cos 60°，＝sin 60°. [解]　(1)原式＝cos 75°cos 15°＋sin 75°sin 15°＝cos(75°－15°)＝cos 60°＝. (2)原式＝cos 60°cos 15°＋sin 60°sin 15°＝cos 45°＝. (3)原式＝cos (60°＋45°) ＝cos 60°cos 45°－sin 60°sin 45° ＝×－ ×＝. (1)把非特殊角转化为特殊角的和或差，然后用公式直接求值． (2)在转化过程中，充分利用诱导公式，构造两角差的余弦公式的结构形式，然后逆用公式求值． (3)公式C(α－β)的结构特点 ①同名函数相乘，即两角余弦乘余弦，正弦乘正弦． ②把所得的积相加． [变式训练] 1．求cos 105°＋sin 195°的值． 解：原式＝cos 105°＋sin (90°＋105°) ＝cos 105°＋cos 105° ＝2cos 105°＝2cos (135°－30°) ＝2(cos 135°cos 30°＋sin 135°sin 30°) ＝2＝. 给值求值问题 [例2] (1)若sin(π＋θ)＝－，θ是第二象限角，sin(＋φ)＝－，φ是第三象限角，求cos(θ－φ)的值； (2)已知sin α＝，cos(α＋β)＝－，α，β均为锐角，求cos β的值． [思路点拨]　寻找要求角与已知角之间的关系． [解]　(1)∵sin(π＋θ)＝－sin θ＝－，∴sin θ＝， 又θ是第二象限角，∴cos θ＝－. ∵sin(＋φ)＝cos φ＝－，且φ为第三象限角， ∴sin φ＝－， ∴cos(θ－φ)＝cos θcos φ＋sin θsin φ ＝(－)×(－)＋×(－)＝. (2)由sin α＝和α为锐角可得cos α＝＝. 由cos(α＋β)＝－和0<α＋β<180°可得sin(α＋β)＝＝.于是cos β ＝cos[(α＋β)－α] ＝cos(α＋β)cos α＋sin (α＋β)sin α ＝－×＋×＝. 给值求值的解题策略 (1)已知某些角的三角函数值，求另外一些角的三角函数值，要注意观察已知角与所求表达式中角的关系，即拆角与凑角． (2)由于和、差角与单角是相对的，因此解题过程中根据需要灵活地进行拆角或凑角的变换．常见角的变换有： ①α＝(α－β)＋β； ②α＝＋； ③2α＝(α＋β)＋(α－β)； ④2β＝(α＋β)－(α－β)． [变式训练] 2．设cos ＝－，sin ＝，其中α∈，β∈，求cos . 解：∵α∈，β∈， ∴α－∈，－β∈， ∴sin ＝ ＝ ＝. cos ＝ ＝ ＝. ∴cos ＝cos ＝cos cos ＋sin sin ＝－×＋×＝. 给值求角问题 [例3] 已知sin α＝，sin β＝，且α和β均为钝角，求α＋β的值． [思路点拨]　根据已知条件，确定角α＋β的范围，求角α＋β的某个三角函数值，进而得α＋β的大小． [解]　因为α和β均为钝角， 所以cos α＝－＝－， cos β＝－＝－. 由α和β均为钝角，得π<α＋β<2π， 所以cos(α＋β)＝cos αcos β－sin αsin β ＝(－)×(－)－×＝， 所以α＋β＝. 已知三角函数值求角的解题步骤 (1)界定角的范围，根据条件确定所求角的范围． (2)求所求角的某种三角函数值．为防止增解最好选取在上述范围内单调的三角函数． (3)结合三角函数值及角的范围求角． [变式训练] 3．(1)已知α，β均为锐角，且sin α＝，sin β＝，则α－β＝　________　. (2)已知cos α＝，cos(α＋β)＝－，α，β∈(0，)，则β＝　________　. 解析：(1)∵α，β均为锐角， ∴cos α＝，cos β＝. ∴cos(α－β)＝cos αcos β＋sin αsin β ＝×＋×＝. 又∵sin α>sin β，∴0<β<α<， ∴0<α－β<. 故α－β＝. (2)∵α，β∈(0，)，∴α＋β∈(0，π)． ∵cos α＝，cos(α＋β)＝－， ∴sin α＝，sin (α＋β)＝， ∴cos β＝cos [(α＋β)－α] ＝cos(α＋β)cos α＋sin (α＋β)sin α ＝(－)×＋×＝. ∵0<β<，∴β＝. [答案]　(1)　(2) 对应学生用书P69 1．计算sin 53°cos 23°－sin 37°cos 67°的值为(　　) A．－　 B.　　C.　　D．－ 解析：B　[sin 53°cos 23°－sin 37°cos 67° ＝cos 37°cos 23°－sin 37°sin 23° ＝cos(37°＋23°) ＝cos 60°＝.] 2．已知sin α＝，α∈，则cos 的值为(　　) A．－　　　　　　　 B．－ C．－ D．－ 解析：B　[∵α∈，sin α＝， ∴cos α＝－. ∴cos ＝cos cos α＋sin sin α ＝×＋×＝－.] 3．求值：cos 105°cos 15°＋sin 105°sin 15°＝　________　. 解析：原式＝cos (105°－15°)＝cos 90°＝0. 答案：0 4．若sin ＝－，α∈，则cos ＝　________　. 解析：由诱导公式得sin ＝cos α＝－. 又α∈，所以sin α＝. 所以cos ＝cos cos α＋sin sin α ＝×＋×＝. 答案： 5．已知sin＝，α∈，求cos α的值． 解：∵α∈，∴＋α∈. 又sin＝， ∴cos＝－ ＝－. ∴cos α＝cos ＝cos cos ＋sinsin ＝－×＋×＝. 对应学生课时P41 1．sin 14°cos 16°＋sin 76°cos 74°的值是(　　) A.　　　　　　　 B. C．－ D．－ 解析：B　[sin 14°cos 16°＋sin 76°cos 74° ＝cos 76°cos 16°＋sin 76°sin 16° ＝cos(76°－16°) ＝cos 60°＝.] 2．化简－sin(x＋y)sin(x－y)－cos(x＋y)cos(x－y)的结果为(　　) A．sin 2x B．cos 2x C．－cos 2x D．－cos 2y 解析：D　[原式＝－cos[(x＋y)－(x－y)]＝－cos 2y，故选D.] 3．在△ABC中，若sin Asin B＜cos Acos B，则△ABC一定为(　　) A．等边三角形 B．直角三角形 C．锐角三角形 D．钝角三角形 解析：D　[∵sin Asin B＜cos Acos B， ∴cos Acos B－sin Asin B＞0， ∴cos(A＋B)＞0，即cos(π－C)＞0，∴－cos C＞0， ∴cos C＜0，∵0＜C＜π，∴π＞C＞， ∴△ABC为钝角三角形．] 4．若sin(π＋θ)＝－，θ是第二象限角，sin＝－，φ是第三象限角，则cos(θ－φ)的值是(　　) A．－ B. C. D. 解析：B　[∵sin(π＋θ)＝－，∴sin θ＝， ∵θ是第二象限角，∴cos θ＝－. ∵sin＝－，∴cos φ＝－， ∵φ是第三象限角，∴sin φ＝－. ∴cos(θ－φ)＝cos θcos φ＋sin θsin φ ＝×＋×＝.] 5．已知cos＝－，则cos x＋cos＝(　　) A．－ B．± C．－1 D．±1 解析：C　[∵cos＝cos xcos ＋sin xsin ＝cos x＋sin x＝－. ∴cos x＋cos＝cos x＋cos x·cos ＋ sin xsin ＝cos x＋sin x ＝＝－×＝－1，故选C.] 6．(多选题)已知cos α＝－，sin β＝－，β是第四象限角，则cos(β－α)的值是(　　) A. B. C．－ D．－ 解析：AC　[由条件知，α为二、三象限角，cos β＝. 当α为第二象限角时，sin α＝，cos(β－α)＝cos βcos α＋sin β sin α＝×＋×＝－. 当α为第三象限角时，sin α＝－，cos(β－α)＝cos β cos α＋sin βsin α＝×＋× ＝.] 7．计算sin 60°－cos 60°＝　________　. 解析：原式＝sin 30°·sin 60°－cos 30°·cos 60° ＝－cos(30°＋60°)＝－cos 90° ＝0. 答案：0 8．若cos(α－β)＝，则(sin α＋sin β)2＋(cos α＋cos β)2＝　________　. 解析：原式＝2＋2(sin αsin β＋cos αcos β) ＝2＋2cos(α－β)＝. 答案： 9．(多空题)已知α，β均为锐角，sin α＝，cos β＝，则cos(α＋β)＝　______________　，则α－β＝　________　. 解析：∵α、β均为锐角，sin α＝， cos β＝，∴cos α＝，sin β＝. ∴cos(α＋β)＝cos α·cos β－sin α· sin β ＝·－· ＝＝－， 又sin α＜sin β，∴α＜β， ∴－＜α－β＜0， ∴cos(α－β)＝cos α·cos β＋sin α·sin β＝， ∴α－β＝－. 答案：－　－ 10．计算：(1)sin 75°； (2)sin xsin(x＋y)＋cos xcos(x＋y)． 解：(1)sin 75°＝cos 15°＝cos(45°－30°) ＝cos 45°cos 30°＋sin 45°sin 30° ＝×＋×＝. (2)原式＝cos[x－(x＋y)]＝cos(－y)＝cos y. 11．已知cos α＝，cos(α＋β)＝－，且α、β∈，求cos β的值． 解：∵α、β∈，∴α＋β∈(0，π)． 又∵cos α＝，cos(α＋β)＝－， ∴sin α＝＝， sin(α＋β)＝＝. 又∵β＝(α＋β)－α， ∴cos β＝cos[(α＋β)－α] ＝cos(α＋β)cos α＋sin(α＋β)sin α ＝×＋× ＝. 12．已知cos(α－β)＝－，cos(α＋β)＝，且α－β∈，α＋β∈，求角β的值． 解：由α－β∈， 且cos(α－β)＝－， 得sin(α－β)＝. 由α＋β∈， 且cos(α＋β)＝， 得sin(α＋β)＝－， cos 2β＝cos[(α＋β)－(α－β)] ＝cos(α＋β)cos(α－β)＋sin(α＋β)sin(α－β) ＝×＋×＝－1. 又∵α－β∈，α＋β∈， ∴2β∈， ∴2β＝π，则β＝. 13．已知角α的终边过点P(－4,3)． (1)求的值； (2)若β为第三象限角，且tan β＝，求cos(α－β)的值． 解：(1)因为角α的终边过点P(－4,3)， 所以sin α＝，cos α＝－， 所以＝＝＝－. (2)因为β为第三象限角，且tan β＝， 所以sin β＝－，cos β＝－. 由(1)知sin α＝，cos α＝－， 所以cos(α－β)＝cos αcos β＋sin αsin β ＝×＋×＝0. 学科网（北京）股份有限公司 $