7.3.3 余弦函数的性质与图像-【创新教程】2025-2026学年高中数学必修第三册五维课堂同步课件PPT（人教B版）

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[知识点二]　余弦函数的图像与性质　 正弦函数、余弦函数的图像、性质对比 函数 y＝sin x y＝cos x 图像 定义域 　R　 　R　 值域 　[－1,1]　 　[－1,1]　 奇偶性 　奇函数　 　偶函数　 周期性 最小正周期：　2π　 最小正周期：　2π　 最值 当　x＝eq \f(π,2)＋2kπ(k∈Z)　时，ymax＝1； 当　x＝－eq \f(π,2)＋2kπ(k∈Z)　时，ymin＝－1 当　x＝2kπ(k∈Z)　时，ymax＝1； 当　x＝π＋2kπ(k∈Z)　时，ymin＝－1 单调性 在　eq \b\lc\[\rc\ (\a\vs4\al\co1(－\f(π,2)＋2kπ))，eq \b\lc\ \rc\](\a\vs4\al\co1(\f(π,2)＋2kπ))(k∈Z)　上单调递增； 在　eq \b\lc\[\rc\ (\a\vs4\al\co1(\f(π,2)＋2kπ))，eq \b\lc\ \rc\](\a\vs4\al\co1(\f(3π,2)＋2kπ))(k∈Z)　上单调递减 在　[－π＋2kπ，2kπ](k∈Z)　上单调递增；在　[2kπ，π＋2kπ](k∈Z) 上单调递减　 零点 kπ，k∈Z eq \f(π,2)＋kπ，k∈Z 对称轴 x＝eq \f(π,2)＋kπ，k∈Z x＝kπ，k∈Z 对称 中心 (kπ，0)(k∈Z) (eq \f(π,2)＋kπ，0)(k∈Z) 1.y＝cos x(x∈R)的图像可由y＝sin x(x∈R)的图像平移得到的原因是什么？ 提示：因为cos x＝sin(x＋eq \f(π,2))，所以y＝sin x(x∈R)的图像向左平移eq \f(π,2)个单位长度可得y＝cos x(x∈R)的图像． 2．余弦函数在[－π，π]上，函数值的变化有什么特点？推广到整个定义域呢？ 提示：观察图像可知： 当x∈[－π，0]时，曲线逐渐上升，是增函数，cos x的值由－1增大到1； 当x∈[0，π]时，曲线逐渐下降，是减函数，cos x的值由1减小到－1. 推广到整个定义域可得 当x∈[2kπ－π，2kπ]，k∈Z时，余弦函数y＝cos x是增函数，函数值由－1增大到1； 当x∈[2kπ，(2k＋1)π]，k∈Z时，余弦函数y＝cos x是减函数，函数值由1减小到－1. 3．利用平移法作余弦函数图像的依据是什么？为什么不能利用sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)－x))＝cos x来确定平移的方向和单位长度？ 提示：平移法作余弦函数图像主要依据诱导公式6：sin(x＋eq \f(π,2))＝cos x．显然在诱导公式5：sin(eq \f(π,2)－x)＝cos x中，两个函数的解析式中自变量的系数符号相反，所以不能利用该公式确定平移方向和单位长度． [预习自测] 1．函数f(x)＝cos 4x，x∈R是(　　) A．最小正周期为π的偶函数 B．最小正周期为π的奇函数 C．最小正周期为eq \f(π,2)的偶函数 D．最小正周期为eq \f(π,2)的奇函数 答案：C 2．y＝sin eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x＋\f(π,2)))是　________　函数(填“奇”或“偶”)． 答案：偶 3．函数y＝－cos x的单调递减区间是　________　；单调递增区间是　________　. 答案：[－π＋2kπ，2kπ](k∈Z)　[2kπ，2kπ＋π](k∈Z) 余弦函数图像的作法 [例1]　作出函数y＝3＋2cos x在闭区间[0,2π]上的图像，并求函数y＝3＋2cos x在R上的值域． [思路点拨]　利用五点法或平移法作图． [解]　法一　列表、描点、连线得函数y＝3＋2cos x在闭区间[0,2π]上的图像，如图中实线所示． 根据图像可知，函数y＝3＋2cos x在[0,2π]上的最大值为5，最小值为1，又函数的周期为2π，故函数y＝3＋2cos x在R上的值域为[1,5]. x 0 eq \f(π,2) π eq \f(3π,2) 2π y＝cos x 1 0 －1 0 1 y＝3＋2cos x 5 3 1 3 5 法二　先利用五点法作出函数y＝cos x，x∈[0,2π]的图像，如图中虚线所示，然后将所有点的纵坐标伸长到原来的2倍(横坐标不变)，再把所得图像向上平移3个单位长度就得到函数y＝3＋2cos x，x∈[0,2π]的图像，如图中实线所示． 根据图像可知，函数y＝3＋2cos x在[0,2π]上的最大值为5，最小值为1，又函数的周期为2π，故函数y＝3＋2cos x在R上的值域为[1,5]． 1．作余弦(型)函数图像的方法 (1)五点作图法；(2)图像变换法；(3)平移坐标轴． 2．用“五点法”画余弦曲线y＝cos x在[0,2π]上的图像时，所取的五个关键点分别为(0,1)，(eq \f(π,2)，0)，(π，－1)，(eq \f(3π,2)，0)，(2π，1)． 3．作形如y＝asin x＋b(或y＝acos x＋b)，x∈[0,2π]的图像的三个步骤 [变式训练] 1．画出函数y＝coseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x－\f(π,3)))，x∈[0，π]的图像． 解：①列表： x 0 eq \f(π,6) eq \f(5π,12) eq \f(2π,3) eq \f(11π,12) π 2x－eq \f(π,3) －eq \f(π,3) 0 eq \f(π,2) π eq \f(3π,2) eq \f(5π,3) coseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x－\f(π,3))) eq \f(1,2) 1 0 －1 0 eq \f(1,2) ②描点画图，如图． 余弦曲线的对称性 [例2]　已知函数y＝2coseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x＋\f(2π,3))). (1)在该函数的对称轴中，求离y轴距离最近的那条对称轴的方程； (2)把该函数的图像向右平移φ个单位后，图像关于原点对称，求φ的最小正值． [思路点拨]　把2x＋eq \f(2π,3)看作一个整体，代入基本余弦函数的性质求解． [解]　(1)令2x＋eq \f(2π,3)＝kπ，k∈Z，解得x＝eq \f(kπ,2)－eq \f(π,3)，k∈Z. 令k＝0，x＝－eq \f(π,3)；令k＝1，x＝eq \f(π,6). ∴函数y＝2coseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x＋\f(2π,3)))的对称轴中离y轴最近的一条对称轴的方程是x＝eq \f(π,6). (2)设该函数的图像向右平移φ个单位后对应的解析式为y＝f(x)， 则f(x)＝2coseq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(2x－φ＋\f(2π,3))) ＝2coseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x＋\f(2π,3)－2φ)). ∵y＝f(x)的图像关于原点(0,0)对称， ∴f(0)＝2coseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2π,3)－2φ))＝0. ∴eq \f(2π,3)－2φ＝kπ＋eq \f(π,2)，k∈Z. 解得φ＝eq \f(π,12)－eq \f(kπ,2). 令k＝0，得φ＝eq \f(π,12).∴φ的最小正值是eq \f(π,12). 关于正、余弦函数的对称性有以下重要结论 (1)f(x)＝Asin(ωx＋φ)(或Acos(ωx＋φ))的图像关于x＝x0对称⇔f(x0)＝A或－A. (2)f(x)＝Asin(ωx＋φ)(或Acos(ωx＋φ))的图像关于点(x0,0)中心对称⇔f(x0)＝0. [变式训练] 2．已知函数f(x)＝2coseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(3x－\f(π,6)＋φ))，φ∈(0，π)且f(x)的图像关于x＝eq \f(2π,9)对称． (1)求φ. (2)试说明f(x)的图像是由y＝cos x的图像经过怎样的变换而得到的． 解：(1)令3x－eq \f(π,6)＋φ＝kπ，k∈Z， 将x＝eq \f(2π,9)代入得eq \f(2π,3)－eq \f(π,6)＋φ＝kπ，k∈Z，∴φ＝－eq \f(π,2)＋kπ，k∈Z. 又φ∈(0，π)，∴φ＝eq \f(π,2)，∴f(x)＝2coseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(3x＋\f(π,3))). (2)将y＝cos x的图像向左平移eq \f(π,3)个单位，再纵坐标不变，横坐标缩短eq \f(1,3)倍，最后再横坐标不变，纵坐标伸长2倍，即得f(x)＝2coseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(3x＋\f(π,3)))的图像． 余弦函数的单调性 [例3]　求函数y＝3coseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,3)－\f(x,2)))的单调递增区间． [思路点拨]　令u＝eq \f(x,2)－eq \f(π,3)，代入y＝cos u的单调区间． [解]　y＝3coseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,3)－\f(x,2)))＝3coseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(x,2)－\f(π,3))).由2kπ－π≤eq \f(x,2)－eq \f(π,3)≤2kπ(k∈Z)， 解得4kπ－eq \f(4,3)π≤x≤4kπ＋eq \f(2,3)π(k∈Z)， ∴函数y＝3coseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,3)－\f(x,2)))的单调递增区间为 eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(4kπ－\f(4,3)π，4kπ＋\f(2,3)π))(k∈Z)． 确定函数y＝Asin(ωx＋φ)或y＝Acos(ωx＋φ)单调区间的基本思想是整体换元思想．即将ωx＋φ看作一个整体，利用基本三角函数的单调性来求复杂三角函数的单调区间．若x的系数为负，通常利用诱导公式化为正数再求解．有时还应兼顾函数的定义域． [变式训练] 3．求函数y＝sin(eq \f(1,2)x＋eq \f(π,3))，x∈R的单调区间． 解析：设z＝eq \f(1,2)x＋eq \f(π,3)，则y＝sin z. 当z∈(2kπ－eq \f(π,2)，2kπ＋eq \f(π,2))，(k∈Z)时，y＝sin z为增函数． ∴2kπ－eq \f(π,2)≤eq \f(1,2)x＋eq \f(π,3)≤2kπ＋eq \f(π,2)得4kπ－eq \f(5,3)π≤x≤4kπ＋eq \f(π,3)，k∈Z. 当z∈(2kπ＋eq \f(π,2)，2kπ＋eq \f(3,2)π)时，y＝sin z为减函数． ∴2kπ＋eq \f(π,2)≤eq \f(1,2)x＋eq \f(π,3)≤2kπ＋eq \f(3,2)π 得4kπ＋eq \f(π,3)≤x≤4kπ＋eq \f(7,3)π，k∈Z. 故y＝sin(eq \f(1,2)x＋eq \f(π,3))的增区间为 (4kπ－eq \f(5,3)π，4kπ＋eq \f(π,3))，k∈Z， 减区间为(4kπ＋eq \f(π,3)，4kπ＋eq \f(7,3)π)，k∈Z. 　　 余弦函数的值域(最值) [例4]　求函数y＝3cos2x－4cos x＋1，x∈eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(π,3)，\f(2π,3)))的值域． [思路点拨]　y＝f(x)可看作关于cos x的二次函数． [解]　y＝3cos2x－4cos x＋1＝ 3eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(cos x－\f(2,3)))2－eq \f(1,3). ∵x∈eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(π,3)，\f(2π,3)))，∴cos x∈eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)，\f(1,2))). 从而当cos x＝－eq \f(1,2)，即x＝eq \f(2π,3)时，ymax＝eq \f(15,4)； 当cos x＝eq \f(1,2)，即x＝eq \f(π,3)，ymin＝－eq \f(1,4). ∴函数值域为eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(1,4)，\f(15,4))). 求三角函数最值的两种基本类型 (1)将三角函数式化为y＝Acos(ωx＋φ)＋k的形式，结合函数图像求最值． (2)将三角函数式化为关于cos x(或sin x)的二次函数的形式，利用二次函数的性质和有界性求最值． [变式训练] 4．已知函数y＝acoseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x＋\f(π,3)))＋3，x∈eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))的最大值为4，求实数a的值． 解：∵x∈eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))，∴2x＋eq \f(π,3)∈eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(π,3)，\f(4π,3)))， ∴－1≤coseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2π＋\f(π,3)))≤eq \f(1,2). 当a>0，coseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x＋\f(π,3)))＝eq \f(1,2)时，y取得最大值eq \f(1,2)a＋3， ∴eq \f(1,2)a＋3＝4，∴a＝2. 当a<0，coseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x＋\f(π,3)))＝－1时，y取得最大值－a＋3， ∴－a＋3＝4，∴a＝－1， 综上可知，实数a的值为2或－1. 1．函数f(x)＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(π,4)))图象的一条对称轴方程为(　　) A．x＝－eq \f(π,4)　　　　　　 B．x＝eq \f(π,4) C．x＝eq \f(π,2) D．x＝π 解析：B　[对于函数f(x)＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(π,4)))，令x＋eq \f(π,4)＝kπ＋eq \f(π,2)，k∈Z，得x＝kx＋eq \f(π,4)，k∈Z，令k＝0，则x＝eq \f(π,4)，可得函数f(x)＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(π,4)))的图象的一条对称轴方程为x＝eq \f(π,4).] 2．下列函数中，在eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(π,4)，\f(π,2)))上为减函数的是(　　) A．y＝coseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x＋\f(π,3)))　　　 B．y＝coseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x＋\f(π,4))) C．y＝coseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(π,3))) D．y＝coseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(π,6))) 解析：D　[当x∈eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(π,4)，\f(π,2)))时，x＋eq \f(π,6)∈eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(5π,12)，\f(2π,3)))， ∵y＝cos x在[0，π]上递减． 所以y＝coseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(π,6)))在eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(π,4)，\f(π,2)))上递减．] 3．设a＝coseq \f(π,12)，b＝sineq \f(41π,6)，c＝coseq \f(7π,4)，则(　　) A．a>c>b B．c>b>a C．c>a>b D．b>c>a 解析：A　[b＝sineq \f(41π,6)＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(6π＋\f(5π,6)))＝sineq \f(5π,6)＝sineq \f(π,6)＝coseq \f(π,3)，c＝coseq \f(7π,4)＝coseq \f(π,4)，因为eq \f(π,3)>eq \f(π,4)>eq \f(π,12)，且y＝cos x在eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，π))上是单调递减函数，所以a>c>b.] 4．函数y＝2coseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x＋\f(π,6))) eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x∈\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(π,6)，\f(π,4)))))的值域为　______　. 解析：∵x∈eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(π,6)，\f(π,4)))， ∴2x＋eq \f(π,6)∈eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(π,6)，\f(2π,3)))， ∴coseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x＋\f(π,6)))∈eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)，1))， ∴该函数的值域为[－1,2]． 答案：[－1,2] 5．已知函数f(x)＝2cos(2x＋φ)，φ∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))，且f(x)的图像关于x＝eq \f(3π,8)对称． (1)求f(x)； (2)若x∈[0，π]，求f(x)的减区间； (3)画出f(x)在一个周期上的简图． 解：(1)令2x＋φ＝kπ，k∈Z， 将x＝eq \f(3π,8)代入得2×eq \f(3π,8)＋φ＝kπ，φ＝－eq \f(3π,4)＋kπ，k∈Z， 又∵φ∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))， ∴φ＝eq \f(π,4)， ∴f(x)＝2coseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x＋\f(π,4))). (2)令2kπ≤2x＋eq \f(π,4)≤π＋2kπ，k∈Z， 解得－eq \f(π,8)＋kπ≤x≤eq \f(3π,8)＋kπ，k∈Z， 又0≤x≤π， ∴0≤x≤eq \f(3π,8)或eq \f(7π,8)≤x≤π， ∴当x∈[0，π]时，f(x)的减区间为 eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(3π,8)))，eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(7π,8)，π)). (3)列表， 2x＋eq \f(π,4) 0 eq \f(π,2) π eq \f(3π,2) 2π x －eq \f(π,8) eq \f(π,8) eq \f(3π,8) eq \f(5π,8) eq \f(7π,8) f(x) 2 0 －2 0 2 作图，如图所示． $