7.3.2 第1课时 正弦型函数的性质与图像(一)-【创新教程】2025-2026学年高中数学必修第三册五维课堂同步课件PPT（人教B版）

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[解]　(1)方法一　(定义法) y＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x＋\f(π,4))) ＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x＋\f(π,4)＋2π))＝sineq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(2x＋π＋\f(π,4)))， 所以周期为π. 方法二　(公式法) y＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x＋\f(π,4)))中ω＝2，T＝eq \f(2π,ω)＝eq \f(2π,2)＝π. (2)y＝2sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)x＋\f(π,6)))中ω＝－eq \f(1,2)，周期T＝eq \f(2π,|ω|)＝eq \f(2π,|－\f(1,2)|)＝4π. (3)作图如下． 观察图像可知周期为π. 对于形如y＝Asin(ωx＋φ)(A≠0，ω≠0)的函数的最小正周期的求法，常直接利用T＝eq \f(2π,|ω|)来求解，对于形如y＝|Asin ωx|的函数的周期情况常结合图像法来求解． [变式训练] 1．(1)函数y＝eq \r(3)sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)x－\f(π,4)))，x∈R的周期T＝　________　. (2)若函数y＝Asin(ωx＋φ)(A≠0，ω≠0)的周期为3π，则ω＝　________　. 解析：(1)T＝eq \f(2π,\f(π,2))＝4. (2)T＝eq \f(2π,|ω|)＝3π，∴|ω|＝eq \f(2,3)，∴ω＝±eq \f(2,3). 答案：(1)4　(2)±eq \f(2,3) 三角函数图像的平移变换 [例2] (1)将函数y＝2sin(2x＋eq \f(π,6))的图像向右平移eq \f(1,4)个周期后，所得图像对应的函数为(　　) A．y＝2sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x＋\f(π,4)))　　 B．y＝2sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x＋\f(π,3))) C．y＝2sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x－\f(π,4))) D．y＝2sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x－\f(π,3))) (2)要得到y＝coseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x－\f(π,4)))的图像，只要将y＝sin 2x的图像(　　) A．向左平移eq \f(π,8)个单位长度 B．向右平移eq \f(π,8)个单位长度 C．向左平移eq \f(π,4)个单位长度 D．向右平移eq \f(π,4)个单位长度 [思路点拨]　根据“相位变换”规则实现左右平移． [解析]　(1)由y＝2sin(2x＋eq \f(π,6))可知，周期T＝π，所以eq \f(T,4)＝eq \f(1,4)π， y＝2 sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x＋\f(π,6))) eq \o(―――→,\s\up17(向右平移),\s\do25(\f(1,4)个周期)) y＝2sineq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(2\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(π,4)))＋\f(π,6))) ＝2sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x－\f(π,3))). (2)y＝sin 2x＝cos(eq \f(π,2)－2x)＝cos(2x－eq \f(π,2)) ＝coseq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(2\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(π,4)))))＝coseq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(2\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(π,8)))－\f(π,4))). 若设f(x)＝sin 2x＝coseq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(2\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(π,8)))－\f(π,4)))， 则f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(π,8)))＝coseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x－\f(π,4)))， ∴向左平移eq \f(π,8)个单位长度． [答案]　(1)D　(2)A 三角函数图像平移变换问题的分类及策略 (1)确定函数y＝sin x的图像经过变换后图像对应的解析式，关键是明确左右平移的方向，按“左加右减”的原则进行． (2)已知两个函数解析式判断其图像间的平移关系时，首先要将解析式化为同名三角函数形式，然后再确定平移方向和平移距离． [变式训练] 2．(1)要得到函数y＝sin(2x＋eq \f(π,3))的图像，只要将函数y＝sin 2x的图像(　　) A．向左平移eq \f(π,3)个单位长度 B．向右平移eq \f(π,3)个单位长度 C．向左平移eq \f(π,6)个单位长度 D．向右平移eq \f(π,6)个单位长度 解析：C　[因为y＝sin(2x＋eq \f(π,3))＝sin 2(x＋eq \f(π,6))，所以将函数y＝sin 2x的图像向左平移eq \f(π,6)个单位长度，就可得到函数y＝sin 2(x＋eq \f(π,6))＝sin(2x＋eq \f(π,3))的图像．] (2)为了得到函数y＝sin(2x－eq \f(π,6))的图像，可以将函数y＝cos 2x的图像(　　) A．向右平移eq \f(π,6)个单位长度 B．向左平移eq \f(π,6)个单位长度 C．向右平移eq \f(π,3)个单位长度 D．向左平移eq \f(π,3)个单位长度 解析：C　[y＝sin(2x－eq \f(π,6))＝coseq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(π,2)－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x－\f(π,6))))) ＝coseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2π,3)－2x)))＝coseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x－\f(2π,3))) ＝coseq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(2\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(π,3))))).故选C.] 三角函数图像的伸缩变换 [例3] 如何由y＝sin x的图像得到函数y＝3sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x－\f(π,3)))的图像？ [思路点拨]　常采用的变换方法有两种：一种是先进行相位变换，后进行周期变换；另一种是先进行周期变换，后进行相位变换． 由函数y＝sin x到函数y＝Asin(ωx＋φ)的变换涉及到三个变换：相位变换、周期变换、振幅变换，三者的变换先后顺序没有特殊要求．但要注意，若先相位变换，后周期变换，需平移|φ|个单位，若先周期变换，后相位变换，则需平移eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(\f(φ,ω)))个单位． 由函数y＝sin x的图像通过变换得到函数y＝Asin(ωx＋φ)的图像的步骤 [变式训练] 3．已知曲线C1：y＝cos x，C2：y＝sin(2x＋eq \f(2π,3))，则下面结论正确的是(　　) A．把C1上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移eq \f(π,6)个单位长度，得到曲线C2 B．把C1上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移eq \f(π,12)个单位长度，得到曲线C2 C．把C1上各点的横坐标缩短到原来的eq \f(1,2)倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移eq \f(π,6)个单位长度，得到曲线C2 D．把C1上各点的横坐标缩短到原来的eq \f(1,2)倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移eq \f(π,12)个单位长度，得到曲线C2 　 “五点法”作函数y＝Asin(ωx＋φ)的图像 [例4] 作出y＝2.5sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x＋\f(π,4)))的图像． [思路点拨]　利用“五点法”作出一个周期内的图像，然后按周期扩展． [解]　令X＝2x＋eq \f(π,4)，则x＝eq \f(1,2) eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(X－\f(π,4))). 列表： X 0 eq \f(π,2) π eq \f(3π,2) 2π x －eq \f(π,8) eq \f(π,8) eq \f(3π,8) eq \f(5π,8) eq \f(7π,8) y 0 2.5 0 －2.5 0 描点连线，如图所示． 1．“五点法”作图的实质 利用“五点法”作函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)的图像，实质是利用函数的三个零点、两个最值点画出函数在一个周期内的图像． 2．“五点法” 作定区间上图像的关键是列表，列表的方法是： ①计算x取端点值时的ωx＋φ的范围； ②取出ωx＋φ范围内的“五点”，并计算出相应的x值； ③利用ωx＋φ的值计算y值； ④描点(x，y)，连线得到函数图像． 3．用“五点法”作函数y＝Asin(ωx＋φ)图像的步骤 第一步：列表. ωx＋φ 0 eq \f(π,2) π eq \f(3π,2) 2π x －eq \f(φ,ω) eq \f(π,2ω)－eq \f(φ,ω) eq \f(π,ω)－eq \f(φ,ω) eq \f(3π,2ω)－eq \f(φ,ω) eq \f(2π,ω)－eq \f(φ,ω) y 0 A 0 －A 0 第二步：在同一坐标系中描出各点． 第三步：用光滑曲线连接这些点，形成图像． [变式训练] 4．作函数f(x)＝2sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x－\f(π,6)))在[0，π]上的图像． 解：列表： 2x－eq \f(π,6) －eq \f(π,6) 0 eq \f(π,2) π eq \f(3π,2) eq \f(11π,6) x 0 eq \f(π,12) eq \f(π,3) eq \f(7π,12) eq \f(5π,6) π f(x) －1 0 2 0 －2 －1 描点连线得： 1．将函数y＝sin(x＋eq \f(π,6))(x∈R)的图像上所有的点向左平移eq \f(π,4)个单位长度，再把图像上各点的横坐标扩大到原来的2倍，则所得的图像的解析式为(　　) A．y＝sin(2x＋eq \f(5π,12))(x∈R) B．y＝sin(eq \f(x,2)＋eq \f(5π,12))(x∈R) C．y＝sin(eq \f(x,2)－eq \f(π,12))(x∈R) D．y＝sin(eq \f(x,2)＋eq \f(5π,24))(x∈R) 解析：B　[原函数图像向左平移eq \f(π,4)个单位后得y＝sin(x＋eq \f(π,6)＋eq \f(π,4))＝sin(x＋eq \f(5π,12))(x∈R)的图像，再把图像上各点的横坐标扩大到原来的2倍得y＝sin(eq \f(1,2)x＋eq \f(5π,12))(x∈R)的图像．] 2．设g(x)的图像是由函数f(x)＝sin (eq \f(π,2)＋2x)的图像向左平移eq \f(π,3)个单位得到的，则geq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,6)))等于(　　) A．1　　 B．－eq \f(1,2)　　　C．0　　　D．－1 解析：D　[由f(x)＝sin (eq \f(π,2)＋2x)的图像向左平移eq \f(π,3)个单位得到的是g(x)＝ sineq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(π,2)＋2x＋\f(π,3)))＝sin(2x＋eq \f(7π,6))的图像，则g(eq \f(π,6))＝sin(2×eq \f(π,6)＋eq \f(7π,6))＝sineq \f( 3π,2)＝－1.] 3．为了得到函数y＝2sin(eq \f(x,3)＋eq \f(π,6))(x∈R)的图像，只需把函数y＝2sin x(x∈R)的图像上所有的点(　　) A．向左平移eq \f(π,6)个单位长度，再把所得各点的横坐标缩短到原来的eq \f(1,3)(纵坐标不变) B．向右平移eq \f(π,6)个单位长度，再把所得各点的横坐标缩短到原来的eq \f(1,3)(纵坐标不变) C．向左平移eq \f(π,6)个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的3倍(纵坐标不变) D．向右平移eq \f(π,6)个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的3倍(纵坐标不变) 解析：C　[将y＝2sin x的图像向左平移eq \f(π,6)个单位长度，可以得到y＝2sin(x＋eq \f(π,6))的图像；再将所得图像上所有点的横坐标伸长到原来的3倍(纵坐标不变)可以得到y＝2sin(eq \f(1,3)x＋eq \f(π,6))的图像，故选C.] 4．若将函数f(x)＝sin(ωx＋eq \f(π,6))(o<ω<7)的图像向右平移eq \f(π,3)个单位后恰与f(x)的图像重合，则ω的值是　________　. 解析：将函数f(x)＝sin(ωx＋eq \f(π,6))(ω>0，x∈R)的图像向右平移eq \f(π,3)个单位长度后，可得y＝sin(ωx－eq \f(πω,3)＋eq \f(π,6))的图像．根据所得的图像与原函数图像重合，所以eq \f(πω,3)＝2kπ，k∈Z，即ω＝6k，k∈Z，又0<ω<7，则ω＝6. 答案：6 5．利用“五点法”作出函数y＝eq \r(2)sin(2x－eq \f(π,4))在一个周期(闭区间)上简图。 解析：第一步：列表. x eq \f(π,8) eq \f(3π,8) eq \f(5π,8) eq \f(7π,8) eq \f(9π,8) 2x－eq \f(π,4) 0 eq \f(π,2) π eq \f(3π,2) 2π sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x－\f(π,4))) 0 1 0 －1 0 y 0 eq \r(2) 0 －eq \r(2) 0 第二步：描点． 第三步：连线画出图像如图所示： $