8.1.1 第2课时 向量的投影与向量数量积的几何意义-【创新教程】2025-2026学年高中数学必修第三册五维课堂同步课件PPT（人教B版）

该高中数学B版必修第三册同步课件，涵盖课前预习单、课堂互动单、随堂小步练及课后素养提升模块，以学习支架形式衔接前后知识点，帮助学生构建完整知识脉络。 其亮点在于以核心素养为导向，课前预习单引导学生用数学眼光发现问题，课堂互动单通过探究活动发展数学思维，随堂小步练分层设计强化知识应用，课后素养提升培养数学语言表达能力。这种闭环设计助力学生夯实基础，也为教师提供系统教学支持，提升教学效率。

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[知识点二]　数量积的几何意义　 一般地，如果a，b都是非零向量，则称　|a|cos〈a，b〉　为向量a在向量b上的投影的　数量　，投影的数量与投影的长度有关，但是投影的数量既可能是　非负数　，也可能是　负数　. 因为a·b＝|a||b|cos〈a，b〉＝　|a|cos〈a，b〉　|b|，所以两个非零向量a，b的数量积a·b，等于　a在向量b上的投影的数量　与b的模的乘积，这就是两个向量数量积的几何意义． 特别地，当e为单位向量时，因为|e|＝1，所以a·e＝|a|cos〈a，e〉， 即任意向量与单位向量的数量积，等于这个向量在单位向量e上的投影的数量． b在a方向上的投影数量一定是正数吗？ 提示：b在a方向上的投影|b|·cos θ是个实数，可以是正值，也可以是零或负值，因为它取决于两向量夹角的大小． [预习自测] 1．设a·b＝4，若a在b方向上的投影为2，且b在a方向上的投影为1，则a与b的夹角等于(　　) A.eq \f(π,6)　　　　　 B.eq \f(π,3) C.eq \f(π,3) D.eq \f(π,3)或eq \f(2π,3) 解析：B　[∵|a|cos〈a，b〉＝2，|b|cos〈a，b〉＝1，a·b＝4＝|a||b|cos〈a，b〉， ∴|a|＝4，|b|＝2， ∴cos〈a，b〉＝eq \f(a·b,|a||b|)＝eq \f(4,4×2)＝eq \f(1,2)， ∴〈a，b〉＝eq \f(π,3)，故选B.] 2．已知|a|＝5，b在a上的投影数量为6，则b·a＝　________　. 解析：b·a＝|a|·|b|·cos θ＝5×6＝30. 答案：30 3．若|a|＝3，|b|＝5且〈a，b〉＝45°，则a在b上的投影的数量为　________　. 解析：由投影数量的概念知： |a|·cos〈a，b〉＝3×cos 45°＝eq \f(3\r(2),2). 答案：eq \f(3\r(2),2) 向量数量积的几何意义 [例1]　已知|a|＝5，|b|＝4，a与b的夹角θ＝120°. (1)求a·b； (2)求a在b上的投影的数量． [思路点拨]　利用投影的定义求解． [解]　(1)a·b＝|a||b|cos θ＝5×4×cos 120°＝－10； (2)a在b上的投影数量为|a|·cos θ＝eq \f(a·b,|b|)＝eq \f(－10,4)＝－eq \f(5,2). 任意的非零向量a在另一非零向量b上的投影数量等于|a|cos θ(θ为向量a，b的夹角)，即该投影数量与b的模无关，故任意的非零向量在单位向量上的投影数量与该单位向量的模无关． [变式训练] 1．已知向量a，b满足|b|＝2，a与b的夹角为60°，则b在a方向上的投影数量是　________　. 解析：向量a，b的夹角θ＝60°， 故b在a方向上的投影的数量为|b|cos θ＝2cos 60°＝2×eq \f(1,2)＝1. 答案：1 　　　 与向量的模有关的问题 [例2]　已知|a|＝3，|b|＝4，求|a－b|的取值范围． [思路点拨]　|a|－|b|≤|a±b|≤|a|＋|b|. [解]　∵||a|－|b||≤|a－b|≤|a|＋|b|， ∴1≤|a－b|≤7， 即|a－b|的取值范围是[1,7]． 运用向量不等式||a|－|b||≤|a－b|≤|a|＋|b|，注意等号成立的条件． [变式训练] 2．已知向量a，b满足|a|＝4，|a·b|≥10，则|a－2b|的最小值是(　　) A．1　 B．2　　C．3　　D．4 解析：A　[设a，b的夹角为θ， 因为|a·b|＝4|b||cos θ|≥10， 所以|b|≥eq \f(10,4|cos θ|)≥eq \f(5,2)， 由向量形式的三角不等式得， |a－2b|≥||a|－2|b||＝|2|b|－4|≥eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(2·\f(5,2)－4))＝1.] 　　　 投影问题 [例3]　如图，在△ABC中，AB＝AC＝4，∠BAC＝90，D是边BC的中点，求： (1)eq \o(AB,\s\up16(→))在eq \o(BD,\s\up16(→))方向上的投影的数量； (2)eq \o(BD,\s\up16(→))的eq \o(AB,\s\up16(→))方向上的投影的数量． [思路点拨]　注意a在b方向上的投影与b在a方向上的投影的区别． [解]　如图， 连接AD，因为AB＝AC＝4，∠BAC＝90°，所以∠ABC是等腰直角三角形．又D是边BC的中点，所以AD⊥BC，∠ABD＝45°，所以BD＝2eq \r(2). 延长AB到E，则eq \o(AB,\s\up16(→))与eq \o(BD,\s\up16(→))的夹角为∠DBE＝180°－45°＝135°. (1)eq \o(AB,\s\up16(→))在eq \o(BD,\s\up16(→))方向上的投影的数量为|eq \o(AB,\s\up16(→))|cos 135°＝4×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(\r(2),2)))＝－2eq \r(2). (2)eq \o(BD,\s\up16(→))在eq \o(AB,\s\up16(→))方向上的投影的数量为|eq \o(BD,\s\up16(→))|cos 135°＝2eq \r(2)×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(\r(2),2)))＝－2. 求投影数量有两种方法 (1)b在a方向上的投影数量为|b|cos θ(θ为a，b的夹角)，a在b方向上的投影数量为|a|cos θ. (2)b在a方向上的投影数量为eq \f(a·b,|a|)，a在b方向上的投影数量为eq \f(a·b,|b|). [变式训练] 3．已知|a|＝8，|b|＝4，a与b的夹角为120°，则向量b在a方向上的投影数量为(　　) A．4　 B．－4　　C．2　　D．－2 解析：D　[向量b与a方向上的投影数量为|b|cos θ＝4×cos 120°＝－2.] 1．已知|a|＝6，|b|＝3，a·b＝－12，则向量a在向量b方向上的投影数量是(　　) A．－4　 B．4　　C．－2　　D．2 解析：A　[根据投影数量的定义，设a，b的夹角为θ，可得向量a在b方向上的投影数量是|a|cos θ＝eq \f(a·b,|b|)＝－4，故选A.] 2．已知|b|＝4，a在b方向上的投影数量为2，则a·b的值为(　　) A．7 B．8 C．9 D．6 解析：B　[设a与b的夹角为θ， ∵|a|cos θ＝2， ∴a·b＝|a||b|cos θ＝4×2＝8.] 3．已知|a|＝6，|b|＝8，且〈a，b〉＝60°，则b在a方向上的投影数量为　________　. 解析：由投影数量的定义知 |b|·cos θ＝8×cos 60°＝4. 4．已知△ABC是边长为4的等边三角形，则eq \o(AB,\s\up16(→))在eq \o(AC,\s\up16(→))上的投影数量为　________　. 解析：由题意|eq \o(AB,\s\up16(→))|·cos〈eq \o(AB,\s\up16(→))，eq \o(AC,\s\up16(→))〉＝4×cos 60°＝4×eq \f(1,2)＝2. 答案：2 5．已知|a|＝6，e为单位向量，当它们之间的夹角θ分别等于60°，90°，120°时，求出a在e方向上的投影的数量． 解：a在e方向上的投影的数量为|a|cos θ. 当θ＝60°时，a在e方向上的投影的数量为|a|cos 60°＝3； 当θ＝90°时，a在e方向上的投影的数量为|a|cos 90°＝0； 当θ＝120°时，a在e方向上的投影的数量为|a|cos 120°＝－3. $