7.3.4 正切函数的性质与图象-【创新教程】2025-2026学年高中数学必修第三册五维课堂同步课件PPT（人教B版）

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[知识梳理] [知识点一]　正切函数　 　对于任意一个角x，只要　x≠eq \f(π,2)＋kπ，k∈Z　.就有　唯一　确定的正切值tan x与之对应，因此y＝tan x是一个函数，称为正切函数． [知识点二]　正切函数的图像与性质　 解析式 y＝tan x 图像 定义域 {x|x≠eq \f(π,2)＋kπ，k∈Z} 值域 R 最小正周期 　π　 奇偶性 奇函数 单调性 在开区间　(－eq \f(π,2)＋kπ，eq \f(π,2)＋kπ)(k∈Z)　 上都是增函数 对称性 对称中心　(eq \f(kπ,2)，0)(k∈Z)　 零点 kπ，k∈Z 1.正切曲线是中心对称图形吗？若是，对称中心是什么？是轴对称图形吗？ 提示：y＝tan x是中心对称图形，对称中心为(eq \f(kπ,2)，0)(k∈Z)，不是轴对称图形． 2．正切函数在定义域上是单调函数吗？ 提示：不是. 正切函数在每一个单调区间(－eq \f(π,2)＋kπ，eq \f(π,2)＋kπ)(k∈Z)内都是增函数．但在整个定义域内不是，比如180°>30°，但tan 180°＝0<tan 30°＝eq \f(\r(3),3). 3．如何画正切函数的简图？ 提示：画正切函数图像常用三点两线法：“三点”是指(－eq \f(π,4)，－1)，(0,0)，(eq \f(π,4)，1)，“两线”是指x＝－eq \f(π,2)和x＝eq \f(π,2)，大致画出正切函数在(－eq \f(π,2)，eq \f(π,2))上的简图后向左、向右扩展即得正切曲线． [预习自测] 1．函数y＝tan(x－eq \f(π,4))的单调递增区间是　________　. 答案：(－eq \f(π,4)＋kπ，eq \f(3π,4)＋kπ)，k∈Z 2．函数y＝tan(x＋π)是(　　) A．奇函数 B．偶函数 C．既是奇函数又是偶函数 D．非奇非偶函数 答案：A 3．函数y＝taneq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(π,4)))的定义域是(　　) A.eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|\rc\}(\a\vs4\al\co1(x≠－\f(π,4)))))　　　 B.eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|\rc\}(\a\vs4\al\co1(x≠\f(π,4))))) C.eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|\rc\}(\a\vs4\al\co1(x≠kπ－\f(π,4)，k∈Z)))) D.eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|\rc\}(\a\vs4\al\co1(x≠kπ＋\f(π,4)，k∈Z)))) 答案：D 与正切函数有关的定义域、值域问题 [例1] (1)求函数y＝eq \r(tan x＋1)＋lg(1－tan x)的定义域； (2)求函数y＝taneq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x＋\f(π,6)))，x∈eq \b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(5π,24)，\f(π,12)))的值域． [思路点拨]　(1)先列不等式组，然后借助正切函数的图像与性质解不等式；(2)令z＝2x＋eq \f(π,6)，转化为求tan z的值域． [解]　(1)由题意得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(tan x＋1≥0,1－tan x>0))，即－1≤tan x<1. 在eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(π,2)，\f(π,2)))内，满足上述不等式的x的取值范围是eq \b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(π,4)，\f(π,4))). 又y＝tan x的周期为π， 所以－eq \f(π,4)＋kπ≤x<eq \f(π,4)＋kπ，k∈Z. 所以函数的定义域为eq \b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(π,4)＋kπ，\f(π,4)＋kπ))，k∈Z. (2)令z＝2x＋eq \f(π,6)， ∵x∈eq \b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(5π,24)，\f(π,12)))， ∴－eq \f(π,4)<z≤eq \f(π,3). ∵y＝tan z在eq \b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(π,4)，\f(π,3)))上是增函数， ∴taneq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(π,4)))<y≤taneq \f(π,3)，即－1<y≤ eq \r(3). ∴函数的值域为(－1，eq \r(3) ]． 1．求正切函数定义域的方法 求与正切函数有关的函数的定义域时，除了求函数定义域的一般要求外，还要保证正切函数y＝tan x有意义，即x≠eq \f(π,2)＋kπ，k∈Z，而对于构建的三角不等式，常利用三角函数的图像求解．解形如tan x>a的不等式的步骤： 2．求正切函数的值域的方法 ①结合图像． ②利用单调性． ③在复杂情况下，利用换元法，设t＝ωx＋φ， 再求解． [变式训练] 1．(1)函数y＝ln(tan x)的定义域　________　； (2)函数y＝tan2x－2tan x＋3的最小值为　________　. 解析：(1)由题意得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(x≠kπ＋\f(π,2)k∈Z，,tan x>0，)) 即eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(x≠kπ＋\f(π,2)k∈Z，,kπ<x<kπ＋\f(π,2)k∈Z，)) 故定义域为(kπ，kπ＋eq \f(π,2))(k∈Z)． (2)y＝(tan x－1)2＋2，由于tan x∈R，所以当tan x＝1时，函数取最小值2. 答案：(1)(kπ，kπ＋eq \f(π,2))(k∈Z)　(2)2 与正切函数有关的函数单调性问题 [例2] (1)求函数y＝taneq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)x＋\f(π,4)))的单调区间； (2)比较tan 1、tan 2、 tan 3的大小． [思路点拨]　解答(1)时先将函数化为y＝－taneq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)x－\f(π,4)))，再把eq \f(1,2)x－eq \f(π,4)整体代入eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(π,2)＋kπ，\f(π,2)＋kπ))，k∈Z这个区间内，解出x便可．解答(2)的关键是利用tan 2＝tan(2－π)，tan 3＝tan(3－π)，把角化归到同一单调区间内，再利用y＝tan x在eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(π,2)，\f(π,2)))上的单调性判断其大小关系． [解]　(1)y＝taneq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)x＋\f(π,4))) ＝－taneq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)x－\f(π,4)))， 由kπ－eq \f(π,2)<eq \f(1,2)x－eq \f(π,4)<kπ＋eq \f(π,2)，k∈Z， 得2kπ－eq \f(π,2)<x<2kπ＋eq \f(3π,2)，k∈Z， 所以函数y＝taneq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)x＋\f(π,4)))的单调递减区间是eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2kπ－\f(π,2)，2kπ＋\f(3,2)π))，k∈Z. (2)tan 2＝tan(2－π)，tan 3＝tan(3－π)． 因为eq \f(π,2)<2<π，所以－eq \f(π,2)<2－π<0. 因为eq \f(π,2)<3<π，所以－eq \f(π,2)<3－π<0. 显然－eq \f(π,2)<2－π<3－π<1<eq \f(π,2)， 又y＝tan x在eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(π,2)，\f(π,2)))内是增函数， 所以tan(2－π)<tan(3－π)<tan 1. 即tan 2<tan 3<tan 1. 1．求函数y＝Atan(ωx＋φ)(A，ω，φ都是常数)的单调区间的方法 (1)若ω>0，由于y＝tan x在每一个单调区间上都是增函数，故可用“整体代换”的思想，令kπ－eq \f(π,2)<ωx＋φ<kπ＋eq \f(π,2)，k∈Z，求得x的范围即可． (2)若ω<0，可利用诱导公式先把y＝Atan(ωx＋φ)转化为y＝Atan[－(－ωx－φ)]＝－Atan(－ωx－φ)，即把x的系数化为正值，再利用“整体代换”的思想，求得x的范围即可． 2．运用正切函数单调性比较大小的方法 (1)运用函数的周期性或诱导公式将角化到同一单调区间内． (2)运用单调性比较大小关系． [变式训练] 2．求函数y＝3taneq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,6)－\f(x,4)))的单调区间． 解：y＝3taneq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,6)－\f(x,4)))＝－3taneq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(x,4)－\f(π,6)))， 由kπ－eq \f(π,2)<eq \f(x,4)－eq \f(π,6)<kπ＋eq \f(π,2)，k∈Z， 得4kπ－eq \f(4π,3)<x<4kπ＋eq \f(8π,3)，k∈Z. ∴y＝3taneq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,6)－\f(x,4)))的单调递减区间为 eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(4kπ－\f(4π,3)，4kπ＋\f(8π,3)))，k∈Z. 与正切函数有关的周期性、奇偶性问题 [例3] (1)求f(x)＝taneq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x＋\f(π,3)))的周期； (2)判断y＝sin x＋tan x的奇偶性． [思路点拨]　(1)利用公式法或定义法求函数的周期；(2)利用奇偶函数的定义判断函数的奇偶性． [解]　(1)方法一： ∵taneq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x＋\f(π,3)＋π))＝taneq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x＋\f(π,3)))， 即taneq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(2\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(π,2)))＋\f(π,3)))＝taneq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x＋\f(π,3))) ∴f(x)＝taneq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x＋\f(π,3)))的周期是eq \f(π,2). 方法二：∵y＝tan x的周期是π. ∴f(x)＝taneq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x＋\f(π,3)))的周期是eq \f(π,2). (2)函数的定义域是eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|\rc\}(\a\vs4\al\co1(x≠\f(π,2)＋kπ，k∈Z))))， 又∵sin(－x)＋tan(－x)＝－(sin x＋tan x)， ∴函数y＝sin x＋tan x是奇函数． (1)一般地，函数y＝Atan(ωx＋φ)＋b(A≠0，ω>0)的周期为T＝eq \f(π,ω)，常常使用此公式来求周期． (2)判断奇偶性一定要先求定义域，判断其是否关于原点对称．若不对称，则函数无奇偶性，若对称，再判断f(－x)与f(x)间的关系． [变式训练] 3．已知函数y＝tan(ωx＋eq \f(π,4))(ω<0)的周期为eq \f(π,2)，求该函数的定义域、值域．并判断函数的奇偶性． 解：y＝tan(ωx＋eq \f(π,4))(ω<0)的周期为eq \f(x,|ω|)＝eq \f(π,2)，解得ω＝2或ω＝－2. 因为ω<0，所以ω＝－2， 故y＝tan(－2x＋eq \f(π,4))＝－tan(2x－eq \f(π,4))． 由2x－eq \f(π,4)≠kπ＋eq \f(π,2)(k∈Z)， 解得x≠eq \f(kπ,2)＋eq \f(3π,8)(k∈Z)， 所以该函数的定义域为{x|x≠eq \f(kπ,2)＋eq \f(3π,8)，k∈Z}，值域为R. 由于该函数的定义域不关于原点对称，所以该函数既不是奇函数也不是偶函数． 1．下列说法正确的是(　　) A．y＝tan x是增函数 B．y＝tan x在第一象限是增函数 C．y＝tan x在某一区间上是减函数 D．y＝tan x在区间(kπ－eq \f(π,2)，kπ＋eq \f(π,2))(k∈Z)上是增函数 解析：D　[y＝tan x有无数个递增区间(kπ－eq \f(π,2)，kπ＋eq \f(π,2))(k∈Z)，无递减区间，且在定义域上不是增函数．] 2．函数y＝tan(x＋eq \f(π,3))的定义域是(　　) A．{x|x∈R且x≠kπ＋eq \f(π,6)，k∈Z} B．{x|x∈R且x≠kπ－eq \f(π,6)，k∈Z} C．{x|x∈R且x≠2kπ＋eq \f(π,6)，k∈Z} D．{x|x∈R且x≠2kπ－eq \f(π,6)，k∈Z} 解析：A　[x＋eq \f(π,3)≠eq \f(π,2)＋kπ，k∈Z， ∴x≠eq \f(π,6)＋kπ，k∈Z.] 3．关于函数y＝tan(2x－eq \f(π,3))，下列说法正确的是(　　) A．是奇函数 B．在区间(0，eq \f(π,3))上单调递减 C．(eq \f(π,6)，0)为图像的一个对称中心 D．最小正周期为π 解析：C　[令f(x)＝tan(2x－eq \f(π,3))．由2x－eq \f(π,3)≠kπ＋eq \f(π,2)(k∈Z)，解得x≠eq \f(kπ,2)＋eq \f(5π,12)(k∈Z)，即定义域为{x|x≠eq \f(kπ,2)＋eq \f(5π,12)，k∈Z}，由于该函数的定义域不关于原点对称，所以该函数既不是奇函数也不是偶函数，故A错误；由正切函数的图像知y＝tan(2x－eq \f(π,3))没有单调递减区间，故B错误；C中，∵f(eq \f(π,6))＝tan 0＝0，故(eq \f(π,6)，0)为图像的一个对称中心，C正确；D中，y＝tan(2x－eq \f(π,3))的最小正周期T＝eq \f(π,2)，D错误．] 4．函数y＝2taneq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(3x＋\f(π,4)))－5的单调递增区间是　________　. 解析：∵－eq \f(π,2)＋kπ<3x＋eq \f(π,4)<eq \f(π,2)＋kπ，k∈Z. ∴－eq \f(π,4)＋eq \f(kπ,3)<x<eq \f(π,12)＋eq \f(kπ,3)，k∈Z. 答案：eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(π,4)＋\f(kπ,3)，\f(π,12)＋\f(kπ,3)))(k∈Z) 5．求函数y＝taneq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,3)x＋\f(π,4)))的定义域、周期、单调区间和对称中心． 解：由eq \f(π,3)x＋eq \f(π,4)≠kπ＋eq \f(π,2)，k∈Z，得x≠3k＋eq \f(3,4)，k∈Z， 故定义域为eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|\rc\ (\a\vs4\al\co1(x≠3k＋\f(3,4)，k∈Z)))). T＝eq \f(π,|ω|)＝eq \f(π,\f(π,3))＝3. 由－eq \f(π,2)＋kπ＜eq \f(π,3)x＋eq \f(π,4)＜eq \f(π,2)＋kπ，k∈Z， 得－eq \f(9,4)＋3k＜x＜eq \f(3,4)＋3k，k∈Z， 故增区间为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(9,4)＋3k，\f(3,4)＋3k))(k∈Z)， 由eq \f(π,3)x＋eq \f(π,4)＝eq \f(kπ,2)得，x＝eq \f(3,2)k－eq \f(3,4)，k∈Z， 所以对称中心为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,2)k－\f(3,4)，0))，(k∈Z)． $